Objektif
Konsep himpunan adalah suatu konsep mendasar dalam semua cabang ilmu matematika. Secara intuitif, sebuah himpunan adalah suatu daftar, kumpulan, atau koleksi objek-objek (konkret maupun abstrak) yang mempunyai kesamaan tertentu. Objek-objek dalam himpunan-himpunan tersebut dapat berupa bilangan, huruf, negara, dan sebagainya.
Dalam kehidupan nyata banyak permasalahan di lapangan yang berkaitan dengan data khususnya dalam dunia komputer atau teknologi informasi, salah satunya contohnya adalah data. Berbagai jenis data, kumpulan data dan sebagainya sangat erat berkaitan dengan dengan konsep himpunan.
Himpunan adalah suatu kumpulan/koleksi dari objek–objek berbeda yang dapat didefinisikan dengan jelas. Cara pengumpulan objek–objek itu biasanya berdasarkan sifat/keadaan mereka yang sama, ataupun berdasarkan suatu aturan yang ditentukan. Objek dalam himpunan disebut elemen, entri, atau anggota. Contoh dari himpunan adalah himpunan bilangan asli antara 1 dan 5 yang anggotanya adalah bilangan 1, 2, 3, 4, dan 5.
Himpunan umumnya dinyatakan dengan huruf kapital seperti , , , dan sebagainya. Sedangkan anggota-anggota himpunan dinyatakan dengan huruf kecil seperti , , , dan sebagainya. Untuk menyatakan keanggotaan himpunan kita menggunakan simbol . Jika adalah anggota himpunan , maka kita menuliskan . Jika bukan anggota dari himpunan , maka kita menuliskan .
Himpunan dapat dituliskan dalam dua bentuk:
Cara yang paling umum untuk menuliskan himpunan adalah dengan bentuk tabular. Pada bentuk tabular, kita menjelaskan sebuah himpunan dengan mendaftar semua anggota himpunan tersebut dan menuliskannya dalam tanda kurung kurawal dan memisahkan penulisan setiap anggotanya dengan tanda koma. Sebagai contoh, misalkan adalah himpunan bilangan asli antara 1 dan 5 maka kita menuliskan himpunan dengan bentuk tabular seperti berikut:
Ketika terlalu banyak anggota-anggota dalam sebuah himpunan untuk dituliskan, kita dapat menggunakan elipses () untuk pola yang sudah terlihat. Sebagai contoh, kita dapat menuliskan himpunan sebagai himpunan bilangan asli seperti berikut:
Berikut adalah contoh lain penggunaan elipses:
Himpunan di atas adalah himpunan semua bilangan genap positif lebih kecil atau sama demgan 100.
Contoh x.x.x
Cara lain untuk menuliskan himpunan adalah dengan menggunakan notasi pembentuk himpunan (set-builder notation). Sebagai contoh, misalkan himpunan adalah himpunan bilangan genap positif tidak lebih besar dari 10. Himpunan dituliskan dengan notasi pembentuk himpunan seperti berikut:
Tanda bar vertikal ( ) dibaca sebagai "sedemikian sehingga". Maka, notasi di atas dibaca "Himpunan adalah himpunan dengan anggota semua nilai sedemikian sehingga adalah bilangan genap positif dan lebih kecil atau sama dengan 10."
Contoh x.x.x
Berikut adalah contoh-contoh lain penulisan himpunan dengan notasi pembentuk himpunan:
adalah himpunan bilangan bulat positif yang kurang dari 5. Himpunan dapat dituliskan dapat dituliskan dengan notasi pembentuk himpunan seperti berikut:
adalah himpunan bilangan asli yang lebih dari 3 dan kurang dari atau sama dengan 15. Himpunan dituliskan dengan notasi pembentuk himpunan seperti berikut:
Terdapat sejumlah himpunan-himpunan khusus yang sering digunakan dalam penjabaran matematika. Himpunan-himpunan khusus ini dinotasikan dengan simbol-simbol khusus. Beberapa diantaranya:
Menggunakan notasi-notasi himpunan khusus ini penulisan himpunan dengan notasi pembentuk himpunan dapat disederhanakan, seperti contoh-contoh berikut:
adalah himpunan bilangan bulat positif yang kurang dari 5. Himpunan dapat dituliskan menjadi seperti berikut:
adalah himpunan bilangan asli yang lebih dari 3 dan kurang dari atau sama dengan 15. Himpunan dituliskan dengan notasi pembentuk himpunan seperti berikut:
Kardinalitas dari sebuah himpunan adalah banyaknya anggota dari himpunan tersebut. Notasi yang digunakan untuk menyatakan kardinalitas dari sebuah himpunan adalah atau .
