# Koro Lösungen

## Aufgabe 1: "Das Seil tickt"

Die entscheidende Idee ist, dass ein Seil an beiden Enden angezündet werden kann, und ab diesem Moment doppelt so schnell abbrennt. MoRo kann dies nutzen, indem er das erste Seil direkt an beiden Enden anzündet, das zweite aber nur an einem Ende. Nach 30 Minuten ist das erste Seil vollständig abgebrannt. Er zündet nun auch das andere Ende vom zweiten Seil an. Dieses hatte noch 30 Minuten Brennzeit übrig, die sich damit dann auf 15 Minuten halbiert. Sobald das zweite Seil also auch abgebrannt ist, sind insgesamt 45 Minuten vergangen.

## Aufgabe 2: "Din-A-Knick"


Abgebildet ist ein KoRo-Etikett im Format DIN A7, also mit $\overline{AB} = 74$ und $\overline{BC} = 105$. Gesucht ist die Länge des Knicks $\overline{FG}$, der sich ergibt, wenn man $A$ auf $C$ faltet. Wichtig zur Lösung ist dabei, zu erkennen, dass der Knick $\overline{FG}$ die Diagonale $\overline{AC}$ im rechten Winkel schneidet (im Punkt $E$). Mit dieser Einsicht lässt sich die Knicklänge mit etwas Pythagoras und ähnlichen Dreiecken berechnen:

Die Dreiecke $A,B,C$ und $C,E,F$ haben beide jeweils einen Winkel $\gamma$ und einen rechten Winkel, sind also ähnliche Dreiecke. Entsprechend lassen sich ihre Seitenlängen ins Verhältnis setzen als $\frac{\overline{AB}}{\overline{BC}} = \frac{\overline{EF}}{\overline{CE}}$. Mit Pythagoras können wir $\overline{CE}$ berechnen: $\overline{CE} = \frac{1}{2}\overline{AC} = \frac{1}{2}\sqrt{\overline{AB}^2 + \overline{BC}^2}$.

Zusammen ergibt sich damit für die Knicklänge $\overline{FG}$:
$\overline{FG} = 2\overline{EF} = 2\frac{\overline{AB}}{\overline{BC}}\overline{CE} = \frac{\overline{AB}}{\overline{BC}}\sqrt{\overline{AB}^2 + \overline{BC}^2} = \frac{74}{105}\sqrt{74^2 + 105^2} \approx 90.53$

Die Knicklänge beträgt also ca. $90.53\text{mm}$.

## Aufgabe 3: "Die 12 Coquitos"

Da es 12 Coquitos gibt, von denen genau eine entweder leichter oder schwerer ist als der Rest, gibt es insgesamt 24 verschiedene Szenarien, die von einander unterschieden werden müssen. Dafür darf die Waage dreimal genutzt werden. Da jedes Wiegen drei Ergebnisse haben kann (links schwerer / rechts schwerer / gleich schwer), gibt es insgesamt $3 * 3 * 3 = 27$ mögliche Ergebnisse des Wiegens. Die Herausforderung besteht also darin, das Wiegen so vorzunehmen, dass sich die 24 Szenarien so auf die 27 Ergebnisse verteilen, dass sie eindeutig unterscheidbar sind. Man sieht also sofort, dass es schon theoretisch nur knapp möglich ist, die Aufgabe erfolgreich zu lösen. Tatsächlich gibt es aber eine solche Lösung:

* erstes Wiegen: links: 1,2,3,4. rechts: 5,6,7,8
* links schwerer:
zweites Wiegen: links: 1,2,5. rechts: 3,4,6
* links schwerer:
drittes Wiegen: links: 1. rechts: 2
* links schwerer: Coquito 1 ist schwerer
* rechts schwerer: Coquito 2 ist schwerer
* gleich schwer: Coquito 6 ist leichter
* rechts schwerer:
drittes Wiegen: links: 3. rechts: 4
* links schwerer: Coquito 3 ist schwerer
* rechts schwerer: Coquito 4 ist schwerer
* gleich schwer: Coquito 5 ist leichter
* gleich schwer:
drittes Wiegen: links: 1. rechts: 7
* links schwerer: Coquito 7 ist leichter
* gleich schwer: Coquito 8 ist leichter
* rechts schwerer:
zweites Wiegen: links: 1,2,5. rechts: 3,4,6
* links schwerer:
drittes Wiegen: links: 3. rechts: 4
* links schwerer: Coquito 4 ist leichter
* rechts schwerer: Coquito 3 ist leichter
* gleich schwer: Coquito 5 ist schwerer
* rechts schwerer:
drittes Wiegen: links: 1. rechts: 2
* links schwerer: Coquito 2 ist leichter
* rechts schwerer: Coquito 1 ist leichter
* gleich schwer: Coquito 6 ist schwerer
* gleich schwer:
drittes Wiegen: links: 1. rechts: 7
* rechts schwerer: Coquito 7 ist schwerer
* gleich schwer: Coquito 8 ist schwerer
* gleich schwer:
zweites Wiegen: links: 1,9. rechts: 10,11
* links schwerer:
drittes Wiegen: links: 10. rechts: 11
* links schwerer: Coquito 11 ist leichter
* rechts schwerer: Coquito 10 ist leichter
* gleich schwer: Coquito 9 ist schwerer
* rechts schwerer:
drittes Wiegen: links: 10. rechts: 11
* links schwerer: Coquito 10 ist schwerer
* rechts schwerer: Coquito 11 ist schwerer
* gleich schwer: Coquito 9 ist leichter
* gleich schwer:
drittes Wiegen: links: 1. rechts: 12
* links schwerer: Coquito 12 ist leichter
* rechts schwerer: Coquito 12 ist schwerer

