# 和角差角二倍角與半角的真諦
作者: TudoHuang

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## $Abstract$
一開始看到三角函數的和角、差角、二倍角與半角公式時，許多人都會有一種霧裡看花的感覺，不明所以。但是在了解真諦之後就能一式秒解，就讓我們繼續看下去...
## 目錄
- [公式](##公式)
- [和角公式](##和角公式)
- [差角公式](##差角公式)
- [二倍角公式](##=二倍角公式)
- [半角公式](##半角公式)
- [複數平面](##複數平面(Complex))
- [複數的定義](###1.-複數的定義)
- [複數平面的結構](###2.-複數平面的結構)
- [歐拉公式](##歐拉公式)
- [和角差角二倍角與半角](##和角差角二倍角與半角)
- [和角](#和角)
- [差角](#差角)
- [二倍角](二倍角)
- [半角](#半角)
- [附錄](#附錄)
- [微分](#微分)
- [自然指數](#自然指數)
- [泰勒展開式](#泰勒展開式)

## 公式
### 和角公式
1. #### 正弦和角公式：
$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$
2. #### 餘弦和角公式：
$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$

### 差角公式
1. #### 正弦差角公式：
$\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$
2. #### 餘弦差角公式：
$\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta$

### 二倍角公式
1. #### 正弦二倍角公式：
$\sin 2\alpha = 2 \sin\alpha \cos\alpha$
2. #### 餘弦二倍角公式：
$\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$
另外也可以表示為：
$\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 1 - 2\sin^2\alpha$

### 半角公式
1. #### 正弦半角公式：
$\sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{2}}$
2. #### 餘弦半角公式：
$\cos \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}}$

## 複數平面(Complex)

<img src="https://hackmd.io/_uploads/Bk0oZsvZA.jpg" alt="Illustration of a complex plane" width="500" height="auto">

在深入探討和角、差角、二倍角與半角公式之前，我們必須先瞭解複數平面

### 1. 複數的定義
複數是實數與虛數的組合，形式上可以表示為 $a + bi$，其中 $a,b\in R$，而 $i\in C$ 是虛數單位，滿足 $i^2=-1$。$a$ 是複數的實部，$b$ 是複數的虛部。

### 2. 複數平面的結構
複數平面是一個二維平面，其中水平軸($x$軸)代表複數的實部，垂直軸($y$軸)代表複數的虛部。每一個點在這個平面上都可以唯一對應到一個複數。

## 歐拉公式
自然指數$e=2.7182818281828.....$
而歐拉公式為$e^{i\theta}=\cos\theta+i\cos\theta$
了解? 詳細證明可見附錄。

十大最美公式:**$e^{i\pi}+1=0$**

了解這個公式之後呢，就可以開始來做**和角差角二倍角與半角**

可以看看這個(裡面的對手就是$e^{i\pi}$):
<iframe width="500" height="300" src="https://www.youtube.com/embed/B1J6Ou4q8vE" title="Animation vs. Math" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe>

## 和角差角二倍角與半角
首先先來做做看和角(注意看，一個歐拉公式解決sin+cos):
### 和角
\begin{align}
\text{欲求 } \sin(\alpha+\beta) \text{ 及 } \cos(\alpha+\beta)\text{:} \\
e^{i(\alpha+\beta)} &= e^{i\alpha} \times e^{i\beta} \\
e^{i\alpha} &= \cos\alpha + i\sin\alpha \\
e^{i\beta} &= \cos\beta + i\sin\beta \\
e^{i(\alpha+\beta)} &= (\cos\alpha + i\sin\alpha) \times (\cos\beta + i\sin\beta) \\
\text{乘開之後得到:} \\
e^{i(\alpha+\beta)} &= (\cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta) + i(\cos\alpha \sin\beta + \sin\alpha \cos\beta)
\end{align}

所以，我們得到了$e^{i(\alpha+\beta)} = (\cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta) + i(\cos\alpha \sin\beta + \sin\alpha \cos\beta)$
注意實部$(\cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta)$是否等於[$cos(\alpha+\beta)$](#和角公式)而虛部$(\cos\alpha \sin\beta + \sin\alpha \cos\beta)$是否等於[$sin(\alpha+\beta)$](#和角公式)，會發現ㄟ，一模一樣!COOL~
那再繼續把它做完!
### 差角
\begin{align}
e^{i(\alpha - \beta)} &= e^{i\alpha} \times e^{-i\beta} \\
e^{i\alpha} &= \cos\alpha + i\sin\alpha \\
e^{-i\beta} &= \cos(-\beta) + i\sin(-\beta) = \cos\beta - i\sin\beta \\
e^{i(\alpha - \beta)} &= (\cos\alpha + i\sin\alpha) \times (\cos\beta - i\sin\beta) \\
\text{乘開之後得到:} \\
e^{i(\alpha - \beta)} &= (\cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta) + i(\sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta)
\end{align}
檢查一下，也是一樣~
### 二倍角
\begin{align}
e^{i(2\alpha)} &= (e^{i\alpha})^2 \\
e^{i\alpha} &= \cos\alpha + i\sin\alpha \\
e^{i(2\alpha)} &= (\cos\alpha + i\sin\alpha)^2 \\
\text{乘開後得到:} \\
e^{i(2\alpha)} &= (\cos^2\alpha - \sin^2\alpha) + i(2\sin\alpha \cos\alpha)
\end{align}
### 半角

