來自常態分配隨機樣本的中央極限定理分析

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1. 常態分配相加還是常態

常態分配(Normal distribution)以

$Normal(\mu ,{\sigma }^2)$表示，其中，

$\mu$為母體平均數，

$\sigma$為母體標準差。

假設

$X_1,X_2,\cdots ,X_n$獨立來自

$Normal(\mu ,{\sigma }^2)$，代表

$X_i\sim Normal(\mu ,{\sigma }^2),i=1,2,...,n$。

1.1.

$X_1+X_2$的分配

想求得分配須先求得參數。常態分配的加減還是常態分配，而加減則反映在參數上。所以，我們要求得兩隨機樣本相加的參數。

常態分配參數只有兩個，一個平均數，一個變異數。所以以下分別列出求得的結果。

$E(X_1+X_2)=E(X_1)+E(X_2)=\mu +\mu =2\mu$

$$Var(X_1+X_2)=Var(X_1)+Var(X_2)-2Cov(X_1,X_2)={\sigma }^2+{\sigma }^2-0=2{\sigma }^2$$

所以，

$X_1+X_2$的分配為

$Normal(2\mu ,2{\sigma }^2)$。

依此類推，

$X_1+X_2+\cdots +X_n\sim Normal(n\mu ,n{\sigma }^2)$。

1.2.

$\frac{X_1+X_2}{2}$的分配

$$E(\frac{X_1+X_2}{2})=\frac{1}{2}\times (E(X_1)+E(X_2))=\frac{1}{2}\times (\mu +\mu )=\mu$$

$$Var(\frac{X_1+X_2}{2})=\frac{1}{4}\times (Var(X_1)+Var(X_2)-2Cov(X_1,X_2))=\frac{1}{4}\times ({\sigma }^2+{\sigma }^2-0)=\frac{{\sigma }^2}{2}$$

所以，

$\frac{X_1+X_2}{2}$的分配為

$Normal(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{2})$。

依此類推，

$\frac{X_1+X_2+\cdots +X_n}{n}\sim Normal(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n})$。

1.3. 小結

1. 常態分配的特性在相加過程中維持常態分配，參數則可能有所改變，但維持母體平均數和母體變異數的線性組合。換言之，常態分配的加減維持穩定的分配特性。

2. 常態分配的母體平均數值和母體變異數值維持固定且相互不影響，甚至三階動差和四階動差各自為0和3的固定常數，這在分析過程中是非常方便的簡化假設，讓數學推導過程中更加輕鬆。

2. 常態分配的隨機樣本之中央極限定理

中央極限定理是愈多隨機樣本的相加會趨近常態分配。
現在隨機樣本來自常態分配，常態分配相加還是常態分配。
所以來自常態分配的愈多隨機樣本相加還是常態分配，不是中央極限定理特性，而是常態分配自己的特性。

來自常態分配的隨機樣本自身帶有常態分配，而參數如1.1和1.2的計算過程得到。所以隨著隨機樣本的個數

$(n)$增加時，常態分配的隨機樣本相加或取平均數都是常態分配。

根據驗證中央極限定理的方法介紹文，五種驗證方法都能夠得到愈多的隨機樣本服從常態分配。

相關的驗證過程可觀看Youtube影片的第四部份。