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Exercice 1

Partie 1

Une variable aleatoire

$X$ suit une loi normale de moyenne et de variance

$1$. Nous voulons tester l’hypothese

$H_0:m=0$ contre l’hypothese

$H_1:m>0$.

Pour ce faire, nous disposons des observations :

$-2.3,-0.2,4.3,1.1,0,2.4,-1.6,1.4,-1$ et

$0.8$.

L’hypothese

$(H_0)$ est-elle rejetee avec un risque d’erreur de premiere espece de

$5\mathrm{\%}$.

Solution

Sous l'hypothese

$H_0$,

$$\begin{gathered} T=\sqrt{n}\frac{{\overline{X}}_n-m}{\sigma }\sim N(0,1) \\ t=\sqrt{10}\frac{0,48-0}{1}\simeq 1,55 \end{gathered}$$

Zone de rejet:

$$\begin{gathered} R=\{T>q_{0,95}\} \\ \{T>1,64\} \end{gathered}$$

Est-ce que

$t$ appartient a notre zone de rejet ?

$t\notin R$

$\text{donc}$ l'hypothese

$(H_0)$ n'est pas rejetee.

Partie 2

Une variable aleatoire

$Y$ suit une loi normale de moyenne et de variance inconnue. Nous voulons tester l’hypothese

$H_0:m=0$ contre l’hypothese

$H_1:m\ne 0$.

Pour ce faire, nous disposons des memes observations :

$-2.3,-0.2,4.3,1.1,0,2.4,-1.6,1.4,-1$ et

$0.8$.

L’hypothese

$(H_0)$ est-elle rejetee avec un risque d’erreur de premiere espece de

$5\mathrm{\%}$.

Solution

$$\begin{gathered} Z_n=\sqrt{n}\frac{{\overline{X}}_n-m_0}{\sqrt{S_n^2}}\sim T_{n-1} \\ {S}_n^2:=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(X_i-{\overline{X}}_n{)}^2 \end{gathered}$$

Ici,

$$t=\sqrt{10}\frac{0,49-0}{1,96}\simeq 0,79$$

Zone de rejet: on rejette des 2 cotes

$$\begin{gathered} \{T>2.26\}\cup \{T<-1,28\} \\ R=\{T>q_{0,975}\}\cup \{T<q_{0,025}\} \end{gathered}$$

Pourquoi on n'a pas besoin d'utiliser Python ?

Car c'est symetrique

$\text{Pas}$ de rejet car

$t\notin R$

Partie 3

Une variable aleatoire

$Z$ suit une loi normale de moyenne inconnue et de variance

${\sigma }^2$. Nous voulons tester l’hypothese

$H_0:{\theta }^2=4$ contre l’hypothese

$H_1:{\sigma }^2<4$.

Pour ce faire, nous disposons des memes observations :

$-2.3,-0.2,4.3,1.1,0,2.4,-1.6,1.4,-1$ et

$0.8$.

L’hypothese

$(H_0)$ est-elle rejet´ee avec un risque d’erreur de premiere
espece de

$10\mathrm{\%}$.

Solution

$$T=(n-1)\frac{S_n^2}{{\sigma }_0^2}=\boxed{{\displaystyle \frac{1}{{\sigma }_0^2}\sum _{i=1}^n(X_i-{\overline{X}}_n{)}^2}}$$

Sur l'echantillon,

$$t\simeq \frac{1}{4}\times 34,55=8,64$$

$$\begin{array}{rl}& P(T<t)\text{ou }T\sim {\chi }^2(9)\\ & =P(T<8,64)\\ & \simeq 0,53>0,1\end{array}$$

Comment resonne-t-on avec la P-value ?

Il faut que la P-value soit superieure ou egale

Donc l'hypotese

$(H_0)$ n'est pas rejetee.

Exercice 2

Selon une etude, la duree des smartphones de la marque Pomme suit une loi exponentielle de parametre

$\frac{1}{\theta }$ avec

$\theta >0$ inconnu.

Considerons un echantillon de taille

$n$ que nous noterons

$(X1,\dots ,Xn)$. L’entreprise souhaite savoir si elle peut garantir ses telephones pour une duree de deux ans.

