Lien de la note Hackmd

Regle d'echantillon
A partir de nos observations, on decide si on rejette l'hypothese nulle ou non

Retour de la taille des epiteens: on rejette cette hypothese s'il y a un eleve qui fait plus de

$1m70$.

Risque de premiere espece

$H_0$ soit vrai

Risque de second espece

$H_1$ soit vrai alors qu'on garde

$H_0$

Types de test

• test parametrique/non-parametrique
• test d'adequation
• test de comparaison

Si l'hypothese nulle n'est pas rejetee:

• Elle n'est pas demontree pour autant
• Elle n'est pas contredite par les faits

Test de comparaison d'une proportion

• Meme principe pour
  $n$ grand

$$\sqrt{n}\frac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)}}$$

Test du rapport de vraisemblance

• $H_0:\theta ={\theta }_0$ contre
  $H_1:\theta ={\theta }_1$
• ${\theta }_0<{\theta }_1$

Test de vraissemblance qui est le plus puissant

$$T=\frac{L(X_1,...,X_n,{\theta }_1)}{L(X_1,...,X_n,{\theta }_0)}$$

Rejet de

$(H_0)$ ssi

$T>S_{\alpha }$, ou

$S_{\alpha }$ est un seuil qui depend du niveau de confiance

$\alpha$

Example

• $X_i$ Poisson de parametre
  $\lambda$
• $H_0:\lambda ={\lambda }_0$ contre
  $H_1:\lambda ={\lambda }_1$
• ${\lambda }_0\le {\lambda }_1$

Rejet de

$H_0$ si

$$\begin{gathered} \frac{{\mathrm{\Pi }}_{i=1}^n{e}^{-{\lambda }_1}\frac{{\lambda }_1^{X_i}}{X_i!}}{{\mathrm{\Pi }}_{i=1}^n{e}^{-{\lambda }_0}\frac{{\lambda }_0^{X_i}}{X_i!}}>S_{\alpha } \\ -n({\lambda }_1-{\lambda }_0)+\sum _{i=1}^n{X}_i(\log ({\lambda }_1)-\log ({\lambda }_2))>\log S_{\alpha } \\ \sum _{i=1}^n{X}_i(\log ({\lambda }_1)-\log ({\lambda }_0))>\log (S_{\alpha })+n({\lambda }_1-{\lambda }_0) \\ \sum _{i=1}^n{X}_i>\underset{\text{color}bluen\alpha }{\underbrace{\frac{\log (S_{\alpha })+n({\lambda }_1-{\lambda }_0)}{(\log ({\lambda }_1)-\log ({\lambda }_0))}}} \end{gathered}$$

Rejet de

$H_0$ si

$\sum _{i=1}^n{x}_i>{\nu }_{\alpha }$

Exemple:

• $n=2$,
  ${\lambda }_1=1$,
  ${\lambda }_2=2$,
  $\alpha =0,05$
• Sous
  $H_0$,
  $Y=X_1+X_2$ suit une loi
  $\mathcal{P}(2)$
• Si
  ${\mu }_{\alpha }\in ]0;1]$,
  $\mathbb{P}(X_1+X_2>{\mu }_{\alpha })=1-\mathbb{P}(Y=0)\simeq 0.865$

Suite de l'exemple precedent

Rappel :

• fonction caractérique (SAVOIR FAIRE) d'une loi X est
  $\varphi (t)=E(e^{itX})$
• Pour une loi de Poisson,
  $P(X=k)=\frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{-\lambda }$

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}{\varphi }_x(t)& =\sum _{k\ge 0}{e}^{itk}P(X=k)\\ & =\sum _{k\ge 0}{e}^{itk}{e}^{-\lambda }\frac{{\lambda }^k}{k!}\\ & =e^{-\lambda }\sum _{k\ge 0}\frac{(\lambda e^{it}{)}^k}{k!}\text{ : serie}\\ & =e^{-\lambda }{e}^{\lambda e^{it}}\end{array} \\ \text{color}red\boxed{{\displaystyle {\varphi }_x(t)=e^{\lambda (e^{it}-1)}}} \end{gathered}$$

Loi de

$X_1+X_2$ ?

$${\varphi }_{X_1+X_2}={\varphi }_{X_1}(t){\varphi }_{X_2}(t)$$

car

$X_1$ et

$X_2$ sont independantes
Or

$X_1$ et

$X_2$ même loi donc même fonction caractérique, donc:

$$\begin{array}{rl}{\varphi }_{X_1+X_2}& ={\varphi }_{X_1}(t{)}^2\\ & =e^{(e^{it}-1{)}^2}\\ & =e^{2(e^{it}-1)}\end{array}$$

• Continuer jusqu'a la premiere valeur inferieure a
  $0.05$
• Si
  ${\mu }_{\alpha }\in ]3;4]$,
  $\mathbb{P}(X_1+X_2>{\mu }_{\alpha })=1-\mathbb{P}(Y\le 3)\simeq 0.0527$ donc
  $\alpha =0.0527$
• Si
  ${\mu }_{\alpha }\in ]4;5]$,
  $\mathbb{P}(X_1+X_2>{\mu }_{\alpha })=1-\mathbb{P}(Y\le 3)\simeq 0.0166$ donc
  $\alpha =0.0166$
• Test le plus puissant de risque
  $\alpha \le 0.05$: rejet de
  $H_0$ si
  $x_1+x_2>5$

Exemple

1. $H_0:m=m_0$ contre
   $H_1:m=m_1$ ou
   $X$ suit une loi
   $\mathcal{N}(m,1)$ et
   $m_0\le m_1$
2. A. N.:
   $m_0=1$ et
   $m_1=2$
3. Calculer
   $\alpha$
4. Calculer
   $\beta$

A RENDRE 1er et 2eme EXO DE REFLEXION (moodle)