SageMath Cheatsheet

完整教學請參考 Sage4HS GitHub repo
https://github.com/jephianlin/outreach/tree/master/Sage4HS
（修課同學請點進連結，並先完成課前準備）

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2024 Summer Padlet

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01. 數與多項式（Numbers and Polynomials）

運算

• 加 +
• 減 -
• 乘 *
• 除 /
• 次方 ** 或 ^（後者在純 Python 環境不適用）
• 根號 sqrt
• 整數除法 //
• 餘數 %

列表

• 建立列表 a = [1, 2, 3]
• 回傳第 k 個元表 a[k]
• 轉換資料型態為列表 list

多項式

• 展開 expand
• 因式分解 factor
• 化簡 simplify
• 將符號表達式轉成有理係數多項式 p = (x+1).polynomial(QQ)
• 將
  $x$ 代入
  $10$ p.subs(10) 或 p(10)
• 最小多項式 sqrt(2).minpoly()

定義函數

def function_name(var1, ..., var2=0, ...):
    do something
    return something

代數系統

• 整數（環） ZZ
• 有理數（體） QQ
• 實數（體） RR
• 複數（體） CC

其它

• 執行當前的 cell shift + enter
• 階層 factorial
• 質因數分解 factor
• 回傳小數逼近 N
• 顯示資料型態 type

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02. 數列與級數（Sequences and Series）

列表

• 0 到 n-1 的列表 range(n)
• 計算列表中所有元素的總和 sum
• 在列表末項加入新元表 a = [1,2]; a.append(3)

迴圈與判斷式

for x in range(101):
    if is_prime(x):
        print(x^2)

列表推導式

[x^2 for x in range(1,101) if is_prime(x)]

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03. 排列組合與離散機率（Combinatorics and Discrete Probability）

生成器

• 回傳所有的排列 Permutations([1,2,3], 2)
• 回傳所有的組合 Combinations([1,2,3], 2)

多項式係數

• 係數 p = expand((1+x)^5); p.coefficient(x^2)
• 二項式係數 binomial(n,k)

random 套件

import random

• 會從輸入的列表 a 中隨機挑出一個元素 random.choice(a)
• 隨機從 a 到 b 之間（包含兩端點）取出一個數 random.randint(a,b)

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04. 函數與其圖形（Functions and Plotting）

字典

• 建立字典 a = {'one':1, 'two':2}
• 回傳索引為 one 的值 a['one']
• 所有的索引 a.keys()
• 所有的值 a.values()

變數

• Sage 中的預設變數 x
• 設立新變數 w = var('w')

函數

• 建立函數 f(x) = x^2 或 f(x,y） = x^2 + y^2
• 將函數中的 x 代入數值 f(2)
• 將函數中的 x 和 y 代數數值 f(3,4)

lambda 運算式

f = lambda k: k^2

數學函數

• 三角函數 sin, cos, tan, cot, sec, csc
• 圓周率 pi
• 虛數 I

函數繪圖及設定參數

f(x) = x^2
f.plot(xmin=-3, xmax=3, 
       ymin=-1, ymax=10,
       color='red', 
       legend_label='$x^2$'，
       linestyle='--'
      )

• $x$ 軸邊界 xmin、xmax
• $y$ 軸邊界 ymin、ymax
• 曲線顏色 color
• 圖例文字 legend_label
• 曲線格式 linestyle

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05. 向量與物件（Vectors and Objects）

向量

• 向量
  $(a,b)$ v = vector([a,b])
• 以起點
  $(c,d)$ 繪製向量 v.plot(start=(c,d))
• 伸縮
  $k$ 倍 k * v
• 兩向量內積 v1 * v2

類別與物件

class fraction:
    def __init__(self,a,b): ## 注意：是兩個底線_
        self.numerator = a
        self.denominator = b
        
q = fraction(a,b)

• 判斷是否為某類別 isinstance(q, fraction)
• 定義如何顯示物件__repr__
• 定義包含關係 __contains__
• 定義加法 __add__
• 定義減法 __sub__
• 定義乘法 __mul__
• 定義除法 __div__
• 定義兩個物件相等的條件 __eq__
• 定義不等於 __ne__
• 列出所有屬性及函數 dir
• 列出所有的屬性 vars

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06. 線性幾何（Linear Geometry）

向量運算

• 向量 v 的範數 v.norm()
• 向量 v 與向量 w 內積 v.dot_product(w)
• 向量 v 與向量 w 外積 v.cross_product(w)

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07. 矩陣與 NumPy（Matrices and NumPy）

矩陣

A = matrix([
        [0, 1, 2],
        [1, 2, 3],
        [2, 3, 4]
    ])
    ##注意 Sage 裡列和行都是從 0 開始數

