# 線性代數
###### tags: `數學` `代數`

[TOC]

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* 英語參考：S. H. Friedberg, A. J. Insel, L. E. Spence, *Linear Algebra*, 4th edition.
* 俗名：三人本
* [Wikipedia -- Sòaⁿ-sèng tāi-sò͘](https://zh-min-nan.wikipedia.org/wiki/S%C3%B2a%E2%81%BF-s%C3%A8ng_t%C4%81i-s%C3%B2%CD%98)（佇下跤標斜斜）
> Wikipedia 彼幾若篇，包括彼个枋模其實是我寫-\-兮，有个詞我嘛是先凊彩翻譯爾。
> [name=sin-iu ho][color=#62D363]

## 向量空間
佇高中初等數學內底，向量是一種有方向佮長度的物件，通常攏用一組數字來代表。毋過其實凊彩提幾仔堆物件，咱攏有法度共𪜶看做是向量。因為佇數學（尤其是代數）內底，咱欲討論的物件到底是生做按怎咱袂去管待，咱要緊的是𪜶互相遵守的法則。所以咱佇遮袂去定義講啥物是向量，是去定義「向量空間」。啊佇向量空間內底遵守法則的物件，咱就共號做向量。

### 公理
:point_right: 佮二元運算有關的詞彙請參考[【代數／抽象代數／二元運算】](https://hackmd.io/@TaigiSTEM/abstract_algebra#二元運算)。
| 台漢 | 台羅 | 華語 | 英語 | 日語 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 向量 | hiòng-liōng | 向量 | vector | ベクトル |
| 純量 | sûn-liōng | `台` 純量 <br> `中` 标量 | scalar | スカラー |
| 純量乘法 | sûn-liōng sing-hua̍t | `台` 純量乘法 <br> `台` 係數積 <br> `中` 标量乘法 <br> `中` 數乘 | scalar multiplication | スカラー乗法 |
| 單位向量 | tan-uī hiòng-liōng | 單位向量 | unit vector | 単位ベクトル |
| 向量空間 | hiòng-liōng khong-kan | 向量空間 | vector space <br> linear space | ベクトル空間 <br> 線型空間 |
| ==子==空間 | ==tsú==-khong-kan | 子空間 | subspace | 部分空間 |
| 直和 | ti̍t-hô | 直和 | direct sum | 直和 |

### 基底
| 台漢 | 台羅 | 華語 | 英語 | 日語 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 線性組合 | suànn-sìng tsoo-ha̍p | 線性組合 | linear combination | 線型結合 |
| 展開 <br> ==生湠== | tián-\-khui <br> senn-thuànn | 展成 <br> 生成 | span <br> generate | 張 <br> 生成 |
| ==生湠==空間 | senn-thuànn khong-kan | 生成空間 | (linear) span | 生成する部分空間 <br> 張る部分空間 |
| 線性==依附== | suànn-sìng ==i‑hù== | 線性相依 | linearly dependent | 線型従属 |
| 線性獨立 | suànn-sìng to̍k-li̍p | 線性獨立 | linearly independent | 線型独立 |
| 基底 | ki-té | `台` 基底 <br> `中` 基 | basis | 基底 |
| 標準基底 | piau-tsún ki-té | 標準基底 | standard basis | 標準基底 |
| 次元 | ==tshù-guân== | 維度 | dimension | 次元 |
| | | 有限維 | finite dimensional | 有限次元 |

