---
title: "PRSTA: Revisions 1"
date: 2021-11-12 14:00
categories: [Image S9, PRSTA]
tags: [Image, S9, PRSTA]
math: true
---
Lien de la [note Hackmd](https://hackmd.io/@lemasymasa/B1MOKYFLY)

# Exercice 1

## Partie 1

Une variable aleatoire $X$ suit une loi normale de moyenne et de variance $1$. Nous voulons tester l’hypothese $H_0 : m = 0$ contre l’hypothese $H_1 : m \gt 0$.

Pour ce faire, nous disposons des observations : $-2.3, -0.2, 4.3, 1.1, 0,
2.4, -1.6, 1.4, -1$ et $0.8$.

L’hypothese $(H_0)$ est-elle rejetee avec un risque d’erreur de premiere espece de $5\%$.

:::spoiler Solution

Sous l'hypothese $H_0$,

$$
T = \sqrt{n} \frac{\bar X_n - m}{\sigma}\sim N(0,1)\\
t= \sqrt{10}\frac{0,48 - 0}{1}\simeq 1,55
$$

Zone de rejet:

$$
\color{red}{R=}\{T\gt q_{0,95}\}\\
\{T\gt1,64\}
$$

*Est-ce que $t$ appartient a notre zone de rejet ?*

$t\not\in \color{red}{R}$ $\color{red}{\text{donc}}$ l'hypothese $(H_0)$ n'est pas rejetee.

:::

## Partie 2

Une variable aleatoire $Y$ suit une loi normale de moyenne et de variance inconnue. Nous voulons tester l’hypothese $H_0 : m = 0$ contre l’hypothese $H_1 : m \neq 0$.

Pour ce faire, nous disposons des memes observations : $-2.3, -0.2, 4.3, 1.1, 0, 2.4, -1.6, 1.4, -1$ et $0.8$.

L’hypothese $(H_0)$ est-elle rejetee avec un risque d’erreur de premiere espece de $5\%$.

:::spoiler Solution

$$
Z_n = \sqrt{n}\frac{\bar X_n - m_0}{\sqrt{S_n^2}}\sim T_{n-1}\\
S_n^2:= \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X_n)^2
$$

Ici,

$$
t = \sqrt{10}\frac{0,49 - 0}{1,96}\simeq 0,79
$$

Zone de rejet: on rejette **des 2 cotes**

$$
\{T\gt 2.26\}\cup\{T\lt \color{green}{-1,28}\}\\
R=\color{green}{\{T\gt q_{0,975}\}\cup\{T\lt q_{0,025}\}}
$$

*Pourquoi on n'a pas besoin d'utiliser Python ?*
> Car c'est symetrique

$\color{green}{\text{Pas}}$ de rejet car $\color{blue}{t\not\in R}$

:::

## Partie 3

Une variable aleatoire $Z$ suit une loi normale de moyenne inconnue et de variance $\sigma^2$. Nous voulons tester l’hypothese $H_0 : \theta^2 = 4$ contre l’hypothese $H_1 : σ^2 \lt 4$.

Pour ce faire, nous disposons des memes observations : $-2.3, -0.2, 4.3, 1.1, 0, 2.4, -1.6, 1.4, -1$ et $0.8$.

L’hypothese $(H_0)$ est-elle rejet´ee avec un risque d’erreur de premiere
espece de $10\%$.

:::spoiler Solution

$$
T = (n-1)\frac{S_n^2}{\sigma_0^2}=\boxed{\frac{1}{\sigma^2_0}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X_n)^2}
$$

Sur l'echantillon,

$$
t\simeq \frac{1}{4}\times 34, 55 = 8,64
$$

$$
\begin{aligned}
&P(T\lt t)\quad\text{ou } T\sim\chi^2(9)\\
&= P(T\lt 8,64)\\
&\simeq 0,53\color{orange}{\gt 0,1}
\end{aligned}
$$

*Comment resonne-t-on avec la P-value ?*
> Il faut que la P-value soit superieure ou egale

Donc l'hypotese $(H_0)$ n'est pas rejetee.

:::

# Exercice 2

Selon une etude, la duree des smartphones de la marque Pomme suit une loi exponentielle de parametre $\frac{1}{\theta}$ avec $\theta \gt 0$ inconnu.

Considerons un echantillon de taille $n$ que nous noterons $(X1,\dots,Xn)$. L’entreprise souhaite savoir si elle peut garantir ses telephones pour une duree de deux ans.

