ポアソン分布

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確率関数

$$p\left(x\right)=\frac{{\lambda }^x}{x!}{e}^{-\lambda }$$

全確率

$$\sum _{x=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\lambda }^x}{x!}=e^{\lambda }$$

という関係を思い出せば、

$$\sum _{x=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\lambda }^x}{x!}{e}^{-\lambda }=e^{\lambda }{e}^{-\lambda }=1$$

を確認できる。

確率関数の値

任意の非負の整数

$x$に対して

$$\frac{{\lambda }^x}{x!}{e}^{-\lambda }>0$$
となることは、

${\lambda }^x>0$、

$x!>0$、

$e^{-\lambda }>0$より明らか。

確率関数の形状

差分を調べる。

$$\begin{array}{rl}p(x+1)-p\left(x\right)& =\frac{{\lambda }^{x+1}}{(x+1)!}{e}^{-\lambda }-\frac{{\lambda }^x}{x!}{e}^{-\lambda }\\ & =\frac{{\lambda }^x}{x!}{e}^{-\lambda }(\frac{\lambda }{x+1}-1)\end{array}$$
括弧の外の項は常に正であることは、上で確認した。括弧の中は

$$\lambda -1>x$$
の範囲で正なので

$p\left(x\right)$は単調増加、また

$$\lambda -1<x$$
の範囲で負なので、

$p\left(x\right)$は単調減少する。

$\lambda$が整数の場合には、

$\lambda -1$および

$\lambda$が頂点となる。整数でなければ

$\lambda -1$を切り上げた整数が頂点となる。

最頻値

$\lambda$が整数の場合には、

$\lambda -1$および

$\lambda$が最頻値となる。整数でなければ

$\lambda -1$を切り上げた整数が最頻値となる。

平均

$$\begin{array}{rl}E\left[X\right]& =\sum _{x=0}^{\mathrm{\infty }}x\frac{{\lambda }^x}{x!}{e}^{-\lambda }\\ & =\sum _{x=1}^{\mathrm{\infty }}x\frac{{\lambda }^x}{x!}{e}^{-\lambda }\\ & =\sum _{x=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\lambda }^x}{(x-1)!}{e}^{-\lambda }\\ & =\sum _{y=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\lambda }^{y+1}}{y!}{e}^{-\lambda }\\ & =\lambda \sum _{y=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\lambda }^y}{y!}{e}^{-\lambda }\\ & =\lambda \end{array}$$

分散

$$\begin{array}{rl}E\left[X(X-1)\right]& =\sum _{x=0}^{\mathrm{\infty }}x(x-1)\frac{{\lambda }^x}{x!}{e}^{-\lambda }\\ & =\sum _{x=2}^{\mathrm{\infty }}x(x-1)\frac{{\lambda }^x}{x!}{e}^{-\lambda }\\ & =\sum _{x=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\lambda }^x}{(x-2)!}{e}^{-\lambda }\\ & =\sum _{y=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\lambda }^{y+2}}{y!}{e}^{-\lambda }\\ & ={\lambda }^2\sum _{y=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\lambda }^y}{y!}{e}^{-\lambda }\\ & ={\lambda }^2\end{array}$$

$$V\left[X\right]=E\left[X(X-1)\right]+E\left[X\right]-{\left\{E\left[X\right]\right\}}^2={\lambda }^2+\lambda -{\lambda }^2=\lambda$$

モーメント母関数

$$\begin{array}{rl}M\left(t\right)& =E\left[e^{tX}\right]\\ & =\sum _{x=0}^{\mathrm{\infty }}{e}^{tx}\frac{{\lambda }^x}{x!}{e}^{-\lambda }\\ & =\sum _{x=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\left(e^t\lambda \right)}^x}{x!}{e}^{-\lambda }\\ & =e^{\lambda e^t}{e}^{-\lambda }\\ & =e^{\lambda (e^t-1)}\end{array}$$