## 線性寫像
### 線性寫像、像、核
:point_right: 線性變換就是向量空間範疇的射，會當參考[【代數／抽象代數／範疇】](https://hackmd.io/@TaigiSTEM/abstract_algebra#範疇)。

| 台語 | 台羅 | 華語 | 英語 | 日語 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 線性 | suànn-sìng | 線性 | linear | 線型 |
| 線性寫像 | suànn-sìng siá-siōng | 線性映射 | linear mapping | 線型写像 |
| 線性變換 | suànn-sìng piàn-uānn | 線性變換 | linear transformation | 線型変換 |
| 線性算子 | suànn-sìng suàn-tsú | `台` 線性算子 <br> `中` 線性算符 | linear operator | 線型作用素 |
| 像 | siōng | 像 <br> 值域 | image <br> range | 像（空間） |
| 核 | hi̍k | 零空間 <br> 核 | null space <br> kernel | 零空間 <br> 核（空間） |
| *階* | | 秩 | rank | 階数 |
| | | 零化度 | nullity | 退化次数 |
| | | 不變子空間 | inveriant subspace | 不変部分空間 |
| | | 循環子空間 | cyclic subspace | 巡回部分空間 |
| 投影 <br> 炤影 | tâu-iánn <br> tshiō-iànn | 投影 | projection | 射影 |
| 限制 | hān-tsè | 限制 | restriction | 制限 |

「線性寫像」、「線性變換」、「線性算子」這三个詞的意思通常攏是相仝的，毋過有一寡冊會共𪜶分開，啊逐本冊的定義嘛可能有小可仔精差，就愛看予詳細。

:::info
「線性變換」佮「線性算子」頭前若是有限定詞，會直接叫做「變換」、「算子」。
:::

### 矩陣表現
:::info
線性變換攏會當看做是矩陣（用伊的矩陣表現），矩陣嘛會使看做是線性變換（用伊的==左乘映射==）。一寡詞彙佇兩爿攏會通，會當互相參考。
:::
| 台語 | 台羅 | 華語 | 英語 | 日語 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| ==矩陣==表現 | ==kí-tīn== piáu-hiān | 矩陣表現 | matrix representation | 表現行列 <br> 行列表示 |
| | | 左乘映射 | left-multiplication transformation | 左掛算写像 |
| | | 基底變換 <br> 坐標變換 | change of basis <br> change of coordinate | 基底変換 <br> 座標変換 |
| | | 相似 | similar | 相似 |

### 對偶空間
| 台語 | 台羅 | 華語 | 英語 | 日語 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| | | 對偶空間 | dual space | 双対空間 |
| | | 線性泛函 <br> 線性型 <br> 餘向量 | linear functional <br> linear form <br> covector | 線型汎函数 <br> 線型形式 <br> 余ベクトル |
| | | 雙線性型 | bilinear form | 双線型形式 |

## ==矩陣==
| 台語 | 台羅 | 華語 | 英語 | 日語 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| ==矩陣== | ==kí-tīn== | 矩陣 | matrix | 行列 |
| *要素* | *iàu-sòo* | 元素 | entry <br> component | 成分 |
| n 元組 | n-guân-tsoo | n 元組 | n-tuple | n-組 |
| ==*逝*== | ==*tsuā*== | 列 | row | 行 |
| ==*徛*== | ==*khiā*== | 行 | column | 列 |
| 主對角線 | tsú-tuì-kak-suànn | 主對角線 | main diagonal | 主対角線 |
| ==bu-lak-khuh== | ==bu-lak-khuh== | 分塊 | block | ブロック <br> 小行列 |
| ==逆矩陣== | ==gi̍k-kí-tīn== | 反矩陣 | inverse matrix | 逆行列 |
| 轉置 | tsuán-tì | 轉置 | transpose | 転置 |
| 共擔轉置<br>厄亞蜜轉置 | Kiōng-tann tsuán-tì <br> Eh-a-bi̍t tsuán-tì | 共軛轉置 <br> 埃爾米特轉置 <br> 伴隨 | conjugate transpose <br> Hermitian transpose <br> adjoint | 共軛転置 <br> エルミート転置 <br> （エルミート）随伴 |
| 跡 | jia̍h | 跡 | trace | 跡、トレース <br> 対角和 |

* transpose: $(A^\mathsf{T})_{ij} := A_{ji}$
* conjugate: $(\overline{A})_{ij} := \overline{A_{ij}}$
* conjugate transpose: $A^\mathsf{H} := \overline{A^\mathsf{T}} = (\overline{A})^\mathsf{T}$

