# 初等解析
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## 等比数列の和

$$
\sum_{k=1}^n ar^{k-1} = \frac{a-ar^k}{1-r}
$$

## 等差数列の和

$$
\sum_{k=1}^n \left\{a+\left(k-1\right)d\right\} = na + d \times \frac{\left(n-1\right)n}{2}
$$

## 二項定理

$$
\left(a+b\right)^n = {}_nC_{0} a^n + {}_nC_{1} a^{n-1}b + {}_nC_{2} a^{n-2}b^2 + \cdots {}_nC_{n-1} ab^{n-1} + {}_nC_{n} b^n
$$

二項係数

$$
{}_nC_k = \frac{n!}{k!\times \left(n-k\right)!} = n \times \left(n-1\right) \times \left(n-k+1\right)
$$

$$
{}_nC_k = {}_nC_{n-k}
$$

## 関数のテイラー展開

$$
\begin{align}
f\left(x\right)
&= f\left(x_0\right) + f^{\prime}\left(x_0\right)\left(x-x_0\right) + \frac{f^{\prime\prime}\left(x_0\right)}{2!}\left(x-x_0\right)^2 + \frac{f^{\prime\prime\prime}\left(x_0\right)}{3!}\left(x-x_0\right)^3 + \cdots \notag \\
&= f\left(x_0\right) + \left(x-x_0\right)f^{\prime}\left(x_0\right) + \frac{\left(x-x_0\right)^2 }{2!}f^{\prime\prime}\left(x_0\right)+ \frac{\left(x-x_0\right)^3}{3!} f^{\prime\prime\prime}\left(x_0\right)+ \cdots \notag \\
&= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}\left.\frac{d^k}{dx^k}f\left(x\right)\right|_{x=x_0}\left(x-x_0\right)^k
\end{align}
$$

$x_0=0$のとき、マクローリン展開とも呼ばれる。

$$
\begin{align}
f\left(x\right)
&= f\left(0\right) + f^{\prime}\left(0\right)x + \frac{f^{\prime\prime}\left(0\right)}{2!}x^2 + \frac{f^{\prime\prime\prime}\left(0\right)}{3!}x^3 + \cdots \notag \\
&= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}\left.\frac{d^k}{dx^k}f\left(x\right)\right|_{x=0}x^k
\end{align}
$$

## 指数関数のマクローリン展開

$$
\frac{d^k}{dx^k} \exp\left(x\right)\equiv \exp\left(x\right)
$$
であり、
$$
\exp\left(0\right)=1
$$
なので、$x=0$の近傍で
$$
\exp\left(x\right) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} \exp\left(0\right) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \cdots
$$

## 指数関数の逆数

$$
\exp\left(-x\right) =\frac{1}{\exp\left(x\right)} = O\left(\frac{1}{x}\right) \,\,\, \left(x\rightarrow\infty\right)
$$

## 指数関数の微積分

$a\neq 0$

$$
\frac{d}{dx}\exp\left(ax\right) = a\exp\left(ax\right)
$$

$$
\int\exp\left(ax\right) dx = \frac{1}{a}\exp\left(ax\right) + C
$$

## ガウス関数の積分

$$
\int_{-\infty}^{\infty} \exp\left(-x^2\right) dx = \sqrt{\pi}
$$

$$
\int_{0}^{\infty} \exp\left(-x^2\right) dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}
$$

$$
\int_{-\infty}^{0} \exp\left(-x^2\right) dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}
$$

一つ目の等式は次のように、二乗を計算するために曲座標変換を用いると、計算が簡単になることを用いて示す。

$$
\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty} \exp\left(-x^2\right) dx \times \int_{-\infty}^{\infty} \exp\left(-y^2\right) dy
&= \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \exp\left(-\left(x^2+y^2\right)\right) dxdy \notag \\
&= \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{2\pi} \exp\left(-r^2\right) r drd\theta \notag \\
&= 2\pi \int_{0}^{\infty} r \exp\left(-r^2\right) dr \notag \\
&= 2\pi \left[-\frac{e^{-r^2}}{2}\right]_{0}^{\infty} \notag \\
&= 2\pi \left[0-\left(-\frac{1}{2}\right)\right] \notag \\
&= \pi
\end{align}
$$

よって

$$
\int_{-\infty}^{\infty} \exp\left(-x^2\right) dx = \int_{-\infty}^{\infty} \exp\left(-y^2\right) dy = \sqrt{\pi}
$$

## 合成関数の微分

$$
\frac{d}{dx}f\left(g\left(x\right)\right) = f^{\prime}\left(g\left(x\right)\right)\times g^{\prime}\left(x\right)
$$

## 指数関数を含む積の部分積分

$a\neq 0$

$$
\int_{x_1}^{x_2} g\left(x\right) \exp\left(ax\right) dx = \left[g\left(x\right) \frac{1}{a}\exp\left(ax\right)\right]_{x_1}^{x_2} - \int_{x_1}^{x_2} g^{\prime}\left(x\right) \frac{1}{a}\exp\left(ax\right) dx
$$

## ガンマ関数

$$
\int_{0}^{\infty} x^{a-1} \exp\left(-x\right) dx = \Gamma\left(a\right)
$$

部分積分を行うと
$$
\Gamma\left(a\right) = a\Gamma\left(a-1\right)
$$
という関係が導かれる。

## ベータ関数

$$
\int_{0}^{1} t^{a-1}\left(1-t\right)^{b-1} dt = B\left(a, b\right)
$$

$$
B\left(a, b\right) = \frac{\Gamma\left(a\right) \Gamma\left(b\right)}{\Gamma\left(a+b\right)}
$$

## スターリングの近似

$$
n!\approx \left(\frac{n}{e}\right)^n
$$

$\log x$の区間$\left[1, n\right]$の定積分が、$\sum_{x=1}^n \log x$より小さく、$\sum_{x=1}^{n-1} \log x$より大きいことを利用して導かれる。

確率論ではより精度の高い

$$
n!\approx \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n
$$

を用いることがある。