<style>
img[src*='#center'] {
display: block;
margin: auto;
}

</style>

# Bab 1. Himpunan

**Daftar Isi**
- [ ] 1.1 Himpunan
- [ ] 1.2 Operasi pada Himpunan
- [ ] 1.3 Hukum-hukum Operasi Himpunan
- [ ] 1.4 Prinsip Inklusi-Ekslusi
---

## 1.1. Himpunan

:::success
**DEFINISI 1.1**
**Himpunan** adalah suatu kumpulan/koleksi dari objek–objek berbeda. Objek dalam himpunan disebut **elemen**, **entri**, atau **anggota**.
:::

Semua mahasiswa yang terdaftar di sebuah kelas adalah contoh sebuah himpunan. Himpunan umumnya dinyatakan dengan huruf besar seperti $A$, $B$, $C$, dan sebagainya. Sedangkan anggota-anggota himpunan dinyatakan dengan huruf kecil seperti $a$, $b$, $c$, dan sebagainya.

### Menuliskan Himpunan

Himpunan dapat dituliskan dalam dua cara:
- Bentuk Enumerasi.
- Bentuk Notasi Pembentuk Himpunan (*Set-Builder Notation Form*).

#### A. Bentuk Enumerasi
Cara yang paling umum untuk menuliskan himpunan adalah dengan bentuk enumerasi. Pada bentuk enumerasi elemen-elemen himpunan didaftarkan secara rinci. Kita menuliskan semua elemen himpunan dalam tanda kurung kurawal dan memisahkan penulisan setiap elemennya dengan tanda koma.

:::info
***Contoh 1.1.1***
- Himpunan $A$ dari semua bilangan asli antara 1 dan 5 dapat dituliskan dalam bentuk enumerasi seperti berikut:

$\qquad \qquad A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$.
- Himpunan $V$ dari semua huruf vokal dalam alfabet dapat dituliskan dalam bentuk enumerasi seperti berikut:

$\qquad \qquad V = \{a, i, u, e, o\}$.
- Himpunan $O$ dari bilangan ganjil positif kurang dari 10 dapat dituliskan dalam bentuk enumerasi seperti berikut:

$\qquad \qquad O = \{1, 3, 5, 7, 9\}$.
:::

Ketika terlalu banyak elemen dalam sebuah himpunan untuk dituliskan, kita dapat menggunakan elipses ($...$) untuk pola yang sudah terlihat.

:::info
***Contoh 1.1.2***
- Himpunan $B$ adalah himpunan semua bilangan asli dapat dituliskan seperti berikut:

$\qquad \qquad B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, ...\}$.

- Himpunan $C$ adalah himpunan semua bilangan genap positif lebih kecil atau sama demgan 100 dapat dituliskan seperti berikut:

$\qquad \qquad C = \{2, 4, 6, 8, 10, 12, ..., 100\}$.

- Himpunan $P$ dari bilangan bulat positif kurang dari 100 dapat dituliskan seperti berikut:

$\qquad \qquad P = \{1, 2, 3, ..., 99\}$.

:::

#### B. Bentuk Notasi Pembentuk Himpunan

Cara lain untuk menuliskan himpunan adalah dengan menggunakan notasi pembentuk himpunan (*set-builder notation*). Bentuk umum dari notasi pembentuk himpunan adalah sebagai berikut:

$\qquad \{ x \ | \ \text{syarat yang harus dipenuhi } x\}$

Tanda bar vertikal ( $|$ ) dibaca sebagai "sedemikian sehingga".

:::info
***Contoh 1.1.3***
Berikut adalah contoh-contoh lain penulisan himpunan dengan notasi pembentuk himpunan:
- $A$ adalah himpunan bilangan bulat positif yang kurang dari 5. Himpunan $A$ dapat dituliskan dapat dituliskan dengan notasi pembentuk himpunan seperti berikut:
$$
A = \{x \ | \ x \ \text{adalah bilangan bulat positif lebih kecil dari 5}\}
$$
Notasi di atas dibaca "Himpunan $A$ adalah himpunan dengan elemen semua nilai $x$ sedemikian sehingga $x$ adalah bilangan bulat positif lebih kecil dari 5".