## Aufgabe 4: "Berliner Schnauze"

Seeberger hat sich zwei Zahlen zwischen 1 und 100 ausgedacht. Da es keine feste Reihenfolge der Zahlen gibt - das Paar (2, 3) ist also identisch mit (3, 2), gibt es insgesamt 4851 verschiedene mögliche Paare. Aus diesen Möglichkeiten soll nun das eine tatsächliche Paar gefunden werden. Dazu erhalten KoRo und MoRo jeweils eine zusätzliche Information: KoRo das Produkt, MoRo die Summe der Zahlen. Das erlaubt beiden direkt, die aus ihrer jeweiligen Sicht möglichen Paare zu reduzieren. Im Folgenden entwickelt sich dann eine Konversation, wo beide Statements machen, die es dem anderen jeweils erlauben, die Nummer der möglichen Paare weiter zu reduzieren, bis am Ende beide nur noch ein mögliches Paar haben, also die Zahlen kennen. Als außenstehende Beobachter fällt uns nun die gleiche Aufgabe zu: Wir starten mit allen 4851 Paaren, und müssen durch jedes Statement Paare ausschließen, bis am Ende (hoffentlich) auch wir die Zahlen kennen.

Von den insgesamt 4 Statements haben 3 eine sehr ähnliche Form: "Ich hab' keen Plan, welche dit sind.", "Jetze kenn' ick die beiden Zahlen." und "Icke och jetze." sind alles Aussagen über die Zahl der verbleibenden möglichen Paare aus Sicht des jeweiligen Sprechers.

KoRos erstes Statement: "Ich hab' keen Plan, welche dit sind."
KoRo kennt das Produkt der beiden Zahlen. Man kann entsprechend folgern, dass dieses Produkt nicht einzigartig ist, sich also aus mehreren verschiedenen Paaren ergeben würde. Während das bei der Summe kaum eine hilfreiche Information wäre (nur die Summen 2+2=4 und 99+99=198 sind einzigartig), gibt es deutlich mehr Produkte (insgesamt 1775), die nur einem einzigen Paar zuzuordnen wären. Schließt man all diese aus (ein Computer hilft hier), bleiben von den 4851 Paaren noch 3076 mögliche Paare.

MoRos erstes Statement: "Dit war mir kla!"
Dies ist das einzige ungewöhnliche Statement. Statt eine Aussage über sein eigenes Wissen möglicher Paare zu machen, sagt MoRo, er wusste bereits, dass KoRo kein einzigartiges Produkt gesagt bekommen hatte. Auch hier ist es aber nicht schwer, die Paare zu finden, die sich nun ausschließen lassen: Insgesamt gab es 1775 Paare mit einzigartigem Produkt. All deren Summen kann MoRo also nicht gesagt bekommen haben, sonst hätte er sich nicht sicher sein können. Man kann also nun von den 3076 noch möglichen Paaren all die entfernen, die eine dieser "unklaren" Summen haben. Tut man das, bleiben nur 145 Paare übrig.

KoRos zweites Statement: "Jetze kenn' ick die beiden Zahlen."
KoRo sieht nun also nur noch ein mögliches Paar. Da er auch wie wir nur die Paare mit "unklaren" Summen ausschließen konnte, heißt das, dass sein Produkt nur ein Paar mit "klarer" Summe (also nur eins aus unseren 145) zulässt. Wir können also die 145 Paare nun um die reduzieren, die ein gemeinsames Produkt haben (denn wäre das sein Produkt, hätte er sich noch nicht sicher sein können). Nach dieser Reduktion bleiben noch 86 Paare.

MoRos zweites Statement: "Icke och jetze."
Auch MoRo hat nun also nur noch ein mögliches Paar. Wieder können wir die gleiche Argumentation verwenden: Wäre seine Summe kompatibel mit mehr als einem unserer verbleibenden 86 Paare, könnte er sich zwischen diesen verbleibenden Paaren noch nicht sicher sein. Seine Summe muss also eine unter den 86 Paaren einzigartige sein. Und wir haben Glück: Es gibt nur eine einzige einzigartige Summe (17), mit dem zugehörigen Paar (4, 13). Somit haben auch wir also Seebergers Rätsel gelöst.