正規試行

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中心極限定理の終着点

確率変数の列

$X_1,X_2,\dots ,X_n,\dots$ を考える。すべての変数は互いに独立に同一の分布

$F$に従う。

$F$の平均を

$\mu$、

$F$の分散を

${\sigma }^2$とする。

さて、確率変数列の先頭の

$n$項の和を

$S_n$とする。

$$S_n=X_1+X_2+\cdots +X_n=\sum _{i=1}^n{X}_i$$

大数の法則から

$${\bar{X}}_n=S_n/n=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$$
は

$n\to \mathrm{\infty }$の極限で、

$\mu$に確率収束する。同様に

${\bar{X}}_n-\mu$は

$0$に確率収束する。

中心極限定理は、

$\sqrt{n}({\bar{X}}_n-\mu )$が

$n\to \mathrm{\infty }$の極限で正規分布

$N(0,{\sigma }^2)$に従うための条件を与える。

$S_n$の期待値と分散を求めておく。

$$\begin{array}{rl}E\left[S_n\right]& =E\left[\sum _{i=1}^n{X}_i\right]=\sum _{i=1}^{n}E\left[X_i\right]=\sum _{i=1}^n\mu =n\mu \\ V\left[S_n\right]& =V\left[\sum _{i=1}^n{X}_i\right]=\sum _{i=1}^{n}V\left[X_i\right]=\sum _{i=1}^n{\sigma }^2=n{\sigma }^2\end{array}$$
この結果を元に、

$S_n$を標準化する。

$$Z_n=\frac{S_n-n\mu }{\sqrt{n{\sigma }^2}}$$

また中心極限定理は、

$Z_n$が従う確率分布が

$n\to \mathrm{\infty }$の極限で標準正規分布

$N(0,1)$に収束するための条件を与える。中心極限定理の条件の下で

$S_n$が従う確率分布は、

$n\to \mathrm{\infty }$の極限で正規分布

$N(n\mu ,n{\sigma }^2)$に従う。

計測誤差の分布

真値が

$\mu$の量を複数回、繰り返し計測する時の計測値を

$X_1,X_2,\dots ,X_n,\dots$と置く。これらは互いに独立に平均

$\mu$、分散

${\sigma }^2$の正規分布

$N(\mu ,{\sigma }^2)$に従う。

ホワイトノイズの分布

テレビは受け取った動画像を走査線に沿って表示する。テレビ放送が放送されていな時間帯にテレビをつけると、何も受像していないので、走査線に沿って雑音が表示される。これれらの表示された雑音は正規分布に従っている。