直線的方程式

本章首先介紹直線方程式的三種求法，再說明直線方程式的其他性質以及應用
以下為有關斜率的性質，證明部分皆很簡單，不再贅述

1. 斜率
   $m=\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}$
2. 設一直線
   $L:ax+by+c=0$
   (1)
   $L$之斜率
   $m=-\frac{a}{b}$
   (2) 和
   $L$垂直之直線方程式為
   $bx-ay+c^{\prime }=0$

截距式

說明

• 設
  $x$截距為
  $a$，
  $y$截距為
  $b$，則直線方程式為
  $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$

例題

設一直線

$L$與

$x$軸交於

$(3,0)$，且與兩軸夾成之三角形面積為

$12$，求

$L$之直線方程式

想法:

已知

$L$與

$x$軸交於

$(3,0)$，且與兩軸夾成之三角形面積，可推得其截距

題解:

已知

$L$與

$x$軸交於

$(3,0)$，且與兩軸夾成之三角形面積，可推得

$L$與

$y$軸交於

$(0,8)$或

$(0,-8)$，其

$y$截距為

$\pm 8。$

$\therefore L:\frac{x}{3}+\frac{y}{8}=1\vee L:\frac{x}{3}+\frac{y}{8}=1$

點斜式

說明

• 設直線
  $L$之斜率為
  $m$，且
  $L$過點
  $(a,b)$，則
  $L$之直線方程式為
  $(y-b)=m(x-a)$

例題

已知直線

$L$過點

$(3,7)$以及

$(8,17)$，求

$L$之直線方程式

想法

求出斜率後帶入點座標可解

題解

$L$之斜率

$m=\frac{17-7}{8-3}=2$，

$L$之直線方程式為

$(y-7)=2(x-3)$
整理後得

$2x-y+1=0$

斜截式

說明

• 給定直線
  $L$之斜率
  $m$以及
  $y$截距
  $b$可推出
  $L:y=mx+b$

例題

已知直線

$L$過點

$(3,7)$以及

$(0,4)$，求

$L$之直線方程式

想法

觀察其兩點，其中一點之

$x$值為

$0$，故其

$y$截距為

$4$，再求出其斜率可解

題解

$L$之

$y$截距

$=4$，

$L$之斜率

$m=\frac{3-0}{7-4}=1$

$\therefore L:y=x+4,x-y+4=0$

線對稱

例題

求點

$A(-3,2)$對於直線

$L:x-2y+2=0$之對稱點座標

想法

請先自己思考一下

找到一條與

$L$垂直且經過點

$A$的直線，找到它和

$L$的交點即可解

答案

$Ans.(-1,-2)$

反射

求得反射點的方法

因為光必然會走最短路徑，因此先求出光出發的那一個點

$A$對於鏡面的對稱點

$A^{\prime }$，其反射點必再

$\overline{A{A}^{\prime }}$上

半平面

說明