### 各種==矩陣==
| 台語 | 台羅 | 華語 | 英語 | 日語 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 零==矩陣== | lîng-==kí-tīn== | 零矩陣 | zero matrix | 零行列 |
| *四方*==矩陣== <br> *==方陣==* | *sù-hong* ==kí-tīn== <br> *==hong-tīn==* | 方陣 | square matrix | 正方行列 |
| *可逆*==矩陣== <br> *非特異*==矩陣== | *khó-gi̍k* ==kí-tīn== <br> *hui-ti̍k-ì* ==kí-tīn== | 可逆矩陣 <br> 非奇異矩陣 | invertible matrix <br> non-singular matrix | 可逆行列 <br> 非特異行列 |
| 單位==矩陣== | tan-uī ==kí-tīn== | 單位矩陣 | identity matrix | 単位行列 |
| | | 純量方陣 | scalar matrix | スカラー行列 |
| 對角==矩陣== | tuì-kak ==kí-tīn== | 對角矩陣 | diagonal matrix | 対角行列 |
| ==bu-lak-khuh 矩陣== | ==bu-lak-khuh kí-tīn== | 分塊矩陣 | block matrix | ブロック行列 <br> 区分行列 |
| | | 分塊對角方陣 | block diagonal matrix | ブロック対角行列 <br> 区分対角行列 |
| 正三角==矩陣== | tsiànn-sann-kak ==kí-tīn== | 上三角矩陣 | upper triangular matrix | 上三角行列 |
| 倒三角==矩陣== | tò-sann-kak ==kí-tīn== | 下三角矩陣 | lower triangular matrix | 下三角行列 |
| 嚴格三角==矩陣== | giâm-keh sann-kak ==kí-tīn== | 嚴格三角矩陣 | strictly triangular matrix | 狭義三角行列 |
| | | 范德蒙矩陣 | Vandermonde matrix | ヴァンデルモンド行列 |

### 正規==矩陣==
| 台語 | 台羅 | 華語 | 英語 | 日語 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| | | 正規方陣 | normal matrix | 正規行列 |
| 對伨==矩陣== | tuì-thīn ==kí-tīn== | 對稱方陣 | symmetric matrix | 対称行列 |
| 反對伨==矩陣== | huán-tuì-thīn ==kí-tīn== | 斜對稱方陣 <br> 反對稱方陣 | skew-symmetric matrix <br> antisymmetric matrix | 交代行列 <br> 歪対称行列 <br> 反対称行列 |
| | | 正交方陣 | orthogonal matrix | 直交行列 |
| 厄亞蜜==方陣== | Eh-a-bi̍t ==hong-tīn== | 自伴方陣 <br> 埃爾米特方陣 | self-adjoint matrix <br> Hermitian matrix | 自己随伴行列 <br> エルミート行列 |
| | | 斜埃爾米特方陣 <br> 反埃爾米特方陣 | skew-Hermitian matrix <br> anti-Hermitian matrix | 歪エルミート行列 <br> 反エルミート行列 |
| ==iu-ní-tha-lih 方陣== | ==iu-ní-tha-lih hong-tīn== | `台` 么正方陣 <br> `中` 酉矩阵 | unitary matrix | ユニタリ行列 |

| | $A^\mathsf{H}A = AA^\mathsf{H}$ | $A^\mathsf{H} = A$ | $A^\mathsf{H} = -A$ | $A^\mathsf{H} = A^{-1}$ | $A^\mathsf{H} = A^\mathsf{T}$ |
| ---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| normal | :heavy_check_mark: | | | | |
| Hermitian | :heavy_check_mark: | :heavy_check_mark: | | | |
| skew-Hermitian | :heavy_check_mark: | | :heavy_check_mark: | | |
| unitary | :heavy_check_mark: | | | :heavy_check_mark: | |
| symmetric | :heavy_check_mark: | :heavy_check_mark: | | | :heavy_check_mark: |
| skew-symmetric | :heavy_check_mark: | | :heavy_check_mark: | | :heavy_check_mark: |
| orthogonal | :heavy_check_mark: | | | :heavy_check_mark: | :heavy_check_mark: |

