Try   HackMD

Lien de la note Hackmd

Exercice 1

Partie 1

Une variable aleatoire

X suit une loi normale de moyenne et de variance
1
. Nous voulons tester l’hypothese
H0:m=0
contre l’hypothese
H1:m>0
.

Pour ce faire, nous disposons des observations :

2.3,0.2,4.3,1.1,0,2.4,1.6,1.4,1 et
0.8
.

L’hypothese

(H0) est-elle rejetee avec un risque d’erreur de premiere espece de
5%
.

Solution

Sous l'hypothese

H0,

T=nX¯nmσN(0,1)t=100,48011,55

Zone de rejet:

\colorredR={T>q0,95}{T>1,64}

Est-ce que

t appartient a notre zone de rejet ?

t\colorredR
\colorreddonc
l'hypothese
(H0)
n'est pas rejetee.

Partie 2

Une variable aleatoire

Y suit une loi normale de moyenne et de variance inconnue. Nous voulons tester l’hypothese
H0:m=0
contre l’hypothese
H1:m0
.

Pour ce faire, nous disposons des memes observations :

2.3,0.2,4.3,1.1,0,2.4,1.6,1.4,1 et
0.8
.

L’hypothese

(H0) est-elle rejetee avec un risque d’erreur de premiere espece de
5%
.

Solution

Zn=nX¯nm0Sn2Tn1Sn2:=1n1i=1n(XiX¯n)2

Ici,

t=100,4901,960,79

Zone de rejet: on rejette des 2 cotes

{T>2.26}{T<\colorgreen1,28}R=\colorgreen{T>q0,975}{T<q0,025}

Pourquoi on n'a pas besoin d'utiliser Python ?

Car c'est symetrique

\colorgreenPas de rejet car
\colorbluetR

Partie 3

Une variable aleatoire

Z suit une loi normale de moyenne inconnue et de variance
σ2
. Nous voulons tester l’hypothese
H0:θ2=4
contre l’hypothese
H1:σ2<4
.

Pour ce faire, nous disposons des memes observations :

2.3,0.2,4.3,1.1,0,2.4,1.6,1.4,1 et
0.8
.

L’hypothese

(H0) est-elle rejet´ee avec un risque d’erreur de premiere
espece de
10%
.

Solution

T=(n1)Sn2σ02=1σ02i=1n(XiX¯n)2

Sur l'echantillon,

t14×34,55=8,64

P(T<t)ou Tχ2(9)=P(T<8,64)0,53\colororange>0,1

Comment resonne-t-on avec la P-value ?

Il faut que la P-value soit superieure ou egale

Donc l'hypotese

(H0) n'est pas rejetee.

Exercice 2

Selon une etude, la duree des smartphones de la marque Pomme suit une loi exponentielle de parametre

1θ avec
θ>0
inconnu.

Considerons un echantillon de taille

n que nous noterons
(X1,,Xn)
. L’entreprise souhaite savoir si elle peut garantir ses telephones pour une duree de deux ans.

  1. Justifier que le probleme se ramene au test des hypotheses :
    H0:θ=2
    contre
    H1:θ<2
    .
  2. Francois propose la regle de decision suivante : L’hypothese
    (H0)
    est rejetee si
    T<2
    ou
    T=min1inXi
    .
  3. Justifier que la variable al´eatoire T suit une loi exponentielle dont le parametre sera precise.
  4. En deduire que, sous l’hypothese
    (H0)
    ,
    P(T<2)=1exp(n)
    .
    • (a) Pour
      n=10
      , determiner la valeur de
      α
      .
    • (b) De meme, pour
      n=100
      , que remarquez-vous ?
  5. Que pensez-vous de la regle de decision retenue par Francois ?
Solution

Comme le parametres est

1θ, on veut affirmer sur la duree de vie moyenne
θ
est
2
ans, et on aura un probleme si jamais elle est inferieure car
E(ε(12))=2

H0 rejetee si
T<2
avec
T:=min1inXi

F(x)=0xλeλtdt=[eλy]0x=ext+1=1ext

R(x)=1F(x)=eλx

P(T>x)P(min1inXi>x)P(i=1n{Xi>n})

Sous

H0:

P(T>x)=i=1nP(Xi>x)=P(X1>x)n=en\colorblueθx

Tε(n\colorblueθ)

P(T<2)=F(2)=1en2×2=\colorred1en

α=P(Rejeter H0|H0 vraie)=P(T<2|θ=2)=\colorred1enn=10α≃=0.9999

Rien qu'avec

n=10, on a un
α
extremement eleve, la regle est donc NULLE.

Test GLR

\colorredH0:θ=2 contre H1:θ<2

T=L(X1,,Xn,2)L(X1,,Xn,θ^)

Soit:

\colorredH0:1θ=12 contre H1:1θ<12

T=L(X1,,Xn,\colorgreen1X¯n)L(X1,,Xn,12)=i=1n\colorgreen1X¯ne\colorgreen1X¯nXii=1n12e12Xi=(\colorgreen2X¯n)nei=1n(\colorgreen1X¯n12)Xi

L'hypothese

(H0) est rejetee si
T>Sα
.

Nous allons utiliser Wilks.

R=2ln(T)=2nln(\colorgreen2X¯n)2i=1n(\colorgreen1X¯n12)Xi

Pour

n suffisamment grand:

{Rχ2(1)}

:::