線性代數 - HackMD

# 線性代數 ###### tags: `數學` `代數` [TOC] --- * 英語參考：S. H. Friedberg, A. J. Insel, L. E. Spence, *Linear Algebra*, 4th edition. * 俗名：三人本 * [Wikipedia -- Sòaⁿ-sèng tāi-sò͘](https://zh-min-nan.wikipedia.org/wiki/S%C3%B2a%E2%81%BF-s%C3%A8ng_t%C4%81i-s%C3%B2%CD%98)（佇下跤標斜斜） > Wikipedia 彼幾若篇，包括彼个枋模其實是我寫-\-兮，有个詞我嘛是先凊彩翻譯爾。 > [name=sin-iu ho][color=#62D363] ## 向量空間佇高中初等數學內底，向量是一種有方向佮長度的物件，通常攏用一組數字來代表。毋過其實凊彩提幾仔堆物件，咱攏有法度共𪜶看做是向量。因為佇數學（尤其是代數）內底，咱欲討論的物件到底是生做按怎咱袂去管待，咱要緊的是𪜶互相遵守的法則。所以咱佇遮袂去定義講啥物是向量，是去定義「向量空間」。啊佇向量空間內底遵守法則的物件，咱就共號做向量。 ### 公理 :point_right: 佮二元運算有關的詞彙請參考[【代數／抽象代數／二元運算】](https://hackmd.io/@TaigiSTEM/abstract_algebra#二元運算)。 | 台漢 | 台羅 | 華語 | 英語 | 日語 | | --- | --- | --- | --- | --- | | 向量 | hiòng-liōng | 向量 | vector | ベクトル | | 純量 | sûn-liōng | `台` 純量 `中` 标量 | scalar | スカラー | | 純量乘法 | sûn-liōng sing-hua̍t | `台` 純量乘法 `台` 係數積 `中` 标量乘法 `中` 數乘 | scalar multiplication | スカラー乗法 | | 單位向量 | tan-uī hiòng-liōng | 單位向量 | unit vector | 単位ベクトル | | 向量空間 | hiòng-liōng khong-kan | 向量空間 | vector space linear space | ベクトル空間 線型空間 | | ==子==空間 | ==tsú==-khong-kan | 子空間 | subspace | 部分空間 | | 直和 | ti̍t-hô | 直和 | direct sum | 直和 | ### 基底 | 台漢 | 台羅 | 華語 | 英語 | 日語 | | --- | --- | --- | --- | --- | | 線性組合 | suànn-sìng tsoo-ha̍p | 線性組合 | linear combination | 線型結合 | | 展開 ==生湠== | tián-\-khui senn-thuànn | 展成 生成 | span generate | 張 生成 | | ==生湠==空間 | senn-thuànn khong-kan | 生成空間 | (linear) span | 生成する部分空間 張る部分空間 | | 線性==依附== | suànn-sìng ==i‑hù== | 線性相依 | linearly dependent | 線型従属 | | 線性獨立 | suànn-sìng to̍k-li̍p | 線性獨立 | linearly independent | 線型独立 | | 基底 | ki-té | `台` 基底 `中` 基 | basis | 基底 | | 標準基底 | piau-tsún ki-té | 標準基底 | standard basis | 標準基底 | | 次元 | ==tshù-guân== | 維度 | dimension | 次元 | | | | 有限維 | finite dimensional | 有限次元 | ## 線性寫像 ### 線性寫像、像、核 :point_right: 線性變換就是向量空間範疇的射，會當參考[【代數／抽象代數／範疇】](https://hackmd.io/@TaigiSTEM/abstract_algebra#範疇)。 | 台語 | 台羅 | 華語 | 英語 | 日語 | | --- | --- | --- | --- | --- | | 線性 | suànn-sìng | 線性 | linear | 線型 | | 線性寫像 | suànn-sìng siá-siōng | 線性映射 | linear mapping | 線型写像 | | 線性變換 | suànn-sìng piàn-uānn | 線性變換 | linear transformation | 線型変換 | | 線性算子 | suànn-sìng suàn-tsú | `台` 線性算子 `中` 線性算符 | linear operator | 線型作用素 | | 像 | siōng | 像 值域 | image range | 像（空間） | | 核 | hi̍k | 零空間 核 | null space kernel | 零空間 核（空間） | | *階* | | 秩 | rank | 階数 | | | | 零化度 | nullity | 退化次数 | | | | 不變子空間 | inveriant subspace | 不変部分空間 | | | | 循環子空間 | cyclic subspace | 巡回部分空間 | | 投影 炤影 | tâu-iánn tshiō-iànn | 投影 | projection | 射影 | | 限制 | hān-tsè | 限制 | restriction | 制限 | 「線性寫像」、「線性變換」、「線性算子」這三个詞的意思通常攏是相仝的，毋過有一寡冊會共𪜶分開，啊逐本冊的定義嘛可能有小可仔精差，就愛看予詳細。 :::info 「線性變換」佮「線性算子」頭前若是有限定詞，會直接叫做「變換」、「算子」。 ::: ### 矩陣表現 :::info 線性變換攏會當看做是矩陣（用伊的矩陣表現），矩陣嘛會使看做是線性變換（用伊的==左乘映射==）。一寡詞彙佇兩爿攏會通，會當互相參考。 ::: | 台語 | 台羅 | 華語 | 英語 | 日語 | | --- | --- | --- | --- | --- | | ==矩陣==表現 | ==kí-tīn== piáu-hiān | 矩陣表現 | matrix representation | 表現行列 行列表示 | | | | 左乘映射 | left-multiplication transformation | 左掛算写像 | | | | 基底變換 坐標變換 | change of basis change of coordinate | 基底変換 座標変換 | | | | 相似 | similar | 相似 | ### 對偶空間 | 台語 | 台羅 | 華語 | 英語 | 日語 | | --- | --- | --- | --- | --- | | | | 對偶空間 | dual space | 双対空間 | | | | 線性泛函 線性型 餘向量 | linear functional linear form covector | 線型汎函数 線型形式 余ベクトル | | | | 雙線性型 | bilinear form | 双線型形式 | ## ==矩陣== | 台語 | 台羅 | 華語 | 英語 | 日語 | | --- | --- | --- | --- | --- | | ==矩陣== | ==kí-tīn== | 矩陣 | matrix | 行列 | | *要素* | *iàu-sòo* | 元素 | entry component | 成分 | | n 元組 | n-guân-tsoo | n 元組 | n-tuple | n-組 | | ==*逝*== | ==*tsuā*== | 列 | row | 行 | | ==*徛*== | ==*khiā*== | 行 | column | 列 | | 主對角線 | tsú-tuì-kak-suànn | 主對角線 | main diagonal | 主対角線 | | ==bu-lak-khuh== | ==bu-lak-khuh== | 分塊 | block | ブロック 小行列 | | ==逆矩陣== | ==gi̍k-kí-tīn== | 反矩陣 | inverse matrix | 逆行列 | | 轉置 | tsuán-tì | 轉置 | transpose | 転置 | | 共擔轉置 厄亞蜜轉置 | Kiōng-tann tsuán-tì Eh-a-bi̍t tsuán-tì | 共軛轉置 埃爾米特轉置 伴隨 | conjugate transpose Hermitian transpose adjoint | 共軛転置 エルミート転置 （エルミート）随伴 | | 跡 | jia̍h | 跡 | trace | 跡、トレース 対角和 | * transpose: $(A^\mathsf{T})_{ij} := A_{ji}$ * conjugate: $(\overline{A})_{ij} := \overline{A_{ij}}$ * conjugate transpose: $A^\mathsf{H} := \overline{A^\mathsf{T}} = (\overline{A})^\mathsf{T}$ ### 各種==矩陣== | 台語 | 台羅 | 華語 | 英語 | 日語 | | --- | --- | --- | --- | --- | | 零==矩陣== | lîng-==kí-tīn== | 零矩陣 | zero matrix | 零行列 | | *四方*==矩陣== *==方陣==* | *sù-hong* ==kí-tīn== *==hong-tīn==* | 方陣 | square matrix | 正方行列 | | *可逆*==矩陣== *非特異*==矩陣== | *khó-gi̍k* ==kí-tīn== *hui-ti̍k-ì* ==kí-tīn== | 可逆矩陣 非奇異矩陣 | invertible matrix