\begin{align}
\cos(2\theta)&=2\cos^2\theta-1\\
\cos^2\theta &= \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}\\
\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) &= \sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}} \\
\sin^2\theta &= 1 - \cos^2\theta\\
\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) &= \sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{2}}
\end{align}
也跟預設一樣呢~

:::spoiler 附錄
## 附錄
### 微分

導數代表了一個函數在某一點上的瞬間變化率，也就是高一說的**局部特徵**

**定義：**
$$
f'(a) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}
$$

這個極限表示當 $h$（變化量）接近於零時，函數 $f(a + h)$ 與 $f(a)$ 之間差值與 $h$ 的比值。導數 $f'(a)$ 可以被理解為在 $a$ 點的切線斜率。

#### 簡化計算

對於形式為$f(x) = kx^i$ 的函數，其導數可以直接通過下面的公式計算：

$$
f'(x) = k \times i x^{i-1}
$$

**EX：**

1. 函數 $f(x) = x^2$
$$
f'(x) = 2x
$$

2. 函數 $g(x) = 2x$
$$
g'(x) = 2
$$

||給自己打廣告:有興趣的話可以去看我講的[淺薄的偏微分](https://hackmd.io/@Tudohuang/BybMePIxR)||
### 自然指數
自然對數的底數$e$約為2.71828，常用於計算複利、生長衰減模型。$e$的重要性在於它的自然增長特性，當函數的增長速率與其自身的大小成比例時，這種自然增長率可以用$e$來描述。
$(e^x)\prime=e^x$($e^x$的導數=自己)cool~
順便來證明一下$e$，主要是想找到一個數字$e$，$(e^x)\prime=e^x$
#### 利用極限定義 $e$

自然對數的底數 $e$ 最初是作為下面極限的結果而被定義的：

$e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$

這個極限展示了一個初始單位數量，並讓它以每單位時間增加 $\frac{1}{n}$的速率自然增長 $n$ 次時，隨著$n$趨近無窮大，結果會趨近於$e$。
來看code:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 設置一系列的 n 值
n_values = np.arange(1, 10000, 50)
e_approximations = (1 + 1/n_values) ** n_values

# 繪製 n 值與 e 的近似值
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(n_values, e_approximations, label='$(1 + 1/n)^n$', color='b')
plt.axhline(y=np.e, color='r', linestyle='--', label='e (approx. 2.71828)')

plt.title('Convergence of $(1 + 1/n)^n$ to $e$')
plt.xlabel('n')
plt.ylabel('Approximation of $e$')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()


### 泰勒展開式
**要證明歐拉公式一定要弄這工具**
他是一個強大的工具，用於將一個在一點附近的可微函數近似為多項式，從而簡化計算和分析。
其實高一就有碰過這感覺，(簡化版本的)，讓我們來看看
$100x^3 + 70x^2 + 5x + 1=a(x-1)^3 + b(x-1)^2 + c(x-1)+d$(大概長這樣，係數我亂寫的)
而真正的泰勒展開式呢，是這樣算的:
$$
f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + R_n(x)
$$
$f^{(n)}(a)是f在點a的n階導數$、$n! = n\times(n-1)\times(n-2)\times\cdots\times1$、$(x-a)^n是x與a差值得n次方$，而$R_n$是餘項，也可以說是n階泰勒展開式與實際函數的誤差讓我們展開$e$,$\cos$,$\sin$吧!
#### 展開$e$

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$
$x$換成$i\theta$
$e^{i\theta} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(i\theta)^n}{n!}$
因為$i^0 = 1, i^1 = i, i^2 = -1, i^3 = -i, i^4 = 1, \ldots$
所以要將實部與虛部分開!
$e^{i\theta} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(i\theta)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{i^n \theta^n}{n!}$
$e^{i\theta} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k \theta^{2k}}{(2k)!} + i\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k \theta^{2k+1}}{(2k+1)!}$

#### 展開$\cos \theta$
$\cos\theta = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k \theta^{2k}}{(2k)!}$

#### 展開$\sin \theta$
$\sin\theta = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k \theta^{2k+1}}{(2k+1)!}$

就會發現ㄟ，$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$
owo
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