# 指数分布
###### tags: `probability-theory`
## 指数分布とは

指数分布は、幾何試行の極限として導かれる分布である。ある時点の直前までに事象が発生していないという条件の下で、その時点に事象が発生する条件付き確率が、それまで事象が発生していなかった期間の長さに依らず、一定である、という性質を有する。この性質から、偶発事故や偶発故障の発生間隔の確率分布に用いられる。

$$
\lim_{\delta\rightarrow 0} \frac{\mathrm{Pr}\left[X\in\left[t,t+\delta\right)|X\geq t\right]}{\delta} = \frac{f\left(t\right)}{1-F\left(t\right)}\equiv\mbox{一定}
$$

## 確率密度関数と累積分布関数

$$
\frac{d}{dt}F\left(t\right) \propto 1-F\left(t\right)
$$
という微分方程式と境界条件$F\left(0\right)=0$, $F\left(\infty\right)=1$とから、
$$
f\left(t\right) = \lambda\exp\left(-\lambda t\right)
$$
が得られる。累積分布関数は、初等的な定積分
$$
F\left(t\right) = \int_{0}^{t} \lambda \exp\left(-\lambda u\right) du = \left[-\exp\left(-\lambda u\right)\right]_{0}^{t} = 1-\exp\left(-\lambda t\right)
$$
で得られる。

## 平均

部分積分を用いる。

$$
\begin{align}
\int_{0}^{\infty} x \lambda \exp\left(-\lambda x\right) dx
&= \left[x \left\{-\exp\left(-\lambda x\right)\right\}\right]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} \left\{-\exp\left(-\lambda x\right)\right\}dx \notag \\
&= \left[0-0\right] - \left[\frac{1}{\lambda}\exp\left(-\lambda x\right) \right]_{0}^{\infty} \\
&= - \left[0-\frac{1}{\lambda}\right] \notag \\
&= \frac{1}{\lambda} \notag
\end{align}
$$

ただし、一つ目の定積分で、任意の$a>0$に対して
$$
\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x}{\exp\left(ax\right)}=0
$$
あるいは
$$
\frac{x}{\exp\left(ax\right)}=O\left(\frac{1}{x}\right), \,\,\, \left({x\rightarrow\infty}\right)
$$
が既習得であることを想定した。

## 分散

指数分布の分散は、定義通りの
$$
V\left[X\right] = E\left[\left(X-E\left[X\right]\right)^2\right] = \int_{0}^{\infty} \left(x-\frac{1}{\lambda}\right)^2\lambda \exp\left(-\lambda x\right)dx
$$
の計算と、分散を二つの中心モーメントから求める
$$
E\left[\left(X-E\left[X\right]\right)^2\right] = E\left[X^2\right]-\left\{E\left[X\right]\right\}^2 = \int_{0}^{\infty} x^2\lambda \exp\left(-\lambda x\right)dx - \frac{1}{\lambda^2}
$$
の計算のいずれを用いてもよい。しかし平均の次に分散を求めるなら、後者の方が誤りにくい。

2次の中心モーメント$E\left[X^2\right]$の計算には、再び部分積分を用いる。
$$
\begin{align}
\int_{0}^{\infty} x^2\lambda \exp\left(-\lambda x\right)dx &= \left[x^2 \left\{-\exp\left(-\lambda x\right)\right\}\right]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} 2x \left\{-\exp\left(-\lambda x\right)\right\}dx \notag \\
&= \left[0-0\right] + \frac{2}{\lambda}\int_{0}^{\infty} x \lambda \exp\left(-\lambda x\right)dx
\end{align}
$$
ここまでで計算は終わりになる。２行目の計算していない定積分をよく見ると、指数分布の期待値の計算をする定積分に等しい。よって
$$
\begin{align}
\int_{0}^{\infty} x^2\lambda \exp\left(-\lambda x\right)dx &= \frac{2}{\lambda^2}
\end{align}
$$
を得る。以上より、指数分布の分散は
$$
V\left[X\right] = E\left[\left(X-E\left[X\right]\right)^2\right] = E\left[X^2\right]-\left\{E\left[X\right]\right\}^2 = \frac{2}{\lambda^2} - \frac{1}{\lambda^2} = \frac{1}{\lambda^2}
$$
と導かれる。

同じ分散を定義通りの定積分で求めてみる。ここでも部分積分を用いるが、式の処理が少し複雑になる。

$$
\begin{align}
\int_{0}^{\infty} \left(x-\frac{1}{\lambda}\right)^2\lambda \exp\left(-\lambda x\right)dx
&= \left[\left(x-\frac{1}{\lambda}\right)^2 \left\{-\exp\left(-\lambda x\right)\right\}\right]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} 2\left(x-\frac{1}{\lambda}\right)\left\{-\exp\left(-\lambda x\right)\right\} dx \notag \\
&= \left[-0+\frac{1}{\lambda^2}\right] + \frac{2}{\lambda}\int_{0}^{\infty} x \lambda \exp\left(-\lambda x\right) dx - \frac{2}{\lambda^2}\int_{0}^{\infty}\lambda\exp\left(-\lambda x\right)dx \\
&=\frac{1}{\lambda^2} + \frac{2}{\lambda}\times \frac{1}{\lambda} - \frac{2}{\lambda^2}\times 1 \notag \\
&= \frac{1}{\lambda^2}
\end{align}
$$

