# 期待値
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## 確率変数の期待値

確率変数$X$がある確率分布$F$に従って分布するとき、その確率変数の期待値を次のように定める。$F$が確率密度関数$f$を持つ場合は

$$
\int_{x\in\mathcal{X}} xf\left(x\right) dx
$$

$F$が確率関数$p$を持つ場合は

$$
\sum_{x\in\mathcal{X}} x p\left(x\right)
$$

いずれも確率分布に照らした$\mathcal{X}$の中の重心を意味する量である。これらを確率変数$X$の期待値といい、$E\left[X\right]$と記す。

## 確率変数の関数の期待値

別の確率変数$Y$がある確率分布$G$に従って分布するとする。ただしこの$Y$は実は$Y=X^2$であり、$X$の分布は$F$と分かっている。このとき、$F$から$G$を導いて$Y$の期待値を計算すべきだろうか。

実は$Y$が$X$の関数と分かっていれば、$X^2$の期待値を求めれば、それが$Y$の期待値となる。

$$
E_G\left[Y\right]=E_F\left[X^2\right]=\left\{
\begin{array}{ll}
\int_{x\in\mathcal{X}} x^2 f\left(x\right) dx \\
\sum_{x\in\mathcal{X}} x^2 p\left(x\right)
\end{array}
\right.
$$

例えば$X$の標本空間を$\mathcal{R}$、確率分布$F$の確率密度関数を$f$とすると、$Y$が従う確率分布の標本空間は
$$
\mathcal{Y} = \mathcal{R}^{+}
$$
また確率密度関数は
$$
g\left(y\right) = f\left(\sqrt{y}\right)\frac{1}{2\sqrt{y}}+f\left(-\sqrt{y}\right)\frac{1}{2\sqrt{y}}
$$
となる。ここから$Y$の期待値を求めると
$$
\int_{0}^{\infty} y \left\{f\left(\sqrt{y}\right)\frac{1}{2\sqrt{y}}+f\left(-\sqrt{y}\right)\frac{1}{2\sqrt{y}}\right\} dy
$$
となり、計算が複雑になっていく。これよりは
$$
\int_{-\infty}^{\infty} x^2 f\left(x\right) dx
$$
の方が、最悪、部分積分2回で求まるかもしれない。

このような計算の簡略化のために期待値は、確率変数のみならず、確率変数の関数についても定義されている。

## モーメント

確率変数$X$のべき乗$X^k$の期待値を、原点モーメントという。

$$
m_k = E\left[X^k\right]
$$

特に$k=1$の場合を$m_1=\mu$と記す。

確率変数$X$の平均$\mu$からの偏差のべき乗$\left(X-\mu\right)^k$の期待値を、中心モーメントという。

$$
\mu_k = E\left[\left(X-\mu\right)^k\right]
$$

$k=1$の場合は常に$0$である。

## 確率の期待値による表現

引数に条件式を取り、条件が成り立つ場合に$1$を、そうでない場合に$0$を返す関数を識別関数という。
$$
I\left(\mbox{条件}\right) = \left\{
\begin{array}{ll}
1 & \mbox{条件が真} \\
0 & \mbox{条件が偽}
\end{array}
\right.
$$
この関数を用いると、確率は期待値として表せる。
$$
Pr\left[X \leq a\right] = E\left[I\left(X\leq a\right)\right]
$$
$$
Pr\left[X > a\right] = E\left[I\left(X > a\right)\right]
$$
これは$I\left(x\leq a\right)f\left(x\right)$の全範囲での積分が、$-\infty$から$a$までの積分に等しいことによる。
$$
\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty} I\left(x\leq a\right) f\left(x\right) dx &= \int_{-\infty}^{a} I\left(x\leq a\right) f\left(x\right) dx + \int_{a}^{\infty} I\left(x\leq a\right) f\left(x\right) dx \notag \\
&= \int_{-\infty}^{a} 1 \times f\left(x\right) dx + \int_{a}^{\infty} 0 \times f\left(x\right) dx \notag \\
&= \int_{-\infty}^{a} f\left(x\right) dx
\end{align}
$$