Bab 1. Himpunan (Backup)

---

Objektif

1. Mendefinisikan Sebuah Himpunan
2. Mendefinisikan Diagram Venn
3. Mendefinisikan Operasi antar himpunan

---

Konsep himpunan adalah suatu konsep mendasar dalam semua cabang ilmu matematika. Secara intuitif, sebuah himpunan adalah suatu daftar, kumpulan, atau koleksi objek-objek (konkret maupun abstrak) yang mempunyai kesamaan tertentu. Objek-objek dalam himpunan-himpunan tersebut dapat berupa bilangan, huruf, negara, dan sebagainya.

Dalam kehidupan nyata banyak permasalahan di lapangan yang berkaitan dengan data khususnya dalam dunia komputer atau teknologi informasi, salah satunya contohnya adalah data. Berbagai jenis data, kumpulan data dan sebagainya sangat erat berkaitan dengan dengan konsep himpunan.

1.1. Himpunan

Himpunan adalah suatu kumpulan/koleksi dari objek–objek berbeda yang dapat didefinisikan dengan jelas. Cara pengumpulan objek–objek itu biasanya berdasarkan sifat/keadaan mereka yang sama, ataupun berdasarkan suatu aturan yang ditentukan. Objek dalam himpunan disebut elemen, entri, atau anggota. Contoh dari himpunan adalah himpunan bilangan asli antara 1 dan 5 yang anggotanya adalah bilangan 1, 2, 3, 4, dan 5.

Himpunan umumnya dinyatakan dengan huruf kapital seperti

$A$,

$B$,

$C$, dan sebagainya. Sedangkan anggota-anggota himpunan dinyatakan dengan huruf kecil seperti

$a$,

$b$,

$c$, dan sebagainya. Untuk menyatakan keanggotaan himpunan kita menggunakan simbol

$\in$. Jika

$x$ adalah anggota himpunan

$A$, maka kita menuliskan

$x\in A$. Jika

$x$ bukan anggota dari himpunan

$A$, maka kita menuliskan

$x\notin A$.

Menuliskan Himpunan

Himpunan dapat dituliskan dalam dua bentuk:

• Bentuk Tabular.
• Bentuk Notasi Pembentuk Himpunan (Set-Builder Notation Form).

A. Bentuk Tabular

Cara yang paling umum untuk menuliskan himpunan adalah dengan bentuk tabular. Pada bentuk tabular, kita menjelaskan sebuah himpunan dengan mendaftar semua anggota himpunan tersebut dan menuliskannya dalam tanda kurung kurawal dan memisahkan penulisan setiap anggotanya dengan tanda koma. Sebagai contoh, misalkan

$A$ adalah himpunan bilangan asli antara 1 dan 5 maka kita menuliskan himpunan

$A$ dengan bentuk tabular seperti berikut:

$$A=\{1,2,3,4,5\}$$

Ketika terlalu banyak anggota-anggota dalam sebuah himpunan untuk dituliskan, kita dapat menggunakan elipses (

$...$) untuk pola yang sudah terlihat. Sebagai contoh, kita dapat menuliskan himpunan

$B$ sebagai himpunan bilangan asli seperti berikut:

$$B=\{1,2,3,4,5,6,...\}$$

Berikut adalah contoh lain penggunaan elipses:

$$C=\{2,4,6,8,10,12,...,100\}$$

Himpunan

$C$ di atas adalah himpunan semua bilangan genap positif lebih kecil atau sama demgan 100.

Contoh x.x.x

• Himpunan
  $V$ dari semua huruf vokal dalam alfabet dapat dituliskan dengan
  $V=\{a,i,u,e,o\}$.
• Himpunan
  $O$ dari bilangan ganjil positif kurang dari 10 dapat dituliskan dengan
  $O=\{1,3,5,7,9\}$.
• Himpunan
  $P$ dari bilangan bulat positif kurang dari 100 dapat dituliskan dengan
  $P=\{1,2,3,...,99\}$.

B. Bentuk Notasi Pembentuk Himpunan

Cara lain untuk menuliskan himpunan adalah dengan menggunakan notasi pembentuk himpunan (set-builder notation). Sebagai contoh, misalkan himpunan

$D$ adalah himpunan bilangan genap positif tidak lebih besar dari 10. Himpunan

$D$ dituliskan dengan notasi pembentuk himpunan seperti berikut:

$$D=\{x|x\text{adalah bilangan genap positif},x\le 10\}$$

Tanda bar vertikal (

$|$ ) dibaca sebagai "sedemikian sehingga". Maka, notasi di atas dibaca "Himpunan

$D$ adalah himpunan dengan anggota semua nilai

$x$ sedemikian sehingga

$x$ adalah bilangan genap positif dan

$x$ lebih kecil atau sama dengan 10."

