PRSTA: TD 5 - HackMD

--- title: "PRSTA: TD 5" date: 2021-10-29 14:30 categories: [Image S9, PRSTA] tags: [Image, S9, PRSTA] math: true --- Lien de la [note Hackmd](https://hackmd.io/@lemasymasa/SJQHnvYIY) # Feuille 3 Exercice 4 La variable aleatoire $X$ suit une loi de Pareto de parametre $\alpha$.A l’aide du theoreme de Wilks, ecrire la zone de rejet du test $H_0 : \alpha = 2$ contre $H_1 : \alpha \gt 2$. :::spoiler Solution :::danger Nous n'avons pas de valeur pour $H_1$, mais $\alpha\gt 2$. Nous allons donc le remplacer par l'EMV. ::: Pour la loi de Pareto de parametre $\alpha\gt 0$ dont la densite est donnee par $$ f(x,\alpha) = \alpha x^{-\alpha-1} $$ pour $x\gt 1$. Determinons l'EMV. On a: $$ L(x,\alpha) = \alpha^{n}\prod_{i=1}^nx_i^{-\alpha-1} $$ d'ou $$ \log L(x,\alpha) = n\log \alpha + \sum_{i=1}^n(-\alpha-1)\log(x_i) $$ et $$ \frac{\partial\log L}{\partial\alpha}(x,\alpha) = \frac{n}{\alpha}-\sum_{i=1}^n\log(x_i) $$ Ainsi $$ \frac{\partial\log L}{\partial \alpha}(x,\alpha) =0 $$ equivaut a $$ \frac{n}{\alpha}-\sum_{i=1}^n\log(x_i) = 0 $$ Nous obtenons la solution $\hat\alpha = \frac{n}{\sum_{i=1}^n\log (x_i)}$ Reste a verifier la condition du second ordre: $$ \frac{\partial^2\log L}{\partial\alpha^2} = -\frac{n}{\alpha^2}\lt 0 $$ :::success Par consequent, $\hat\alpha = \frac{n}{\sum_{i=1}^n\log(x_i)}$ est bien l'EMV ::: $$ \begin{aligned} T&= \frac{L(X_1,\dots,X_n,\hat\alpha)}{L(X_1,\dots,X_n,2)}\\ &= \frac{\prod_{i=1}^n(\frac{n}{\sum_{j=1}^n\ln(X_j)})X_i^{-(\frac{n}{\Sigma \ln(X_i)+1})}}{\prod_{i=1}^n2X_i^{-3}}\\ &= \biggr(\frac{n}{2\Sigma\ln(X_j)}\biggr)^n\prod_{i=1}^nX_i^{-\frac{n}{\Sigma\ln(X_i)+2}} \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} R_n&= 2\ln(T)\\ &= 2n\ln(\frac{n}{2S})+\sum_{i=1}^n(2-\frac{n}{S})\ln(X_i) \end{aligned}\\ \color{red}{S:=\sum_{j=1}^n\ln(X_j)}\\ \begin{aligned} Rn &= 2n\ln(\frac{n}{2S})+(2-\frac{n}{S})S\\ &= \boxed{2n\ln(\frac{n}{2S})+2S-n} \end{aligned} $$ Asymptotiquement, $R_n$ suit asymptotiquement une loi de $\chi^2$ a $n$ degre de liberte. La zone de rejet est: $$ \{R_n\gt\chi^2_{\color{red}{1-\alpha}}\} $$ ou $\chi^2_{1-\alpha}$ designe le quantile de niveau $1-\alpha$ ::: # Feuille 3 Exercice 6 Considerons $n$ variables aleatoires independantes de densite: $$ f(x,\theta) = \theta^2xe^{-\theta x}𝟙_{\mathbb R_+}(x) $$ ou le parametre $\theta$ est strictement positif. Nous disponsons de $n$ observations et voulons tester l'hypothese $H_0:\theta = \theta_0$ contre l'hypothese $H_1:\theta = \theta_1$ avec $\theta_0\lt \theta_1$ 1. Justifier que $f(x,\theta)$ definit bien une densite pour tout $\theta\gt 0$ 2. Calculer $E(X)$ 3. Determiner la statistique de Neyman-Pearson que nous noterons $T_n$ 4. En admettant que $\theta T_n$ suit une loi $\Gamma(2n,1)$, determiner une expression de $\alpha$ et $\beta$ en fonction du seuil du test 5. Determiner les courbes COR associes a ce test. :::spoiler Solution :::info On saute les 2 premieres questions car fait et refait ::: 3. $$ \begin{aligned} T &= \frac{L(X_n,\dots,X_n,\theta_1)}{L(X_n,\dots,X_n,\theta_0)}\\ &= \frac{\prod_{i=1}^n\theta_1^2X_ie^{-\theta_1X_i}}{\prod_{i=1}^n\theta_0^2X_ie^{-\theta_0X_i}}\\ &= \biggr(\frac{\theta_1}{\theta_0}\biggr)^{2n}\times e^{\sum_{i=1}^n(\theta_0-\theta_1)} \end{aligned} $$ On passe au logarithme: $$ \begin{aligned} \ln T&= \underbrace{2n\log(\frac{\theta_1}{\theta_0})}_{\color{green}{a}}+\underbrace{(\theta_0-\theta_1)}_{\color{green}{b}}\sum_{i=1}^nX_i \end{aligned} $$ L'hypothese $H_0$ est rejetee lorsque: $$ \begin{aligned} T&\gt C_{\alpha}\\ \ln T&\gt\ln C_{\alpha}\\ a+b\sum_{i=1}^nX_i&\gt\ln (C_{\alpha})\\ \underbrace{\sum_{i=1}^n X_i}_{\color{red}{T_n}}&\lt \underbrace{\frac{\ln(C_{\alpha})-a}{b}}_{\color{red}{S_{\alpha}}} \end{aligned}\\ \color{green}{\text{car } b = \theta_0-\theta_1\lt 0} $$ Donc: $$ T_n\lt S_{\alpha} $$ 4. $$ \begin{aligned} \alpha &= P(\text{Rejeter } H_0\vert H_0\text{ vraie})\\ &= P(T_n\lt S_{\alpha}\vert \theta=\theta_0) \end{aligned} $$ Sous $H_0$, $\theta_0 T_n$ suit une loi $\Gamma(2n, 1)$ $$ \begin{aligned} \alpha &= P(\theta_0T_n\lt\theta_0 S_{\alpha})\\ &= F_n(\theta_0S_{\alpha}) \end{aligned} $$ Ou $F_n$ designe la *fonction de repartition* de la loi $\Gamma(2n,1)$. Exprimons $S_{\alpha}$ en fonction de $\alpha$: :::danger $$ \boxed{S_{\alpha}=\frac{F_n^{-1}(\alpha)}{\theta_0}} $$ ::: $$ \begin{aligned} \beta&= P(\text{Rejeter }H\vert H\text{ vraie})\\ &= P(T_n\ge S_{\alpha}\vert \theta=\theta_1)\\ &= P(\theta_1T_n\ge\theta_1S_{\alpha}\vert\theta=\theta_1) \end{aligned} $$ Or sous $H_1$: $\theta T_n\sim\Gamma(2n,1)$ Donc: :::danger $$ \boxed{\begin{aligned}\beta&=1-F_n(\theta,S_{\alpha})\\ &=1-F_n(\frac{\theta}{\theta_0}F_n^{-1}(\alpha))\end{aligned}} $$ ::: En python: ```python scipy.stats.gamma.cdf(2 * scipy.stats.gamma.ppf(0.05, 20, scale=1), 20, scale = 1) ``` ``` 0.9184... ``` ```python scipy.stats.gamma.cdf(2 * scipy.stats.gamma.ppf(0.05, 50, scale=1), 50, scale = 1) ``` ``` 0.999702... ``` ```python scipy.stats.gamma.cdf(2 * scipy.stats.gamma.ppf(0.01, 10, scale=1), 10, scale = 1) ``` ``` 0.316165... ``` ```python scipy.stats.gamma.cdf(2 * scipy.stats.gamma.ppf(0.001, 100, scale=1), 100, scale = 1) ``` ``` 0.9999523... ``` On nome $\Pi$ la probabilite de detection: $$ \Pi = 1-\beta\\ \boxed{\Pi = F_n(\frac{\theta_1}{\theta_0}F_n^{-1}(\alpha))} $$ ::: # Feuille 4 Exercice 4 Considerons $n$ variables aleatoires independantes $X_i$ suivant la loi de densite: $$ f(x,\theta) = \frac{3}{\theta} x^2e^{-\frac{x^3}{\theta}}𝟙_{\mathbb R_+(x)} $$ avec $\theta\gt 0$ ou $𝟙_{\mathbb R_+}$ designe la fonction indicatrice de $\mathbb R_+$ Nous souhaitons tester l'hypothese $H_0:\theta = \theta_0$ contre $H_1:\theta = \theta_1$ avec $\theta_0\lt \theta_1$ a l'aide d'observations $x_i$ issues de l'echantillon precedent 1. - (a) Justifier que, pour tout $\theta\gt0$, $f(\cdot,\theta)$ definit bien une densite sur $\mathbb R$ - (b) Determiner l'EMV $\hat\theta$ 2. Determiner la statistique du test de Neyman-Pearson et indiquer la region critique associe a ce test. 3. Verifier que la variable