正規分布

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確率密度関数

$$f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}\exp \{-\frac{{(x-\mu )}^2}{2{\sigma }^2}\}=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }\exp \{-\frac{1}{2}{\left(\frac{x-\mu }{\sigma }\right)}^2\}$$

平均

最も短い計算は、次の通り。

$$\begin{array}{rl}E[X-\mu ]& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(x-\mu )\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}\exp \{-\frac{{(x-\mu )}^2}{2{\sigma }^2}\}dx\\ & =0\end{array}$$
これは、

$y=x-\mu$が

$\mu$に関して奇関数、

$y=\exp \{-\frac{{(x-\mu )}^2}{2{\sigma }^2}\}$が

$\mu$に関して偶関数であることから、明らか。よって

$$E[X-\mu ]=E\left[X\right]-\mu =0$$
が示され、

$$E\left[X\right]=\mu$$
を得る。

少し長いが、やはり短い計算は次の通り。

$$\begin{array}{rl}E\left[X\right]& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}\exp \{-\frac{{(x-\mu )}^2}{2{\sigma }^2}\}dx\\ & ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(y+\mu )\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}\exp \{-\frac{y^2}{2{\sigma }^2}\}dx\\ & ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}y\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}\exp \{-\frac{y^2}{2{\sigma }^2}\}dx+\mu {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}\exp \{-\frac{y^2}{2{\sigma }^2}\}dx\\ & =0+\mu \times 1\\ & =\mu \end{array}$$

ここでも奇関数と偶関数の積の定積分が

$0$となることと、全確率が

$1$であることを用いている。

分散

$$\begin{array}{rl}E\left[{(X-\mu )}^2\right]& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{(x-\mu )}^2\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}\exp \{-\frac{{(x-\mu )}^2}{2{\sigma }^2}\}dx\\ & ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{y}^2\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}\exp \{-\frac{y^2}{2{\sigma }^2}\}dy\\ & ={\sigma }^2{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}\exp \{-\frac{y^2}{2{\sigma }^2}\}dy\\ & ={\sigma }^2\end{array}$$
ここで

$y=x-\mu$という変数変換と

$$\begin{array}{rl}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{y}^2\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}\exp \{-\frac{y^2}{2{\sigma }^2}\}dy& =\frac{{\sigma }^2}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}y{\{\exp \{-\frac{y^2}{2{\sigma }^2}\}\}}^{\prime }dy\\ & =\frac{{\sigma }^2}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}{[-y\exp \{-\frac{y^2}{2{\sigma }^2}\}]}_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}-\frac{{\sigma }^2}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\{-\exp \{-\frac{y^2}{2{\sigma }^2}\}\}dy\\ & =[0-0]+{\sigma }^2\times 1\end{array}$$
という部分積分を用いた。

モーメント母関数

基本的には、指数の肩で平方完成を行うだけの計算で導ける。

$$\begin{array}{rl}M\left(t\right)& =E\left[e^{tX}\right]\\ & ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{tx}\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}\exp \{-\frac{{(x-\mu )}^2}{2{\sigma }^2}\}dx\\ & ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}\exp \{-\frac{{(x-\mu )}^2}{2{\sigma }^2}+tx\}dx\\ & ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}\exp \{-\frac{{(x-\mu )}^2-2{\sigma }^{2}tx}{2{\sigma }^2}\}dx\\ & ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}\exp \{-\frac{{(x-\mu +{\sigma }^{2}t)}^2}{2{\sigma }^2}+\frac{2\mu {\sigma }^{2}t+{\sigma }^4{t}^2}{2{\sigma }^2}\}dx\\ & =\exp (\mu t+\frac{{\sigma }^2{t}^2}{2}){\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}\exp \{-\frac{{(x-\mu +{\sigma }^{2}t)}^2}{2{\sigma }^2}\}dx\\ & =\exp (\mu t+\frac{{\sigma }^2{t}^2}{2})\times 1\\ & =\exp (\mu t+\frac{{\sigma }^2{t}^2}{2})\end{array}$$