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Feuille 3 Exercice 4

La variable aleatoire

$X$ suit une loi de Pareto de parametre

$\alpha$.A l’aide du theoreme de Wilks, ecrire la zone de rejet du test

$H_0:\alpha =2$ contre

$H_1:\alpha >2$.

Solution

Nous n'avons pas de valeur pour

$H_1$, mais

$\alpha >2$. Nous allons donc le remplacer par l'EMV.

Pour la loi de Pareto de parametre

$\alpha >0$ dont la densite est donnee par

$$f(x,\alpha )=\alpha x^{-\alpha -1}$$

pour

$x>1$.

Determinons l'EMV.

On a:

$$L(x,\alpha )={\alpha }^n\prod _{i=1}^n{x}_i^{-\alpha -1}$$

d'ou

$$\log L(x,\alpha )=n\log \alpha +\sum _{i=1}^n(-\alpha -1)\log (x_i)$$

et

$$\frac{\partial \log L}{\partial \alpha }(x,\alpha )=\frac{n}{\alpha }-\sum _{i=1}^n\log (x_i)$$

Ainsi

$$\frac{\partial \log L}{\partial \alpha }(x,\alpha )=0$$

equivaut a

$$\frac{n}{\alpha }-\sum _{i=1}^n\log (x_i)=0$$

Nous obtenons la solution

$\hat{\alpha }=\frac{n}{\sum _{i=1}^n\log (x_i)}$

Reste a verifier la condition du second ordre:

$$\frac{{\partial }^2\log L}{\partial {\alpha }^2}=-\frac{n}{{\alpha }^2}<0$$

Par consequent,

$\hat{\alpha }=\frac{n}{\sum _{i=1}^n\log (x_i)}$ est bien l'EMV

$$\begin{array}{rl}T& =\frac{L(X_1,\dots ,X_n,\hat{\alpha })}{L(X_1,\dots ,X_n,2)}\\ & =\frac{\prod _{i=1}^n(\frac{n}{\sum _{j=1}^n\ln (X_j)})X_i^{-(\frac{n}{\mathrm{\Sigma }\ln (X_i)+1})}}{\prod _{i=1}^{n}2X_i^{-3}}\\ & =(\frac{n}{2\mathrm{\Sigma }\ln (X_j)}{)}^n\prod _{i=1}^n{X}_i^{-\frac{n}{\mathrm{\Sigma }\ln (X_i)+2}}\end{array}$$

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}{R}_n& =2\ln (T)\\ & =2n\ln (\frac{n}{2S})+\sum _{i=1}^n(2-\frac{n}{S})\ln (X_i)\end{array} \\ \text{color}redS:=\sum _{j=1}^n\ln (X_j) \\ \begin{array}{rl}Rn& =2n\ln (\frac{n}{2S})+(2-\frac{n}{S})S\\ & =\boxed{{\displaystyle 2n\ln (\frac{n}{2S})+2S-n}}\end{array} \end{gathered}$$

Asymptotiquement,

$R_n$ suit asymptotiquement une loi de

${\chi }^2$ a

$n$ degre de liberte.

La zone de rejet est:

$$\{R_n>{\chi }_{\text{color}red1-\alpha }^2\}$$

ou

${\chi }_{1-\alpha }^2$ designe le quantile de niveau

$1-\alpha$

:::

Feuille 3 Exercice 6

Considerons

$n$ variables aleatoires independantes de densite:

$$f(x,\theta )={\theta }^{2}x{e}^{-\theta x}{\mathrm{𝟙}}_{{\mathbb{R}}_{+}}(x)$$

ou le parametre

$\theta$ est strictement positif.

Nous disponsons de

$n$ observations et voulons tester l'hypothese

$H_0:\theta ={\theta }_0$ contre l'hypothese

$H_1:\theta ={\theta }_1$ avec

${\theta }_0<{\theta }_1$

1. Justifier que
   $f(x,\theta )$ definit bien une densite pour tout
   $\theta >0$
2. Calculer
   $E(X)$
3. Determiner la statistique de Neyman-Pearson que nous noterons
   $T_n$
4. En admettant que
   $\theta T_n$ suit une loi
   $\mathrm{\Gamma }(2n,1)$, determiner une expression de
   $\alpha$ et
   $\beta$ en fonction du seuil du test
5. Determiner les courbes COR associes a ce test.

Solution

On saute les 2 premieres questions car fait et refait

​​​​3.

