ユークリッド空間に埋め込まれた標本空間

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1次元ユークリッド空間

$$\text{一次元ユークリッド空間}=\text{数直線}$$

数直線

小数

数直線上の点は何種類かの分類の仕方がある。

1. 整数 or 非整数
2. 有理数 or 無理数
3. 正の数 or 0 or 負の数
4. 実数

不等式と区間

1. 閉区間
2. 開区間
3. 半開区間
4. 半無限区間
5. 無限区間

区間と無限区間

区間の開閉

無限区間

この図の(iii)と(iv)はそれぞれ、

$(-\mathrm{\infty },b)$と

$(-\mathrm{\infty },b]$の誤り。

不等式と区間

半無限区間

$(-\mathrm{\infty },x]$を考える。

$$(x,\mathrm{\infty })=(-\mathrm{\infty },x{]}^c$$

$x$に上から向かう単調な点列

$x_n$ を考える。

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=x$。このとき

$$[x,\mathrm{\infty })=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\cup }_n(x_n,\mathrm{\infty })$$

$$(-\mathrm{\infty },x)=[x,\mathrm{\infty }{)}^c$$

こんな風に定義すればいい？

試行と標本空間

試行とは、起こり得る結果が幾つかあり、そのどれか一つだけが偶然に起こるまでの流れのことである。試行の結果全体の集合は標本空間と呼ばれる。事象は標本空間の部分集合である。

試行 $X$	標本空間 $\mathrm{\Omega }$	事象の例
コイン投げ	{表, 裏}	表が出る、裏が出ない
サイコロ投げ	{1,2,3,4,5,6}	1が出る、偶数が出る
天気	{1時間に1mm以上の降水あり, 1時間に1mm以上の降水なし}	降水あり
身長測定	正の実数全体	174.6223493…cm
身長測定(デジタル計測)	0.1cm単位の正の実数全体	174.6cm
中間試験	0から100までの整数全体	73点
ある科目の成績	{秀, 優, 良, 可, 不可}	優

確率論では試行自体に大文字のアルファベット

$X,Y,Z,U,V,W,\dots$を用い、試行の結果を表す変数に小文字のアルファベット

$x,y,z,u,v,w,\dots$を用いて区別する。事象にも大文字のアルファベット

$A,B,C,\dots$を用いる。標本空間は

$\mathrm{\Omega }$で表す。

この講義では、標本空間はユークリッド空間の部分空間であることを前提とする。コイン投げも次のように、ユークリッド空間の中に位置付ける。

1. 表が出る
   $\Rightarrow$ 表が1回出る
2. 裏が出る
   $\Rightarrow$ 表が0回出る

こう関係づけることで、

$\{\text{表}、\text{裏}\}$という集合は

$\{1,0\}$というユークリッド空間の部分集合と同一視されるようになり、この集合をユークリッド空間の中に位置付けられる。

成績も同様である。

1. 秀
   $\Rightarrow$
   $4$
2. 優
   $\Rightarrow$
   $3$
3. 良
   $\Rightarrow$
   $2$
4. 可
   $\Rightarrow$
   $1$
5. 不可
   $\Rightarrow$
   $0$

このように数値に変換することで、ユークリッド空間の中に位置付けられる。

事象

事象は標本空間の部分集合である。サイコロ投げの標本空間は

$\{1,2,3,4,5,6\}$であり、その部分集合である事象はたくさんある。

1. $1$の目が出る =
   $\{1\}$
2. $2$の目が出る =
   $\{2\}$
3. $3$の目が出る =
   $\{3\}$
4. $4$の目が出る =
   $\{4\}$
5. $5$の目が出る =
   $\{5\}$
6. $6$の目が出る =
   $\{6\}$
7. $1$または
   $2$の目が出る =
   $\{1,2\}$
8. …
9. $1$または
   $2$または
   $3$または
   $4$または
   $5$または
   $6$の目が出る =
   $\{1,2,3,4,5,6\}$
10. 何も出ない =
    $\{\}\equiv \mathrm{\varnothing }$

すべての事象の数は

$2^6$個である。補集合も事象とみなすことから、空集合を何も起こらない事象として含める。

コイン投げの事象は、サイコロ投げよりは少ない。

1. 表が出る =
   $\{1\}$
2. 裏が出る =
   $\{0\}$
3. 表または裏が出る =
   $\{0,1\}$
4. 何も出ない =
   $\{\}\equiv \mathrm{\varnothing }$

すべての事象の数は

$2^2$個である。

重さを計測する場合は、計測の精度が無限であるとして、標本空間は正の実数全体

${\mathcal{R}}^{+}\equiv (0,\mathrm{\infty })$となる。この場合の事象は、

$x$以下の重さが測定されることを表す

$(0,x]$ という半閉区間で表す。ある値

$x$をとる、という事象を考えないのは、のちに確率を事象に対して与えるためである。

また後々のことだが、標本空間が整数のみか、実数全体かで、確率の表現方法が異なる。

試行の結果と事象

確率論では、私たちは事象を観測する、と定める。中間試験について、試行の結果は0点から100点の間の実数であるとしても、事象が1点刻みの範囲に基づいて定められているから、1点刻みの整数値のみが観測される、という関係である。

以下はメモ

確率

確率の公理

確率の意味

幾つもある。

確率の計算

同時確率

$P(A\cap B)$

条件付き確率

$P(A|B)$,

$P(B|A)$

周辺確率

$P(A)$,

$P(B)$

加法法則

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

乗法法則

$P(A\cap B)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)$

ベイズの定理

累積確率

$$F(x)=P((-\mathrm{\infty },x])$$

確率関数

$$p(x)=F(x)-F(x-)$$

確率密度関数

$$f(x)=\frac{dF(x)}{dx}$$

平均 = 分布の重心

$$\sum _{x}xp(x)$$

$${\int }_{x}xf(x)dx$$

期待値

$$E[X]=\{\begin{array}{l}\sum _{x}xp(x)\\ {\int }_{x}xf(x)dx\end{array}$$

これは

$X$の期待値。

$\mathrm{分}\mathrm{布}\mathrm{の}\mathrm{平}\mathrm{均}$。

$X$の平均。

$X$の変換の期待値

$$E[g(X)]=\{\begin{array}{l}\sum _{x}g(x)p(x)\\ {\int }_{x}g(x)f(x)dx\end{array}$$

$g(X)$の例には

$X^2$、

$(X-\mu {)}^2$、

$e^{tX}$、

$e^{itX}$などがある。

モーメント

原点モーメント

中心モーメント

モーメント母関数