- $B$ adalah himpunan bilangan asli yang lebih dari 3 dan kurang dari atau sama dengan 15. Himpunan $B$ dituliskan dengan notasi pembentuk himpunan seperti berikut:
$$
B = \{ x \ | \ 3 < x \leq 15, x \text{ adalah bilangan asli}\}
$$
:::

### Keanggotaan Himpunan

Untuk menyatakan keanggotaan himpunan kita menggunakan simbol $\in$. Jika $x$ adalah anggota himpunan $A$, maka kita menuliskan $x \in A$. Jika $x$ bukan anggota dari himpunan $A$, maka kita menuliskan $x \notin A$.

:::info
***Contoh 1.1.4***
Misal $A = \{1, 2, 3, 4\}$ maka:
$\qquad 1 \in A$,
$\qquad 2 \in A$,
$\qquad 3 \in A$,
$\qquad 4 \in A$,
$\qquad 5 \not \in A$.
:::

Himpunan juga dapat mempunyai anggota-anggota yang merupakan himpunan juga.

:::info
***Contoh 1.1.5***
Himpunan $R = \{a, b, \{a, b, c\}, \{a, c\} \}$ memiliki anggota-anggota:
$\qquad a \in R$,
$\qquad b \in R$,
$\qquad \{a, b, c\} \in R$,
$\qquad \{a, c\} \in R$.

Namun $c$ bukanlah anggota himpunan $R$, yang dalam notasi dapat dituliskan dengan $c \not \in R$.
:::

### Notasi Himpunan-himpunan Khusus

Terdapat sejumlah himpunan-himpunan khusus yang sering digunakan dalam penjabaran matematika. Himpunan-himpunan khusus ini dinotasikan dengan simbol-simbol khusus. Beberapa diantaranya:

- $\mathbb{Z}$ adalah notasi untuk himpunan bilangan bulat yaitu $\mathbb{Z} = \{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}$.
- $\mathbb{N}$ adalah notasi untuk himpunan bilangan asli (*natural*) yaitu $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, ...\}$.
- $\mathbb{R}$ adalah notasi untuk himpunan bilangan riil.
- $\mathbb{Q}$ adalah notasi untuk himpunan bilangan rasional yaitu $\mathbb{Q} = \{ {a \over b} \ | \ a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{Z}, b \neq 0 \}$.
- $\mathbb{C}$ adalah notasi untuk himpunan bilangan kompleks.

Menggunakan notasi-notasi himpunan khusus ini penulisan himpunan dengan notasi pembentuk himpunan dapat disederhanakan.

:::info
***Contoh 1.1.6***
- $A$ adalah himpunan bilangan bulat positif yang kurang dari 5. Himpunan $A$ dapat dituliskan menjadi seperti berikut:
$$
A = \{x \ | \ x \in \mathbb{N}, x \leq 5 \}
$$

- $B$ adalah himpunan bilangan asli yang lebih dari 3 dan kurang dari atau sama dengan 15. Himpunan $B$ dituliskan dengan notasi pembentuk himpunan seperti berikut:
$$
B = \{ x \ | \ 3 < x \leq 15, x \in \mathbb{N} \}
$$
:::
### Diagram Venn

Diagram Venn adalah diagram yang digunakan untuk menggambarkan himpunan. Dalam diagram Venn, **himpunan semesta** $S$, yang berisi semua objek-objek yang menjadi perhatian, digambarkan sebagai persegi panjang. Di dalam persegi panjang ini, himpunan digambarkan sebagai daerah oval atau lingkaran dan anggota-anggotanya digambarkan dengan sebuah noktah (titik) yang diberi label.