Contoh x.x.x
Berikut adalah contoh-contoh kardinalitas dari himpunan.
Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota. Himpunan kosong dinyatakan dengan simbol atau . Kardinalitas dari himpunan kosong adalah nol, yaitu . Perlu diperhatikan bahwa himpunan bukanlah himpunan kosong, melainkan sebuah himpunan yang mempunyai satu anggota yaitu bilangan nol.
Berikut ini adalah salah satu contoh himpunan kosong:
Himpunan di atas adalah himpunan dengan anggotanya semua nilai yang kuadratnya sama dengan 9 dan juga merupakan bilangan genap. Nilai yang memenuhi adalah dan . Keduanya tidaklah genap, sehingga tidak ada nilai yang memenuhi ketentuan anggota himpunan . Maka, himpunan adalah himpunan kosong.
Dua himpunan yang tidak kosong dan dikatakan ekuivalen, dinotasikan dengan , jika banyak anggota sama dengan banyak anggota , ditulis dengan atau . Dengan demikian dua himpunan yang sama pasti ekuivalen, tetapi himpunan yang ekuivalen tidak haruslah himpunan yang sama.
Contoh 1.1.1:
Misalkan dan . Karena , maka .
Himpunan disebut sebagai himpunan bagian (subset) dari himpunan jika setiap anggota dari merupakan anggota dari . himpunan bagian dari dinotasikan dengan dan dibaca “ terkandung di dalam ”.
Dari definisi himpunan bagian, kita dapat mendefinisikan kesamaan dua himpunan. Dua himpunan, dan , disebut sebagai himpunan yang sama, , jika dan hanya jika dan .
Berikut adalah contoh-contoh himpunan yang merupakan himpunan bagian dari himpunan lain dan himpunan yang bukan merupakan himpunan bagian dari himpunan lain:
Suatu himpunan disebut hingga bila banyak anggotanya hingga (terbatas). Contoh himpunan hingga adalah himpunan bilangan cacah kurang dari 10: .
Jika suatu himpunan mempunyai banyak anggota tak hingga (tak terbatas), maka himpunan tersebut dinamakan himpunan tak hingga. Contoh himpunan tak hingga adalah himpunan bilangan genap: .
Himpunan disebut himpunan dari himpunan (set of sets) jika semua anggotanya berupa himpunan juga. Contoh himpunan dari himpunan adalah: . Sedangkan himpunan bukan merupakan himpunan dari himpunan karena terdapat anggota himpunan bilangan yang bukan merupakan himpunan.
Semua himpunan yang sedang dibicarakan merupakan himpunan bagian dari suatu himpunan yang lebih besar yang disebut sebagai himpunan semesta (universal set) dan biasanya dinyatakan dengan atau . Sebagai contoh, dalam geometri datar, yang menjadi himpunan semesta adalah himpunan semua titik pada bidang datar.
Himpunan kuasa dari suatu himpunan adalah sebuah himpunan yang anggotanya adalah semua himpunan bagian dari , termasuk himpunan kosong dan himpunan sendiri. Himpunan kuasa dinotasikan dengan . Misalkan, , maka
Hal lain yang perlu diketahui dari himpunan kuasa adalah kardinalitas dari himpunan kuasa. Jika adalah himpunan hingga dengan , maka .
Dua himpunan disebut disjoin (saling asing/saling lepas) jika tidak mempunyai anggota bersama. Sebagai contoh, dan adalah dua himpunan disjoin. Sedangkan dan bukanlah dua himpunan disjoin karena dan .
Diagram Venn adalah diagram yang digunakan untuk menggambarkan hubungan antara himpunan-himpunan. Dalam diagram Venn, himpunan digambarkan sebagai daerah oval atau lingkaran, dan anggota-anggotanya digambarkan dengan sebuah noktah (titik) yang diberi label, sedangkan himpunan semesta digambarkan sebagai persegi panjang.
