線性代數

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  • 行列式
  • 內積空間
    • 內積空間、正交基底
    • 其他有關係的
  • 對角化、固有值、標準型
    • 對角化
    • 固有值
    • 標準型

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• 英語參考：S. H. Friedberg, A. J. Insel, L. E. Spence, Linear Algebra, 4th edition.
  • 俗名：三人本
• Wikipedia – Sòaⁿ-sèng tāi-sò͘（佇下跤標斜斜）

Wikipedia 彼幾若篇，包括彼个枋模其實是我寫--兮，有个詞我嘛是先凊彩翻譯爾。
sin-iu ho

向量空間

佇高中初等數學內底，向量是一種有方向佮長度的物件，通常攏用一組數字來代表。毋過其實凊彩提幾仔堆物件，咱攏有法度共𪜶看做是向量。因為佇數學（尤其是代數）內底，咱欲討論的物件到底是生做按怎咱袂去管待，咱要緊的是𪜶互相遵守的法則。所以咱佇遮袂去定義講啥物是向量，是去定義「向量空間」。啊佇向量空間內底遵守法則的物件，咱就共號做向量。

公理

佮二元運算有關的詞彙請參考【代數／抽象代數／二元運算】。

台漢	台羅	華語	英語	日語
向量	hiòng-liōng	向量	vector	ベクトル
純量	sûn-liōng	台 純量 中 标量	scalar	スカラー
純量乘法	sûn-liōng sing-hua̍t	台 純量乘法 台 係數積 中 标量乘法 中 數乘	scalar multiplication	スカラー乗法
單位向量	tan-uī hiòng-liōng	單位向量	unit vector	単位ベクトル
向量空間	hiòng-liōng khong-kan	向量空間	vector space linear space	ベクトル空間 線型空間
子空間	tsú-khong-kan	子空間	subspace	部分空間
直和	ti̍t-hô	直和	direct sum	直和

基底

台漢	台羅	華語	英語	日語
線性組合	suànn-sìng tsoo-ha̍p	線性組合	linear combination	線型結合
展開 生湠	tián--khui senn-thuànn	展成 生成	span generate	張 生成
生湠空間	senn-thuànn khong-kan	生成空間	(linear) span	生成する部分空間 張る部分空間
線性依附	suànn-sìng i‑hù	線性相依	linearly dependent	線型従属
線性獨立	suànn-sìng to̍k-li̍p	線性獨立	linearly independent	線型独立
基底	ki-té	台 基底 中 基	basis	基底
標準基底	piau-tsún ki-té	標準基底	standard basis	標準基底
次元	tshù-guân	維度	dimension	次元
		有限維	finite dimensional	有限次元

線性寫像

線性寫像、像、核

線性變換就是向量空間範疇的射，會當參考【代數／抽象代數／範疇】。

台語	台羅	華語	英語	日語
線性	suànn-sìng	線性	linear	線型
線性寫像	suànn-sìng siá-siōng	線性映射	linear mapping	線型写像
線性變換	suànn-sìng piàn-uānn	線性變換	linear transformation	線型変換
線性算子	suànn-sìng suàn-tsú	台 線性算子 中 線性算符	linear operator	線型作用素
像	siōng	像 值域	image range	像（空間）
核	hi̍k	零空間 核	null space kernel	零空間 核（空間）
階		秩	rank	階数
		零化度	nullity	退化次数
		不變子空間	inveriant subspace	不変部分空間
		循環子空間	cyclic subspace	巡回部分空間
投影 炤影	tâu-iánn tshiō-iànn	投影	projection	射影
限制	hān-tsè	限制	restriction	制限

「線性寫像」、「線性變換」、「線性算子」這三个詞的意思通常攏是相仝的，毋過有一寡冊會共𪜶分開，啊逐本冊的定義嘛可能有小可仔精差，就愛看予詳細。

「線性變換」佮「線性算子」頭前若是有限定詞，會直接叫做「變換」、「算子」。

矩陣表現

線性變換攏會當看做是矩陣（用伊的矩陣表現），矩陣嘛會使看做是線性變換（用伊的左乘映射）。一寡詞彙佇兩爿攏會通，會當互相參考。

台語	台羅	華語	英語	日語
矩陣表現	kí-tīn piáu-hiān	矩陣表現	matrix representation	表現行列 行列表示
		左乘映射	left-multiplication transformation	左掛算写像
		基底變換 坐標變換	change of basis change of coordinate	基底変換 座標変換
		相似	similar	相似

對偶空間

台語	台羅	華語	英語	日語
		對偶空間	dual space	双対空間
		線性泛函 線性型 餘向量	linear functional linear form covector	線型汎函数 線型形式 余ベクトル
		雙線性型	bilinear form	双線型形式

