AulaBook 2024.1

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2024-03-18 (IG)

• Sub-coisas.
• Definição de subgrupo
• \(\Theta. (\forall m: \text{Int})[m\mathbb{Z} \leq \mathbb{Z}]\)

2024-03-19 (DM)

• \(\bigcap_{n=0}^{\infty} \bigcap_{m=n}^{\infty} A_m = \bigcap_{n=0}^{\infty} A_n\)

2024-03-20 (IG)

• Construções de grupos (Produto, simetrias, oposto, etc)

2024-03-22 (IL)

\[Z(G) \stackrel{\mathsf{def}}{=} \{z \in G \mid (\forall g \in G)[zg=gz]\}.\]

(♡) O centro do grupo \(G\) é o conjunto de todos os elementos de \(G\) que comutam com qualquer um de \(G\).

Demonstre \(Z(G) ⊴ G\), isto é, \(Z(G)\) é subgrupo normal do \(G\).

Aula gravada (Youtube)

2024-03-25 (IG)

Função imagem e algumas propriedades

• Se \(f: A \to B\) é injetora então \(f[\_]: \mathcal{P}A \to \mathcal{P}B\) é injetora

2024-03-26 (DM)

• Seja \(G\) grupo e \(\emptyset\) \(\neq\) \(H\) \(\subseteq\) \(G\). Demonstre que \(H\) \(\leq\) \(G\) \(\iff\) (\(\forall a, b \in H\))\((ab^{-1} \in H)\).

2024-03-27 (IG)

Fixpoints

Para qualquer \(f: A \to A\)
\[(\forall x \in A)[x \text{ é um fixpoint da } f \iff (\forall n \in \mathbb{N})[x \text{ é um fixpoint da } f^n]]\]

2024-04-02 (DM)

• Sejam A, B, C sets. Demonstre:
• \(A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C)\)

2024-04-12 (IL)

Sejam \(\mathcal{A}, \mathcal{B}\) grupos e \(\phi : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\). Suponha que \(\phi\) respeita a operação binária do \(\mathcal{A}\). Demonstre que \(\phi\) é um homomorfismo.

2024-04-14 (DM)

• Seja \(G\) grupo abeliano. Demonstre que (\(\forall\)\(n\) \(\in\) \(\mathbb{N}\))(\(\forall\)\(a, b\) \(\in\) \(G\))[ \((ab)^n = a^n b^n\) ].

2024-05-16 (IG)

• Uma parte do teorema de isomorfismos para grupos. \(G / ker \phi \cong im \phi\)
• Toda função \(f: A \to B\) pode ser quebrada em \(A \stackrel{g}{\to} (A / \sim_f) \stackrel{\overline{f}}{\to} im f \stackrel{\subseteq}{\to} B\)

2024-06-28 (LA)

• Seja R anel. Demonstre:
• R domínio de integridade \(\iff\) R domínio de cancelamento

2024-07-04 (GJ)

• Seja \(R\) anel. Demonstre que (\(\forall\)\(a,b\) \(\in\) \(R\))[ \((-a)b = -(ab) = a(-b)\) ] e seus corolários, (\(\forall\)\(x,y\) \(\in\) \(R\)):
• \((−x)(−y) = xy\)
• \((−1)x = −x\)
• \((−1)(−1) = 1\)
• \(−(x + y) = (−x) + (−y)\)