Gambar 1.1 berikut adalah contoh dari diagram Venn dari himpunan semua huruf vokal $V$ dengan himpunan semesta $S$ yang merupakan himpunan dari semua 26 huruf dalam alfabet.

<br>

<p style="text-align: center;">
<b>Gambar 1.1. </b>Diagram Venn dari Himpunan Huruf Vokal <i>V</i>.
</p>
<br>

### Kardinalitas
Kardinalitas dari sebuah himpunan adalah banyaknya anggota dari himpunan tersebut.

:::success
**DEFINISI 1.2**
Misal $A$ adalah sebuah himpunan. **Kardinalitas** dari himpunan $A$ adalah banyaknya elemen dari $A$. Kardinalitas dari $A$ dinotasikan dengan $n(A)$ atau $|A|$.
:::

:::info
***Contoh 1.1.7***
Berikut adalah contoh-contoh kardinalitas dari himpunan.
- Misalkan, $A = \{0, 1, 2, 3\}$, maka $|A| = 4$.
- Misalkan $B$ adalah himpunan dari huruf-huruf alfabet. Maka, $|B| = 26$.
- Misalkan $C$ adalah himpunan bilangan ganjil positif kurang dari 10. Maka, $|C| = 5$.
:::

Dua himpunan $A$ dan $B$ dikatakan **ekuivalen**, dinotasikan dengan $A \cong B$, jika kardinalitas $A$ sama dengan kardinalitas $B$, yaitu $n(A) = n(B)$ atau $|A| = |B|$. Dua himpunan yang sama sudah pasti ekuivalen, tetapi himpunan yang ekuivalen tidak haruslah himpunan yang sama.

:::info
***Contoh 1.1.8***
Misalkan $A = \{ 1, 3, 5, 7\}$ dan $B = \{a, b, c, d\}$. Karena $|A| = |B| = 4$, maka $A \cong B$.
:::

### Himpunan Kosong
Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota. Himpunan kosong dinyatakan dengan simbol $\emptyset$ atau $\{ \}$. Kardinalitas dari himpunan kosong adalah nol, yaitu $|\emptyset| = 0$. Perlu diperhatikan bahwa himpunan $\{0\}$ bukanlah himpunan kosong, melainkan sebuah himpunan yang mempunyai satu anggota yaitu bilangan nol.

:::info
***Contoh 1.1.9***
Berikut adalah contoh-contoh himpunan kosong:
- $E = \{x \ | \ x < x \}$. Karena tidak ada $x$ yang memenuhi $x < x$ make $|E| = 0$.
- $P = \{ \text{Orang Indonesia yang pernah ke bulan} \}$. Karena tidak ada orang Indonesia yang pernah ke bulan, maka $|P| = 0$.
- $A = \{ x \ | \ x^2 = 9, x \ \text{genap}\}$. Karena hanya $x$ yang memenuhi hanya $x = -3$ atau $x = 3$ dan keduanya tidak genap maka $|A|=0$.
:::

### Himpunan Bagian (*Subset*)

:::success
**DEFINISI 1.3**
Himpunan $A$ disebut sebagai **himpunan bagian** (***subset***) dari himpunan $B$ jika setiap elemen dari $A$ merupakan elemen dari $B$. $A$ himpunan bagian dari $B$ dinotasikan dengan $A \subseteq B$.
:::

Gambar 1.2 berikut mengilustrasikan diagram Venn dari himpunan $A$ yang merupakan himpunan bagian dari himpunan $B$ atau $A \subseteq B$.

<br>

<p style="text-align: center;">
<b>Gambar 1.2. </b>Diagram Venn <i>A</i> ⊆ <i>B</i>.
</p>
<br>

Untuk menotasikan suatu himpunan bukan himpunan bagian dari suatu himpunan lain kita menggunakan simbol $\not \subseteq$. Sebagai contoh jika $A$ bukan himpunan bagian dari $B$, maka kita menotasikannya dengan $A \not \subseteq B$.

