對數律

蒐羅了許多小的題目，整合在同一個單元中

對數律

第一題:

若
$a = l o g_{2} 3 、 b = l o g_{2} 5 ，求 4^{a + b + 1}$
想法:
$1 = l o g_{2} 2$
題解:

$\begin{aligned} a + b + 1 = & l o g_{2} 3 + l o g_{2} 5 + l o g 2_{2} \\ = & l o g_{2} (2 \times 3 \times 5) \\ = & l o g_{2} 30 \end{aligned}$

$\begin{aligned} 4^{l o g_{2} 30} = & 2^{2 l o g_{2} 30} = 2^{l o g_{2} 30^{2}} = 30^{2} = 900 \end{aligned}$

戴偉璿Sun, Jan 23, 2022 11:14 PM

第二題:

求在
$l o g_{9} 1 、 l o g_{9} 2 、 l o g_{9} 3 、 . . . 、 l o g_{9} 2020$ 之中所有的有理數
$Q$ 之和
想法:先找整數，再找到規律
題解:

$設 l o g_{9} S \in Q, l o g_{9} S = \frac{l o g S}{l o g 9} = \frac{1}{2} \times \frac{l o g S}{l o g 3} = \frac{1}{2} \times \frac{l o g 3^{t}}{l o g 3} = \frac{1}{2} t, t \in Q$

$又 0 \leq 3^{t} \leq 2020, 且 t \in Q, t = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}$

$A n s . \frac{1}{2} \sum_{t = 0}^{6} t = \frac{21}{2}$

第三題 :

求
${\frac{1}{49}}^{l o g_{7} \frac{2}{3}} + 3^{\frac{1}{l o g_{5} 3}} + l o g \sqrt[4]{1000}$
想法:單純對數律與指數律的運算
題解:
原式:
$7^{- 2 l o g_{7} \frac{2}{3}} + 3^{l o g_{3} 5} + l o g 10^{\frac{3}{4}} = \frac{9}{4} + 5 + \frac{3}{4} = 8$

$A n s .8$