• 第
  $i,j$-項 A[i,j]
• 子矩陣 A[list of rows, list of columns]
• 第
  $i$ 列 A[i,:]
• 第
  $j$ 行 A[:,j]

NumPy

import numpy as np

A = np.array([
        [0, 1, 2],
        [1, 2, 3],
        [2, 3, 4]
    ])
    
v = np.array([1,1,1])

• 矩陣乘法 np.dot(A, v)
• 元素介在
  $0\sim 1$ 的
  $a\times b$ 隨機矩陣np.random.rand(a,b)
• 建立相同大小的全
  $1$ 陣列 np.ones_like(A)
• 元素總和 np.sum(A)

Magic Method

• 評估一個區塊的計算時間 %%timeit

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08. 機率與統計（Probability and Statistics）

隨機抽樣

• 在 A = [1,2,3] 中隨機抽一個元素 np.random.choice(A)

matplotlib

import matplotlib.pyplot as plt

• 直方圖 plt.hist

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09. 近似值與極限（Approximation and Limit）

NumPy

• 建立陣列時指定資料型態 np.array([1，2，3], dtype=float)
• 在 [a,b] 區間等間隔分布 k 個點 np.linspace(a,b,k)
• 設定陣列顯示的精準度 np.set_printoptions(precision=k)

matplotlib

• 散佈圖plt.scatter
• 強制
  $x$-軸和
  $y$-軸單位長一致 plt.axis('equal')
• 顯示圖例 plt.legend()

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10. 微積分（Calculus）

函數與變數

• 設定變數 x = var('x')
• 無限大 oo
• 定義函數 f(x) = x^2 或 f = x^2
• 將x=a 代入函數 f.subs(x=a)
• 取極限 limit
• 微分 f.derivative
• 積分f.integral

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11. 矩陣理論（Matrix Theory）

矩陣

• 輸入矩陣 A = matrix(2, [1,2,3,4])
• 轉置 A.transpose()
• 反矩陣 A.inverse()
• 行列式值 A.determinant()
• 對角化 A.eigenmatrix_right()
• 右核 ker = A.right_kernel()
• 基底 ker.basis()
• $n\times n$ 單位矩陣 identity_matrix(n)

linalg

import numpy as np
import scipy.linalg as LA

• 隨機矩陣 A = np.random.randn(3,3)
• 解特徵值及特徵向量（一般矩陣） LA.eig(A)
• 解特徵值及特徵向量（一般矩陣） LA.eigh(A)

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12. 圖論（Graph Theory）

輸入圖

V = [0,1,2,3,4,5]
E = [(0,1), (1,2), (1,4), (3,4), (4,5)]
g = Graph([V, E])

內建的圖

• n 點路徑圖 graphs.PathGraph(n)
• n 點圈圖 graphs.CycleGraph(n)
• n 點完全圖 graphs.CompleteGraph(n)
• n 點星圖 graphs.StarGraph(n)
• d 維超立方體 graphs.CubeGraph(d)
• 彼得森圖 graphs.PetersenGraph()
• $G(n,p)$ 隨機圖（n 點，每邊以獨立機率 p 出現) graphs.RandomGNP(n,p)
• n 點隨機樹 graphs.RandomTree(n)

圖性質

• 點 g.vertices()
• 邊 g.edges(labels=False)
• 點數 g.order()
• 邊數 g.size()
• 度序列 g.degree_sequence()
• 是否連通 g.is_connected()
• 腰圍 g.girth()
• 相鄰矩陣 g.adjacency_matrix()
• 拉普拉斯矩陣 g.laplacian_matrix()

圖相關操作

• 加點
  $v$ g.add_vertex(v)
• 加邊
  $uv$ g.add_edge(v,u)
• 將兩張圖
  $g_1$ 及
  $g_2$ 合併 g1.disjoint_union(g2)

顯示圖

g.show(figsize=[2,2], 
       vertex_labels=False, 
       vertex_size=10, 
       vertex_colors={'red':[1,3], 'blue':[2,4], 'orange':[0]}, 
       edge_style='--')

• 畫布大小 figsize
• 是否顯示點的名稱 vertex_labels
• 點大小 vertex_size
• 點顏色 vertex_colors
• 邊格式 edge_style

設定點顯示的位置

graphs.CycleGraph(4)
pos = {0:(0,0), 1:(1,0), 2:(0,1), 3:(1,1)}
g.set_pos(pos)
g.show(figsize=[2,2])

• 回傳位置字典 pos = g.get_pos()
• 設置位置字典 g.set_pos(pos)
• 在建立圖時設定位置字典 Graph([V, E], pos=pos)