:::info
***Contoh 1.1.10***
Berikut adalah contoh-contoh himpunan yang merupakan himpunan bagian dari himpunan lain dan himpunan yang bukan merupakan himpunan bagian dari himpunan lain:
- Misalkan $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ dan $B = \{1, 2, 3\}$. Karena semua anggota $B$ terdapat dalam $A$, maka $B \subseteq A$. Sebaliknya $A \not \subseteq B$, karena $4 \in A$ dan $5 \in A$ tetapi $4 \not \in B$ dan $5 \not \in B$.

- Misalkan $G = \{ x \ | \ x \ \text{bilangan genap}\}$ dan $H = \{x \ | \ x \text{ bilangan bulat}\}$. Karena semua bilangan genap adalah bilangan bulat juga, maka $G \subseteq H$. Sebaliknya, $H \not \subseteq G$.

- Misalkan $A = \{a, b, c\}$ dan $B = \{a, b, c\}$. Karena semua anggota $A$ terdapat dalam $B$ maka $A \subseteq B$ dan karena semua anggota $B$ juga terdapat dalam $A$, maka $B \subseteq A$
- Misalkan $B = \{ 2, 4, 5 \}$ dan $C = \{ 2, 4, 6 \}$. Karena tidak semua anggota himpunan $B$ adalah anggota himpunan dari $C$, maka $B \not \subseteq C$. Begitu juga sebaliknya, karena tidak semua anggota himpunan $C$ adalah anggota dari himpunan $B$, maka $C \not \subseteq B$.
:::

Dari definisi himpunan bagian, kita dapat mendefinisikan kesamaan dua himpunan.
:::success
**DEFINISI 1.4**
Dua himpunan $A$ dan $B$ disebut sebagai **himpunan yang sama**, dinotasikan dengan $A = B$, jika dan hanya jika, $A \subseteq B$ dan $B \subseteq A$.
:::

:::info
***Contoh 1.1.11***
- Misal $A = \{0, 1\}$ dan $B = \{x \ | \ x(x-1) = 0\}$. Karena $A \subseteq B$ dan $B \subseteq A$, maka $A = B$.
- Misal $A = \{3, 5, 8\}$ dan $B = \{5, 3, 8\}$. Karena $A \subseteq B$ dan $B \subseteq A$ maka $A = B$.
- Misal $A = \{3, 5, 8\}$ dan $B = \{3, 8\}$. Karena $B \subseteq A$ tetapi $A \not \subseteq A$, maka $A \not = B$.
:::

Jika kita ingin menekankan bahwa himpunan $A$ adalah *subset* dari $B$ tetapi $A \not = B$, kita menuliskan $A \subset B$ dan mengatakan bahwa $A$ adalah **himpunan bagian yang sebenarnya** (***proper subset***) dari $B$.

:::info
***Contoh 1.1.12***
Himpunan $\{1\}$ dan $\{2, 3\}$ adalah *proper subset* dari himpunan $\{1, 2, 3\}$.
:::

:::info
***Contoh 1.1.13***
Misalkan $A =\{1, 2, 3\}$ dan $B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$. Tentukan semua himpunan $C$ sedemikian sehingga $A \subset C$ dan $C \subset B$, yaitu $A$ adalah *proper subset* dari $C$ dan $C$ adalah *proper subset* dari $B$.

***Solusi:***
Karena $A \subset C$ maka $C$ harus mengandung semua himpunan dari $A$ dan setidaknya satu elemen bukan elemen $A$. Dan karena $C \subset B$, maka $C$ sekurang-kurangnya mengandung satu elemen $B$.

Dengan demikian, $C = \{1, 2, 3, 4\}$ atau $C = \{1, 2, 3, 5\}$.