Contoh x.x.x
Berikut adalah contoh-contoh lain penulisan himpunan dengan notasi pembentuk himpunan:

• $A$ adalah himpunan bilangan bulat positif yang kurang dari 5. Himpunan
  $A$ dapat dituliskan dapat dituliskan dengan notasi pembentuk himpunan seperti berikut:
  
  $$A=\{x|x\text{adalah bilangan bulat positif lebih kecil dari 5}\}$$

• $B$ adalah himpunan bilangan asli yang lebih dari 3 dan kurang dari atau sama dengan 15. Himpunan
  $B$ dituliskan dengan notasi pembentuk himpunan seperti berikut:
  
  $$B=\{x|3<x\le 15,x\in bilanganasli\}$$

Notasi Himpunan-himpunan Khusus

Terdapat sejumlah himpunan-himpunan khusus yang sering digunakan dalam penjabaran matematika. Himpunan-himpunan khusus ini dinotasikan dengan simbol-simbol khusus. Beberapa diantaranya:

• $\mathbb{Z}$ adalah notasi untuk himpunan bilangan bulat yaitu
  $\mathbb{Z}=\{...,-2,-1,0,1,2,...\}$.
• ${\mathbb{Z}}^{+}$ atau
  $\mathbb{N}$ adalah notasi untuk himpunan bilangan asli (natural) yaitu
  ${\mathbb{Z}}^{+}=\mathbb{N}=\{1,2,3,4,5,6,...\}$.
• $\mathbb{R}$ adalah notasi untuk himpunan bilangan riil.
• $\mathbb{Q}$ adalah notasi untuk himpunan bilangan rasional yaitu
  $\mathbb{Q}=\{\frac{a}{b}|a\in \mathbb{Z},b\in \mathbb{Z},b\ne 0\}$.
• $\mathbb{C}$ adalah notasi untuk himpunan bilangan kompleks.

Menggunakan notasi-notasi himpunan khusus ini penulisan himpunan dengan notasi pembentuk himpunan dapat disederhanakan, seperti contoh-contoh berikut:

• $A$ adalah himpunan bilangan bulat positif yang kurang dari 5. Himpunan
  $A$ dapat dituliskan menjadi seperti berikut:
  
  $$A=\{x|x\in \mathbb{N},x\le 5\}$$

• $B$ adalah himpunan bilangan asli yang lebih dari 3 dan kurang dari atau sama dengan 15. Himpunan
  $B$ dituliskan dengan notasi pembentuk himpunan seperti berikut:
  
  $$B=\{x|3<x\le 15,x\in \mathbb{N}\}$$

Kardinalitas

Kardinalitas dari sebuah himpunan adalah banyaknya anggota dari himpunan tersebut. Notasi yang digunakan untuk menyatakan kardinalitas dari sebuah himpunan

$A$ adalah

$n(A)$ atau

$|A|$.

Contoh x.x.x
Berikut adalah contoh-contoh kardinalitas dari himpunan.

• Misalkan,
  $A=\{0,1,2,3\}$, maka
  $|A|=4$.
• Misalkan
  $B$ adalah himpunan dari huruf-huruf alfabet. Maka,
  $|B|=26$.
• Misalkan
  $C$ adalah himpunan bilangan ganjil positif kurang dari 10. Maka,
  $|C|=5$.

Istilah-istilah Himpunan

A. Himpunan Kosong

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota. Himpunan kosong dinyatakan dengan simbol

$\mathrm{\varnothing }$ atau

$\{\}$. Kardinalitas dari himpunan kosong adalah nol, yaitu

$|\mathrm{\varnothing }|=0$. Perlu diperhatikan bahwa himpunan

$\{0\}$ bukanlah himpunan kosong, melainkan sebuah himpunan yang mempunyai satu anggota yaitu bilangan nol.

