# 23/12/29

## Bài toán
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, phân giác $AD$. Hạ $DI$ vuông góc với $AC$. Khi đó ta có:

$$\frac{1}{AI} = \frac{1}{AB} + \frac{1}{AC} = \frac{\sqrt{2}}{AD}.$$

\
$DI \parallel AB$ (cùng vuông với $AC$), áp dụng định lý Ta-lét và tính chất đường phân giác:
$$\frac{CI}{AI} = \frac{CD}{BD} = \frac{AC}{AB} \Rightarrow \frac{CI + AI}{AI} = \frac{AB + AC}{AB} \Rightarrow \frac{AC}{AI} = \frac{AB + AC}{AB}$$

$$\Rightarrow AI = \frac{AC \cdot AB}{AC + AB} \Rightarrow \frac{1}{AI} = \frac{1}{AB} + \frac{1}{AC} \ (1).$$

Nhận thấy $\Delta IAD$ vuông cân tại $I$ $\Rightarrow AD = AI\sqrt{2}$ hay $\frac{1}{AI} = \frac{\sqrt{2}}{AD} (2)$.

Từ $(1)$ và $(2)$ ta được hệ thức cần chứng minh.

## Mở rộng
**1**
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Dựng về phía ngoài $\Delta ABC$ hai tam giác $ABF$, $ACE$ lần lượt vuông cân tại $B$ và $C$. $I'$, $I$ lần lượt là giao điểm của $FC$, $EB$ với $AB$, $AC$. Khi đó:
- $\Delta AI'I$ vuông cân tại $A$ và có cạnh góc vuông bằng $\frac{1}{AB} + \frac{1}{AC}$.
- Đường phân giác ngoài góc $BAC$ đi qua $E$ và $F$.

**2**
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, hạ $DI$ vuông góc với $AC$ với $D$ là chân đường phân giác kẻ từ $A$. Gọi $E$ là giao điểm của $BI$ với đường vuông góc với $AC$. Khi đó $\Delta ACE$ vuông cân tại $C$.