# 対数正規分布
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## 紹介

対数変換すると正規分布になるのが、対数正規分布。

## 標本空間

$$
\mathscr{X}=\left(0, \infty\right)
$$

## 確率密度関数

$$
f\left(x;\mu, \sigma^2\right) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}x}\exp\left\{-\frac{\left(\log x-\mu\right)^2}{2\sigma^2}\right\}
$$

## 確率密度関数の導出

正規分布$N\left(\mu, \sigma^2\right)$に従う確率変数$Y$を指数変換する。
$$
X = \exp\left(Y\right)
$$
この変換のヤコビアンは
$$
\left|\frac{dy}{dx}\right| = \left|\frac{d}{dx}\log x\right| = \left|\frac{1}{x}\right|
$$
である。

これより$X$の従う確率分布の密度関数は
$$
f_x\left(x\right) = f_y\left(\log x\right)\frac{1}{x} = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}x}\exp\left\{-\frac{\left(\log x-\mu\right)^2}{2\sigma^2}\right\}
$$
と導かれる。

## 平均

$$
E\left[X\right] = E\left[e^{Y}\right] = M_Y\left(1\right) = e^{\mu + \sigma^2/2}
$$

## 分散

２次の原点モーメントが

$$
E\left[X^2\right] = E\left[e^{2Y}\right] = M_Y\left(2\right) = e^{2\mu + 2\sigma^2}
$$
となるので、分散は
$$
V\left[X\right] = E\left[X^2\right]-\left(E\left[X\right]\right)^2 = e^{2\mu + 2\sigma^2} - e^{2\mu + \sigma^2} = e^{2\mu+\sigma^2}\left(e^{\sigma^2}-1\right)
$$
となる。

## $k$次の原点モーメント

対数正規分布に従う確率変数$X$の$k$乗の期待値は、$Y=\log X$が従う正規分布のモーメント母関数$M_Y\left(t\right)$に$t=k$を代入した値に等しい。

$$
E\left[X^k\right] = E\left[e^{kY}\right] = M_Y\left(k\right) = e^{k\mu + k\sigma^2/2}
$$