變異數分析（ANOVA）

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如果面對多組比較時，只單憑逐一倆倆比較會有過度檢定(overtesting)的問題，
只當一個檢定時type I error的

$\alpha <.05$，但多個檢定集合的error就會被放大，

$1-(1-\alpha {)}^k$

原理

• 組間變異(
  $s_w^2$)>組內變異(
  $s_b^2$)，兩者都被稱為均方(mean squares,MS)也是σ²的估計值
• 以H₀來說兩個均方的比值應該會很接近1，
  $s_b^2/s_w^2$的抽樣分布為F distribution
  這個分布跟t distribution一樣是個家族，每對自由度對應一個分布

Fig. F分布的機率密度函數圖形

• 自由度有兩個，
  $s_b^2$有k-1個自由度，k為組數；
  $s_w^2$有N-k個自由度，N為總觀測數
• ANOVA計算

Table. One-way ANOVA k組資料之符號表示

$$\left[\begin{array}{ccccccc}& 1& 2& \cdots & i& \cdots & k\\ & x_{11}& x_{21}& \cdots & x_{i1}& \cdots & x_{k1}\\ & x_{12}& x_{22}& \cdots & x_{i2}& \cdots & x_{k2}\\ & x_{13}& x_{23}& \cdots & x_{i3}& \cdots & x_{k3}\\ & ⋮& ⋮& & ⋮& & ⋮\\ & x_{1j}& x_{2j}& \cdots & x_{ij}& \cdots & x_{kj}\\ & ⋮& ⋮& & ⋮& & ⋮\\ & x_{1n_1}& x_{2n_2}& \cdots & x_{i{n}_i}& \cdots & x_{k{n}_k}\\ \mathrm{總}\mathrm{和}& \sum x_{1j}& \sum x_{2j}& \cdots & \sum x_{ij}& \cdots & \sum x_{kj}& \sum \sum x_{ij}\\ \mathrm{平}\mathrm{均}\mathrm{數}& \overline{x_1}& \overline{x_2}& \cdots & \overline{x_i}& \cdots & \overline{x_k}& \overline{x}\end{array}\right]$$

組內平方和

$$S{S}_b=[\frac{(\sum (x_1{)}^2)}{n1}+\frac{(\sum (x_2{)}^2)}{n2}+\cdots ]-\frac{({\displaystyle \sum _{i=1}^k{\displaystyle \sum _{j=1}^{n}x{)}^2}}}{N}$$

組間平方和

$$S{S}_w={\displaystyle \sum _{i=1}^k{\displaystyle \sum _{j=1}^n{x}^2-[\frac{(\sum x_1{)}^2}{n_1}+\frac{(\sum x_2{)}^2}{n_2}+\cdots ]}}$$

總平方和

$$S{S}_t={\displaystyle \sum _{i=1}^k{\displaystyle \sum _{j=1}^n{x}^2-\frac{({\displaystyle \sum _{i=1}^k{\displaystyle \sum _{j=1}^{n}x{)}^2}}}{N}}}$$
檢定統計量F

$$F=\frac{{\displaystyle \sum _i{n}_i(\overline{x_i}-\overline{x}{)}^2/(k-1)}}{{\displaystyle \sum _{ij}(x_{ij}-\overline{x_i}{)}^2/(N-k)}}$$

事後檢定

• Tukey's HSD Test (honest significant difference)
  檢定所有的成對之組間平均數是否相等
  q統計量來自最大的平均值減最小的平均值，再除以所有族群其平均值之標準差。所有族群平均值的標準差之總和除以樣本數目稱為族群之的均方（Mean Square Within , MS_w）
  當成對的組間平均數差異大於HSD值
  
  $HSD=q(\alpha ,k,N-k)\sqrt{\frac{M{S}_w}{n}}$
  各組樣本數不同也適合
• Scheffee
• Bonferroni
• Dunnett
• LSD: 這個算法只是逐一做t-test?
  最大的顯著差異 (LSD) 成對多重比較檢定相當於所有成對群組間的多重個別 t 檢定。此檢定的缺點是不會嘗試調整多重比較的觀察顯著性層級。

雙因子變異數分析

若效果因子A和B都是類別變數使用雙因子變異數分析，若A為類別變數，B為連續變數，則無法執行，須改為共變數分析

多因子變異數分析

李采娟、梁文敏、李佳霙、張玉君 (譯) (2008)。基礎生物統計學 (原作者：Kuzma and Bohnenblust)。變異數分析 (226-246頁)。台北市：雙葉書廊。（原著出版年：2004）

F考驗與事後比較的問題！！(ANOVA AND POST HOC)

多重比較分析檢定 | 中興大學 生物系統工程研究室 陳加忠

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單向變異數分析的事後檢定

二因子變異數分析 (Two way ANOVA)-獨立樣本-統計說明與SPSS操作 | 永析