Berikut ini adalah salah satu contoh himpunan kosong:

$$A=\{x|x^2=9,xgenap\}$$

Himpunan

$A$ di atas adalah himpunan dengan anggotanya semua nilai

$x$ yang kuadratnya sama dengan 9 dan juga merupakan bilangan genap. Nilai

$x$ yang memenuhi

$x^2=9$ adalah

$-3$ dan

$3$. Keduanya tidaklah genap, sehingga tidak ada nilai

$x$ yang memenuhi ketentuan anggota himpunan

$A$. Maka, himpunan

$A$ adalah himpunan kosong.

B. Himpunan Ekuivalen

Dua himpunan yang tidak kosong

$A$ dan

$B$ dikatakan ekuivalen, dinotasikan dengan

$A\cong B$, jika banyak anggota

$A$ sama dengan banyak anggota

$B$, ditulis dengan

$n(A)=n(B)$ atau

$|A|=|B|$. Dengan demikian dua himpunan yang sama pasti ekuivalen, tetapi himpunan yang ekuivalen tidak haruslah himpunan yang sama.

Contoh 1.1.1:
Misalkan

$A=\{1,a,b,3\}$ dan

$B=\{2,3,x,y\}$. Karena

$|A|=|B|=4$, maka

$A\cong B$.

C. Himpunan Bagian (Subset)

Himpunan

$X$ disebut sebagai himpunan bagian (subset) dari himpunan

$Y$ jika setiap anggota dari

$X$ merupakan anggota dari

$Y$.

$X$ himpunan bagian dari

$Y$ dinotasikan dengan

$X\subset Y$ dan dibaca “

$X$ terkandung di dalam

$Y$”.

Dari definisi himpunan bagian, kita dapat mendefinisikan kesamaan dua himpunan. Dua himpunan,

$X$ dan

$Y$, disebut sebagai himpunan yang sama,

$X=Y$, jika dan hanya jika

$X\subset Y$ dan

$Y\subset X$.

Berikut adalah contoh-contoh himpunan yang merupakan himpunan bagian dari himpunan lain dan himpunan yang bukan merupakan himpunan bagian dari himpunan lain:

• Misalkan
  $A=\{1,2,3,4,5\}$ dan
  $B=\{1,2,3\}$.
  $B\subset A$ karena semua anggota
  $B$ terdapat dalam
  $A$ maka
  $B\subset A$.
• Misalkan
  $G=\{x|xbilangangenap\}$ dan
  $H=\{x|xbilanganbulat\}$, maka
  $G\subset H$.
• Misalkan
  $A=\{a,b,c\}$ dan
  $B=\{a,b\}$. Karena semua anggota
  $B$ terdapat dalam
  $A$ maka
  $B\subset A$.
• Misalkan
  $S=\{2,4,5\}$ dan
  $T=\{2,4,6\}$, maka
  $T\not\subset S$ dan
  $S\not\subset T$ (
  $\not\subset$ berarti bukan subset).

D. Himpunan Hingga dan Tak Hingga

Suatu himpunan disebut hingga bila banyak anggotanya hingga (terbatas). Contoh himpunan hingga adalah himpunan bilangan cacah kurang dari 10:

$\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$.

Jika suatu himpunan mempunyai banyak anggota tak hingga (tak terbatas), maka himpunan tersebut dinamakan himpunan tak hingga. Contoh himpunan tak hingga adalah himpunan bilangan genap:

$\{2,4,6,8,10,12,14,...\}$.

E. Himpunan dari Himpunan (Set of Sets)

Himpunan

$A$ disebut himpunan dari himpunan (set of sets) jika semua anggotanya berupa himpunan juga. Contoh himpunan dari himpunan adalah:

$\{\{2,3\},\{2\},\{5,6\}\}$. Sedangkan himpunan

$\{2,\{1,4\},\{5,6\}\}$ bukan merupakan himpunan dari himpunan karena terdapat anggota himpunan bilangan

$2$ yang bukan merupakan himpunan.

F. Himpunan Semesta (Universal Set)

Semua himpunan yang sedang dibicarakan merupakan himpunan bagian dari suatu himpunan yang lebih besar yang disebut sebagai himpunan semesta (universal set) dan biasanya dinyatakan dengan

$U$ atau

$S$. Sebagai contoh, dalam geometri datar, yang menjadi himpunan semesta adalah himpunan semua titik pada bidang datar.