​​​​$$
​​​​\begin{aligned}
​​​​T &= \frac{L(X_n,\dots,X_n,\theta_1)}{L(X_n,\dots,X_n,\theta_0)}\\
​​​​&= \frac{\prod_{i=1}^n\theta_1^2X_ie^{-\theta_1X_i}}{\prod_{i=1}^n\theta_0^2X_ie^{-\theta_0X_i}}\\
​​​​&= \biggr(\frac{\theta_1}{\theta_0}\biggr)^{2n}\times e^{\sum_{i=1}^n(\theta_0-\theta_1)}
​​​​\end{aligned}
​​​​$$

​​​​On passe au logarithme:

​​​​$$
​​​​\begin{aligned}
​​​​\ln T&= \underbrace{2n\log(\frac{\theta_1}{\theta_0})}_{\color{green}{a}}+\underbrace{(\theta_0-\theta_1)}_{\color{green}{b}}\sum_{i=1}^nX_i
​​​​\end{aligned}
​​​​$$

​​​​L'hypothese $H_0$ est rejetee lorsque:

​​​​$$
​​​​\begin{aligned}
​​​​T&\gt C_{\alpha}\\
​​​​\ln T&\gt\ln C_{\alpha}\\
​​​​a+b\sum_{i=1}^nX_i&\gt\ln (C_{\alpha})\\
​​​​\underbrace{\sum_{i=1}^n X_i}_{\color{red}{T_n}}&\lt \underbrace{\frac{\ln(C_{\alpha})-a}{b}}_{\color{red}{S_{\alpha}}}
​​​​\end{aligned}\\
​​​​\color{green}{\text{car } b = \theta_0-\theta_1\lt 0}
​​​​$$

​​​​Donc: 

​​​​$$
​​​​T_n\lt S_{\alpha}
​​​​$$

$$\begin{array}{rl}\alpha & =P(\text{Rejeter }{H}_0|H_0\text{ vraie})\\ & =P(T_n<S_{\alpha }|\theta ={\theta }_0)\end{array}$$

Sous

$H_0$,

${\theta }_0{T}_n$ suit une loi

$\mathrm{\Gamma }(2n,1)$

$$\begin{array}{rl}\alpha & =P({\theta }_0{T}_n<{\theta }_0{S}_{\alpha })\\ & =F_n({\theta }_0{S}_{\alpha })\end{array}$$

Ou

$F_n$ designe la fonction de repartition de la loi

$\mathrm{\Gamma }(2n,1)$.

Exprimons

$S_{\alpha }$ en fonction de

$\alpha$:

$$\boxed{{\displaystyle S_{\alpha }=\frac{F_n^{-1}(\alpha )}{{\theta }_0}}}$$

$$\begin{array}{rl}\beta & =P(\text{Rejeter }H|H\text{ vraie})\\ & =P(T_n\ge S_{\alpha }|\theta ={\theta }_1)\\ & =P({\theta }_1{T}_n\ge {\theta }_1{S}_{\alpha }|\theta ={\theta }_1)\end{array}$$

Or sous

$H_1$:

$\theta T_n\sim \mathrm{\Gamma }(2n,1)$

Donc:

$$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{rl}\beta & =1-F_n(\theta ,S_{\alpha })\\ & =1-F_n(\frac{\theta }{{\theta }_0}{F}_n^{-1}(\alpha ))\end{array}}}$$

En python:

scipy.stats.gamma.cdf(2 * scipy.stats.gamma.ppf(0.05, 20, scale=1), 20, scale = 1)

0.9184...

scipy.stats.gamma.cdf(2 * scipy.stats.gamma.ppf(0.05, 50, scale=1), 50, scale = 1)

0.999702...

scipy.stats.gamma.cdf(2 * scipy.stats.gamma.ppf(0.01, 10, scale=1), 10, scale = 1)

0.316165...

scipy.stats.gamma.cdf(2 * scipy.stats.gamma.ppf(0.001, 100, scale=1), 100, scale = 1)

0.9999523...

On nome

$\mathrm{\Pi }$ la probabilite de detection:

$$\begin{gathered} \mathrm{\Pi }=1-\beta \\ \boxed{{\displaystyle \mathrm{\Pi }=F_n(\frac{{\theta }_1}{{\theta }_0}{F}_n^{-1}(\alpha ))}} \end{gathered}$$

:::

Feuille 4 Exercice 4

Considerons

$n$ variables aleatoires independantes

$X_i$ suivant la loi de densite:

$$f(x,\theta )=\frac{3}{\theta }{x}^2{e}^{-\frac{x^3}{\theta }}{\mathrm{𝟙}}_{{\mathbb{R}}_{+}(x)}$$