Misalkan dan dapat digambarkan dalam diagram Venn seperti berikut:
Misalkan dan tidak saling lepas, maka dan dapat digambarkan dalam diagram Venn seperti berikut:
Misalkan dan saling lepas, maka dan dapat digambarkan dalam diagram Venn seperti berikut:
Seperti halnya operasi pada bilangan seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian, himpunan juga mempunyai operasi-operasi yang dapat dilakukan terhadapnya.
Gabungan dari dua himpunan dan adalah sebuah himpunan yang terdiri dari semua elemen yang merupakan anggota atau anggota . Gabungan antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda . Misalkan dan adalah dua buah himpunan berbeda, maka gabungan himpunan dan didefinisikan sebagai berikut:
Pada gambar diagram Venn di bawah, adalah wilayah yang diwarnai dengan warna kuning:
Contoh 1.3.1:
Diketahui himpunan , , maka .
Irisan dari dua himpunan dan adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota dan anggota . Irisan dari dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda . Misalkan dan adalah himpunan yang tidak saling lepas, maka irisan dari dan didefiniskan sebagai berikut:
Pada gambar diagram Venn di bawah, adalah wilayah yang diwarnai dengan warna kuning:
Contoh 1.3.2:
Diketahui himpunan dan , maka .
Selisih antara dua himpunan dan adalah himpunan yang terdiri dari semua anggota yang bukan merupakan anggota . Selisih antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda . Misalkan dan adalah himpunan, maka selisih dan didefinisikan sebagai berikut:
Pada diagram Venn di bawah, adalah wilayah yang diberikan warna kuning:
Contoh 1.3.3:
Diketahui himpunan dan , maka:
a.
b.
Komplemen dari suatu himpunan merupakan semua anggota dari himpunan semesta kecuali anggota himpunan tersebut. Komplemen dinotasikan dengan pangkat setelah nama himpunan atau dengan menambahkan tanda bar () di atas nama himpunan. Misalkan adalah sebuah himpunan yang berada pada semesta , maka komplemen dari himpunan didefinisikan sebagai berikut:
Pada diagram Venn di bawah, adalah wilayah yang diwarnai dengan warna kuning:
Contoh 1.3.4:
Diketahui himpunan semesta dan himpunan , maka .
Selisih simetri atau biasa disebut beda setangkup dari himpunan terhadap adalah suatu himpunan yang anggotanya ada pada himpunan atau tapi tidak di keduanya. Selisih simetri antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda . Misalkan dan adalah himpunan, maka beda setangkup antara dan didefinisikan sebagai berikut:
Pada gambar diagram Venn di bawah, adalah wilayah yang diwarnai dengan warna merah:
Contoh 1.3.5:
Diketahui himpunan dan , maka .
Perkalian kartesian dua buah himpunan dan , dinotasikan dengan adalah suatu himpunan yang anggotanya adalah pasangan berurut dalam bentuk dimana dan . Dalam notasi pembentuk himpunan, perkalian Kartesian didefinisikan sebagai berikut:
Contoh 1.3.6
Anggap dan , maka:
a.
b.
c.
d.
Operasi-operasi himpunan tidak hanya terbatas pada dua himpunan. Kita dapat melakukan operasi-operasi himpunan pada lebih dari dua himpunan.
Contoh 1.3.7
Sebut , , dan , maka:
a.
b.
Cara pertama untuk mendefinisikan himpunan dalam Python adalah dengan menuliskan elemen-elemen himpunan dalam tanda kurung kurawal dan memisahkan setiap elemen dengan tanda koma. Sebagai contoh, untuk menuliskan himpunan:
pada kode Python, kita menuliskan:
Cara kedua untuk menuliskan himpunan dalam Python adalah dengan menggunakan fungsi set
. Himpunan di atas dalam kode Python dapat didefinisikan sebagai berikut:
Untuk mengetahui keanggotaan suatu himpunan kita dapat membentuk sebuah ekspresi menggunakan operator in
. Sebagai contoh, misalkan kita ingin mengetahui apakah 8 adalah anggota himpunan , atau kita menuliskan:
Ekspresi di atas akan menghasilkan nilai Boolean False
, karena 8 bukanlah elemen dari himpunan .
Contoh 1.4.1. Mengetahui Keanggotaan Himpunan Menggunakan Python.
