和角差角二倍角與半角的真諦

作者: TudoHuang

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$Abstract$

一開始看到三角函數的和角、差角、二倍角與半角公式時，許多人都會有一種霧裡看花的感覺，不明所以。但是在了解真諦之後就能一式秒解，就讓我們繼續看下去…

目錄

• 公式
  • 和角公式
  • 差角公式
  • 二倍角公式
  • 半角公式
• 複數平面
  • 複數的定義
  • 複數平面的結構
• 歐拉公式
• 和角差角二倍角與半角
  • 和角
  • 差角
  • 二倍角
  • 半角
• 附錄
  • 微分
  • 自然指數
  • 泰勒展開式

公式

和角公式

1. 正弦和角公式：

   $\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$

2. 餘弦和角公式：

   $\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$

差角公式

1. 正弦差角公式：

   $\sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta$

2. 餘弦差角公式：

   $\cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$

二倍角公式

1. 正弦二倍角公式：

   $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$

2. 餘弦二倍角公式：

   $\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha$
   另外也可以表示為：
   
   $\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1=1-2{\sin }^2\alpha$

半角公式

1. 正弦半角公式：

   $\sin \frac{\alpha }{2}=\sqrt{\frac{1-\cos \alpha }{2}}$

2. 餘弦半角公式：

   $\cos \frac{\alpha }{2}=\sqrt{\frac{1+\cos \alpha }{2}}$

複數平面(Complex)

在深入探討和角、差角、二倍角與半角公式之前，我們必須先瞭解複數平面

1. 複數的定義

複數是實數與虛數的組合，形式上可以表示為

$a+bi$，其中

$a,b\in R$，而

$i\in C$ 是虛數單位，滿足

$i^2=-1$。

$a$ 是複數的實部，

$b$ 是複數的虛部。

2. 複數平面的結構

複數平面是一個二維平面，其中水平軸(

$x$軸)代表複數的實部，垂直軸(

$y$軸)代表複數的虛部。每一個點在這個平面上都可以唯一對應到一個複數。

歐拉公式

自然指數

$e=2.7182818281828.....$
而歐拉公式為

$e^{i\theta }=\cos \theta +i\cos \theta$
了解? 詳細證明可見附錄。

十大最美公式:

$e^{i\pi }+1=0$

了解這個公式之後呢，就可以開始來做和角差角二倍角與半角

可以看看這個(裡面的對手就是

$e^{i\pi }$):

和角差角二倍角與半角

首先先來做做看和角(注意看，一個歐拉公式解決sin+cos):

和角

$$\begin{array}{r}\text{欲求 }\sin (\alpha +\beta )\text{ 及 }\cos (\alpha +\beta )\text{:}\\ e^{i(\alpha +\beta )}& =e^{i\alpha }\times e^{i\beta }\\ e^{i\alpha }& =\cos \alpha +i\sin \alpha \\ e^{i\beta }& =\cos \beta +i\sin \beta \\ e^{i(\alpha +\beta )}& =(\cos \alpha +i\sin \alpha )\times (\cos \beta +i\sin \beta )\\ \text{乘開之後得到:}\\ e^{i(\alpha +\beta )}& =(\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta )+i(\cos \alpha \sin \beta +\sin \alpha \cos \beta )\end{array}$$

所以，我們得到了

$e^{i(\alpha +\beta )}=(\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta )+i(\cos \alpha \sin \beta +\sin \alpha \cos \beta )$
注意實部

$(\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta )$是否等於

$cos(\alpha +\beta )$而虛部

$(\cos \alpha \sin \beta +\sin \alpha \cos \beta )$是否等於

$sin(\alpha +\beta )$，會發現ㄟ，一模一樣!COOL~
那再繼續把它做完!

差角

$$\begin{array}{rl}{e}^{i(\alpha -\beta )}& =e^{i\alpha }\times e^{-i\beta }\\ e^{i\alpha }& =\cos \alpha +i\sin \alpha \\ e^{-i\beta }& =\cos (-\beta )+i\sin (-\beta )=\cos \beta -i\sin \beta \\ e^{i(\alpha -\beta )}& =(\cos \alpha +i\sin \alpha )\times (\cos \beta -i\sin \beta )\\ \text{乘開之後得到:}\\ e^{i(\alpha -\beta )}& =(\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta )+i(\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta )\end{array}$$
檢查一下，也是一樣~

二倍角

$$\begin{array}{rl}{e}^{i(2\alpha )}& =(e^{i\alpha }{)}^2\\ e^{i\alpha }& =\cos \alpha +i\sin \alpha \\ e^{i(2\alpha )}& =(\cos \alpha +i\sin \alpha {)}^2\\ \text{乘開後得到:}\\ e^{i(2\alpha )}& =({\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha )+i(2\sin \alpha \cos \alpha )\end{array}$$