G. Himpunan Kuasa (Power Set)

Himpunan kuasa dari suatu himpunan

$A$ adalah sebuah himpunan yang anggotanya adalah semua himpunan bagian dari

$A$, termasuk himpunan kosong dan himpunan

$A$ sendiri. Himpunan kuasa dinotasikan dengan

$\mathcal{P}(A)$. Misalkan,

$A=\{a,b,c\}$, maka

$$\mathcal{P}(A)=\{\mathrm{\varnothing },\{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{a,c\},\{b,c\},\{a,b,c\}\}$$

Hal lain yang perlu diketahui dari himpunan kuasa adalah kardinalitas dari himpunan kuasa. Jika

$A$ adalah himpunan hingga dengan

$|A|=n$, maka

$|\mathcal{P}(A)|=2^n$.

I. Himpunan Disjoin (Saling Lepas)

Dua himpunan disebut disjoin (saling asing/saling lepas) jika tidak mempunyai anggota bersama. Sebagai contoh,

$A=\{4,3\}$ dan

$B=\{2,0\}$ adalah dua himpunan disjoin. Sedangkan

$P=\{1,2,3\}$ dan

$Q=\{1,6,7\}$ bukanlah dua himpunan disjoin karena

$1\in P$ dan

$1\in Q$.

1.2 Diagram Venn

Diagram Venn adalah diagram yang digunakan untuk menggambarkan hubungan antara himpunan-himpunan. Dalam diagram Venn, himpunan digambarkan sebagai daerah oval atau lingkaran, dan anggota-anggotanya digambarkan dengan sebuah noktah (titik) yang diberi label, sedangkan himpunan semesta digambarkan sebagai persegi panjang.

Misalkan

$A\subset B$ dan

$A\ne \mathrm{\varnothing }$ dapat digambarkan dalam diagram Venn seperti berikut:

Misalkan

$A$ dan

$B$ tidak saling lepas, maka

$A$ dan

$B$ dapat digambarkan dalam diagram Venn seperti berikut:

Misalkan

$A$ dan

$B$ saling lepas, maka

$A$ dan

$B$ dapat digambarkan dalam diagram Venn seperti berikut:

1.3 Operasi pada Himpunan

Seperti halnya operasi pada bilangan seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian, himpunan juga mempunyai operasi-operasi yang dapat dilakukan terhadapnya.

Gabungan (Union)

Gabungan dari dua himpunan

$A$ dan

$B$ adalah sebuah himpunan yang terdiri dari semua elemen yang merupakan anggota

$A$ atau anggota

$B$. Gabungan antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda

$\cup$. Misalkan

$A$ dan

$B$ adalah dua buah himpunan berbeda, maka gabungan himpunan

$A$ dan

$B$ didefinisikan sebagai berikut:

$$A\cup B=\{x|x\in A\text{atau}x\in B\}$$

Pada gambar diagram Venn di bawah,

$A\cup B$ adalah wilayah yang diwarnai dengan warna kuning:

Contoh 1.3.1:
Diketahui himpunan

$A=\{1,2,3,4,5,6\}$,

$B=\{1,3,5,7,9\}$, maka

$A\cup B=\{1,2,3,4,5,6,7,9\}$.

Irisan (Intersection)

Irisan dari dua himpunan

$A$ dan

$B$ adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota

$A$ dan anggota

$B$. Irisan dari dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda

$\cap$. Misalkan

$A$ dan

$B$ adalah himpunan yang tidak saling lepas, maka irisan dari

$A$ dan

$B$ didefiniskan sebagai berikut:

$$A\cap B=\{x|x\in A\text{dan}x\in B\}$$

Pada gambar diagram Venn di bawah,

$A\cap B$ adalah wilayah yang diwarnai dengan warna kuning:

Contoh 1.3.2:
Diketahui himpunan

$A=\{1,2,3,4,5,6\}$ dan

$B=\{1,3,5,7,9\}$, maka

$A\cap B=\{1,3,5\}$.

Selisih (Difference)

Selisih antara dua himpunan

$A$ dan

$B$ adalah himpunan yang terdiri dari semua anggota

$A$ yang bukan merupakan anggota

$B$. Selisih antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda

$–$. Misalkan

$A$ dan

$B$ adalah himpunan, maka selisih

$A$ dan

$B$ didefinisikan sebagai berikut:

$$A-B=\{x|x\in A\text{dan}x\notin B\}$$

Pada diagram Venn di bawah,

$A-B$ adalah wilayah yang diberikan warna kuning:

Contoh 1.3.3:
Diketahui himpunan

$A=\{2,3,5,7,9\}$ dan

$B=\{0,1,2,4,5,6\}$, maka:
a.

