# ユークリッド空間に埋め込まれた標本空間
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## 1次元ユークリッド空間

$$
\mbox{一次元ユークリッド空間}=\mbox{数直線}
$$

[数直線](https://study-line.com/seihu-daisho/)


[小数](https://math.nakaken88.com/textbook/basic-absolute-value-and-magnitude-relationship/)


数直線上の点は何種類かの分類の仕方がある。

1. 整数 or 非整数
2. 有理数 or 無理数
3. 正の数 or 0 or 負の数
4. 実数

[不等式と区間](https://univ-juken.com/renritsu-hutoshiki)


1. 閉区間
2. 開区間
3. 半開区間
4. 半無限区間
5. 無限区間

[区間と無限区間](https://mimsystudent.wordpress.com/2010/11/18/test/)

区間の開閉

無限区間
この図の(iii)と(iv)はそれぞれ、$(-\infty, b)$と$(-\infty, b]$の誤り。

[不等式と区間](https://mathbythemountain.com/2016/08/20/inequality-vs-interval-notation-poster-free-download-mtbosblaugust-made4math/)


半無限区間$(-\infty, x]$を考える。
$$
(x, \infty) = (-\infty, x]^c
$$

$x$に上から向かう単調な点列 $x_n$ を考える。$\lim_{n\rightarrow\infty} x_n = x$。このとき

$$
[x, \infty) = \lim_{n\rightarrow\infty} \cup_{n}(x_n, \infty)
$$

$$
(-\infty,x) = [x, \infty)^c
$$

こんな風に定義すればいい？

## 試行と標本空間

試行とは、起こり得る結果が幾つかあり、そのどれか一つだけが偶然に起こるまでの流れのことである。試行の結果全体の集合は標本空間と呼ばれる。事象は標本空間の部分集合である。

|試行$X$|標本空間$\Omega$|事象の例|
|---|---|---|
|コイン投げ|{表, 裏}|表が出る、裏が出ない|
|サイコロ投げ|{1,2,3,4,5,6}|1が出る、偶数が出る|
|天気|{1時間に1mm以上の降水あり, 1時間に1mm以上の降水なし}|降水あり|
|身長測定|正の実数全体|174.6223493....cm|
|身長測定(デジタル計測)|0.1cm単位の正の実数全体|174.6cm|
|中間試験|0から100までの整数全体|73点|
|ある科目の成績|{秀, 優, 良, 可, 不可}|優|

確率論では試行自体に大文字のアルファベット$X, Y, Z, U, V, W, \ldots$を用い、試行の結果を表す変数に小文字のアルファベット$x, y, z, u, v, w, \ldots$を用いて区別する。事象にも大文字のアルファベット$A, B, C, \ldots$を用いる。標本空間は$\Omega$で表す。

この講義では、標本空間はユークリッド空間の部分空間であることを前提とする。コイン投げも次のように、ユークリッド空間の中に位置付ける。

1. 表が出る $\Rightarrow$ 表が1回出る
2. 裏が出る $\Rightarrow$ 表が0回出る

こう関係づけることで、$\{\mbox{表}、\mbox{裏}\}$という集合は$\{1,0\}$というユークリッド空間の部分集合と同一視されるようになり、この集合をユークリッド空間の中に位置付けられる。

成績も同様である。

1. 秀 $\Rightarrow$ $4$
2. 優 $\Rightarrow$ $3$
3. 良 $\Rightarrow$ $2$
4. 可 $\Rightarrow$ $1$
5. 不可 $\Rightarrow$ $0$

このように数値に変換することで、ユークリッド空間の中に位置付けられる。

## 事象

事象は標本空間の部分集合である。サイコロ投げの標本空間は $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$であり、その部分集合である事象はたくさんある。

1. $1$の目が出る = $\{1\}$
2. $2$の目が出る = $\{2\}$
3. $3$の目が出る = $\{3\}$
4. $4$の目が出る = $\{4\}$
5. $5$の目が出る = $\{5\}$
6. $6$の目が出る = $\{6\}$
7. $1$または$2$の目が出る = $\{1, 2\}$
8. ...
9. $1$または$2$または$3$または$4$または$5$または$6$の目が出る = $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$
10. 何も出ない = $\{\}\equiv\emptyset$

すべての事象の数は$2^6$個である。補集合も事象とみなすことから、空集合を何も起こらない事象として含める。

コイン投げの事象は、サイコロ投げよりは少ない。

1. 表が出る = $\{1\}$
2. 裏が出る = $\{0\}$
3. 表または裏が出る = $\{0, 1\}$
4. 何も出ない = $\{\}\equiv\emptyset$

すべての事象の数は$2^2$個である。

重さを計測する場合は、計測の精度が無限であるとして、標本空間は正の実数全体$\mathscr{R}^+\equiv (0, \infty)$となる。この場合の事象は、$x$以下の重さが測定されることを表す $(0, x]$ という半閉区間で表す。ある値$x$をとる、という事象を考えないのは、のちに確率を事象に対して与えるためである。

また後々のことだが、標本空間が整数のみか、実数全体かで、確率の表現方法が異なる。

## 試行の結果と事象

確率論では、私たちは事象を観測する、と定める。中間試験について、試行の結果は0点から100点の間の実数であるとしても、事象が1点刻みの範囲に基づいて定められているから、1点刻みの整数値のみが観測される、という関係である。

# 以下はメモ

## 確率

確率の公理

## 確率の意味

幾つもある。

## 確率の計算

同時確率

$P(A\cap B)$

条件付き確率

$P(A|B)$, $P(B|A)$

周辺確率

$P(A)$, $P(B)$

加法法則

$P(A\cup B)= P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

乗法法則

$P(A\cap B)= P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)$

ベイズの定理

## 累積確率

$$F(x)=P((-\infty, x])$$

## 確率関数

$$p(x)=F(x)-F(x-)$$

## 確率密度関数

$$f(x)=\frac{dF(x)}{dx}$$

## 平均 = 分布の重心

$$\sum_x x p(x)$$

$$\int_x x f(x)dx$$

## 期待値

$$
E[X]=
\left\{
\begin{array}{ll}
\sum_x x p(x) \\
\int_x x f(x)dx
\end{array}
\right.
$$

これは$X$の期待値。$分布の平均$。$X$の平均。

## $X$の変換の期待値

$$
E[g(X)]=
\left\{
\begin{array}{ll}
\sum_x g(x) p(x) \\
\int_x g(x) f(x)dx
\end{array}
\right.
$$

$g(X)$の例には$X^2$、$(X-\mu)^2$、$e^{tX}$、$e^{itX}$などがある。

## モーメント

原点モーメント

中心モーメント

## モーメント母関数