non-singular matrix | 可逆行列 非特異行列 | | 單位==矩陣== | tan-uī ==kí-tīn== | 單位矩陣 | identity matrix | 単位行列 | | | | 純量方陣 | scalar matrix | スカラー行列 | | 對角==矩陣== | tuì-kak ==kí-tīn== | 對角矩陣 | diagonal matrix | 対角行列 | | ==bu-lak-khuh 矩陣== | ==bu-lak-khuh kí-tīn== | 分塊矩陣 | block matrix | ブロック行列 区分行列 | | | | 分塊對角方陣 | block diagonal matrix | ブロック対角行列 区分対角行列 | | 正三角==矩陣== | tsiànn-sann-kak ==kí-tīn== | 上三角矩陣 | upper triangular matrix | 上三角行列 | | 倒三角==矩陣== | tò-sann-kak ==kí-tīn== | 下三角矩陣 | lower triangular matrix | 下三角行列 | | 嚴格三角==矩陣== | giâm-keh sann-kak ==kí-tīn== | 嚴格三角矩陣 | strictly triangular matrix | 狭義三角行列 | | | | 范德蒙矩陣 | Vandermonde matrix | ヴァンデルモンド行列 | ### 正規==矩陣== | 台語 | 台羅 | 華語 | 英語 | 日語 | | --- | --- | --- | --- | --- | | | | 正規方陣 | normal matrix | 正規行列 | | 對伨==矩陣== | tuì-thīn ==kí-tīn== | 對稱方陣 | symmetric matrix | 対称行列 | | 反對伨==矩陣== | huán-tuì-thīn ==kí-tīn== | 斜對稱方陣 反對稱方陣 | skew-symmetric matrix antisymmetric matrix | 交代行列 歪対称行列 反対称行列 | | | | 正交方陣 | orthogonal matrix | 直交行列 | | 厄亞蜜==方陣== | Eh-a-bi̍t ==hong-tīn== | 自伴方陣 埃爾米特方陣 | self-adjoint matrix Hermitian matrix | 自己随伴行列 エルミート行列 | | | | 斜埃爾米特方陣 反埃爾米特方陣 | skew-Hermitian matrix anti-Hermitian matrix | 歪エルミート行列 反エルミート行列 | | ==iu-ní-tha-lih 方陣== | ==iu-ní-tha-lih hong-tīn== | `台` 么正方陣 `中` 酉矩阵 | unitary matrix | ユニタリ行列 | | | $A^\mathsf{H}A = AA^\mathsf{H}$ | $A^\mathsf{H} = A$ | $A^\mathsf{H} = -A$ | $A^\mathsf{H} = A^{-1}$ | $A^\mathsf{H} = A^\mathsf{T}$ | | ---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | normal | :heavy_check_mark: | | | | | | Hermitian | :heavy_check_mark: | :heavy_check_mark: | | | | | skew-Hermitian | :heavy_check_mark: | | :heavy_check_mark: | | | | unitary | :heavy_check_mark: | | | :heavy_check_mark: | | | symmetric | :heavy_check_mark: | :heavy_check_mark: | | | :heavy_check_mark: | | skew-symmetric | :heavy_check_mark: | | :heavy_check_mark: | | :heavy_check_mark: | | orthogonal | :heavy_check_mark: | | | :heavy_check_mark: | :heavy_check_mark: | 啊 $A^\mathsf{H} = A^\mathsf{T}$ 的意思嘛是代表 $A$ 貯的是實的，毋是複合的。 ## 解線性系統 | 台語 | 台羅 | 華語 | 英語 | 日語 | | --- | --- | --- | --- | --- | | 線性系統 線性方程組 | suànn-sìng hē-thóng suànn-sìng hong-tîng-tsoo | 線性系統 線性方程組 | linear system system of linear equations | 線型方程式系 | | | | 齊次 | homogeneous | 斉次 同次 | | | | 非齊次 | nonhomogeneous | 非斉次 非同次 | | 楦闊==矩陣== | hùn-khuah ==kí-tīn== | 增廣矩陣 | augmented matrix | 拡大行列 | | | | 基本運算 | elementary operation | 基本変形 | | 基本==矩陣== | ki-pún ==kí-tīn== | 基本矩陣 | elementary matrix | 基本行列 | | *門榫* | mn̂g-sún | 樞軸 | pivot | 主成分 ピボット | | | | 梯形 | echelon form | 階段形 | | | | 簡化梯形 | reduced echelon form | 簡約階段形 | | | | 高斯消去法 | Gaussian elimination | ガウスの消去法 | | 解空間 | kái-khong-kan | 解空間 | solution space | 解空間 | | *無聊*解 | *bô-liâu* kái | 平凡解 明顯解 | trivial solution | 自明な解 | | | | 特解 | particular solution | 特殊解 | | | | 通解 | general solution | 一般解 | ## 行列式 | 台語 | 台羅 | 華語 | 英語 | 日語 | | --- | --- | --- | --- | --- | | *行列式* | *hâng-lia̍t-sik* | 行列式 | determinant | 行列式 | | | | 定向 | orientation | 向き | | | | 平行四邊形 | parallelogram | 平行四辺形 | | | | 平行六面體 | parallelepiped | 平行六面体 | | | | 餘因式 子行列式 | cofactor minor | 余因子 小行列式 | | | | 行列式展開 拉普拉斯展開 | cofactor expansion Laplace expansion | 余因子展開 ラプラス展開 | | | | 克拉瑪公式 | Cramer's rule | クラメルの法則 | | | | 伴隨矩陣 | adjugate matrix classical adjoint | 余因子行列 古典随伴行列 | | | | n 重線性映射 | n-linear function | n 重線型写像 | | | | 多重線性映射 | multilinear map | 多重線型写像 | | 反對伨 | huán-tuì-thīn | 反對稱 | anti-symmetric | 反対称 | | | | 交錯 | alternating | 交代 | 行列式是一種 alternating multilinear map（對伊的 row 抑才是 column 來講）。 * anti-symmetric: $f(\dots, a, \dots, b, \dots) = -f(\dots, b, \dots, a, \dots)$ * alternating: $f(\dots, a, \dots, a, \dots) = 0$ * alternating ⇒ anti-symmetric * 若伊的體毋是 characteristic 2，anti-symmetric ⇒ alternating ## 內積空間 ### 內積空間、正交基底 | 台漢 | 台羅 | 華語 | 英語 | 日語 | | --- | --- | --- | --- | --- | | 內積空間 | lāi-tsik khong-kan | 內積空間 | inner product space | 内積空間 計量ベクトル空間 | | 內積 | lāi-tsik | 內積 | inner product | 内積 | | | | 範數 | norm | ノルム | | 單位向量 | tan-uī hiòng-liōng | 單位向量 | unit vector | 単位ベクトル | | | | 單範化 | normalizing | 正規化 | | *直交* | *ti̍t-kau* | 正交 | orthogonal | 直交 | | *正規直交* | *tsìng-kui ti̍t-kau* | 單範正交 | orthonormal | 正規直交 | | *直交*基底 | *ti̍t-kau* ki-té | 正交基底 | orthogonal basis | 直交基底 | | *正規直交*基底 | *tsìng-kui ti̍t-kau* ki-té | 單範正交基底 | orthonormal basis | 正規直交基底 | *Gram--Schmidt 方法* | | 格拉姆--施密特正交化 | Gram--Schmidt process | グラム・シュミットの直交化 | | | | 正交補餘 | orthogonal complement | 直交補空間 | | *直交*投影 *直交*炤影 | *ti̍t-kau* tâu-iánn *ti̍t-kau* tshiō-iànn | 正（交）射影 | orthogonal projection | 直交射影 | ### 其他有關係的 | 台漢 | 台羅 | 華語 | 英語 | 日語 | | --- | --- | --- | --- | --- | | | | 最小平方逼近 | least squares approximation | 最小二乗法近似 | | | | 極小（範數）解 | minimal solution | 最小二乗解 | | | | 正定方陣 | positive definite matrix | 正定値行列 | | | | 半正定方陣 | positive semidefinite matrix | 半正定値行列 | | | | 保距映射 | (linear) isometry | 等長写像 | | | | 正交變換 | orthogonal transformation | 直交変換 | | | | `台` 么正變換 `中` 酉变换 | unitary transformation | ユニタリ変換 | | | | 正交等價 | orthogonal equivalent | 直交同値 | | | | `台` 么正等價 `中` 酉等价 | unitarily equivalent | ユニタリ同値 | | | | 豪斯霍爾德變換 | Householder transformation | ハウスホルダー変換 | | | | 譜定理 | spectral theorem | スペクトル定理 | | | | 譜分解 | spectral decomposition | スペクトル分解 | ## 對角化、固有值、標準型 ### 對角化 | 台語 | 台羅 | 華語 | 英語 | 日語 | | --- | --- | --- | --- | --- | | *對角化* | *tuì-kak-huà* | 對角化 | diagonalization | 対角化 | | *可對角化* | *khó tuì-kak-huà* | 可對角化 | diagonalizable | 対角化可能 | | | | 同時可對角化 | simultaneously diagonalizable | 同時対角化可能 | ### 固有值 > 佇國家教育研究院的數學詞彙內底，「eigen-」嘛是翻譯做「固有」。 | 台語 | 台羅 | 華語 | 英語 | 日語 | | --- | --- | --- | --- | --- | | 固有值 | kòo-iú-ta̍t | 固有值 特徵值 | eigenvalue | 固有値 | | 固有向量 | kòo-iú hiòng-liōng | 固有向量 特徵向量 | eigenvector | 固有ベクトル | | 固有空間 | kòo-iú khong-kan | 固有空間 特徵空間 | eigenspace | 固有空間 | | | | 廣義固有向量 | generalized eigenvector | 広義固有ベクトル | | | | 廣義固有空間 | generalized eigenspace | 広義固有空間 | | *==固有==* 多項式 | *==kòo-iú==* to-hāng-sik | 特徵多項式 | characteristic polynomial | 固有多項式 特性多項式 | | 上細多項式 | siōng-sè to-hāng-sik | 最小多項式 | minimal polynomial | 最小多項式 | | | | 代數重數 | algebraic multiplicity | 代数的重複度 | | | | 幾何重數 | geometric multiplicity | 幾何学的重複度 | ### 標準型 > 法國人 Camille Jordan [ʒɔʀdã] | 台語 | 台羅 | 華語 | 英語 | 日語 | | --- | --- | --- | --- | --- | | | | 若爾當分塊 | Jordan block | ジョルダン細胞 ジョルダンブロック | | 若今標準型 | Jiok-tann piau-tsún-hîng | 若爾當典範型 若爾當標準型 | Jordan normal form Jordan canonical form | ジョルダン標準形 | | 若今標準基底 | Jiok-tann piau-tsún ki-té | 若爾當正準基底 | Jordan canonical basis | ジョルダン基底 | | | | 友矩陣 | companion matrix | 同伴行列 コンパニオン行列 | | | | 有理正準形式 | rational (canonical) form Frobenius normal form | 有理標準形 フロベニウス標準形 | | | | 有理正準基底 | rational canonical basis | |

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