正規試行列

tags: probability-theory

正規分布

平均が

$\mu$、分散が

${\sigma }^2$の正規分布

$N(\mu ,{\sigma }^2)$のモーメント母関数は

$$M_{N(\mu ,{\sigma }^2)}\left(t\right)=\exp (\mu t+\frac{{\sigma }^2{t}^2}{2})$$
である。これより互いに独立に同一の正規分布

$N(\mu ,{\sigma }^2)$に従う

$n$個の確率変数

$X_1,X_2,\dots ,X_n$の和のモーメント母関数は

$${\left\{M_{N(\mu ,{\sigma }^2)}\left(t\right)\right\}}^n=\exp (n\mu t+\frac{n{\sigma }^2{t}^2}{2})$$
となる。このモーメント母関数を持つ確率分布は

$$N(n\mu ,n{\sigma }^2)$$
である。この事実から、

$X_1,X_2,\dots ,X_n$の平均を

$${\bar{X}}_n=\frac{1}{n}{S}_n$$
の従う確率分布は、

$$N(\mu ,{\sigma }^2/n)$$
となる。

上の計算に必要なこと

正規分布

$N(\mu ,{\sigma }^2)$ に従う確率変数

$X$ を位置変換する。その変換を

$Y=X+b$ とする。このとき

$$\begin{array}{rl}{f}_Y\left(y\right)& =f_X(y-b)\\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}\exp \{-\frac{{(y-b-\mu )}^2}{2{\sigma }^2}\}\\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}\exp \{-\frac{{(y-(\mu +b))}^2}{2{\sigma }^2}\}\end{array}$$
より、

$Y$は平均が

$\mu +b$で分散が

${\sigma }^2$の正規分布

$N(\mu +b,{\sigma }^2)$に従う。

正規分布

$N(\mu ,{\sigma }^2)$ に従う確率変数

$X$ を尺度変換する。その変換を

$Y=aX$ とする。このとき

$$\begin{array}{rl}{f}_Y\left(y\right)& =f_X\left(y/a\right)\\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}\exp \{-\frac{{(y/a-\mu )}^2}{2{\sigma }^2}\}\times \left|\frac{1}{a}\right|\\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi a^2{\sigma }^2}}\exp \{-\frac{{(y-a\mu )}^2}{2a^2{\sigma }^2}\}\end{array}$$
より、

$Y$は平均が

$a\mu$で分散が

$a^2{\sigma }^2$の正規分布

$N(a\mu ,a^2{\sigma }^2)$に従う。

以上から、正規分布に従う任意の確率変数の線形変換は、平均や分散は線形変換に応じて変化するものの、確率分布としては正規分布に従う。

さらに平均や分散が等しい必要はない2つの正規分布

$N({\mu }_1,{\sigma }_1^2)$,

$N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$に互いに独立に従う確率変数を

$X_1$,

$X_2$とする。このとき

$$\begin{array}{rl}{M}_{X_1+X_2}\left(t\right)& =\exp ({\mu }_{1}t+\frac{{\sigma }_1^2}{2}{t}^2)\exp ({\mu }_{2}t+\frac{{\sigma }_2^2}{2}{t}^2)\\ & =\exp (({\mu }_1+{\mu }_2)t+\frac{{\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2}{2}{t}^2)\end{array}$$
より、

$X_1+X_2$は平均が

${\mu }_1+{\mu }_2$で分散が

${\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2$の正規分布に従う。

数学的帰納法を用いれば、正規分布に従う有限個の確率変数があるとき、それらの総和や平均も再び正規分布に従うことを証明できる。