Kode Python berikut memeriksa apakah 5 dan 0 adalah elemen dari himpunan .
Karena dan , maka kode di atas akan memberikan output:
Contoh 1.4.2. Menampilkan Semua Elemen-elemen dalam Sebuah Himpunan.
Kode berikut menampilkan semua elemen-elemen dalam himpunan .
Output dari kode di atas:
Python juga mendukung pendefinisian himpunan menggunakan notasi set-builder.
Contoh 1.4.3. Menuliskan Notasi Set Builder dalam Python.
Kode berikut mendefinisikan himpunan menggunakan set-builder dan menampilkan semua elemen dari himpunan tersebut.
Output dari kode di atas;
Kita dapat menuliskan operasi union dalam Python dengan dua cara. Misalkan, operasi , dapat dituliskan dengan dua cara berikut:
atau
Contoh 1.4.4. Operasi Union.
Kode berikut mencontohkan operasi union pada himpunan dan :
Kode di atas akan memberikan output:
Intersection dari himpunan dan dinotasikan dengan dalam Python dituliskan dengan dua cara:
atau
Contoh 1.4.5. Operasi Irisan.
Kode berikut mencontohkan operasi irisan pada himpunan dan :
Kode di atas akan memberikan output:
Selisih dari himpunan dan , dinotasikan dengan dalam Python dituliskan dengan dua cara:
atau
Contoh 1.4.6. Operasi Selisih.
Kode berikut mencontohkan operasi selisih pada himpunan dan :
Kode di atas akan memberikan output:
Komplemen dari suatu himpunan dalam Python dapat dicari dengan mencari selisih himpunan semesta dengan himpunan tersebut.
Contoh 1.4.7. Operasi Komplemen.
Misalkan dan , kode berikut mencari :
Output dari kode di atas:
Untuk menggambar diagram Venn dalam Python, kita membutuhkan dua module: matplotlib
dan matplotlib-venn
. Module matplotlib
adalah module untuk menggambar grafik sedangkan module matplotlib-venn
adalah module untuk menggambar diagram Venn.
Instalasi kedua module dengan menjalankan perintah berikut pada command prompt:
Catatan.
Jika perintah tersebut gagal dieksekusi, periksa apakahpip
terinstall di komputer Anda. Jika tidak, lakukan instalasipip
.
Pada module matplotlib
kita membutuhkan fungsi pyplot
yang digunakan untuk menggambar grafik dan pada module matplotlib-venn
kita membutuhkan fungsi venn2
untuk menggambar diagram Venn dari dua himpunan dan fungsi venn3
untuk menggambar diagram Venn dari tiga himpunan.
Kode berikut mencontohkan menggambar diagram Venn dari dua himpunan.
Penjelasan kode di atas;
pyplot
yang berada dalam module matplotlib
dan menamakan ulang fungsi tersebut sebagai plt
.venn2
dari module matplotlib_venn
1
.Kode di atas menghasilkan output sebuah window dengan gambar diagram Venn dari himpunan Basket dan Voli seperti terlihat pada gambar berikut:
Perhatikan angka di dalam lingkaran. Angka tersebut bukanlah anggota dari himpunan dalam wilayah namun banyaknya anggota yang berada dalam wilayah.
Contoh 1.4.8. Diagram Venn
Kode berikut:
Output kode di atas adalah tiga window yang berisi gambar seperti berikut:
[1] H.S., D. Suryadi. Aljabar Logika & Himpunan. Jakarta: Gunadarma, 1995.
[2] Lipschutz, Seymour. Matematika Diskrit (Schaum's Outlines). Jakarta: Erlangga, 2008.
[3] Nugroho, Heru. Matematika Diskrit dan Implementasinya dalam Dunia Teknologi
Informasi. Yogyakarta: Deepublish, 2015
[4] https://ggc-discrete-math.github.io/. Discrete Math. Diakses pada 14 September 2022, dari https://ggc-discrete-math.github.io/functions.html#_injective_surjective_bijective_and_inverse_functions
[5]https://www.python-graph-gallery.com. Venn Diagram. Diakses pada 20 Agustus 2022, dari https://www.python-graph-gallery.com/venn-diagram/
[6]https://betterprogramming.pub/. Venn Diagram. Diakses pada 14 September 2022, dari https://betterprogramming.pub/mathematical-set-operations-in-python-e065aac07413