矩陣

台語	台羅	華語	英語	日語
矩陣	kí-tīn	矩陣	matrix	行列
要素	iàu-sòo	元素	entry component	成分
n 元組	n-guân-tsoo	n 元組	n-tuple	n-組
逝	tsuā	列	row	行
徛	khiā	行	column	列
主對角線	tsú-tuì-kak-suànn	主對角線	main diagonal	主対角線
bu-lak-khuh	bu-lak-khuh	分塊	block	ブロック 小行列
逆矩陣	gi̍k-kí-tīn	反矩陣	inverse matrix	逆行列
轉置	tsuán-tì	轉置	transpose	転置
共擔轉置 厄亞蜜轉置	Kiōng-tann tsuán-tì Eh-a-bi̍t tsuán-tì	共軛轉置 埃爾米特轉置 伴隨	conjugate transpose Hermitian transpose adjoint	共軛転置 エルミート転置 （エルミート）随伴
跡	jia̍h	跡	trace	跡、トレース 対角和

• transpose:
  $(A^{\mathsf{T}}{)}_{ij}:=A_{ji}$
• conjugate:
  $(\bar{A}{)}_{ij}:=\overline{A_{ij}}$
• conjugate transpose:
  $A^{\mathsf{H}}:=\overline{A^{\mathsf{T}}}=(\bar{A}{)}^{\mathsf{T}}$

各種矩陣

台語	台羅	華語	英語	日語
零矩陣	lîng-kí-tīn	零矩陣	zero matrix	零行列
四方矩陣 方陣	sù-hong kí-tīn hong-tīn	方陣	square matrix	正方行列
可逆矩陣 非特異矩陣	khó-gi̍k kí-tīn hui-ti̍k-ì kí-tīn	可逆矩陣 非奇異矩陣	invertible matrix non-singular matrix	可逆行列 非特異行列
單位矩陣	tan-uī kí-tīn	單位矩陣	identity matrix	単位行列
		純量方陣	scalar matrix	スカラー行列
對角矩陣	tuì-kak kí-tīn	對角矩陣	diagonal matrix	対角行列
bu-lak-khuh 矩陣	bu-lak-khuh kí-tīn	分塊矩陣	block matrix	ブロック行列 区分行列
		分塊對角方陣	block diagonal matrix	ブロック対角行列 区分対角行列
正三角矩陣	tsiànn-sann-kak kí-tīn	上三角矩陣	upper triangular matrix	上三角行列
倒三角矩陣	tò-sann-kak kí-tīn	下三角矩陣	lower triangular matrix	下三角行列
嚴格三角矩陣	giâm-keh sann-kak kí-tīn	嚴格三角矩陣	strictly triangular matrix	狭義三角行列
		范德蒙矩陣	Vandermonde matrix	ヴァンデルモンド行列

正規矩陣

台語	台羅	華語	英語	日語
		正規方陣	normal matrix	正規行列
對伨矩陣	tuì-thīn kí-tīn	對稱方陣	symmetric matrix	対称行列
反對伨矩陣	huán-tuì-thīn kí-tīn	斜對稱方陣 反對稱方陣	skew-symmetric matrix antisymmetric matrix	交代行列 歪対称行列 反対称行列
		正交方陣	orthogonal matrix	直交行列
厄亞蜜方陣	Eh-a-bi̍t hong-tīn	自伴方陣 埃爾米特方陣	self-adjoint matrix Hermitian matrix	自己随伴行列 エルミート行列
		斜埃爾米特方陣 反埃爾米特方陣	skew-Hermitian matrix anti-Hermitian matrix	歪エルミート行列 反エルミート行列
iu-ní-tha-lih 方陣	iu-ní-tha-lih hong-tīn	台 么正方陣 中 酉矩阵	unitary matrix	ユニタリ行列

	$A^{\mathsf{H}}A=A{A}^{\mathsf{H}}$	$A^{\mathsf{H}}=A$	$A^{\mathsf{H}}=-A$	$A^{\mathsf{H}}=A^{-1}$	$A^{\mathsf{H}}=A^{\mathsf{T}}$
normal
Hermitian
skew-Hermitian
unitary
symmetric
skew-symmetric
orthogonal

啊

$A^{\mathsf{H}}=A^{\mathsf{T}}$ 的意思嘛是代表

$A$ 貯的是實的，毋是複合的。

解線性系統

台語	台羅	華語	英語	日語
線性系統 線性方程組	suànn-sìng hē-thóng suànn-sìng hong-tîng-tsoo	線性系統 線性方程組	linear system system of linear equations	線型方程式系
		齊次	homogeneous	斉次 同次
		非齊次	nonhomogeneous	非斉次 非同次
楦闊矩陣	hùn-khuah kí-tīn	增廣矩陣	augmented matrix	拡大行列
		基本運算	elementary operation	基本変形
基本矩陣	ki-pún kí-tīn	基本矩陣	elementary matrix	基本行列
門榫	mn̂g-sún	樞軸	pivot	主成分 ピボット
		梯形	echelon form	階段形
		簡化梯形	reduced echelon form	簡約階段形
		高斯消去法	Gaussian elimination	ガウスの消去法
解空間	kái-khong-kan	解空間	solution space	解空間
無聊解	bô-liâu kái	平凡解 明顯解	trivial solution	自明な解
		特解	particular solution	特殊解
		通解	general solution	一般解

