# 正規分布
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## 確率密度関数

$$
f\left(x\right) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left\{-\frac{\left(x-\mu\right)^2}{2\sigma^2}\right\} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left\{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2\right\}
$$

## 平均

最も短い計算は、次の通り。
$$
\begin{align}
E\left[X-\mu\right]
&= \int_{-\infty}^\infty \left(x-\mu\right) \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left\{-\frac{\left(x-\mu\right)^2}{2\sigma^2}\right\} dx \notag \\
&= 0
\end{align}
$$
これは、$y=x-\mu$が$\mu$に関して奇関数、$y=\exp\left\{-\frac{\left(x-\mu\right)^2}{2\sigma^2}\right\}$が$\mu$に関して偶関数であることから、明らか。よって
$$
E\left[X-\mu\right] = E\left[X\right]-\mu = 0
$$
が示され、
$$
E\left[X\right]=\mu
$$
を得る。

少し長いが、やはり短い計算は次の通り。

$$
\begin{align}
E\left[X\right]
&= \int_{-\infty}^\infty x \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left\{-\frac{\left(x-\mu\right)^2}{2\sigma^2}\right\} dx \notag \\
&= \int_{-\infty}^\infty \left(y + \mu\right) \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left\{-\frac{y^2}{2\sigma^2}\right\} dx \notag \\
&= \int_{-\infty}^\infty y\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left\{-\frac{y^2}{2\sigma^2}\right\} dx + \mu \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left\{-\frac{y^2}{2\sigma^2}\right\} dx \notag \\
&= 0 + \mu \times 1 \notag \\
&= \mu
\end{align}
$$

ここでも奇関数と偶関数の積の定積分が$0$となることと、全確率が$1$であることを用いている。

## 分散

$$
\begin{align}
E\left[\left(X-\mu\right)^2\right]
&= \int_{-\infty}^\infty \left(x-\mu\right)^2 \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left\{-\frac{\left(x-\mu\right)^2}{2\sigma^2}\right\} dx \notag \\
&= \int_{-\infty}^\infty y^2 \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left\{-\frac{y^2}{2\sigma^2}\right\} dy \notag \\
&= \sigma^2 \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left\{-\frac{y^2}{2\sigma^2}\right\} dy \notag \\
&= \sigma^2
\end{align}
$$
ここで$y=x-\mu$という変数変換と
$$
\begin{align}
\int_{-\infty}^\infty y^2 \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left\{-\frac{y^2}{2\sigma^2}\right\} dy
&= \frac{\sigma^2}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \int_{-\infty}^\infty y\left\{\exp\left\{-\frac{y^2}{2\sigma^2}\right\}\right\}^{\prime} dy \notag \\
&=\frac{\sigma^2}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \left[-y \exp\left\{-\frac{y^2}{2\sigma^2}\right\}\right]_{-\infty}^{\infty} - \frac{\sigma^2}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \int_{-\infty}^{\infty} \left\{- \exp\left\{-\frac{y^2}{2\sigma^2}\right\} \right\}dy \notag \\
&= \left[0-0\right] + \sigma^2\times 1
\end{align}
$$
という部分積分を用いた。

## モーメント母関数

基本的には、指数の肩で平方完成を行うだけの計算で導ける。

$$
\begin{align}
M\left(t\right) &= E\left[e^{tX}\right] \notag \\
&= \int_{-\infty}^{\infty} e^{tx} \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left\{-\frac{\left(x-\mu\right)^2}{2\sigma^2}\right\} dx \notag \\
&= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left\{-\frac{\left(x-\mu\right)^2}{2\sigma^2}+tx\right\} dx \notag \\
&= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left\{-\frac{\left(x-\mu\right)^2-2\sigma^2tx}{2\sigma^2}\right\} dx \notag \\
&= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left\{-\frac{\left(x-\mu+\sigma^2 t\right)^2}{2\sigma^2}+\frac{2\mu\sigma^2 t+\sigma^4 t^2}{2\sigma^2}\right\} dx \notag \\
&= \exp\left(\mu t+\frac{\sigma^2 t^2}{2}\right) \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left\{-\frac{\left(x-\mu+\sigma^2 t\right)^2}{2\sigma^2}\right\} dx \notag \\
&= \exp\left(\mu t+\frac{\sigma^2 t^2}{2}\right) \times 1 \notag \\
&= \exp\left(\mu t+\frac{\sigma^2 t^2}{2}\right)
\end{align}
$$