啊 $A^\mathsf{H} = A^\mathsf{T}$ 的意思嘛是代表 $A$ 貯的是實的，毋是複合的。

## 解線性系統
| 台語 | 台羅 | 華語 | 英語 | 日語 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 線性系統 <br> 線性方程組 | suànn-sìng hē-thóng <br> suànn-sìng hong-tîng-tsoo | 線性系統 <br> 線性方程組 | linear system <br> system of linear equations | 線型方程式系 |
| | | 齊次 | homogeneous | 斉次 <br> 同次 |
| | | 非齊次 | nonhomogeneous | 非斉次 <br> 非同次 |
| 楦闊==矩陣== | hùn-khuah ==kí-tīn== | 增廣矩陣 | augmented matrix | 拡大行列 |
| | | 基本運算 | elementary operation | 基本変形 |
| 基本==矩陣== | ki-pún ==kí-tīn== | 基本矩陣 | elementary matrix | 基本行列 |
| *門榫* | mn̂g-sún | 樞軸 | pivot | 主成分 <br> ピボット |
| | | 梯形 | echelon form | 階段形 |
| | | 簡化梯形 | reduced echelon form | 簡約階段形 |
| | | 高斯消去法 | Gaussian elimination | ガウスの消去法 |
| 解空間 | kái-khong-kan | 解空間 | solution space | 解空間 |
| *無聊*解 | *bô-liâu* kái | 平凡解 <br> 明顯解 | trivial solution | 自明な解 |
| | | 特解 | particular solution | 特殊解 |
| | | 通解 | general solution | 一般解 |

## 行列式
| 台語 | 台羅 | 華語 | 英語 | 日語 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| *行列式* | *hâng-lia̍t-sik* | 行列式 | determinant | 行列式 |
| | | 定向 | orientation | 向き |
| | | 平行四邊形 | parallelogram | 平行四辺形 |
| | | 平行六面體 | parallelepiped | 平行六面体 |
| | | 餘因式 <br> 子行列式 | cofactor <br> minor | 余因子 <br> 小行列式 |
| | | 行列式展開 <br> 拉普拉斯展開 | cofactor expansion <br> Laplace expansion | 余因子展開 <br> ラプラス展開 |
| | | 克拉瑪公式 | Cramer's rule | クラメルの法則 |
| | | 伴隨矩陣 | adjugate matrix <br> classical adjoint | 余因子行列 <br> 古典随伴行列 |
| | | n 重線性映射 | n-linear function | n 重線型写像 |
| | | 多重線性映射 | multilinear map | 多重線型写像 |
| 反對伨 | huán-tuì-thīn | 反對稱 | anti-symmetric | 反対称 |
| | | 交錯 | alternating | 交代 |

行列式是一種 alternating multilinear map（對伊的 row 抑才是 column 來講）。
* anti-symmetric: $f(\dots, a, \dots, b, \dots) = -f(\dots, b, \dots, a, \dots)$
* alternating: $f(\dots, a, \dots, a, \dots) = 0$
* alternating ⇒ anti-symmetric
* 若伊的體毋是 characteristic 2，anti-symmetric ⇒ alternating

## 內積空間
### 內積空間、正交基底
| 台漢 | 台羅 | 華語 | 英語 | 日語 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 內積空間 | lāi-tsik khong-kan | 內積空間 | inner product space | 内積空間 <br> 計量ベクトル空間 |
| 內積 | lāi-tsik | 內積 | inner product | 内積 |
| | | 範數 | norm | ノルム |
| 單位向量 | tan-uī hiòng-liōng | 單位向量 | unit vector | 単位ベクトル |
| | | 單範化 | normalizing | 正規化 |
| *直交* | *ti̍t-kau* | 正交 | orthogonal | 直交 |
| *正規直交* | *tsìng-kui ti̍t-kau* | 單範正交 | orthonormal | 正規直交 |
| *直交*基底 | *ti̍t-kau* ki-té | 正交基底 | orthogonal basis | 直交基底 |
| *正規直交*基底 | *tsìng-kui ti̍t-kau* ki-té | 單範正交基底 | orthonormal basis | 正規直交基底
| *Gram--Schmidt 方法* | | 格拉姆--施密特正交化 | Gram--Schmidt process | グラム・シュミットの直交化 |
| | | 正交補餘 | orthogonal complement | 直交補空間 |
| *直交*投影 <br> *直交*炤影 | *ti̍t-kau* tâu-iánn <br> *ti̍t-kau* tshiō-iànn | 正（交）射影 | orthogonal projection | 直交射影 |

