# ポアソン試行列
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## ポアソン分布の再生性

ポアソン分布のモーメント母関数は
$$
e^{\lambda\left(e^t-1\right)}
$$
であった。この関数は$\lambda$の値が異なっても、積はまた同じ関数形となる。
$$
e^{\lambda_1\left(e^t-1\right)}e^{\lambda_2\left(e^t-1\right)}=e^{\left(\lambda_1+\lambda_2\right)\left(e^t-1\right)}
$$
このことから互いに独立な$n$個の確率変数
$$
X_1 \sim Poisson\left(\lambda_1\right), \,\, X_2 \sim Poisson\left(\lambda_2\right), \,\, \ldots X_n \sim Poisson\left(\lambda_n\right)
$$
の和は再び、ポアソン分布に従う。
$$
X_1+X_2+\cdots+X_n \sim Poisson\left(\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n\right)
$$
これをポアソン分布の再生性という。

## ポアソン分布に従う確率変数の単位

ポアソン分布に観測範囲という考え方を加える。ある現象の単位時間あたりの発生回数を$X$と置く。$X$はポアソン分布$Poisson\left(\lambda\right)$に従う確率変数とする。

$$
X \sim Poisson\left(\lambda\right)
$$

このとき、2倍の時間で発生する回数は、それぞれの時間で発生する回数の分布が同一であれば、パラメータが$2\lambda$のポアソン分布$Poisson\left(2\lambda\right)$に従う。

同様に、単位時間あたりの発生回数が従う確率分布が$Poisson\left(\lambda\right)$のとき、時刻$(a, b\right]$の間に発生する回数は、単位時間あたりの期待発生頻度$\lambda$が時間に依存して変化しなければ、パラメータが$\left(b-a\right)\lambda$のポアソン分布に従う。

## ポアソン過程

ある現象が時間$\left(t_0, t_1\right]$に発生する回数が次のようなポアソン分布

$$
N\left(t_0, t_1\right] \sim Poisson\left(\int_{t_0}^{t_1} \lambda\left(t\right)dt \right)
$$

に従うとき、それぞれの発生時刻の列 $X_1, X_2, \ldots$ を強度関数が$\lambda\left(t\right)$のポアソン過程に従うという。

ポアソン過程は時間軸上のみでなく空間上、また時空間上にも同様に定義できる。

## ポアソン過程の無限分解可能性

ポアソン過程は、時間間隔を幾ら小さく区切っても、ポアソン過程のままである。これを無限分解可能性という。