aleatoire $Y_i=\frac{2}{\theta}X_i^3$ suit une loin $\chi^2$ a deux degres de liberte 4. En deduire le seuil du test de Neyman-Pearson en fonction du risque de premiere espece $\alpha$ 5. Determiner la puissance du test en fonction du test et de $\theta_1$ 6. Determiner les courbes COR associees a ce test 7. - (a) *Application numerique $1$ : $\alpha = 5\%, \theta_0 = 1, \theta_1=2$ et $n=15$* - (b) *Application numerique $1$ : $\alpha = 5\%, \theta_0 = 1, \theta_1=5$ et $n=30$* - (c) *Application numerique $1$ : $\alpha = 5\%, \theta_0 = 1, \theta_1=2$ et $n=10$* - (d) *Application numerique $1$ : $\alpha = 5\%, \theta_0 = 1, \theta_1=5$ et $n=30$* :::spoiler Solution 3. On pose $\phi(y)=\frac{2}{\theta}y^3$. Ainsi: $$ \phi^{-1}(y) = \sqrt[3]{\frac{\theta y}{2}} $$ Elle est derivable car elle est polynomiale et est bijective car elle est strictement croissante. $$ \begin{aligned} f_Y(y)&=\frac{1}{(\frac{6}{\theta}(\sqrt[3]{\frac{\theta y}{2}})^2)}\times f(\sqrt[3]{\frac{\theta y}{2}})\\ &= \frac{1}{\frac{6}{\theta}(\sqrt[3]{\frac{\theta y}{2}})^2}\times \frac{3}{\theta}(\sqrt[3]{\frac{\theta y}{2}})^2\times e^{-(\frac{(\sqrt[3]{\frac{\theta y}{2}})^3}{\theta})}\\ &= \frac{1}{2}\times e^{-\frac{y}{2}} \end{aligned} $$ On peut en deduire que $Y$ suit une loi $\chi^2(2)$ 4. $$ \color{green}{\boxed{T=\sum_{i=1}^nX_i^3}} $$ $$ \color{green}{Y_{i} = \frac{2}{\theta}X_i^3\sim X^2(2)} $$ $$ \Rightarrow \frac{2}{\theta} T\sim \chi^2(2n) $$ $$ \begin{aligned} \alpha &=P(\text{Rejeter }H_0\vert H_0\text{ vraie})\\ &= P(T\gt S_{\alpha}\vert\theta = \theta_0)\\ &= P(\frac{2}{\theta_0}T\gt \frac{2}{\theta_0}S_{\alpha}\vert \theta=\theta_0) \end{aligned} $$ Sous $(H_0)$, $\color{red}{\frac{2}{\theta_0}T\sim\chi^2(2n)}$ $\color{green}{F_n \text{ est la fonction de repartition }\chi^2(2n)}$ $$ \alpha = P(W\gt \frac{2}{\theta_0}S_{\alpha}) $$ :::danger $$ \alpha = 1 -F_n(\frac{2}{\theta_0}S_{\alpha}) $$ ::: $\color{red}{Donc}$ $$ 1-\alpha = F_n(\frac{2}{\theta_0}S_{\alpha}) $$ :::danger $$ S_{\alpha} = \frac{\theta_0}{2}F_n^{-1}(1-\alpha) $$ ::: $$ \begin{aligned} \color{red}{\beta} &= P(\text{Rejeter }H_1\vert H_1\text{vraie})\\ &= P(T\le S_{\alpha}\vert \theta=\theta_1)\\ &= P(\frac{2}{\theta_1}T\le \frac{2}{\theta_1}S_{\alpha}\vert \theta = \theta_1) \end{aligned} $$ $$ w_1 = \frac{2}{\theta_1}T\sim \chi^2(2n) $$ :::danger $$ \beta = F_n(\frac{2}{\theta_1}S_{\alpha}) $$ $$ \color{green}{\beta = F_n\biggr(\frac{\theta_0}{\theta_1}F_n^{-1}(1-\alpha)\biggr)} $$ ::: Passons aux applications numeriques: ```python scipy.stats.chi2.cdf(0.5 * scipy.stats.ppf(0.95, 30), 30) ``` ``` 0.14185880202947254 ``` ```python scipy.stats.chi2.cdf(0.2 * scipy.stats.ppf(0.95, 60), 60) ``` ``` 1.6239064341119149e-09 ``` ```python scipy.stats.chi2.cdf(0.5 * scipy.stats.ppf(0.99, 20), 20) ``` ``` 0.46403880816957155 ``` ```python scipy.stats.chi2.cdf(0.2 * scipy.stats.ppf(0.99, 20), 20) ``` ``` 1.87204631776198e-08 ``` ```python scipy.stats.chi2.cdf(1.0001 * scipy.stats.ppf(0.99, 20), 20) ``` ``` 0.9900104784496678 ``` :::