$C$ tidak boleh mengandung bilangan 4 dan 5 sekaligus karena $C$ adalah *proper subset* dari $B$.
:::

### Himpunan Disjoin (Saling Lepas)

:::success
**DEFINISI 1.5**
Dua himpunan disebut disjoin (saling asing/saling lepas) jika tidak ada elemen yang sama yang dimiliki oleh kedua himpunan tersebut.
:::

Dengan kata lain himpunan $A$ dan himpunan $B$ disebut disjoin jika irisan dari keduanya adalah himpunan kosong. Gambar 1.3 adalah diagram Venn dari dua himpunan disjoin.

<br>

<p style="text-align: center;">
<b>Gambar 1.3. </b>Himpunan <i>A</i> dan <i>B</i> adalah dua himpunan disjoin.
</p>

<br>

:::info
***Contoh 1.1.14***
- Himpunan $A =\{4, 3\}$ dan himpunan $B = \{2, 0\}$ adalah dua himpunan disjoin.
- Himpunan $A = \{ x \ | \ x \in \mathbb{N},\ x < 5\}$ dan himpunan $B = \{10, 20, 30, ...\}$ adalah dua himpunan disjoin.
- Himpunan $P = \{1, 2, 3\}$ dan himpunan $Q = \{ 1, 6 ,7\}$ bukanlah dua himpunan disjoin karena $1 \in P$ dan $1 \in Q$.
:::

### Himpunan Kuasa (*Power Set*)

:::success
**DEFINISI 1.6**
Misal $A$ adalah sebuah himpunan. **Himpunan kuasa** (***power set***) dari himpunan $A$ adalah sebuah himpunan yang elemen-elemennya merupakan semua himpunan bagian dari $A$, termasuk himpunan kosong dan himpunan $A$ sendiri. Himpunan kuasa dinotasikan dengan $\mathcal{P} (A)$.
:::

:::info
***Contoh 1.1.15***
Misalkan, $A = \{a, b, c\}$, maka himpunan kuasa dari $A$ adalah

$$
\mathcal{P} (A) = \{\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{a, b\}, \{a, c\}, \{b, c\}, \{a, b, c\}\}
$$
:::

:::info
***Contoh 1.1.16***
Himpunan kuasa dari himpunan kosong adalah $\mathcal{P} \{\emptyset\} = \{\emptyset\}$ dan himpunan kuasa dari himpunan $\{\emptyset \}$ adalah $\mathcal{P}(\{\emptyset\}) = \{\emptyset, \{\emptyset\}\}$.
:::

Jika $A$ adalah himpunan hingga dengan $|A| = n$, maka $|\mathcal{P} (A)| = 2^n$.

:::info
***Contoh 1.1.17***
Misalkan, $A = \{a, b, c\}$. Berapa kardinalitas dari himpunan kuasa dari $A$?

***Solusi:***
Karena $|A| = 3$, maka $|\mathcal{P}| = 2 ^3 = 8$.
:::

## 1.2. Operasi pada Himpunan
Seperti halnya operasi pada bilangan seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian, himpunan juga mempunyai operasi-operasi yang dapat dilakukan terhadapnya.

### Gabungan (*Union*)

:::success
**DEFINISI 1.7**
Misal $A$ dan $B$ adalah himpunan. **Gabungan** (***union***) dari $A$ dan $B$, dinotasikan dengan $A \cup B$, adalah sebuah himpunan yang terdiri dari semua elemen yang merupakan elemen $A$, atau elemen $B$, atau keduanya.
:::

Dalam notasi, gabungan himpunan $A$ dan himpunan $B$ didefinisikan sebagai berikut:

$$
A \cup B = \{ x \ | \ x \in A \ \text{atau}\ x \in B \}
$$

Gambar 1.4 adalah gambar diagram Venn gabungan dari himpunan $A$ dan $B$. Wilayah $A \cup B$ adalah wilayah yang diwarnai dengan warna kuning.

