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# 109交大資工系數學考題
題目都是單選題，但是我沒記選項，所以就以計算題呈現。

1. 有五枚外觀一樣的硬幣，其中四枚是真幣，投擲時正面朝上的機率為 $\frac{1}{2}$ ；另外一枚是偽幣，投擲時正面朝上的機率為 $\frac{3}{4}$ 。現在從這五枚硬幣中隨機抽取一枚投擲。
(1) 若投擲一次正面朝上，求他是偽幣的機率。
(2) 若投擲兩次，至少有一次正面朝上，求他是偽幣的機率。

2. 交大小木屋鬆餅有三種口味，某人連續 $6$ 天都隨機選一個口味來吃，求他在這 $6$ 天三種口味都吃到的機率。
考慮以以下方法計算：令 $S(n,k)$ 為將 $n$ 個相異物品分為 $k$ 堆的方法數，則答案就是 $\frac{3! \cdot S(6,3)}{3^6}$ 。其中， $S(n,k)$ 可以藉由表示成與 $S(n-1,k-1)$ 及 $S(n-1,k)$ 相關的遞迴式求得。
(1) 求 $S(n,k)$ 、 $S(n-1,k-1)$ 、 $S(n-1,k)$ 之間的關係式。
(2) 計算原問題的答案。

3. 已知一個「置換矩陣」為一個 $n \times n$ 矩陣，滿足每個元素都是 $0$ 或 $1$ ，且每行每列中恰有一個 $1$ 。
(1) 求有多少個 $n \times n$ 的置換矩陣 （以 $n$ 表示）
(2) 令 $A$ 為任意一個置換矩陣，則下列哪些必定成立？
* $A^{-1} = A$
* $A^{-1} = A^{T}$
(3) 令 $B$ 為交換一個單位矩陣的任意兩行形成的矩陣，則下列哪些必定成立？
* $B^{-1} = B$
* $B^{-1} = B^{T}$

4. 給定一些向量，若沒有向量可用有限個其他向量的線性組合所表示，則稱為線性無關或線性獨立，反之稱為線性相關。
(1) 下列哪組向量線性相關？（我沒記選項）
(2) 已知有 $n$ 個 $m$ 維向量。當下列何者成立時，這些向量必定線性相依？
* $n>m$
* $n=m$
* $n<m$
(3) 已知 $\vec{v_{1}},\vec{v_{2}},\vec{v_{3}}$ 為線性無關向量。令 $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ 為三條向量，滿足 $\vec{a}=\vec{v_{1}}+\vec{v_{2}},\vec{b}=\vec{v_{2}}+\vec{v_{3}}$，則當 $\vec{c}$ 為下列何者時，$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ 線性無關？
* $\vec{c}=\vec{v_{1}}-\vec{v_3}$
* $\vec{c}=\vec{v_{1}}+\vec{v_3}$
* $\vec{c}=\vec{v_{3}}-\vec{v_1}$
* $\vec{c}=\vec{v_1}+2\vec{v_2}+\vec{v_3}$

5. 已知在座標平面中有三點 $A(0,0),B(64,180),C(99,0)$ 。考慮以以下方法估計這三個點形成的三角形面積 $A$：令 $x$ 為完全位於三角形內的單位方格數量， $y$ 為部分位於三角形內的單位方格數量，則 $A=x+\frac{1}{2}y$ 。
(1) 求 $x$ 。
(2) 求 $y$ 。
(3) 求 $A$ 。

6. 座標平面上有一面鏡子，其軌跡 $\Gamma$ 為由以下方程定義的曲線：
\begin{cases}
\frac{1}{3} x^2 & \quad \text{if } x\geq0\\
-\frac{1}{2}x & \quad \text{if } x<0
\end{cases}
已知 $\Gamma$ 上有兩點 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$ ，其中 $x_1>0,x_2<0$。一道雷射光由 $(x_1,\infty)$ 出發，經由 $A,B$ 兩點反射後抵達 $(x_2,\infty)$ ，雷射光的路徑皆滿足光學原理。
(1) 求 $x_1$ 。
(2) 求 ${AB}$ 的斜率。