# 變異數分析（ANOVA）
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{%hackmd BkVfcTxlQ %}

如果面對多組比較時，只單憑逐一倆倆比較會有過度檢定(overtesting)的問題，
只當一個檢定時type I error的$\alpha< .05$，但多個檢定集合的error就會被放大，<br>
$1-(1-\alpha)^k$

## 原理
+ 組間變異($s^2_w$)>組內變異($s^2_b$)，兩者都被稱為均方(mean squares,MS)也是&sigma;²的估計值
+ 以H₀來說兩個均方的比值應該會很接近1，$s^2_b/s^2_w$的抽樣分布為*F* distribution
這個分布跟*t* distribution一樣是個家族，每對自由度對應一個分布

Fig. *F*分布的機率密度函數圖形

<img src="https://2aih25gkk2pi65s8wfa8kzvi-wpengine.netdna-ssl.com/statistics/files/2018/04/325px-F-distribution_pdf.svg_-300x225.png" style="zoom:100%" width=800 height=450>

+ 自由度有兩個，$s^2_b$有k-1個自由度，k為組數；$s^2_w$有N-k個自由度，N為總觀測數
+ ANOVA計算

Table. One-way ANOVA k組資料之符號表示

$$
\left[
\begin{matrix}
& 1 & 2 & \cdots & i & \cdots & k \\
& x_{11} & x_{21} & \cdots & x_{i1} & \cdots & x_{k1}\\
& x_{12} & x_{22} & \cdots & x_{i2} & \cdots & x_{k2}\\
& x_{13} & x_{23} & \cdots & x_{i3} & \cdots & x_{k3}\\
& \vdots & \vdots & & \vdots & & \vdots\\
& x_{1j} & x_{2j} & \cdots & x_{ij} & \cdots & x_{kj}\\
& \vdots & \vdots & & \vdots & & \vdots\\
& x_{1n_1} & x_{2n_2} & \cdots & x_{in_i} & \cdots & x_{kn_k} \\
總和 &\sum{x_{1j}} & \sum{x_{2j}} & \cdots & \sum{x_{ij}} & \cdots & \sum{x_{kj}} & \sum\sum{x_{ij}} \\
平均數 & \bar{x_1} & \bar{x_2} & \cdots & \bar{x_i} & \cdots & \bar{x_k} & \bar{x}
\end{matrix}
\right]
$$

組內平方和

$$
SS_b = [\frac{(\sum{(x_1)^2})}{n1}+\frac{(\sum{(x_2)^2})}{n2}+ \cdots]-\frac{(\displaystyle\sum^{k}_{i=1}\displaystyle\sum^n_{j=1}{x})^2}{N}
$$

組間平方和

$$
SS_w=\displaystyle\sum^k_{i=1}\displaystyle\sum^n_{j=1}{x^2}-[\frac{(\sum{x_1})^2}{n_1}+\frac{(\sum{x_2})^2}{n_2}+\cdots]
$$

總平方和

$$
SS_t=\displaystyle\sum^k_{i=1}\displaystyle\sum^n_{j=1}{x^2}-\frac{(\displaystyle\sum^k_{i=1}\displaystyle\sum^n_{j=1}{x})^2}{N}
$$
檢定統計量*F*

$$
F=\frac{\displaystyle\sum_{i}{n_i(\bar{x_i}-\bar{x})^2/(k-1)}}{\displaystyle\sum_{ij}{(x_{ij}-\bar{x_i})^2/(N-k)}}
$$

## 事後檢定
- Tukey's HSD Test (honest significant difference)
檢定所有的成對之組間平均數是否相等
q統計量來自最大的平均值減最小的平均值，再除以所有族群其平均值之標準差。所有族群平均值的標準差之總和除以樣本數目稱為族群之的均方（Mean Square Within , MS_w）
當成對的組間平均數差異大於HSD值
$HSD=q(\alpha, k, N-k)\sqrt{\frac{MS_w}{n}}$
各組樣本數不同也適合
- Scheffee
- Bonferroni
- Dunnett
- LSD: 這個算法只是逐一做t-test?
最大的顯著差異 (LSD) 成對多重比較檢定相當於所有成對群組間的多重個別 t 檢定。此檢定的缺點是不會嘗試調整多重比較的觀察顯著性層級。

## 雙因子變異數分析

若效果因子A和B都是類別變數使用雙因子變異數分析，若A為類別變數，B為連續變數，則無法執行，須改為共變數分析

<a id = "manova"></a>
## 多因子變異數分析

> 李采娟、梁文敏、李佳霙、張玉君 (譯) (2008)。基礎生物統計學 (原作者：Kuzma and Bohnenblust)。變異數分析 (226-246頁)。台北市：雙葉書廊。（原著出版年：2004）

> [F考驗與事後比較的問題！！(ANOVA AND POST HOC)](https://dasanlin888.pixnet.net/blog/post/34468892)

> [多重比較分析檢定 | 中興大學 生物系統工程研究室 陳加忠](http://amebse.nchu.edu.tw/new_page_534.htm)

> [多重比較 Multiple comparisons | 研究生2.0](https://researcher20.com/2010/05/27/%E5%A4%9A%E9%87%8D%E6%AF%94%E8%BC%83-multiple-comparisons/)

> [單向變異數分析的事後檢定](https://www.ibm.com/support/knowledgecenter/zh-tw/SSLVMB_sub/statistics_mainhelp_ddita/spss/base/idh_onew_post.html)

> [二因子變異數分析 (Two way ANOVA)-獨立樣本-統計說明與SPSS操作 | 永析](https://www.yongxi-stat.com/two-way-anova/)