$A-B=\{3,7,9\}$
b.

$B-A=\{0,1,4,6\}$

Komplemen (Complement)

Komplemen dari suatu himpunan merupakan semua anggota dari himpunan semesta kecuali anggota himpunan tersebut. Komplemen dinotasikan dengan pangkat

$c$ setelah nama himpunan atau dengan menambahkan tanda bar (

$-$) di atas nama himpunan. Misalkan

$A$ adalah sebuah himpunan yang berada pada semesta

$S$, maka komplemen dari himpunan

$A$ didefinisikan sebagai berikut:

$$A^c=\bar{A}=\{x|x\in S\text{dan}x\notin A\}$$

Pada diagram Venn di bawah,

$A^c$ adalah wilayah yang diwarnai dengan warna kuning:

Contoh 1.3.4:
Diketahui himpunan semesta

$S=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ dan himpunan

$A=\{1,3,7,9\}$, maka

$A^c=\{2,4,5,6,8\}$.

Selisih Simetri (Symmetric Difference)

Selisih simetri atau biasa disebut beda setangkup dari himpunan

$A$ terhadap

$B$ adalah suatu himpunan yang anggotanya ada pada himpunan

$A$ atau

$B$ tapi tidak di keduanya. Selisih simetri antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda

$\oplus$. Misalkan

$A$ dan

$B$ adalah himpunan, maka beda setangkup antara

$A$ dan

$B$ didefinisikan sebagai berikut:

$$A\oplus B=(A\cup B)-(A\cap B)$$

Pada gambar diagram Venn di bawah,

$A\oplus B$ adalah wilayah yang diwarnai dengan warna merah:

Contoh 1.3.5:
Diketahui himpunan

$A=\{2,3,5,7,9\}$ dan

$B=\{0,1,2,4,5,6\}$, maka

$A\oplus B=\{0,1,3,6,7,9\}$.

Perkalian Kartesian (Cartesian Product)

Perkalian kartesian dua buah himpunan

$A$ dan

$B$, dinotasikan dengan

$A\times B$ adalah suatu himpunan yang anggotanya adalah pasangan berurut dalam bentuk

$(a,b)$ dimana

$a\in B$ dan

$b\in B$. Dalam notasi pembentuk himpunan, perkalian Kartesian

$A\times B$ didefinisikan sebagai berikut:

$$A\times B=\{(a,b)|a\in A\text{dan}b\in B\}$$

Contoh 1.3.6
Anggap

$C=\{1,2,3\}$ dan

$D=\{a,b\}$, maka:

a.

$C\times D=\{(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)\}$
b.

$D\times C=\{(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3)\}$
c.

$C\times C=\{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)\}$
d.

$D\times D=\{(a,a),(a,b),(b,a),(b,b)\}$

Operasi Jamak Himpunan

Operasi-operasi himpunan tidak hanya terbatas pada dua himpunan. Kita dapat melakukan operasi-operasi himpunan pada lebih dari dua himpunan.

Contoh 1.3.7
Sebut

$A=\{0,2,4,6,8\}$,

$B=\{0,1,2,3,4\}$, dan

$C=\{0,3,6,9\}$, maka:
a.

$A\cup B\cup C=\{0,1,2,3,4,6,8,9\}$
b.

$A\cap B\cap C=\{0\}$

1.4 Himpunan Menggunakan Python

1.4.1. Menuliskan Himpunan

Cara pertama untuk mendefinisikan himpunan dalam Python adalah dengan menuliskan elemen-elemen himpunan dalam tanda kurung kurawal dan memisahkan setiap elemen dengan tanda koma. Sebagai contoh, untuk menuliskan himpunan:

$$A=\{1,2,3,4,5\}$$
pada kode Python, kita menuliskan:

A = {1, 2, 3, 4, 5}

Cara kedua untuk menuliskan himpunan dalam Python adalah dengan menggunakan fungsi set. Himpunan

$A$ di atas dalam kode Python dapat didefinisikan sebagai berikut:

A = set([1, 2, 3, 4, 5])

1.4.2. Keanggotaan Himpunan

Untuk mengetahui keanggotaan suatu himpunan kita dapat membentuk sebuah ekspresi menggunakan operator in. Sebagai contoh, misalkan kita ingin mengetahui apakah 8 adalah anggota himpunan

$A$, atau

$8\in A$ kita menuliskan:

8 in A

Ekspresi di atas akan menghasilkan nilai Boolean False, karena 8 bukanlah elemen dari himpunan

$A$.

