# 従属と独立
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## 二つの事象の関係

復習

* 標本空間$\mathscr{X}$は全ての事象を含む集合 $\Leftrightarrow$ 事象$A$は標本空間$\mathscr{X}$の部分集合 $A\in\mathscr{X}$
* 二つの事象$A, B$が互いに素ならば、$P\left(A\cup B\right) = P\left(A\right) + P\left(B\right)$
* 二つの事象$A, B$が互いに素でなければ、$P\left(A\cup B\right) = P\left(A\right) + P\left(B\right) + P\left(A\cap B\right)$
* 二つの事象$A, B$が互いに素でなければ、$P\left(A|B\right)=P\left(A\cap B\right)/P\left(B\right)$
* 二つの事象$A, B$が互いに素ならば、$P\left(A|B\right)=P\left(A\cap B\right)/P\left(B\right)=0$

## 従属性

二つの事象$A, B$の間に、
$$
P\left(A\cap B\right) = P\left(A\right)P\left(B\right)
$$
が成り立たない、すなわち
$$
P\left(A\cap B\right) \neq P\left(A\right)P\left(B\right)
$$
が成り立つとき、$A$と$B$は互いに従属しているという。
$$
P\left(A\cap B\right) = P\left(A|B\right)P\left(B\right) = P\left(B|A\right)P\left(A\right)
$$
という定義から、
$$
P\left(A|B\right) \neq P\left(A\right)
$$
や
$$
P\left(B|A\right) \neq P\left(B\right)
$$
が成り立つとき、$A$と$B$は互いに従属している。

## 独立性

二つの事象$A, B$の間に
$$
P\left(A\cap B\right) = P\left(A\right)P\left(B\right)
$$
が成り立つとき、$A$と$B$は互いに従属ではない。このとき$A$と$B$は互いに独立である、という。
$$
P\left(A\cap B\right) = P\left(A|B\right)P\left(B\right) = P\left(B|A\right)P\left(A\right)
$$
という定義から、
$$
P\left(A|B\right) = P\left(A\right)
$$
や
$$
P\left(B|A\right) = P\left(B\right)
$$
が成り立つとき、$A$と$B$は互いに従属している。

## 互いに素な二つの事象は互いに従属している

二つの事象$A, B$が互いに素
$$
A\cap B=\emptyset
$$
な場合、
$$
P\left(A\cap B\right)=P\left(\emptyset\right)=0
$$
であるから、
$$
P\left(A\cap B\right)\neq P\left(A\right)P\left(B\right)
$$
なので、$A$と$B$は互いに従属している。

## 従属と独立

午前と午後の天気の組み合わせを考える。括弧の中の一つ目の要素は午前の天気、二つ目の要素は午後の天気を表すものとし、曇りなど、雨が降らないという状況を、晴の一字で表すと、標本空間は
$$
\mathscr{X} = \left\{\left(\mbox{晴}, \mbox{晴}\right), \left(\mbox{晴}, \mbox{雨}\right), \left(\mbox{雨}, \mbox{晴}\right), \left(\mbox{雨}, \mbox{雨}\right)\right\}
$$
となる。

標本空間の４つの単位事象それぞれの確率が、次の表のように与えられているとする。

表1　確率表
|午前＼午後|晴|雨|
|---|---|---|
|晴|0.4|0.2|
|雨|0.3|0.1|

この表から、午前の天気の確率と、午後の天気の確率を求める。
$$
\begin{align}
\mathrm{Pr}\left[\mbox{午前の天気が晴}\right] &= P\left(\left\{\left(晴, 晴\right)\right\}\right) + P\left(\left\{\left(晴, 雨\right)\right\}\right) = 0.4 + 0.2 = 0.6 \\
\mathrm{Pr}\left[\mbox{午前の天気が雨}\right] &= P\left(\left\{\left(雨, 晴\right)\right\}\right) + P\left(\left\{\left(雨, 雨\right)\right\}\right) = 0.3 + 0.1 = 0.4 \\
\mathrm{Pr}\left[\mbox{午後の天気が晴}\right] &= P\left(\left\{\left(晴, 晴\right)\right\}\right) + P\left(\left\{\left(雨, 晴\right)\right\}\right) = 0.4 + 0.3 = 0.7 \\
\mathrm{Pr}\left[\mbox{午後の天気が雨}\right] &= P\left(\left\{\left(晴, 雨\right)\right\}\right) + P\left(\left\{\left(雨, 雨\right)\right\}\right) = 0.2 + 0.1 = 0.3 \\
\end{align}
$$

これらを表に加える。

表2　確率表
|午前＼午後|晴|雨|午前の周辺確率|
|---|---|---|---|
|晴|0.4|0.2|0.6|
|雨|0.3|0.1|0.4|
|午後の周辺確率|0.7|0.3| |

午前の天気が晴の確率は0.6、午後の天気が晴の確率は0.7なので、午後に向けて少し天気がよくなる傾向にあることが読み取れる。

このとき、
\begin{align}
\mathrm{Pr}\left[午前の天気が晴で午後の天気も晴\right] & = 0.4 \notag \\
\mathrm{Pr}\left[午前の天気が晴\right] \times \mathrm{Pr}\left[午後の天気が晴\right] &= 0.6 \times 0.7 = 0.42
\end{align}
$$

より

$$
\mathrm{Pr}\left[午前の天気が晴で午後の天気も晴\right] \neq \mathrm{Pr}\left[午前の天気が晴\right] \times \mathrm{Pr}\left[午後の天気が晴\right]
$$
が成り立つので、午前と午後の天気は互いに従属である。

逆に、次の予報が与えられているとする。

表3　天気予報
|事象|確率|
|---|---|
|午前の天気が雨|0.4|
|午後の天気が雨|0.3|

もし午前と午後の天気が互いに独立ならば、
$$
\mathrm{Pr}\left[午前と午後の天気が共に晴\right] = \left(1-0.4\right)\left(1-0.3\right) = 0.42
$$
となる。しかし、地球上の気象現象が時間と共に変化することを考えると、隣接する時間帯が互いに独立な筈がない。天気予報は、表2に記した周辺確率のみを教えてくれていて、そこから表1の確率を復元できない。

なお、傘を持たずに出掛けて良いかを考える際に
$$
0.6 \times 0.7 = 0.42, \min\left\{0.6, 0.7\right\} = 0.6, \left(0.6+0.7\right)/2 = 0.65
$$
などの数字を参考にするのは、すべて誤りである。表1に記されている4つのか確率のうちの、少なくとも一つが併せて提供されていないと、雨が降らない確率は求まらない。それは乗法法則
$$
\mathrm{Pr}\left[午前と午後の天気が共に晴\right] = \mathrm{Pr}\left[午後が晴|午前が晴)\right]\times \mathrm{Pr}\left[午前が晴\right]
$$
からも分かることである。この条件付き確率を求めるために、
$$
\mathrm{Pr}\left[午後が晴|午前が晴)\right] = \frac{\mathrm{Pr}\left[午前と午後の天気が共に晴\right]}{\mathrm{Pr}\left[午前が晴\right]}
$$
より同時確率が必ず必要になる。

もし確率が表4で与えられていたなら、、午前と午後の天気は互いに独立となる。

表2　確率表
|午前＼午後|晴|雨|午前の周辺確率|
|---|---|---|---|
|晴|0.42|0.18|0.6|
|雨|0.28|0.12|0.4|
|午後の周辺確率|0.7|0.3| |