# 正規試行
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## 中心極限定理の終着点

確率変数の列 $X_1, X_2, \ldots, X_n, \ldots$ を考える。すべての変数は互いに独立に同一の分布$F$に従う。$F$の平均を$\mu$、$F$の分散を$\sigma^2$とする。

さて、確率変数列の先頭の$n$項の和を$S_n$とする。
$$
S_n = X_1 + X_2 + \cdots + X_n = \sum_{i=1}^n X_i
$$

大数の法則から
$$
\overline{X}_n = S_n/n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i
$$
は$n\rightarrow\infty$の極限で、$\mu$に確率収束する。同様に$\overline{X}_n-\mu$は$0$に確率収束する。

中心極限定理は、$\sqrt{n}\left(\overline{X}_n-\mu\right)$が$n\rightarrow\infty$の極限で正規分布$N\left(0, \sigma^2\right)$に従うための条件を与える。

$S_n$の期待値と分散を求めておく。
$$
\begin{align}
E\left[S_n\right] &= E\left[\sum_{i=1}^n X_i\right] = \sum_{i=1}^n E\left[X_i\right] = \sum_{i=1}^n \mu = n\mu \notag \\
V\left[S_n\right] &= V\left[\sum_{i=1}^n X_i\right] = \sum_{i=1}^n V\left[X_i\right] = \sum_{i=1}^n \sigma^2 = n\sigma^2 \notag
\end{align}
$$
この結果を元に、$S_n$を標準化する。
$$
Z_n = \frac{S_n-n\mu}{\sqrt{n\sigma^2}}
$$

また中心極限定理は、$Z_n$が従う確率分布が$n\rightarrow\infty$の極限で標準正規分布$N\left(0, 1\right)$に収束するための条件を与える。中心極限定理の条件の下で$S_n$が従う確率分布は、$n\rightarrow\infty$の極限で正規分布$N\left(n\mu, n\sigma^2\right)$に従う。

## 計測誤差の分布

真値が$\mu$の量を複数回、繰り返し計測する時の計測値を$X_1, X_2, \ldots, X_n, \ldots$と置く。これらは互いに独立に平均$\mu$、分散$\sigma^2$の正規分布$N\left(\mu, \sigma^2\right)$に従う。

## ホワイトノイズの分布

テレビは受け取った動画像を走査線に沿って表示する。テレビ放送が放送されていな時間帯にテレビをつけると、何も受像していないので、走査線に沿って雑音が表示される。これれらの表示された雑音は正規分布に従っている。