Contoh 1.4.1. Mengetahui Keanggotaan Himpunan Menggunakan Python.
Kode Python berikut memeriksa apakah 5 dan 0 adalah elemen dari himpunan

$A=\{-2,0,1,4\}$.

A = {-2, 0, 1, 4}
print(5 in A)
print(0 in A)

Karena

$5\notin A$ dan

$0\in A$, maka kode di atas akan memberikan output:

False
True

Contoh 1.4.2. Menampilkan Semua Elemen-elemen dalam Sebuah Himpunan.

Kode berikut menampilkan semua elemen-elemen dalam himpunan

$A=\{-2,0,1,4\}$.

A = {-2, 0, 1, 4}
for x in A:
    print(x, "adalah elemen dari himpunan.")

Output dari kode di atas:

0 adalah elemen dari himpunan.
1 adalah elemen dari himpunan.
4 adalah elemen dari himpunan.
-2 adalah elemen dari himpunan.

1.4.3. Menuliskan Himpunan dengan Notasi Pembentuk Himpunan

Python juga mendukung pendefinisian himpunan menggunakan notasi set-builder.

Contoh 1.4.3. Menuliskan Notasi Set Builder dalam Python.
Kode berikut mendefinisikan himpunan

$B=\{x^2|x\in \{1,2,3,4,5\}\}$ menggunakan set-builder dan menampilkan semua elemen dari himpunan tersebut.

B = {x**2 for x in {1, 2, 3, 4, 5}}
for y in B:
    print(y, "adalah elemen dari himpunan.")

Output dari kode di atas;

1 adalah elemen dari himpunan.
4 adalah elemen dari himpunan.
9 adalah elemen dari himpunan.
16 adalah elemen dari himpunan.
25 adalah elemen dari himpunan.

1.4.4. Operasi Himpunan

Gabungan (Union)

Kita dapat menuliskan operasi union dalam Python dengan dua cara. Misalkan, operasi

$A\cup B$, dapat dituliskan dengan dua cara berikut:

A.union(B)

atau

A | B

Contoh 1.4.4. Operasi Union.
Kode berikut mencontohkan operasi union pada himpunan

$A$ dan

$B$:

A = {-3, -1, 2, 5}
B = {-1, 0, 2}

print(A.union(B))
print(A | B)

Kode di atas akan memberikan output:

{0, 2, 5, -3, -1}
{0, 2, 5, -3, -1}

Irisan (Intersection)

Intersection dari himpunan

$A$ dan

$B$ dinotasikan dengan

$A\cap B$ dalam Python dituliskan dengan dua cara:

A.intersection(B)

atau

A & B

Contoh 1.4.5. Operasi Irisan.
Kode berikut mencontohkan operasi irisan pada himpunan

$A$ dan

$B$:

A = {-3, -1, 2, 5}
B = {-1, 0, 2}

print(A.intersection(B))
print(A & B)

Kode di atas akan memberikan output:

{2, -1}
{2, -1}

Selisih

Selisih dari himpunan

$A$ dan

$B$, dinotasikan dengan

$A-B$ dalam Python dituliskan dengan dua cara:

A.difference(B)

atau

A - B

Contoh 1.4.6. Operasi Selisih.
Kode berikut mencontohkan operasi selisih pada himpunan

$A$ dan

$B$:

A = {-3, -1, 2, 5}
B = {-1, 0, 2}

print(A.difference(B))
print(B - A)

Kode di atas akan memberikan output:

{-3, 5}
{0}

Komplemen

Komplemen dari suatu himpunan dalam Python dapat dicari dengan mencari selisih himpunan semesta dengan himpunan tersebut.

Contoh 1.4.7. Operasi Komplemen.
Misalkan

$S=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ dan

$A=\{1,3,7,9\}$, kode berikut mencari

$A^c$:

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
A = {1, 3, 7, 9}
print(S - A)

Output dari kode di atas:

{2, 4, 5, 6, 8}

1.4.5. Diagram Venn

Untuk menggambar diagram Venn dalam Python, kita membutuhkan dua module: matplotlib dan matplotlib-venn. Module matplotlib adalah module untuk menggambar grafik sedangkan module matplotlib-venn adalah module untuk menggambar diagram Venn.