半角

$$\begin{array}{rl}\cos (2\theta )& =2{\cos }^2\theta -1\\ {\cos }^2\theta & =\frac{1+\cos (2\theta )}{2}\\ \cos \left(\frac{\alpha }{2}\right)& =\sqrt{\frac{1+\cos \alpha }{2}}\\ {\sin }^2\theta & =1-{\cos }^2\theta \\ \sin \left(\frac{\alpha }{2}\right)& =\sqrt{\frac{1-\cos \alpha }{2}}\end{array}$$
也跟預設一樣呢~

附錄

附錄

微分

導數代表了一個函數在某一點上的瞬間變化率，也就是高一說的局部特徵

定義：

$$f^{\prime }(a)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

這個極限表示當

$h$（變化量）接近於零時，函數

$f(a+h)$ 與

$f(a)$ 之間差值與

$h$ 的比值。導數

$f^{\prime }(a)$ 可以被理解為在

$a$ 點的切線斜率。

簡化計算

對於形式為

$f(x)=k{x}^i$ 的函數，其導數可以直接通過下面的公式計算：

$$f^{\prime }(x)=k\times i{x}^{i-1}$$

EX：

1. 函數

   $f(x)=x^2$
   
   $$f^{\prime }(x)=2x$$

2. 函數

   $g(x)=2x$
   
   $$g^{\prime }(x)=2$$

給自己打廣告:有興趣的話可以去看我講的淺薄的偏微分

自然指數

自然對數的底數

$e$約為2.71828，常用於計算複利、生長衰減模型。

$e$的重要性在於它的自然增長特性，當函數的增長速率與其自身的大小成比例時，這種自然增長率可以用

$e$來描述。

$(e^x)\prime =e^x$(

$e^x$的導數=自己)cool~
順便來證明一下

$e$，主要是想找到一個數字

$e$，

$(e^x)\prime =e^x$

利用極限定義

$e$

自然對數的底數

$e$ 最初是作為下面極限的結果而被定義的：

$e=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{n})}^n$

這個極限展示了一個初始單位數量，並讓它以每單位時間增加

$\frac{1}{n}$的速率自然增長

$n$ 次時，隨著

$n$趨近無窮大，結果會趨近於

$e$。
來看code:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 設置一系列的 n 值
n_values = np.arange(1, 10000, 50)
e_approximations = (1 + 1/n_values) ** n_values

# 繪製 n 值與 e 的近似值
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(n_values, e_approximations, label='$(1 + 1/n)^n$', color='b')
plt.axhline(y=np.e, color='r', linestyle='--', label='e (approx. 2.71828)')

plt.title('Convergence of $(1 + 1/n)^n$ to $e$')
plt.xlabel('n')
plt.ylabel('Approximation of $e$')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

泰勒展開式

要證明歐拉公式一定要弄這工具
他是一個強大的工具，用於將一個在一點附近的可微函數近似為多項式，從而簡化計算和分析。
其實高一就有碰過這感覺，(簡化版本的)，讓我們來看看

$100x^3+70x^2+5x+1=a(x-1{)}^3+b(x-1{)}^2+c(x-1)+d$(大概長這樣，係數我亂寫的)
而真正的泰勒展開式呢，是這樣算的:

$$f(x)=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)+\frac{f^{″}(a)}{2!}(x-a{)}^2+\frac{f^{‴}(a)}{3!}(x-a{)}^3+\cdots +\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a{)}^n+R_n(x)$$

$f^{(n)}(a)\mathrm{是}f\mathrm{在}\mathrm{點}a\mathrm{的}n\mathrm{階}\mathrm{導}\mathrm{數}$、

$n!=n\times (n-1)\times (n-2)\times \cdots \times 1$、

$(x-a{)}^n\mathrm{是}x\mathrm{與}a\mathrm{差}\mathrm{值}\mathrm{得}n\mathrm{次}\mathrm{方}$，而

$R_n$是餘項，也可以說是n階泰勒展開式與實際函數的誤差讓我們展開

$e$,

$\cos$,

$\sin$吧!

展開

$e$

$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}$

$x$換成

$i\theta$

$e^{i\theta }=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(i\theta {)}^n}{n!}$
因為

$i^0=1,i^1=i,i^2=-1,i^3=-i,i^4=1,\dots$
所以要將實部與虛部分開!

$e^{i\theta }=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(i\theta {)}^n}{n!}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{i^n{\theta }^n}{n!}$

$e^{i\theta }=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k{\theta }^{2k}}{(2k)!}+i\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k{\theta }^{2k+1}}{(2k+1)!}$

展開

$\cos \theta$

$\cos \theta =\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k{\theta }^{2k}}{(2k)!}$

展開

$\sin \theta$

$\sin \theta =\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k{\theta }^{2k+1}}{(2k+1)!}$

就會發現ㄟ，

$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$
owo