1. Justifier que le probleme se ramene au test des hypotheses :
   $H_0:\theta =2$ contre
   $H1:\theta <2$.
2. Francois propose la regle de decision suivante : L’hypothese
   $(H_0)$ est rejetee si
   $T<2$ ou
   $$T=\underset{1\le i\le n}{min}Xi$$.
3. Justifier que la variable al´eatoire T suit une loi exponentielle dont le parametre sera precise.
4. En deduire que, sous l’hypothese
   $(H_0)$,
   $P(T<2)=1-\exp (-n)$.
5. • (a) Pour
     $n=10$, determiner la valeur de
     $\alpha$.
   • (b) De meme, pour
     $n=100$, que remarquez-vous ?
6. Que pensez-vous de la regle de decision retenue par Francois ?

Solution

Comme le parametres est

$\frac{1}{\theta }$, on veut affirmer sur la duree de vie moyenne

$\theta$ est

$2$ ans, et on aura un probleme si jamais elle est inferieure car

$E(\epsilon (\frac{1}{2}))=2$

$H_0$ rejetee si

$T<2$ avec

$$T:=\underset{1\le i\le n}{min}{X}_i$$

$$\begin{array}{rl}F(x)& ={\int }_0^x\lambda e^{-\lambda t}dt\\ & =[-e^{\lambda y}{]}_0^x\\ & =-e^{-xt}+1=1-e^{-xt}\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}R(x)& =1-F(x)\\ & =e^{-\lambda x}\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}P(T& >x)\\ P(\underset{1\le i\le n}{min}{X}_i& >x)\\ P(\bigcap _{i=1}^n\{X_i& >n\})\end{array}$$

Sous

$H_0$:

$$\begin{array}{rl}P(T>x)& =\prod _{i=1}^{n}P(X_i>x)\\ & =P(X_1>x{)}^n\\ & =e^{-\frac{n}{\theta }x}\end{array}$$

$$T\sim \epsilon (\frac{n}{\theta })$$

$$\begin{array}{rl}P(T<2)& =F(2)\\ & =1-e^{-\frac{n}{2}\times 2}\\ & =1-e^{-n}\end{array}$$

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}\alpha & =P(\text{Rejeter }{H}_0|H_0\text{ vraie})\\ & =P(T<2|\theta =2)\\ & =\boxed{{\displaystyle 1-e^{-n}}}\end{array} \\ n=10 \\ \alpha \simeq =0.9999 \end{gathered}$$

Rien qu'avec

$n=10$, on a un

$\alpha$ extremement eleve, la regle est donc NULLE.

Test GLR

$$H_0:\theta =2\text{ contre }{H}_1:\theta <2$$

$$T=\frac{L(X_1,\dots ,X_n,2)}{L(X_1,\dots ,X_n,\hat{\theta })}$$

Soit:

$$H_0:\frac{1}{\theta }=\frac{1}{2}\text{ contre }{H}_1:\frac{1}{\theta }<\frac{1}{2}$$

$$\begin{array}{rl}T& =\frac{L(X_1,\dots ,X_n,\frac{1}{{\overline{X}}_n})}{L(X_1,\dots ,X_n,\frac{1}{2})}\\ & =\frac{\prod _{i=1}^n\frac{1}{{\overline{X}}_n}{e}^{-\frac{1}{{\overline{X}}_n}{X}_i}}{\prod _{i=1}^n\frac{1}{2}{e}^{-\frac{1}{2}{X}_i}}\\ & =(\frac{2}{{\overline{X}}_n}{)}^n{e}^{-\sum _{i=1}^n(\frac{1}{{\overline{X}}_n}-\frac{1}{2})X_i}\end{array}$$

L'hypothese

$(H_0)$ est rejetee si

$T>S_{\alpha }$.

Nous allons utiliser Wilks.

$$\begin{array}{rl}R& =2\ln (T)\\ & =2n\ln (\frac{2}{{\overline{X}}_n})-2\sum _{i=1}^n(\frac{1}{{\overline{X}}_n}-\frac{1}{2})X_i\end{array}$$

Pour

$n$ suffisamment grand:

$$\{R\sim {\chi }^2(1)\}$$

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