指数分布

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指数分布とは

指数分布は、幾何試行の極限として導かれる分布である。ある時点の直前までに事象が発生していないという条件の下で、その時点に事象が発生する条件付き確率が、それまで事象が発生していなかった期間の長さに依らず、一定である、という性質を有する。この性質から、偶発事故や偶発故障の発生間隔の確率分布に用いられる。

$$\underset{\delta \to 0}{lim}\frac{\mathrm{Pr}[X\in [t,t+\delta )|X\ge t]}{\delta }=\frac{f\left(t\right)}{1-F\left(t\right)}\equiv \text{一定}$$

確率密度関数と累積分布関数

$$\frac{d}{dt}F\left(t\right)\propto 1-F\left(t\right)$$
という微分方程式と境界条件

$F\left(0\right)=0$,

$F\left(\mathrm{\infty }\right)=1$とから、

$$f\left(t\right)=\lambda \exp (-\lambda t)$$
が得られる。累積分布関数は、初等的な定積分

$$F\left(t\right)={\int }_0^t\lambda \exp (-\lambda u)du={[-\exp (-\lambda u)]}_0^t=1-\exp (-\lambda t)$$
で得られる。

平均

部分積分を用いる。

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}x\lambda \exp (-\lambda x)dx& ={\left[x\{-\exp (-\lambda x)\}\right]}_0^{\mathrm{\infty }}-{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\{-\exp (-\lambda x)\}dx\\ & =[0-0]-{[\frac{1}{\lambda }\exp (-\lambda x)]}_0^{\mathrm{\infty }}\\ & =-[0-\frac{1}{\lambda }]\\ & =\frac{1}{\lambda }\end{array}$$

ただし、一つ目の定積分で、任意の

$a>0$に対して

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x}{\exp \left(ax\right)}=0$$
あるいは

$$\frac{x}{\exp \left(ax\right)}=O\left(\frac{1}{x}\right),\left(x\to \mathrm{\infty }\right)$$
が既習得であることを想定した。

分散

指数分布の分散は、定義通りの

$$V\left[X\right]=E\left[{(X-E\left[X\right])}^2\right]={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{(x-\frac{1}{\lambda })}^2\lambda \exp (-\lambda x)dx$$
の計算と、分散を二つの中心モーメントから求める

$$E\left[{(X-E\left[X\right])}^2\right]=E\left[X^2\right]-{\left\{E\left[X\right]\right\}}^2={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^2\lambda \exp (-\lambda x)dx-\frac{1}{{\lambda }^2}$$
の計算のいずれを用いてもよい。しかし平均の次に分散を求めるなら、後者の方が誤りにくい。

2次の中心モーメント

$E\left[X^2\right]$の計算には、再び部分積分を用いる。

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^2\lambda \exp (-\lambda x)dx& ={\left[x^2\{-\exp (-\lambda x)\}\right]}_0^{\mathrm{\infty }}-{\int }_0^{\mathrm{\infty }}2x\{-\exp (-\lambda x)\}dx\\ & =[0-0]+\frac{2}{\lambda }{\int }_0^{\mathrm{\infty }}x\lambda \exp (-\lambda x)dx\end{array}$$
ここまでで計算は終わりになる。２行目の計算していない定積分をよく見ると、指数分布の期待値の計算をする定積分に等しい。よって

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^2\lambda \exp (-\lambda x)dx& =\frac{2}{{\lambda }^2}\end{array}$$
を得る。以上より、指数分布の分散は

$$V\left[X\right]=E\left[{(X-E\left[X\right])}^2\right]=E\left[X^2\right]-{\left\{E\left[X\right]\right\}}^2=\frac{2}{{\lambda }^2}-\frac{1}{{\lambda }^2}=\frac{1}{{\lambda }^2}$$
と導かれる。

同じ分散を定義通りの定積分で求めてみる。ここでも部分積分を用いるが、式の処理が少し複雑になる。

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{(x-\frac{1}{\lambda })}^2\lambda \exp (-\lambda x)dx& ={\left[{(x-\frac{1}{\lambda })}^2\{-\exp (-\lambda x)\}\right]}_0^{\mathrm{\infty }}-{\int }_0^{\mathrm{\infty }}2(x-\frac{1}{\lambda })\{-\exp (-\lambda x)\}dx\\ & =[-0+\frac{1}{{\lambda }^2}]+\frac{2}{\lambda }{\int }_0^{\mathrm{\infty }}x\lambda \exp (-\lambda x)dx-\frac{2}{{\lambda }^2}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\lambda \exp (-\lambda x)dx\\ & =\frac{1}{{\lambda }^2}+\frac{2}{\lambda }\times \frac{1}{\lambda }-\frac{2}{{\lambda }^2}\times 1\\ & =\frac{1}{{\lambda }^2}\end{array}$$