<br>

<p style="text-align: center;">
<b>Gambar 1.4. </b><i>A</i>∪<i>B</i> adalah wilayah yang diwarnai.
</p>

<br>

:::info
***Contoh 1.2.1***
Diketahui himpunan $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, $B = \{1, 3, 5, 7, 9\}$, maka $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9\}$.
:::

### Irisan (*Intersection*)

:::success
**DEFINISI 1.8**
Misal $A$ dan $B$ adalah himpunan. **Irisan** (***intersection***) dari $A$ dan $B$, dinotasikan dengan $A \cap B$, adalah sebuah himpunan yang elemen-elemennya adalah semua elemen yang ada di kedua himpunan $A$ dan $B$.
:::

Dalam notasi, irisan dari himpunan $A$ dan himpunan $B$ didefiniskan sebagai berikut:

$$
A \cap B = \{x \ |\ x \in A \ \text{dan}\ x \in B \}
$$

Gambar 1.5 adalah gambar diagram Venn irisan dari himpunan $A$ dan $B$. Wilayah $A \cap B$ adalah wilayah yang diwarnai dengan warna kuning.

<br>

<p style="text-align: center;">
<b>Gambar 1.5. </b><i>A</i>∩<i>B</i> adalah wilayah yang diwarnai.
</p>

<br>

:::info
***Contoh 1.2.2***
Diketahui himpunan $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ dan $B = \{1, 3, 5, 7, 9\}$, maka $A \cap B = \{1, 3, 5\}$.
:::

### Selisih (*Difference*)

:::success
**DEFINISI 1.9**
Misalkan $A$ dan $B$ adalah himpunan. **Selisih** (***difference***) dari $A$ dan $B$, dinotasikan dengan $A - B$ adalah sebuah himpunan yang elemen-elemennya adalah semua elemen $A$ yang bukan elemen $B$.
:::

Dalam notasi, selisih himpunan $A$ dan himpunan $B$ didefinisikan sebagai berikut:

$$
A-B = \{ x \ | \ x \in A \ \text{dan} \ x \not\in B \}
$$

Gambar 1.6 adalah gambar diagram Venn selisih himpunan $A$ dan $B$. Wilayah $A - B$ adalah wilayah yang diwarnai dengan warna kuning.

<br>

<p style="text-align: center;">
<b>Gambar 1.6. </b><i>A</i>-<i>B</i> adalah wilayah yang diwarnai.
</p>

<br>

:::info
***Contoh 1.2.3***
Diketahui himpunan $A = \{2, 3, 5, 7, 9\}$ dan $B = \{0, 1, 2, 4, 5, 6\}$, maka:
a. $A - B = \{3, 7, 9\}$
b. $B - A = \{0, 1, 4, 6\}$
:::

### Komplemen (*Complement*)

:::success
**DEFINISI 1.10**
Misalkan $A$ adalah sebuah himpunan yang berada di dalam himpunan semesta $S$. **Komplemen** dari himpunan $A$, dinotasikan dengan $A^c$ atau dengan $\overline{A}$, adalah sebuah himpunan yang elemen-elemennya adalah semua elemen $S$ yang bukan elemen $A$.
:::

Dengan kata lain, komplemen dari himpunan $A$ dalam himpunan semesta $S$ adalah himpunan selisih $S - A$. Dalam notasi, komplemen dari himpunan $A$ didefinisikan sebagai berikut:

$$
A^c = \overline{A} = \{ x \ | \ x \in S \ \text{dan} \ x \not\in A \}
$$

Gambar 1.7 adalah gambar diagram Venn komplemen dari himpunan $A$. Wilayah $A^c$ adalah wilayah yang diwarnai dengan warna kuning.

