# 變異數分析（ANOVA） ###### tags: `biostatistic` {%hackmd BkVfcTxlQ %} 如果面對多組比較時，只單憑逐一倆倆比較會有過度檢定(overtesting)的問題， 只當一個檢定時type I error的$\alpha< .05$，但多個檢定集合的error就會被放大，<br> $1-(1-\alpha)^k$ ## 原理 + 組間變異($s^2_w$)>組內變異($s^2_b$)，兩者都被稱為均方(mean squares,MS)也是&sigma;<sup>2</sup>的估計值 + 以H<sub>0</sub>來說兩個均方的比值應該會很接近1，$s^2_b/s^2_w$的抽樣分布為*F* distribution 這個分布跟*t* distribution一樣是個家族，每對自由度對應一個分布 Fig. *F*分布的機率密度函數圖形 <img src="https://2aih25gkk2pi65s8wfa8kzvi-wpengine.netdna-ssl.com/statistics/files/2018/04/325px-F-distribution_pdf.svg_-300x225.png" style="zoom:100%" width=800 height=450> + 自由度有兩個，$s^2_b$有k-1個自由度，k為組數；$s^2_w$有N-k個自由度，N為總觀測數 + ANOVA計算 Table. One-way ANOVA k組資料之符號表示 $$ \left[ \begin{matrix} & 1 & 2 & \cdots & i & \cdots & k \\ & x_{11} & x_{21} & \cdots & x_{i1} & \cdots & x_{k1}\\ & x_{12} & x_{22} & \cdots & x_{i2} & \cdots & x_{k2}\\ & x_{13} & x_{23} & \cdots & x_{i3} & \cdots & x_{k3}\\ & \vdots & \vdots & & \vdots & & \vdots\\ & x_{1j} & x_{2j} & \cdots & x_{ij} & \cdots & x_{kj}\\ & \vdots & \vdots & & \vdots & & \vdots\\ & x_{1n_1} & x_{2n_2} & \cdots & x_{in_i} & \cdots & x_{kn_k} \\ 總和 &\sum{x_{1j}} & \sum{x_{2j}} & \cdots & \sum{x_{ij}} & \cdots & \sum{x_{kj}} & \sum\sum{x_{ij}} \\ 平均數 & \bar{x_1} & \bar{x_2} & \cdots & \bar{x_i} & \cdots & \bar{x_k} & \bar{x} \end{matrix} \right] $$ 組內平方和 $$ SS_b = [\frac{(\sum{(x_1)^2})}{n1}+\frac{(\sum{(x_2)^2})}{n2}+ \cdots]-\frac{(\displaystyle\sum^{k}_{i=1}\displaystyle\sum^n_{j=1}{x})^2}{N} $$ 組間平方和 $$ SS_w=\displaystyle\sum^k_{i=1}\displaystyle\sum^n_{j=1}{x^2}-[\frac{(\sum{x_1})^2}{n_1}+\frac{(\sum{x_2})^2}{n_2}+\cdots] $$ 總平方和 $$ SS_t=\displaystyle\sum^k_{i=1}\displaystyle\sum^n_{j=1}{x^2}-\frac{(\displaystyle\sum^k_{i=1}\displaystyle\sum^n_{j=1}{x})^2}{N} $$ 檢定統計量*F* $$ F=\frac{\displaystyle\sum_{i}{n_i(\bar{x_i}-\bar{x})^2/(k-1)}}{\displaystyle\sum_{ij}{(x_{ij}-\bar{x_i})^2/(N-k)}} $$ ## 事後檢定 - Tukey's HSD Test (honest significant difference) 檢定所有的成對之組間平均數是否相等 q統計量來自最大的平均值減最小的平均值，再除以所有族群其平均值之標準差。所有族群平均值的標準差之總和除以樣本數目稱為族群之的均方（Mean Square Within , MS<sub>w</sub>） 當成對的組間平均數差異大於HSD值 $HSD=q(\alpha, k, N-k)\sqrt{\frac{MS_w}{n}}$ 各組樣本數不同也適合 - Scheffee - Bonferroni - Dunnett - LSD: 這個算法只是逐一做t-test? 最大的顯著差異 (LSD) 成對多重比較檢定相當於所有成對群組間的多重個別 t 檢定。此檢定的缺點是不會嘗試調整多重比較的觀察顯著性層級。 ## 雙因子變異數分析 若效果因子A和B都是類別變數使用雙因子變異數分析，若A為類別變數，B為連續變數，則無法執行，須改為共變數分析 <a id = "manova"></a> ## 多因子變異數分析 > 李采娟、梁文敏、李佳霙、張玉君 (譯) (2008)。基礎生物統計學 (原作者：Kuzma and Bohnenblust)。變異數分析 (226-246頁)。台北市：雙葉書廊。（原著出版年：2004） > [F考驗與事後比較的問題！！(ANOVA AND POST HOC)](https://dasanlin888.pixnet.net/blog/post/34468892) > [多重比較分析檢定 | 中興大學 生物系統工程研究室 陳加忠](http://amebse.nchu.edu.tw/new_page_534.htm) > [多重比較 Multiple comparisons | 研究生2.0](https://researcher20.com/2010/05/27/%E5%A4%9A%E9%87%8D%E6%AF%94%E8%BC%83-multiple-comparisons/) > [單向變異數分析的事後檢定](https://www.ibm.com/support/knowledgecenter/zh-tw/SSLVMB_sub/statistics_mainhelp_ddita/spss/base/idh_onew_post.html) > [二因子變異數分析 (Two way ANOVA)-獨立樣本-統計說明與SPSS操作 | 永析](https://www.yongxi-stat.com/two-way-anova/)