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109交大資工系數學考題

題目都是單選題，但是我沒記選項，所以就以計算題呈現。

1. 有五枚外觀一樣的硬幣，其中四枚是真幣，投擲時正面朝上的機率為

   $\frac{1}{2}$ ；另外一枚是偽幣，投擲時正面朝上的機率為
   $\frac{3}{4}$ 。現在從這五枚硬幣中隨機抽取一枚投擲。
   (1) 若投擲一次正面朝上，求他是偽幣的機率。
   (2) 若投擲兩次，至少有一次正面朝上，求他是偽幣的機率。

2. 交大小木屋鬆餅有三種口味，某人連續

   $6$ 天都隨機選一個口味來吃，求他在這
   $6$ 天三種口味都吃到的機率。
   考慮以以下方法計算：令
   $S(n,k)$ 為將
   $n$ 個相異物品分為
   $k$ 堆的方法數，則答案就是
   $\frac{3!\cdot S(6,3)}{3^6}$ 。其中，
   $S(n,k)$ 可以藉由表示成與
   $S(n-1,k-1)$ 及
   $S(n-1,k)$ 相關的遞迴式求得。
   (1) 求
   $S(n,k)$ 、
   $S(n-1,k-1)$ 、
   $S(n-1,k)$ 之間的關係式。
   (2) 計算原問題的答案。

3. 已知一個「置換矩陣」為一個

   $n\times n$ 矩陣，滿足每個元素都是
   $0$ 或
   $1$ ，且每行每列中恰有一個
   $1$ 。
   (1) 求有多少個
   $n\times n$ 的置換矩陣 （以
   $n$ 表示）
   (2) 令
   $A$ 為任意一個置換矩陣，則下列哪些必定成立？

• $A^{-1}=A$
• $A^{-1}=A^T$
  (3) 令
  $B$ 為交換一個單位矩陣的任意兩行形成的矩陣，則下列哪些必定成立？
• $B^{-1}=B$
• $B^{-1}=B^T$

4. 給定一些向量，若沒有向量可用有限個其他向量的線性組合所表示，則稱為線性無關或線性獨立，反之稱為線性相關。
   (1) 下列哪組向量線性相關？（我沒記選項）
   (2) 已知有
   $n$ 個
   $m$ 維向量。當下列何者成立時，這些向量必定線性相依？

• $n>m$
• $n=m$
• $n<m$
  (3) 已知
  $\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2},\overrightarrow{v_3}$ 為線性無關向量。令
  $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ 為三條向量，滿足
  $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_2},\overrightarrow{b}=\overrightarrow{v_2}+\overrightarrow{v_3}$，則當
  $\overrightarrow{c}$ 為下列何者時，
  $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ 線性無關？
• $\overrightarrow{c}=\overrightarrow{v_1}-\overrightarrow{v_3}$
• $\overrightarrow{c}=\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_3}$
• $\overrightarrow{c}=\overrightarrow{v_3}-\overrightarrow{v_1}$
• $\overrightarrow{c}=\overrightarrow{v_1}+2\overrightarrow{v_2}+\overrightarrow{v_3}$

5. 已知在座標平面中有三點

   $A(0,0),B(64,180),C(99,0)$ 。考慮以以下方法估計這三個點形成的三角形面積
   $A$：令
   $x$ 為完全位於三角形內的單位方格數量，
   $y$ 為部分位於三角形內的單位方格數量，則
   $A=x+\frac{1}{2}y$ 。
   (1) 求
   $x$ 。
   (2) 求
   $y$ 。
   (3) 求
   $A$ 。

6. 座標平面上有一面鏡子，其軌跡

   $\mathrm{\Gamma }$ 為由以下方程定義的曲線：
   
   $$\{\begin{array}{ll}\frac{1}{3}{x}^2& \text{if }x\ge 0\\ -\frac{1}{2}x& \text{if }x<0\end{array}$$
   已知
   $\mathrm{\Gamma }$ 上有兩點
   $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$ ，其中
   $x_1>0,x_2<0$。一道雷射光由
   $(x_1,\mathrm{\infty })$ 出發，經由
   $A,B$ 兩點反射後抵達
   $(x_2,\mathrm{\infty })$ ，雷射光的路徑皆滿足光學原理。
   (1) 求
   $x_1$ 。
   (2) 求
   $AB$ 的斜率。