対数正規分布

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紹介

対数変換すると正規分布になるのが、対数正規分布。

標本空間

$$\mathcal{X}=(0,\mathrm{\infty })$$

確率密度関数

$$f(x;\mu ,{\sigma }^2)=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}x}\exp \{-\frac{{(\log x-\mu )}^2}{2{\sigma }^2}\}$$

確率密度関数の導出

正規分布

$N(\mu ,{\sigma }^2)$に従う確率変数

$Y$を指数変換する。

$$X=\exp \left(Y\right)$$
この変換のヤコビアンは

$$\left|\frac{dy}{dx}\right|=|\frac{d}{dx}\log x|=\left|\frac{1}{x}\right|$$
である。

これより

$X$の従う確率分布の密度関数は

$$f_x\left(x\right)=f_y(\log x)\frac{1}{x}=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}x}\exp \{-\frac{{(\log x-\mu )}^2}{2{\sigma }^2}\}$$
と導かれる。

平均

$$E\left[X\right]=E\left[e^Y\right]=M_Y\left(1\right)=e^{\mu +{\sigma }^2/2}$$

分散

２次の原点モーメントが

$$E\left[X^2\right]=E\left[e^{2Y}\right]=M_Y\left(2\right)=e^{2\mu +2{\sigma }^2}$$
となるので、分散は

$$V\left[X\right]=E\left[X^2\right]-{\left(E\left[X\right]\right)}^2=e^{2\mu +2{\sigma }^2}-e^{2\mu +{\sigma }^2}=e^{2\mu +{\sigma }^2}(e^{{\sigma }^2}-1)$$
となる。

$k$次の原点モーメント

対数正規分布に従う確率変数

$X$の

$k$乗の期待値は、

$Y=\log X$が従う正規分布のモーメント母関数

$M_Y\left(t\right)$に

$t=k$を代入した値に等しい。

$$E\left[X^k\right]=E\left[e^{kY}\right]=M_Y\left(k\right)=e^{k\mu +k{\sigma }^2/2}$$