### 其他有關係的
| 台漢 | 台羅 | 華語 | 英語 | 日語 |
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| | | 最小平方逼近 | least squares approximation | 最小二乗法近似 |
| | | 極小（範數）解 | minimal solution | 最小二乗解 |
| | | 正定方陣 | positive definite matrix | 正定値行列 |
| | | 半正定方陣 | positive semidefinite matrix | 半正定値行列 |
| | | 保距映射 | (linear) isometry | 等長写像 |
| | | 正交變換 | orthogonal transformation | 直交変換 |
| | | `台` 么正變換 <br> `中` 酉变换 | unitary transformation | ユニタリ変換 |
| | | 正交等價 | orthogonal equivalent | 直交同値 |
| | | `台` 么正等價 <br> `中` 酉等价 | unitarily equivalent | ユニタリ同値 |
| | | 豪斯霍爾德變換 | Householder transformation | ハウスホルダー変換 |
| | | 譜定理 | spectral theorem | スペクトル定理 |
| | | 譜分解 | spectral decomposition | スペクトル分解 |

## 對角化、固有值、標準型
### 對角化
| 台語 | 台羅 | 華語 | 英語 | 日語 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| *對角化* | *tuì-kak-huà* | 對角化 | diagonalization | 対角化 |
| *可對角化* | *khó tuì-kak-huà* | 可對角化 | diagonalizable | 対角化可能 |
| | | 同時可對角化 | simultaneously diagonalizable | 同時対角化可能 |

### 固有值
> 佇國家教育研究院的數學詞彙內底，「eigen-」嘛是翻譯做「固有」。

| 台語 | 台羅 | 華語 | 英語 | 日語 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 固有值 | kòo-iú-ta̍t | 固有值 <br> 特徵值 | eigenvalue | 固有値 |
| 固有向量 | kòo-iú hiòng-liōng | 固有向量 <br> 特徵向量 | eigenvector | 固有ベクトル |
| 固有空間 | kòo-iú khong-kan | 固有空間 <br> 特徵空間 | eigenspace | 固有空間 |
| | | 廣義固有向量 | generalized eigenvector | 広義固有ベクトル |
| | | 廣義固有空間 | generalized eigenspace | 広義固有空間 |
| *==固有==* 多項式 | *==kòo-iú==* to-hāng-sik | 特徵多項式 | characteristic polynomial | 固有多項式 <br> 特性多項式 |
| 上細多項式 | siōng-sè to-hāng-sik | 最小多項式 | minimal polynomial | 最小多項式 |
| | | 代數重數 | algebraic multiplicity | 代数的重複度 |
| | | 幾何重數 | geometric multiplicity | 幾何学的重複度 |

### 標準型
> 法國人 Camille Jordan [ʒɔʀdã]

| 台語 | 台羅 | 華語 | 英語 | 日語 |
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| | | 若爾當分塊 | Jordan block | ジョルダン細胞 <br> ジョルダンブロック |
| 若今標準型 | Jiok-tann piau-tsún-hîng | 若爾當典範型 <br> 若爾當標準型 | Jordan normal form <br> Jordan canonical form | ジョルダン標準形 |
| 若今標準基底 | Jiok-tann piau-tsún ki-té | 若爾當正準基底 | Jordan canonical basis | ジョルダン基底 |
| | | 友矩陣 | companion matrix | 同伴行列 <br> コンパニオン行列 |
| | | 有理正準形式 | rational (canonical) form <br> Frobenius normal form | 有理標準形 <br> フロベニウス標準形 |
| | | 有理正準基底 | rational canonical basis | |