<br>

<p style="text-align: center;">
<b>Gambar 1.7. </b>Komplemen <i>A</i> adalah wilayah yang diwarnai.
</p>

<br>

:::info
***Contoh 1.2.4***
Diketahui himpunan semesta $S = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ dan himpunan $A = \{1, 3, 7, 9\}$, maka $A^c = \{2, 4, 5, 6, 8\}$.
:::

### Selisih Simetri (*Symmetric Difference*)

:::success
**DEFINISI 1.11**
Misalkan $A$ dan $B$ adalah himpunan. **Selisih simetri** (***symmetric difference***) atau sering juga disebut **beda setangkup** dari himpunan $A$ dan $B$, dinotasikan dengan $A \oplus B$ adalah sebuah himpunan yang elemen-elemennya terdiri dari elemen himpunan $A$ atau elemen himpunan $B$ tetapi tidak keduanya.
:::

Dalam notasi, selisih simetri dari himpunan $A$ dan himpunan $B$ didefinisikan sebagai berikut:

$$
A \oplus B = (A \cup B) - (A \cap B)
$$

Gambar 1.8 adalah gambar diagram Venn selisih dari himpunan $A$ dan himpunan $B$. Wilayah $A \oplus B$ adalah wilayah yang diwarnai dengan warna kuning.

<br>

<p style="text-align: center;">
<b>Gambar 1.8. </b>Selisih simeteri dari <i>A</i> dan <i>B</i> adalah wilayah yang diwarnai.
</p>

<br>

:::info
***Contoh 1.2.5***
Diketahui himpunan $A = \{ 2, 3, 5, 7, 9\}$ dan $B = \{0, 1, 2, 4, 5, 6\}$, maka $A \oplus B = \{0, 1, 3, 4, 6, 7, 9\}$.
:::

### Perkalian Kartesian (*Cartesian Product*)

:::success
**DEFINISI 1.12**
Perkalian kartesian dari dua buah himpunan $A$ dan $B$, dinotasikan dengan $A \times B$ adalah sebuah himpunan yang anggota-anggotanya adalah semua pasangan berurut dalam bentuk $(a, b)$ dimana $a \in A$ dan $b \in B$.
:::
Dalam notasi, perkalian Kartesian $A \times B$ didefinisikan sebagai berikut:

$$
A \times B = \{(a, b) \ | \ a \in A \ \text{dan} \ b \in B\}
$$

<br>

:::info
***Contoh 1.2.6***
Anggap $C = \{1, 2, 3\}$ dan $D = \{a, b\}$, maka:

a. $C \times D = \{(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)\}$
b. $D \times C = \{(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)\}$
c. $C \times C = \{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)\}$
d. $D \times D = \{(a, a), (a, b), (b, a), (b, b)\}$
:::

## 1.3. Hukum-hukum Operasi Himpunan
Tabel 1.1 berikut menampilkan sejumlah hukum-hukum operasi pada himpunan.

<p style="text-align: center;">
<b>Tabel 1.1. </b>Hukum-hukum Operasi pada Himpunan.
</p>


<br>
<br>

:::info
***Contoh 1.3.1***
Misalkan $A$, $B$, dan $C$ adalah himpunan. Tunjukkan

$\qquad \qquad (A \cup (B \cap C))^c = (C^c \cup B^c) \cap A^c$

***Solusi:***
$$
\begin{array}{r l l}
(A \cup (B \cap C))^c &= A^c \cap (B \cap C)^c &\text{(dengan hukum De Morgan pertama)} \\
&= A^c \cap (B^c \cup C^c) &\text{(dengan hukum De Morgan kedua)} \\
&=(B^c \cup C^c) \cap A^c &\text{(dengan hukum komutatif untuk irisan)} \\
&=(C^c \cup B^c) \cap A^c &\text{(dengan hukum komutatif untuk gabungan)}
\end{array}
$$
:::

## 1.4. Prinsip Inklusi-Eksklusi

Prinsip inklusi-eksklusi digunakan untuk menghitung banyaknya elemen dari gabungan himpunan-himpunan. Dengan prinsip inklusi-ekslusi banyaknya elemen dari gabungan dua himpunan $A$ dan $B$ dapat dihitung menggunakan rumus

$\qquad \qquad |A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$

<br>

:::info
***Contoh 1.4.1***
Berapa banyak bilangan bulat antara 1 dan 100 yang habis dibagi 3 atau 5?