${\int }_0^{\mathrm{\infty }}x\lambda \exp (-\lambda x)dx=E\left[X\right]=1/\lambda$ と、

${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\lambda \exp (-\lambda x)dx=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(1-\exp (-\lambda x))=1$ を既に計算済みであるため、ここでも用いた。

もちろん

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{(x-\frac{1}{\lambda })}^2\lambda \exp (-\lambda x)dx& ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}(x^2-\frac{2x}{\lambda }+\frac{1}{{\lambda }^2})\lambda \exp (-\lambda x)dx\\ & ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^2\lambda \exp (-\lambda x)dx-{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{2x}{\lambda }\lambda \exp (-\lambda x)dx\\ & +{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{{\lambda }^2}\lambda \exp (-\lambda x)dx\end{array}$$
のように被積分関数の中の２乗を開いてから、個別に積分をしてもいい。しかし各定積分の計算は、

$E\left[X^2\right]$や

$E\left[X\right]$の計算を含んでいて、それらを別途計算するなら、一つ目の計算の方が単純で誤り難い。

モーメント母関数

$$\begin{array}{rl}M\left(t\right)& =E[\exp \left(tX\right)]={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\exp \left(tx\right)\lambda \exp (-\lambda x)dx\\ & ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\lambda \exp (-(\lambda -t)x)dx\\ & =\frac{\lambda }{\lambda -t}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}(\lambda -t)\exp (-(\lambda -t)x)dx\\ & =\frac{\lambda }{\lambda -t}\times 1\\ & =\frac{\lambda }{\lambda -t}\end{array}$$

ただし

$\lambda -t>0$。三段目では、全確率が

$1$であることを用いた。

率直に計算しても

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\exp \left(tx\right)\lambda \exp (-\lambda x)dx& ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\lambda \exp (-(\lambda -t)x)dx\\ & =\lambda {[\frac{-1}{\lambda -t}\exp (-(\lambda -t)x)]}_0^{\mathrm{\infty }}\\ & =\lambda [0-\frac{-1}{\lambda -t}]\\ & =\frac{\lambda }{\lambda -t}\end{array}$$
となる。

条件付き寿命

$$\begin{array}{rl}E[X|X>t]& =\frac{{\int }_t^{\mathrm{\infty }}x\lambda \exp (-\lambda x)dx}{{\int }_t^{\mathrm{\infty }}\lambda \exp (-\lambda x)dx}\\ & =\frac{{\left[x\{-\exp (-\lambda x)\}\right]}_t^{\mathrm{\infty }}-{\int }_t^{\mathrm{\infty }}\{-\exp (-\lambda x)\}dx}{\exp (-\lambda t)}\\ & =\frac{t\exp (-\lambda t)-\frac{1}{\lambda }{\int }_t^{\mathrm{\infty }}\{-\lambda \exp (-\lambda x)\}dx}{\exp (-\lambda t)}\\ & =\frac{t\exp (-\lambda t)+\frac{1}{\lambda }\exp (-\lambda t)}{\exp (-\lambda t)}\\ & =t+\frac{1}{\lambda }\end{array}$$

条件付き余命

$$\begin{array}{rl}E[X-t|X>t]& =\frac{{\int }_t^{\mathrm{\infty }}x\lambda \exp (-\lambda x)dx}{{\int }_t^{\mathrm{\infty }}\lambda \exp (-\lambda x)dx}-t\\ & =\frac{{\left[x\{-\exp (-\lambda x)\}\right]}_t^{\mathrm{\infty }}-{\int }_t^{\mathrm{\infty }}\{-\exp (-\lambda x)\}dx}{\exp (-\lambda t)}-t\\ & =\frac{t\exp (-\lambda t)-\frac{1}{\lambda }{\int }_t^{\mathrm{\infty }}\{-\lambda \exp (-\lambda x)\}dx}{\exp (-\lambda t)}-t\\ & =\frac{t\exp (-\lambda t)+\frac{1}{\lambda }\exp (-\lambda t)}{\exp (-\lambda t)}-t\\ & =t+\frac{1}{\lambda }-t\\ & =\frac{1}{\lambda }\end{array}$$

故障率関数

$$h\left(x\right)=\frac{f\left(x\right)}{1-F\left(x\right)}=\frac{\lambda \exp (-\lambda x)}{\exp (-\lambda x)}=\lambda$$