初等解析

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等比数列の和

$$\sum _{k=1}^{n}a{r}^{k-1}=\frac{a-a{r}^k}{1-r}$$

等差数列の和

$$\sum _{k=1}^n\{a+(k-1)d\}=na+d\times \frac{(n-1)n}{2}$$

二項定理

$${(a+b)}^n={}_n{C}_0{a}^n+{}_n{C}_1{a}^{n-1}b+{}_n{C}_2{a}^{n-2}{b}^2+\cdots {}_n{C}_{n-1}a{b}^{n-1}+{}_n{C}_n{b}^n$$

二項係数

$${}_n{C}_k=\frac{n!}{k!\times (n-k)!}=n\times (n-1)\times (n-k+1)$$

$${}_n{C}_k={}_n{C}_{n-k}$$

関数のテイラー展開

$$\begin{array}{rl}f\left(x\right)& =f\left(x_0\right)+f^{\prime }\left(x_0\right)(x-x_0)+\frac{f^{\prime \prime }\left(x_0\right)}{2!}{(x-x_0)}^2+\frac{f^{\prime \prime \prime }\left(x_0\right)}{3!}{(x-x_0)}^3+\cdots \\ & =f\left(x_0\right)+(x-x_0)f^{\prime }\left(x_0\right)+\frac{{(x-x_0)}^2}{2!}{f}^{\prime \prime }\left(x_0\right)+\frac{{(x-x_0)}^3}{3!}{f}^{\prime \prime \prime }\left(x_0\right)+\cdots \\ & =\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}{\frac{d^k}{d{x}^k}f\left(x\right)|}_{x=x_0}{(x-x_0)}^k\end{array}$$

$x_0=0$のとき、マクローリン展開とも呼ばれる。

$$\begin{array}{rl}f\left(x\right)& =f\left(0\right)+f^{\prime }\left(0\right)x+\frac{f^{\prime \prime }\left(0\right)}{2!}{x}^2+\frac{f^{\prime \prime \prime }\left(0\right)}{3!}{x}^3+\cdots \\ & =\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}{\frac{d^k}{d{x}^k}f\left(x\right)|}_{x=0}{x}^k\end{array}$$

指数関数のマクローリン展開

$$\frac{d^k}{d{x}^k}\exp \left(x\right)\equiv \exp \left(x\right)$$
であり、

$$\exp \left(0\right)=1$$
なので、

$x=0$の近傍で

$$\exp \left(x\right)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^k}{k!}\exp \left(0\right)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^k}{k!}=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots$$

指数関数の逆数

$$\exp (-x)=\frac{1}{\exp \left(x\right)}=O\left(\frac{1}{x}\right)(x\to \mathrm{\infty })$$

指数関数の微積分

$a\ne 0$

$$\frac{d}{dx}\exp \left(ax\right)=a\exp \left(ax\right)$$

$$\int \exp \left(ax\right)dx=\frac{1}{a}\exp \left(ax\right)+C$$

ガウス関数の積分

$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\exp (-x^2)dx=\sqrt{\pi }$$

$${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\exp (-x^2)dx=\frac{\sqrt{\pi }}{2}$$

$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^0\exp (-x^2)dx=\frac{\sqrt{\pi }}{2}$$

一つ目の等式は次のように、二乗を計算するために曲座標変換を用いると、計算が簡単になることを用いて示す。

$$\begin{array}{rl}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\exp (-x^2)dx\times {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\exp (-y^2)dy& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\exp (-(x^2+y^2))dxdy\\ & ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\int }_0^{2\pi }\exp (-r^2)rdrd\theta \\ & =2\pi {\int }_0^{\mathrm{\infty }}r\exp (-r^2)dr\\ & =2\pi {[-\frac{e^{-r^2}}{2}]}_0^{\mathrm{\infty }}\\ & =2\pi [0-(-\frac{1}{2})]\\ & =\pi \end{array}$$

よって

$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\exp (-x^2)dx={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\exp (-y^2)dy=\sqrt{\pi }$$

合成関数の微分

$$\frac{d}{dx}f\left(g\left(x\right)\right)=f^{\prime }\left(g\left(x\right)\right)\times g^{\prime }\left(x\right)$$

指数関数を含む積の部分積分

$a\ne 0$

$${\int }_{x_1}^{x_2}g\left(x\right)\exp \left(ax\right)dx={[g\left(x\right)\frac{1}{a}\exp \left(ax\right)]}_{x_1}^{x_2}-{\int }_{x_1}^{x_2}{g}^{\prime }\left(x\right)\frac{1}{a}\exp \left(ax\right)dx$$

ガンマ関数

$${\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^{a-1}\exp (-x)dx=\mathrm{\Gamma }\left(a\right)$$

部分積分を行うと

$$\mathrm{\Gamma }\left(a\right)=a\mathrm{\Gamma }(a-1)$$
という関係が導かれる。

ベータ関数

$${\int }_0^1{t}^{a-1}{(1-t)}^{b-1}dt=B(a,b)$$

$$B(a,b)=\frac{\mathrm{\Gamma }\left(a\right)\mathrm{\Gamma }\left(b\right)}{\mathrm{\Gamma }(a+b)}$$

スターリングの近似

$$n!\approx {\left(\frac{n}{e}\right)}^n$$

$\log x$の区間

$[1,n]$の定積分が、

$\sum _{x=1}^n\log x$より小さく、

$\sum _{x=1}^{n-1}\log x$より大きいことを利用して導かれる。

確率論ではより精度の高い

$$n!\approx \sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n$$

を用いることがある。