***Solusi:***
$A$ = himpunan bilangan bulat habis dibagi 3.
$B$ = himpunan bilangan bulat habis dibagi 5.
$A \cap B$ = himpunan bilangan bulat habis dibagi 3 dan 5 (yaitu himpunan bilangan bulat yang habis dibagi oleh Kelipatan Persekutuan Terkecil dari 3 dan 5, yaitu 15).

Maka,
$|A| = \lfloor 100 /3 \rfloor = 33$,
$|B| = \lfloor 100 /5 \rfloor = 20$,
$|A \cap B| = \lfloor 100 /15 \rfloor = 6$,

Sehingga dengan prinsip inklusi-eksklusi,

$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| = 33 + 20 - 6 = 47$.

Berarti terdapat 47 buah bilangan yang habis dibagi 3 atau 5.
:::

Untuk tiga buah himpunan $A$, $B$, dan $C$, banyaknya elemen gabungan dari $A$, $B$, dan $C$ adalah

$\qquad \qquad |A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C|$

Secara umum, banyaknya elemen gabungan untuk $n$ himpunan, $A_1, A_2, ..., A_n$ dapat dihitung menggunakan rumus

$$
\begin{aligned} |A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup \cdots \cup A_n| = & \displaystyle \sum_{1 \le i \le n} |A_i|-\sum_{1 \le i < j \le n} |A_i \cap A_j| + \sum_{1 \le i < j < k \le n} |A_i \cap A_j \cap A_k|- \\& \cdots+(-1)^{n+1}|A_i \cap A_j \cap \cdots \cap A_n| \end{aligned}
$$

<br>

:::info
***Contoh 1.4.2***
Dalam pengujian suatu vaksin dari sebuah populasi 1000 orang
- 122 orang mengalami efek samping A
- 88 orang mengalami efek samping B
- 112 orang mengalami efek samping C
- 27 orang mengalami efek samping A dan B
- 29 orang mengalami efek samping A dan C
- 32 orang mengalami efek samping B dan C
- 10 orang mengalami ketiga efek samping

Berapa banyak orang yang tidak mengalami efek samping?

*Solusi:*
Misal,
$A$ = himpunan orang yang mengalami efek samping A.
$B$ = himpunan orang yang mengalami efek samping B.
$C$ = himpunan orang yang mengalami efek samping C.

Maka banyaknya orang yang tidak mengalami efek samping dapat dihitung dengan

$\qquad |(A \cup B \cup C)^c| = |S| - |A \cup B \cup C |$

Diketahui,

$|S| = 1000$,
$|A| = 122$,
$|B| = 88$,
$|C| = 112$,
$|A \cap B| = 27$,
$|A \cap C| = 29$,
$|B \cap C| = 32$,
$|A \cap B \cap C| = 10$

Dengan prinsip inklusi-eksklusi,

$$
\begin{aligned}
|A \cup B \cup C| &= |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C|\\
& =122 + 88 + 112 - 27 - 29 - 32 + 10 = 244
\end{aligned}
$$
Sehingga,
$$
\begin{aligned}
|(A \cup B \cup C)^c| &= |S| - |A \cup B \cup C |\\
&= 1000 - 244\\
&= 756
\end{aligned}
$$

Maka terdapat 756 orang yang tidak mengalami efek samping.
:::

## Daftar Pustaka

1. Rinaldi Munir. 2016. Matematika Diskrit. Bandung, Indonesia. Informatika Bandung.
2. Kenneth H. Rosen. 2012. *Discrete Mathematics and Its Applications (Seventh Edition)*. Amerika Serikat. McGraw-Hill.
3. Susanna S. Epp. 2018. *Discrete Mathematics with Applications (Fifth Edition)*. Amerika Serikat. Cengage.
4. D. Suryadi H.S. 1993. Aljabar Logika & Himpunan. Indonesia. Penerbit Gunadarma.