抽象代數 - HackMD

# 抽象代數 ###### tags: `數學` `代數` [TOC] --- ## 二元運算 ### 性質 | 台漢 | 台羅 | 華語 | 英語 | 日語 | | --- | --- | --- | --- | --- | | | | 二元運算 | binary operation | 二項演算 | | | | 封閉律 閉包性質 | closure property | 閉性 | | | | 封閉 | closed | 閉じている | | 結合律 | kiat-ha̍p-lu̍t | 結合律 | associative property associativity | 結合法則 結合性 | | 交換律 | kau-uānn-lu̍t | 交換律 | commutative property commutativity | 交換法則 可換律 | | | | 可交換 | commutative | 可換 | | | | 不可交換 | non-commutative | 非可換 | | 通交換 | thang kau-uānn | 可交換 | commute | 可換 | | | | 反交換律 | anticommutative property | 反交換法則 | | 分配律 | hun-phuè-lu̍t | 分配律 | distributive property | 分配法則 | | | | 左分配律 | left-distributivity | 左分配法則 | | | | 右分配律 | right-distributivity | 右分配法則 | :::info * 「律」嘛會使講「法則 huat-tsik」 * 方音差：配 phuè, phè, phèr ::: * `x` and `y` **commute** under `*`: `x * y = y * x` * `S` is **commutative** under `*`: `x * y = y * x` for any `x`, `y` in `S`. ### 元素 | 台漢 | 台羅 | 華語 | 英語 | 日語 | | --- | --- | --- | --- | --- | | 單位元 | tan-uī-guân | `台` 單位元素 `中` 单位元 | identity | 単位元 | | 倒爿單位元 | tò-pîng tan-uī-guân | `台` 左單位元素 `中` 左单位元 | left identity | 左単位元 | | 正爿單位元 | tsiànn-pîng tan-uī-guân | `台` 右單位元素 `中` 右单位元 | right identity | 右単位元 | | 零 加法單位元 | lîng ka-huat tan-uī-guân | 零 加法單位元素 | zero additive identity | 零元 加法単位元 | | 一 乘法單位元 | it sîng-huat tan-uī-guân | 一 乘法單位元素 | one multiplicative identity | 一 乗法単位元 | | ==倒元== | ==tò-guân== | `台` 反元素 `中` 逆元 | inverse | 逆元 | | 倒爿==倒元== | tò-pîng ==tò-guân== | `台` 左反元素 `中` 左逆元 | left inverse | 左逆元 | | 正爿==倒元== | tsiànn-pîng ==tò-guân== | `台` 右反元素 `中` 右逆元 | right inverse | 右逆元 | | 加法==倒元== | ka-huat ==tò-guân== | `台` 加法反元素 `中` 加法逆元 | additive inverse | 加法逆元 反元 | | 乘法==倒元== | sîng-huat ==tò-guân== | `台` 乘法反元素 `中` 乘法逆元 | multiplicative inverse | 乗法逆元 | | 對反數 | tuì‑huán-sòo | 相反数 | opposite | 反数 | | ==倒頭數== | ==tò-thâu-sòo== | 倒數 | reciprocal | 逆数 | | | | 冪等 | idempotent | 冪等 | | 冪零 | bi̍k-lîng | 冪零 | nilpotent | 冪零 | ## 範疇 :point_right: 範疇（category）毋是大部份大學代數的內容，毋過有一寡詞彙是對範疇論來的。咱共一寡範疇論的基本詞彙囥咧遮，賰的會當參考[【數學基礎／範疇論】](https://hackmd.io/@TaigiSTEM/Sy-d50L6i)。 | 台漢 | 台羅 | 華語 | 英語 | 日語 | | --- | --- | --- | --- | --- | | ==仝樣== | ==kāng-iūnn== | 同態 | homorphism | 準同型 | | ==仝型== | ==kāng-hîng== | 同構 | isomorphism | 同型（射） | | 合成 | ha̍p-sîng | 合成 | composition | 合成 | | 定義域 | tīng-gī-hi̍k | 域 | domain | 始域 | | 對應域 | tuì-ìng-hi̍k | `台` 對應域 `中` 陪域 | codomain | 終域 | | 像 | siōng | 像 | image | 像 | | 核 | hi̍k | 核 | kernel | 核 | | 直積 | ti̍t-tsik | 直積 | direct product | 直積 | | 直和 | ti̍t-hô | 直和 | direct sum | 直和 | | 交換圖 | kau-uānn-tôo | 交換圖 | commutative diagram | 可換図式 | ## 群 | 台漢 | 台羅 | 華語 | 英語 | 日語 | | --- | --- | --- | --- | --- | | 群 | kûn | 群 | group | 群 | | 半群 | puànn-kûn | 半群 | semigroup | 半群 | | 有單位的半群 | ū-tan-uī-\-ê puàn-kûn | `台` 具單位元半群 `中` 么半群 | monoid | モノイド | | 亞勃群 交換群 | A-pu̍t-kûn kau-uānn-kûn | 阿貝爾群 交換群 | abelian group commutative group | アーベル群 可換群 | | | | 階 | order | 位数 | | 有限群 | iú-hān-kûn | 有限群 | finite group | 有限群 | | ==湠元== | thuànn-guân | 生成元 | generator | 生成元 | | 有限==生湠== | iú-hān senn-thuànn | 有限生成 | finitely generated | 有限生成 | | 自由群 | tsū-iû-kûn | 自由群 | free group | 自由群 | | 循環群 | sûn-khuân-kûn | 循環群 | cyclic group | 巡回群 | | 排列 | pâi-lia̍t | 排列 置換 | permutation | 置換 | | 循環（排列） | sûn-khuân (pâi-lia̍t) | `台` 循環（排列） `中` 轮换 | cyclic