# 正規試行列
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## 正規分布

平均が$\mu$、分散が$\sigma^2$の正規分布$N\left(\mu, \sigma^2\right)$のモーメント母関数は
$$
M_{N\left(\mu, \sigma^2\right)}\left(t\right) = \exp\left(\mu t+\frac{\sigma^2t^2}{2}\right)
$$
である。これより互いに独立に同一の正規分布$N\left(\mu, \sigma^2\right)$に従う$n$個の確率変数$X_1, X_2, \ldots, X_n$の和のモーメント母関数は
$$
\left\{M_{N\left(\mu, \sigma^2\right)}\left(t\right)\right\}^n = \exp\left(n\mu t+\frac{n\sigma^2t^2}{2}\right)
$$
となる。このモーメント母関数を持つ確率分布は
$$
N\left(n\mu, n\sigma^2\right)
$$
である。この事実から、$X_1, X_2, \ldots, X_n$の平均を
$$
\overline{X}_n = \frac{1}{n}S_n
$$
の従う確率分布は、
$$
N\left(\mu, \sigma^2/n\right)
$$
となる。

## 上の計算に必要なこと

正規分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ に従う確率変数 $X$ を位置変換する。その変換を $Y=X+b$ とする。このとき
$$
\begin{align}
f_Y\left(y\right)
& = f_X\left(y-b\right) \notag \\
& = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left\{-\frac{\left(y-b-\mu\right)^2}{2\sigma^2}\right\} \notag \\
& = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left\{-\frac{\left(y-\left(\mu+b\right)\right)^2}{2\sigma^2}\right\} \notag
\end{align}
$$
より、$Y$は平均が$\mu+b$で分散が$\sigma^2$の正規分布$N\left(\mu+b, \sigma^2\right)$に従う。

正規分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ に従う確率変数 $X$ を尺度変換する。その変換を $Y=aX$ とする。このとき
$$
\begin{align}
f_Y\left(y\right)
& = f_X\left(y/a\right) \notag \\
& = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left\{-\frac{\left(y/a-\mu\right)^2}{2\sigma^2}\right\} \times \left|\frac{1}{a}\right| \notag \\
& = \frac{1}{\sqrt{2\pi a^2 \sigma^2}} \exp\left\{-\frac{\left(y-a\mu\right)^2}{2a^2\sigma^2}\right\} \notag
\end{align}
$$
より、$Y$は平均が$a\mu$で分散が$a^2\sigma^2$の正規分布$N\left(a\mu, a^2\sigma^2\right)$に従う。

以上から、正規分布に従う任意の確率変数の線形変換は、平均や分散は線形変換に応じて変化するものの、確率分布としては正規分布に従う。

さらに平均や分散が等しい必要はない2つの正規分布$N\left(\mu_1, \sigma_1^2\right)$, $N\left(\mu_2, \sigma_2^2\right)$に互いに独立に従う確率変数を$X_1$, $X_2$とする。このとき
$$
\begin{align}
M_{X_1+X_2}\left(t\right)
& = \exp\left(\mu_1 t+ \frac{\sigma_1^2}{2}t^2\right)\exp\left(\mu_2 t+ \frac{\sigma_2^2}{2}t^2\right) \notag \\
& = \exp\left(\left(\mu_1+\mu_2\right)t + \frac{\sigma_1^2+\sigma_2^2}{2}t^2\right)
\end{align}
$$
より、$X_1+X_2$は平均が$\mu_1+\mu_2$で分散が$\sigma_1^2+\sigma_2^2$の正規分布に従う。

数学的帰納法を用いれば、正規分布に従う有限個の確率変数があるとき、それらの総和や平均も再び正規分布に従うことを証明できる。