1. Justifier que le probleme se ramene au test des hypotheses : $H_0 : \theta = 2$ contre $H1 : \theta \lt 2$.
2. Francois propose la regle de decision suivante : L’hypothese $(H_0)$ est rejetee si $T \lt 2$ ou $$T = \min_{1 \le i\le n} Xi$$.
3. Justifier que la variable al´eatoire T suit une loi exponentielle dont le parametre sera precise.
4. En deduire que, sous l’hypothese $(H_0)$, $P(T \lt 2) = 1 − \exp(−n)$.
5.
- (a) Pour $n = 10$, determiner la valeur de $\alpha$.
- (b) De meme, pour $n = 100$, que remarquez-vous ?
6. Que pensez-vous de la regle de decision retenue par Francois ?

:::spoiler Solution

1.

Comme le parametres est $\frac{1}{\theta}$, on veut affirmer sur la duree de vie moyenne $\theta$ est $2$ ans, et on aura un probleme si jamais elle est inferieure car $E(\varepsilon(\frac{1}{2}))=2$

2.

$H_0$ rejetee si $T\lt 2$ avec $$T:=\min_{1\le i\le n}X_i$$

3.

$$
\begin{aligned}
F(x)&=\int_0^x\lambda e^{-\lambda t}dt\\
&= [-e^{\lambda y}]_0^x\\
&= -e^{-xt} + 1 = 1-e^{-xt}
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
R(x) &= 1-F(x)\\
&=e^{-\lambda x}
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
P(T&\gt x)\\
P(\min_{1\le i\le n}X_i&\gt x)\\
P(\bigcap_{i=1}^n\{X_i&\gt n\})
\end{aligned}
$$

Sous $H_0$:

$$
\begin{aligned}
P(T\gt x) &= \prod_{i=1}^nP(X_i\gt x)\\
&= P(X_1\gt x)^n\\
&= e^{-\frac{n}{\color{blue}{\theta}}x}
\end{aligned}
$$

:::danger

$$
T\sim\varepsilon(\frac{n}{\color{blue}{\theta}})
$$

:::

4.

$$
\begin{aligned}
P(T\lt 2) &= F(2)\\
&= 1-e^{-\frac{n}{2}\times 2}\\
&= \color{red}{1-e^{-n}}
\end{aligned}
$$

5.

$$
\begin{aligned}
\alpha &= P(\text{Rejeter }H_0\vert H_0\text{ vraie})\\
&= P(T\lt 2\vert \theta=2)\\
&= \color{red}{\boxed{1-e^{-n}}}
\end{aligned}\\
n = 10\\
\alpha\simeq = 0.9999
$$

6.

Rien qu'avec $n=10$, on a un $\alpha$ extremement eleve, la regle est donc ***NULLE***.

**Test GLR**

$$
\color{red}{H_0:\theta = 2\text{ contre } H_1:\theta\lt 2}
$$

$$
T=\frac{L(X_1,\dots, X_n,2)}{L(X_1,\dots, X_n,\hat\theta)}
$$

Soit:

$$
\color{red}{H_0:\frac{1}{\theta} = \frac{1}{2}\text{ contre } H_1:\frac{1}{\theta}\lt \frac{1}{2}}
$$

$$
\begin{aligned}
T&=\frac{L(X_1,\dots, X_n,\color{green}{\frac{1}{\bar X_n}})}{L(X_1,\dots, X_n,\frac{1}{2})}\\
&= \frac{\prod_{i=1}^n\color{green}{\frac{1}{\bar X_n}}e^{-\color{green}{\frac{1}{\bar X_n}} X_i}}{\prod_{i=1}^n\frac{1}{2}e^{-\frac{1}{2}X_i}}\\
&= (\color{green}{\frac{2}{\bar X_n}})^ne^{-\sum_{i=1}^n(\color{green}{\frac{1}{\bar X_n}}-\frac{1}{2})X_i}
\end{aligned}
$$

L'hypothese $(H_0)$ est rejetee si $T\gt S_{\alpha}$.

:::success
Nous allons utiliser *Wilks*.
:::

$$
\begin{aligned}
R&=2\ln(T)\\
&= 2n\ln(\color{green}{\frac{2}{\bar X_n}})-2\sum_{i=1}^n(\color{green}{\frac{1}{\bar X_n}}-\frac{1}{2})X_i\\
\end{aligned}
$$

Pour $n$ suffisamment grand:

$$
\{R\sim\chi^2(1)\}
$$

:::