23/12/29

Bài toán

Cho tam giác

$ABC$ vuông tại

$A$, phân giác

$AD$. Hạ

$DI$ vuông góc với

$AC$. Khi đó ta có:

$$\frac{1}{AI}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}=\frac{\sqrt{2}}{AD}.$$

$DI\parallel AB$ (cùng vuông với

$AC$), áp dụng định lý Ta-lét và tính chất đường phân giác:

$$\frac{CI}{AI}=\frac{CD}{BD}=\frac{AC}{AB}\Rightarrow \frac{CI+AI}{AI}=\frac{AB+AC}{AB}\Rightarrow \frac{AC}{AI}=\frac{AB+AC}{AB}$$

$$\Rightarrow AI=\frac{AC\cdot AB}{AC+AB}\Rightarrow \frac{1}{AI}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}(1).$$

Nhận thấy

$\mathrm{\Delta }IAD$ vuông cân tại

$I$

$\Rightarrow AD=AI\sqrt{2}$ hay

$\frac{1}{AI}=\frac{\sqrt{2}}{AD}(2)$.

Từ

$(1)$ và

$(2)$ ta được hệ thức cần chứng minh.

Mở rộng

1
Cho tam giác

$ABC$ vuông tại

$A$. Dựng về phía ngoài

$\mathrm{\Delta }ABC$ hai tam giác

$ABF$,

$ACE$ lần lượt vuông cân tại

$B$ và

$C$.

$I^{\prime }$,

$I$ lần lượt là giao điểm của

$FC$,

$EB$ với

$AB$,

$AC$. Khi đó:

• $\mathrm{\Delta }A{I}^{\prime }I$ vuông cân tại
  $A$ và có cạnh góc vuông bằng
  $\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}$.
• Đường phân giác ngoài góc
  $BAC$ đi qua
  $E$ và
  $F$.

2
Cho tam giác

$ABC$ vuông tại

$A$, hạ

$DI$ vuông góc với

$AC$ với

$D$ là chân đường phân giác kẻ từ

$A$. Gọi

$E$ là giao điểm của

$BI$ với đường vuông góc với

$AC$. Khi đó

$\mathrm{\Delta }ACE$ vuông cân tại

$C$.