指数試行の繰り返し

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$n=2$

二つの確率変数

$X_1,X_2$が、互いに独立に同一の指数分布に従うとする。

$$X_1,X_2\sim Exp\left(\lambda \right),X_1\perp \perp X_2$$
このとき、

$S=X_1+X_2$の確率分布の確率密度関数を導く。

$$\begin{array}{rl}{f}_S\left(s\right)& ={\int }_0^s{f}_{X_1}\left(u\right)f_{X_2}(s-u)du\\ & ={\int }_0^s\lambda \exp (-\lambda u)\lambda \exp (-\lambda (s-u))du\\ & ={\int }_0^s{\lambda }^2\exp (-\lambda s)du\\ & ={\lambda }^2\exp (-\lambda s){\left[u\right]}_0^s\\ & ={\lambda }^2\exp (-\lambda s)[s-0]\\ & ={\lambda }^{2}s\exp (-\lambda s)\end{array}$$

$n=3$

二つの確率変数

$X_1,X_2,X_3$が、互いに独立に同一の指数分布に従うとする。

$$X_1,X_2\sim Exp\left(\lambda \right),X_i\perp \perp X_j,\mathrm{\forall }i\ne j$$
このとき、

$S_3=X_1+X_2+X_3$の確率分布の確率密度関数を導く。

$$\begin{array}{rl}{f}_{S_3}\left(s\right)& ={\int }_0^s{f}_S\left(u\right)f_{X_3}(s-u)du\\ & ={\int }_0^s{\lambda }^{2}u\exp (-\lambda u)\lambda \exp (-\lambda (s-u))du\\ & ={\int }_0^s{\lambda }^{3}u\exp (-\lambda s)du\\ & ={\lambda }^3\exp (-\lambda s){\left[\frac{u^2}{2}\right]}_0^s\\ & ={\lambda }^3\exp (-\lambda s)[\frac{s^2}{2}-0]\\ & ={\lambda }^3\frac{s^2}{2}\exp (-\lambda s)\end{array}$$

$n=k$

$k$個の確率変数

$X_1,X_2,\dots ,X_k$が、互いに独立に同一の指数分布に従うとする。

$$X_1,X_2,\dots ,X_k\sim Exp\left(\lambda \right),X_i\perp \perp X_j,\mathrm{\forall }i\ne j$$
このとき、

$S_k=X_1+X_2+\cdots +X_k$の確率分布の確率密度関数が、次の通りであることを仮定する。

$$\begin{array}{rl}{f}_{S_k}\left(s\right)& ={\lambda }^k\frac{s^{k-1}}{(k-1)!}\exp (-\lambda s)\end{array}$$

$n=k+1$

$k$個の確率変数

$X_1,X_2,\dots ,X_{k+1}$が、互いに独立に同一の指数分布に従うとする。

$$X_1,X_2,\dots ,X_{k+1}\sim Exp\left(\lambda \right),X_i\perp \perp X_j,\mathrm{\forall }i\ne j$$
このとき、

$S_{k+1}=X_1+X_2+\cdots +X_k+X_{k+1}$の確率分布の確率密度関数を導く。

$$\begin{array}{rl}{f}_{S_{k+1}}\left(s\right)& ={\int }_0^s{f}_{S_k}\left(u\right)f_{X_{k+1}}(s-u)du\\ & ={\int }_0^s{\lambda }^k\frac{u^{k-1}}{(k-1)!}\exp (-\lambda u)\lambda \exp (-\lambda (s-u))du\\ & ={\int }_0^s{\lambda }^{k+1}\frac{u^{k-1}}{(k-1)!}\exp (-\lambda s)du\\ & ={\lambda }^{k+1}\exp (-\lambda s){\left[\frac{u^k}{k!}\right]}_0^s\\ & ={\lambda }^{k+1}\exp (-\lambda s)[\frac{s^k}{k!}-0]\\ & ={\lambda }^{k+1}\frac{s^k}{k!}\exp (-\lambda s)\end{array}$$

数学的帰納法

数学的帰納法により、任意の正の整数

$n$について

$S_n=\sum _{i=1}^n{X}_i$が従う確率分布の確率密度関数は

$$f_{S_n}={\lambda }^n\frac{s^{n-1}}{(n-1)!}\exp (-\lambda s)$$
であることが示された。