$\int_{0}^{\infty} x\lambda\exp\left(-\lambda x\right)dx=E\left[X\right]=1/\lambda$ と、$\int_{0}^{\infty} \lambda \exp\left(-\lambda x\right) dx=\lim_{x\rightarrow\infty} \left(1-\exp\left(-\lambda x\right)\right)=1$ を既に計算済みであるため、ここでも用いた。

もちろん
$$
\begin{align}
\int_{0}^{\infty} \left(x-\frac{1}{\lambda}\right)^2\lambda \exp\left(-\lambda x\right)dx
&= \int_{0}^{\infty} \left(x^2-\frac{2x}{\lambda}+\frac{1}{\lambda^2}\right)\lambda \exp\left(-\lambda x\right)dx \notag \\
&= \int_{0}^{\infty} x^2\lambda \exp\left(-\lambda x\right)dx - \int_{0}^{\infty} \frac{2x}{\lambda} \lambda \exp\left(-\lambda x\right)dx \notag \\
& \,\,\,\,\,\,\,\, + \int_{0}^{\infty} \frac{1}{\lambda^2}\lambda \exp\left(-\lambda x\right)dx
\end{align}
$$
のように被積分関数の中の２乗を開いてから、個別に積分をしてもいい。しかし各定積分の計算は、$E\left[X^2\right]$や$E\left[X\right]$の計算を含んでいて、それらを別途計算するなら、一つ目の計算の方が単純で誤り難い。

## モーメント母関数

$$
\begin{align}
M\left(t\right)
&= E\left[\exp\left(tX\right)\right] = \int_{0}^{\infty} \exp\left(tx\right) \lambda \exp\left(-\lambda x\right) dx \notag \\
&= \int_{0}^{\infty} \lambda \exp\left(-\left(\lambda-t\right) x\right) dx \notag \\
&= \frac{\lambda}{\lambda-t} \int_{0}^{\infty} \left(\lambda-t\right) \exp\left(-\left(\lambda-t\right) x\right) dx \notag \\
&= \frac{\lambda}{\lambda-t} \times 1 \notag \\
&= \frac{\lambda}{\lambda-t}
\end{align}
$$

ただし$\lambda-t>0$。三段目では、全確率が$1$であることを用いた。

率直に計算しても
$$
\begin{align}
\int_{0}^{\infty} \exp\left(tx\right) \lambda \exp\left(-\lambda x\right) dx
&= \int_{0}^{\infty} \lambda \exp\left(-\left(\lambda-t\right) x\right) dx \notag \\
&= \lambda\left[\frac{-1}{\lambda-t}\exp\left(-\left(\lambda-t\right) x\right)\right]_{0}^{\infty} \notag \\
&= \lambda \left[0-\frac{-1}{\lambda-t}\right] \notag \\
&= \frac{\lambda}{\lambda-t}
\end{align}
$$
となる。

## 条件付き寿命

$$
\begin{align}
E\left[X|X>t\right]
&= \frac{\int_{t}^\infty x\lambda \exp\left(-\lambda x\right) dx}{\int_{t}^\infty \lambda \exp\left(-\lambda x\right) dx} \notag \\
&= \frac{\left[x\left\{-\exp\left(-\lambda x\right)\right\}\right]_{t}^{\infty} - \int_{t}^{\infty} \left\{-\exp\left(-\lambda x\right)\right\} dx }{\exp\left(-\lambda t\right)} \\
&= \frac{t \exp\left(-\lambda t\right)-\frac{1}{\lambda} \int_{t}^{\infty} \left\{-\lambda \exp\left(-\lambda x\right)\right\} dx}{\exp\left(-\lambda t\right)} \notag \\
&= \frac{t\exp\left(-\lambda t\right)+\frac{1}{\lambda}\exp\left(-\lambda t\right)}{\exp\left(-\lambda t\right)} \notag \\
&= t+\frac{1}{\lambda}
\end{align}
$$

## 条件付き余命

$$
\begin{align}
E\left[X-t|X>t\right]
&= \frac{\int_{t}^\infty x\lambda \exp\left(-\lambda x\right) dx}{\int_{t}^\infty \lambda \exp\left(-\lambda x\right) dx} -t \notag \\
&= \frac{\left[x\left\{-\exp\left(-\lambda x\right)\right\}\right]_{t}^{\infty} - \int_{t}^{\infty} \left\{-\exp\left(-\lambda x\right)\right\} dx }{\exp\left(-\lambda t\right)} -t \\
&= \frac{t \exp\left(-\lambda t\right)-\frac{1}{\lambda} \int_{t}^{\infty} \left\{-\lambda \exp\left(-\lambda x\right)\right\} dx}{\exp\left(-\lambda t\right)} -t \notag \\
&= \frac{t\exp\left(-\lambda t\right)+\frac{1}{\lambda}\exp\left(-\lambda t\right)}{\exp\left(-\lambda t\right)} -t \notag \\
&= t+\frac{1}{\lambda} -t \\
&= \frac{1}{\lambda}
\end{align}
$$

## 故障率関数

$$
h\left(x\right) = \frac{f\left(x\right)}{1-F\left(x\right)} = \frac{\lambda \exp\left(-\lambda x\right)}{\exp\left(-\lambda x\right)} = \lambda
$$