行列式

台語	台羅	華語	英語	日語
行列式	hâng-lia̍t-sik	行列式	determinant	行列式
		定向	orientation	向き
		平行四邊形	parallelogram	平行四辺形
		平行六面體	parallelepiped	平行六面体
		餘因式 子行列式	cofactor minor	余因子 小行列式
		行列式展開 拉普拉斯展開	cofactor expansion Laplace expansion	余因子展開 ラプラス展開
		克拉瑪公式	Cramer's rule	クラメルの法則
		伴隨矩陣	adjugate matrix classical adjoint	余因子行列 古典随伴行列
		n 重線性映射	n-linear function	n 重線型写像
		多重線性映射	multilinear map	多重線型写像
反對伨	huán-tuì-thīn	反對稱	anti-symmetric	反対称
		交錯	alternating	交代

行列式是一種 alternating multilinear map（對伊的 row 抑才是 column 來講）。

• anti-symmetric:
  $f(\dots ,a,\dots ,b,\dots )=-f(\dots ,b,\dots ,a,\dots )$
• alternating:
  $f(\dots ,a,\dots ,a,\dots )=0$
• alternating ⇒ anti-symmetric
• 若伊的體毋是 characteristic 2，anti-symmetric ⇒ alternating

內積空間

內積空間、正交基底

台漢	台羅	華語	英語	日語
內積空間	lāi-tsik khong-kan	內積空間	inner product space	内積空間 計量ベクトル空間
內積	lāi-tsik	內積	inner product	内積
		範數	norm	ノルム
單位向量	tan-uī hiòng-liōng	單位向量	unit vector	単位ベクトル
		單範化	normalizing	正規化
直交	ti̍t-kau	正交	orthogonal	直交
正規直交	tsìng-kui ti̍t-kau	單範正交	orthonormal	正規直交
直交基底	ti̍t-kau ki-té	正交基底	orthogonal basis	直交基底
正規直交基底	tsìng-kui ti̍t-kau ki-té	單範正交基底	orthonormal basis	正規直交基底
Gram–Schmidt 方法		格拉姆–施密特正交化	Gram–Schmidt process	グラム・シュミットの直交化
		正交補餘	orthogonal complement	直交補空間
直交投影 直交炤影	ti̍t-kau tâu-iánn ti̍t-kau tshiō-iànn	正（交）射影	orthogonal projection	直交射影

其他有關係的

台漢	台羅	華語	英語	日語
		最小平方逼近	least squares approximation	最小二乗法近似
		極小（範數）解	minimal solution	最小二乗解
		正定方陣	positive definite matrix	正定値行列
		半正定方陣	positive semidefinite matrix	半正定値行列
		保距映射	(linear) isometry	等長写像
		正交變換	orthogonal transformation	直交変換
		台 么正變換 中 酉变换	unitary transformation	ユニタリ変換
		正交等價	orthogonal equivalent	直交同値
		台 么正等價 中 酉等价	unitarily equivalent	ユニタリ同値
		豪斯霍爾德變換	Householder transformation	ハウスホルダー変換
		譜定理	spectral theorem	スペクトル定理
		譜分解	spectral decomposition	スペクトル分解

對角化、固有值、標準型

對角化

台語	台羅	華語	英語	日語
對角化	tuì-kak-huà	對角化	diagonalization	対角化
可對角化	khó tuì-kak-huà	可對角化	diagonalizable	対角化可能
		同時可對角化	simultaneously diagonalizable	同時対角化可能

固有值

佇國家教育研究院的數學詞彙內底，「eigen-」嘛是翻譯做「固有」。

台語	台羅	華語	英語	日語
固有值	kòo-iú-ta̍t	固有值 特徵值	eigenvalue	固有値
固有向量	kòo-iú hiòng-liōng	固有向量 特徵向量	eigenvector	固有ベクトル
固有空間	kòo-iú khong-kan	固有空間 特徵空間	eigenspace	固有空間
		廣義固有向量	generalized eigenvector	広義固有ベクトル
		廣義固有空間	generalized eigenspace	広義固有空間
固有 多項式	kòo-iú to-hāng-sik	特徵多項式	characteristic polynomial	固有多項式 特性多項式
上細多項式	siōng-sè to-hāng-sik	最小多項式	minimal polynomial	最小多項式
		代數重數	algebraic multiplicity	代数的重複度
		幾何重數	geometric multiplicity	幾何学的重複度

標準型

法國人 Camille Jordan [ʒɔʀdã]

台語	台羅	華語	英語	日語
		若爾當分塊	Jordan block	ジョルダン細胞 ジョルダンブロック
若今標準型	Jiok-tann piau-tsún-hîng	若爾當典範型 若爾當標準型	Jordan normal form Jordan canonical form	ジョルダン標準形
若今標準基底	Jiok-tann piau-tsún ki-té	若爾當正準基底	Jordan canonical basis	ジョルダン基底
		友矩陣	companion matrix	同伴行列 コンパニオン行列
		有理正準形式	rational (canonical) form Frobenius normal form	有理標準形 フロベニウス標準形
		有理正準基底	rational canonical basis