# ポアソン分布
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## 確率関数

$$
p\left(x\right) = \frac{\lambda^x}{x!}e^{-\lambda}
$$

## 全確率

$$
\sum_{x=0}^{\infty} \frac{\lambda^x}{x!} = e^{\lambda}
$$

という関係を思い出せば、

$$
\sum_{x=0}^{\infty} \frac{\lambda^x}{x!}e^{-\lambda} = e^{\lambda}e^{-\lambda} = 1
$$

を確認できる。

## 確率関数の値

任意の非負の整数$x$に対して
$$
\frac{\lambda^x}{x!}e^{-\lambda} > 0
$$
となることは、$\lambda^x>0$、$x!>0$、$e^{-\lambda}>0$より明らか。

## 確率関数の形状

差分を調べる。
$$
\begin{align}
p\left(x+1\right) - p\left(x\right)
&= \frac{\lambda^{x+1}}{\left(x+1\right)!} e^{-\lambda} - \frac{\lambda^x}{x!} e^{-\lambda} \notag \\
&= \frac{\lambda^x}{x!}e^{-\lambda}\left(\frac{\lambda}{x+1}-1\right)
\end{align}
$$
括弧の外の項は常に正であることは、上で確認した。括弧の中は
$$
\lambda-1 > x
$$
の範囲で正なので$p\left(x\right)$は単調増加、また
$$
\lambda-1 < x
$$
の範囲で負なので、$p\left(x\right)$は単調減少する。$\lambda$が整数の場合には、$\lambda-1$および$\lambda$が頂点となる。整数でなければ$\lambda-1$を切り上げた整数が頂点となる。

## 最頻値

$\lambda$が整数の場合には、$\lambda-1$および$\lambda$が最頻値となる。整数でなければ$\lambda-1$を切り上げた整数が最頻値となる。

## 平均

$$
\begin{align}
E\left[X\right]
&= \sum_{x=0}^{\infty} x \frac{\lambda^x}{x!}e^{-\lambda} \notag \\
&= \sum_{x=1}^{\infty} x \frac{\lambda^x}{x!}e^{-\lambda} \notag \\
&= \sum_{x=1}^{\infty} \frac{\lambda^x}{\left(x-1\right)!}e^{-\lambda} \notag \\
&= \sum_{y=0}^{\infty} \frac{\lambda^{y+1}}{y!}e^{-\lambda} \notag \\
&= \lambda \sum_{y=0}^{\infty} \frac{\lambda^{y}}{y!}e^{-\lambda} \notag \\
&= \lambda
\end{align}
$$

## 分散

$$
\begin{align}
E\left[X\left(X-1\right)\right]
&= \sum_{x=0}^{\infty} x\left(x-1\right)\frac{\lambda^x}{x!}e^{-\lambda} \notag \\
&= \sum_{x=2}^{\infty} x\left(x-1\right) \frac{\lambda^x}{x!}e^{-\lambda} \notag \\
&= \sum_{x=2}^{\infty} \frac{\lambda^x}{\left(x-2\right)!}e^{-\lambda} \notag \\
&= \sum_{y=0}^{\infty} \frac{\lambda^{y+2}}{y!}e^{-\lambda} \notag \\
&= \lambda^2 \sum_{y=0}^{\infty} \frac{\lambda^{y}}{y!}e^{-\lambda} \notag \\
&= \lambda^2
\end{align}
$$

$$
V\left[X\right] = E\left[X\left(X-1\right)\right]+E\left[X\right]-\left\{E\left[X\right]\right\}^2 = \lambda^2 + \lambda - \lambda^2 = \lambda
$$

## モーメント母関数

$$
\begin{align}
M\left(t\right)
&= E\left[e^{tX}\right] \notag \\
&= \sum_{x=0}^{\infty} e^{tx} \frac{\lambda^x}{x!}e^{-\lambda} \notag \\
&= \sum_{x=0}^{\infty} \frac{\left(e^t \lambda\right)^x}{x!}e^{-\lambda} \notag \\
&= e^{\lambda e^t} e^{-\lambda} \notag \\
&= e^{\lambda \left(e^t -1\right)}
\end{align}
$$