ポアソン試行列

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ポアソン分布の再生性

ポアソン分布のモーメント母関数は

$$e^{\lambda (e^t-1)}$$
であった。この関数は

$\lambda$の値が異なっても、積はまた同じ関数形となる。

$$e^{{\lambda }_1(e^t-1)}{e}^{{\lambda }_2(e^t-1)}=e^{({\lambda }_1+{\lambda }_2)(e^t-1)}$$
このことから互いに独立な

$n$個の確率変数

$$X_1\sim Poisson\left({\lambda }_1\right),X_2\sim Poisson\left({\lambda }_2\right),\dots X_n\sim Poisson\left({\lambda }_n\right)$$
の和は再び、ポアソン分布に従う。

$$X_1+X_2+\cdots +X_n\sim Poisson({\lambda }_1+{\lambda }_2+\cdots +{\lambda }_n)$$
これをポアソン分布の再生性という。

ポアソン分布に従う確率変数の単位

ポアソン分布に観測範囲という考え方を加える。ある現象の単位時間あたりの発生回数を

$X$と置く。

$X$はポアソン分布

$Poisson\left(\lambda \right)$に従う確率変数とする。

$$X\sim Poisson\left(\lambda \right)$$

このとき、2倍の時間で発生する回数は、それぞれの時間で発生する回数の分布が同一であれば、パラメータが

$2\lambda$のポアソン分布

$Poisson\left(2\lambda \right)$に従う。

同様に、単位時間あたりの発生回数が従う確率分布が

$Poisson\left(\lambda \right)$のとき、時刻

$\text{Missing left or extra right}$の間に発生する回数は、単位時間あたりの期待発生頻度

$\lambda$が時間に依存して変化しなければ、パラメータが

$(b-a)\lambda$のポアソン分布に従う。

ポアソン過程

ある現象が時間

$(t_0,t_1]$に発生する回数が次のようなポアソン分布

$$N(t_0,t_1]\sim Poisson\left({\int }_{t_0}^{t_1}\lambda \left(t\right)dt\right)$$

に従うとき、それぞれの発生時刻の列

$X_1,X_2,\dots$ を強度関数が

$\lambda \left(t\right)$のポアソン過程に従うという。

ポアソン過程は時間軸上のみでなく空間上、また時空間上にも同様に定義できる。

ポアソン過程の無限分解可能性

ポアソン過程は、時間間隔を幾ら小さく区切っても、ポアソン過程のままである。これを無限分解可能性という。