Instalasi kedua module dengan menjalankan perintah berikut pada command prompt:

pip install matplotlib matplotlib-venn

Catatan.
Jika perintah tersebut gagal dieksekusi, periksa apakah pip terinstall di komputer Anda. Jika tidak, lakukan instalasi pip.

Pada module matplotlib kita membutuhkan fungsi pyplot yang digunakan untuk menggambar grafik dan pada module matplotlib-venn kita membutuhkan fungsi venn2 untuk menggambar diagram Venn dari dua himpunan dan fungsi venn3 untuk menggambar diagram Venn dari tiga himpunan.

Kode berikut mencontohkan menggambar diagram Venn dari dua himpunan.

from matplotlib import pyplot as plt
from matplotlib_venn import venn2

Basket = {'Andi', 'Eko', 'Anto', 'Zara'}
Voli = {'Julia','Kirana','Deby','Anto'}

plt.figure(1)
venn2([Basket,Voli],set_labels=('Basket','Voli'))
plt.show()

Penjelasan kode di atas;

• Baris 1 mengimport fungsi pyplot yang berada dalam module matplotlib dan menamakan ulang fungsi tersebut sebagai plt.
• Baris 2 mengimport fungsi venn2 dari module matplotlib_venn
• Baris 4 dan 5 berisi inisialisasi variabel berupa dua himpunan (tipe struktur data set)
• Baris 7 membuat diagram venn pada window gambar 1.
• Baris 8 berisi inisialisasi venn diagram dengan memasukkan variabel pada baris 4 dan 5 serta memberikan label pada tiap himpunan
• Baris 9 menampilkan window gambar yang telah berisi diagram Venn.

Kode di atas menghasilkan output sebuah window dengan gambar diagram Venn dari himpunan Basket dan Voli seperti terlihat pada gambar berikut:

Perhatikan angka di dalam lingkaran. Angka tersebut bukanlah anggota dari himpunan dalam wilayah namun banyaknya anggota yang berada dalam wilayah.

Contoh 1.4.8. Diagram Venn
Kode berikut:

from matplotlib_venn import venn3,venn2 
from matplotlib import pyplot as plt 

A = {2, 3, 5, 7, 9} 
B = {0, 1, 2, 4, 5, 6} 
C = {1, 14, 4} 

plt.figure(1) 
venn3([A,B,C],set_labels=('A','B','C')) 

plt.figure(2) 
venn2([A,B],set_labels=('A','B')) 

plt.figure(3) 
venn2([A,C],set_labels=('A','C')) 

plt.show() 

Output kode di atas adalah tiga window yang berisi gambar seperti berikut:

Rangkuman

• Himpunan adalah Suatu kumpulan/koleksi dari objek – objek sembarang berdasarkan keadaan tertentu.
• Terdapat 2 cara penulisan himpunan yaitu bentuk pendaftaran dan bentuk pencirian.
• Diagram Venn digunakan untuk menggambarkan hubungan antar himpunan.
• Dalam diagram Venn semesta digambarkan dengan persegi panjang dan himpunan digambarkan dengan lingkaran.
• Operasi Antar Himpunan terdiri dari Gabungan Irisan, Selisih, Komplemen,Selisih Simetri, Perkalian Kartesian, Operasi Jamak Himpunan

Refrensi

[1] H.S., D. Suryadi. Aljabar Logika & Himpunan. Jakarta: Gunadarma, 1995.
[2] Lipschutz, Seymour. Matematika Diskrit (Schaum's Outlines). Jakarta: Erlangga, 2008.
[3] Nugroho, Heru. Matematika Diskrit dan Implementasinya dalam Dunia Teknologi
Informasi. Yogyakarta: Deepublish, 2015
[4] https://ggc-discrete-math.github.io/. Discrete Math. Diakses pada 14 September 2022, dari https://ggc-discrete-math.github.io/functions.html#_injective_surjective_bijective_and_inverse_functions
[5]https://www.python-graph-gallery.com. Venn Diagram. Diakses pada 20 Agustus 2022, dari https://www.python-graph-gallery.com/venn-diagram/
[6]https://betterprogramming.pub/. Venn Diagram. Diakses pada 14 September 2022, dari https://betterprogramming.pub/mathematical-set-operations-in-python-e065aac07413