avec

$\theta >0$ ou

${\mathrm{𝟙}}_{{\mathbb{R}}_{+}}$ designe la fonction indicatrice de

${\mathbb{R}}_{+}$

Nous souhaitons tester l'hypothese

$H_0:\theta ={\theta }_0$ contre

$H_1:\theta ={\theta }_1$ avec

${\theta }_0<{\theta }_1$ a l'aide d'observations

$x_i$ issues de l'echantillon precedent

1. • (a) Justifier que, pour tout
     $\theta >0$,
     $f(\cdot ,\theta )$ definit bien une densite sur
     $\mathbb{R}$
   • (b) Determiner l'EMV
     $\hat{\theta }$
2. Determiner la statistique du test de Neyman-Pearson et indiquer la region critique associe a ce test.
3. Verifier que la variable aleatoire
   $Y_i=\frac{2}{\theta }{X}_i^3$ suit une loin
   ${\chi }^2$ a deux degres de liberte
4. En deduire le seuil du test de Neyman-Pearson en fonction du risque de premiere espece
   $\alpha$
5. Determiner la puissance du test en fonction du test et de
   ${\theta }_1$
6. Determiner les courbes COR associees a ce test
7. • (a) Application numerique
     $1$ :
     $\alpha =5\mathrm{\%},{\theta }_0=1,{\theta }_1=2$ et
     $n=15$
   • (b) Application numerique
     $1$ :
     $\alpha =5\mathrm{\%},{\theta }_0=1,{\theta }_1=5$ et
     $n=30$
   • © Application numerique
     $1$ :
     $\alpha =5\mathrm{\%},{\theta }_0=1,{\theta }_1=2$ et
     $n=10$
   • (d) Application numerique
     $1$ :
     $\alpha =5\mathrm{\%},{\theta }_0=1,{\theta }_1=5$ et
     $n=30$

Solution

On pose

$\varphi (y)=\frac{2}{\theta }{y}^3$.

Ainsi:

$${\varphi }^{-1}(y)=\sqrt[3]{\frac{\theta y}{2}}$$

Elle est derivable car elle est polynomiale et est bijective car elle est strictement croissante.

$$\begin{array}{rl}{f}_Y(y)& =\frac{1}{(\frac{6}{\theta }(\sqrt[3]{\frac{\theta y}{2}}{)}^2)}\times f(\sqrt[3]{\frac{\theta y}{2}})\\ & =\frac{1}{\frac{6}{\theta }(\sqrt[3]{\frac{\theta y}{2}}{)}^2}\times \frac{3}{\theta }(\sqrt[3]{\frac{\theta y}{2}}{)}^2\times e^{-(\frac{(\sqrt[3]{\frac{\theta y}{2}}{)}^3}{\theta })}\\ & =\frac{1}{2}\times e^{-\frac{y}{2}}\end{array}$$

On peut en deduire que

$Y$ suit une loi

${\chi }^2(2)$

$$\text{color}green\boxed{{\displaystyle T=\sum _{i=1}^n{X}_i^3}}$$

$$\text{color}green{Y}_i=\frac{2}{\theta }{X}_i^3\sim X^2(2)$$

$$\Rightarrow \frac{2}{\theta }T\sim {\chi }^2(2n)$$

$$\begin{array}{rl}\alpha & =P(\text{Rejeter }{H}_0|H_0\text{ vraie})\\ & =P(T>S_{\alpha }|\theta ={\theta }_0)\\ & =P(\frac{2}{{\theta }_0}T>\frac{2}{{\theta }_0}{S}_{\alpha }|\theta ={\theta }_0)\end{array}$$

Sous

$(H_0)$,

$\text{color}red\frac{2}{{\theta }_0}T\sim {\chi }^2(2n)$

$\text{color}green{F}_n\text{ est la fonction de repartition }{\chi }^2(2n)$

$$\alpha =P(W>\frac{2}{{\theta }_0}{S}_{\alpha })$$

$$\alpha =1-F_n(\frac{2}{{\theta }_0}{S}_{\alpha })$$

$\text{color}redDonc$

$$1-\alpha =F_n(\frac{2}{{\theta }_0}{S}_{\alpha })$$

$$S_{\alpha }=\frac{{\theta }_0}{2}{F}_n^{-1}(1-\alpha )$$

$$\begin{array}{rl}\text{color}red\beta & =P(\text{Rejeter }{H}_1|H_1\text{vraie})\\ & =P(T\le S_{\alpha }|\theta ={\theta }_1)\\ & =P(\frac{2}{{\theta }_1}T\le \frac{2}{{\theta }_1}{S}_{\alpha }|\theta ={\theta }_1)\end{array}$$

$$w_1=\frac{2}{{\theta }_1}T\sim {\chi }^2(2n)$$

$$\beta =F_n(\frac{2}{{\theta }_1}{S}_{\alpha })$$

$$\text{color}green\beta =F_n(\frac{{\theta }_0}{{\theta }_1}{F}_n^{-1}(1-\alpha ))$$

Passons aux applications numeriques:

scipy.stats.chi2.cdf(0.5 * scipy.stats.ppf(0.95, 30), 30)

0.14185880202947254

scipy.stats.chi2.cdf(0.2 * scipy.stats.ppf(0.95, 60), 60)

1.6239064341119149e-09

scipy.stats.chi2.cdf(0.5 * scipy.stats.ppf(0.99, 20), 20)

0.46403880816957155

scipy.stats.chi2.cdf(0.2 * scipy.stats.ppf(0.99, 20), 20)

1.87204631776198e-08

scipy.stats.chi2.cdf(1.0001 * scipy.stats.ppf(0.99, 20), 20)

0.9900104784496678

:::