permutation cycle | 巡回置換 | | 對換 | tuì-uānn | 對換 | transposition | 互換 | | 奇排列 | khia-pâi-lia̍t | 奇排列 奇置換 | odd permutation | 奇置換 | | 雙排列 | siang-pâi-lia̍t | 偶排列 偶置換 | even permutation | 偶置換 | | 對伨群 | tuì-thīn-kûn | 對稱群 | symmetric group | 対称群 | | 交錯群 | kau-tshò-kûn | 交錯群 | alternating group | 交代群 | | 排列群 | pâi-lia̍t-kûn | 排列群 置換群 | permutation group | 置換群 | | 伽賴群 | Ka-luā-kûn | 伽羅瓦群 | Galois group | ガロア群 | | 可解群 | khó-kái-kûn | 可解群 | solvable group | 可解群 | | 冪零群 | bi̍k-lîng-kûn | 冪零群 | nilpotent group | 冪零群 | ### 子群 | 台漢 | 台羅 | 華語 | 英語 | 日語 | | --- | --- | --- | --- | --- | | ==子==群 | ==tsú==-kûn | 子群 | subgroup | 部分群 | | | | 真子群 | proper subgroup | 真部分群 | | | | 平凡（子）群 明顯（子）群 | trivial (sub)group | 自明な（部分）群 | | 循環子群 | sûn-khuân tsú-kûn | 循環子群 | cyclic subgroup | 巡回部分群 | | 中心 | tiong-sim | 中心 | center | 中心 | | | | 正規子群 不變子群 | normal subgroup invariant subgroup self-conjugate subgroup | 正規部分群 | | | | 商群 | quotient group factor group | 商群 因子群 | | | | 陪集 | coset | 剰余類 傍系 | | | | 左陪集 | left coset | 左剰余類 | | | | 右陪集 | right coset | 右剰余類 | | | | 指數 | index | 指数 | | p-子群 | p-tsú-kûn | p-子群 | p-subgroup | p-部分群 | | | | 西羅 p-子群 | Sylow p-subgroup | シロー p-部分群 | | | | 共軛 | conjugate | 共役 | | | | 共軛類 | conjugacy class | 共役類 | | | | 中心化子 | centralizer | 中心化群 | | | | 正規化子 | normalizer | 正規化群 | | 交換子 | kau-uānn-tsú | 交換子 | commutator | 交換子 | | 交換子子群 | kau-uānn-tsú tsú-kûn | 交換子（子）群 導來（子）群 | commutator subgroup derived group | 交換子部分群 導来部分群 | ### 群作用 | 台漢 | 台羅 | 華語 | 英語 | 日語 | | --- | --- | --- | --- | --- | | 群作用 | kûn-tsok-iōng | 群作用 | group action | 群作用 | | 倒爿群作用 | tò-pîng kûn-tsok-iōng | 左群作用 | left group action | 左群作用 | | 正爿群作用 | tsiànn-pîng kûn-tsok-iōng | 右群作用 | right group action | 右群作用 | | | | 軌道 | orbit | 軌道 | | | | 穩定子群 迷向子群 | stabilizer subgroup isotropy group | 固定部分群 等方部分群 | ## 環 | 台漢 | 台羅 | 華語 | 英語 | 日語 | | --- | --- | --- | --- | --- | | 環 | khuân | 環 | ring | 環 | | （乘法）單位元 | (sîng-huat) tan-uī-guân | （乘法）單位元素 | unity | （乘法）単位元 | | 有單位的環 | ū-tan-uī-\-ê khuân | `台` 具單位元環 `中` 么環 | ring with unity unitary ring | 単位元を持つ環 単位的環 | | 可逆元 單元 | khó-gi̍k-guân tan-guân | 可逆元素 單元 | unit | 可逆元 単元 | | 交換環 | kau-uānn-khuân | 交換環 | commutative ring | 可換環 | | 非交換環 | hui-kau-uānn-khuân | 非交換環 | noncommutative ring | 非可換環 | | 多項式環 | to-hāng-sik guân | 多項式環 | polynomial ring | 多項式環 | | ==矩陣==環 | ==kí-tīn==-khuân | 方陣環 | matrix ring | 行列環 | | | | 升鏈條件 | ascending chain condition ACC | 昇鎖条件 | | | | 降鏈條件 | descending chain condition DCC | 降鎖条件 | | | | 諾特環 | Noetherian ring | ネーター環 | | | | 阿廷環 | Artinian ring | アルティン環 | ### 子環 | 台漢 | 台羅 | 華語 | 英語 | 日語 | | --- | --- | --- | --- | --- | | ==子==環 | tsú-khuân | 子環 | subring | 部分環 | | 理想 | lí-sióng | 理想 | ideal | イデアル | | 倒爿理想 | tò-pîng lí-sióng | 左理想 | left ideal | 左イデアル | | 正爿理想 | tsiànn-pîng lí-sióng | 右理想 | right ideal | 右イデアル | | 雙爿理想 | siang-pîng lí-sióng | 雙邊理想 | two-sided ideal | 両側イデアル | | | | 商環 | quotient ring factor ring | 商環 剰余環 | | | | 主理想 | principal ideal | 単項イデアル 主イデアル | | | | `台` 質理想 `中` 素理想 | prime ideal | 素イデアル | | 上大理想 | siōng-tuā lí-sióng |極大理想 | maximal ideal | 極大イデアル | ### 交換環 | 台漢 | 台羅 | 華語 | 英語 | 日語 | | --- | --- | --- | --- | --- | | | | `台` 質元素 `中` 素元 | prime element | 素元 | | | | 不可約元素 | irreducible element | 既約元 | | | | 可約 | reducible | 可約 | | | | 零因子 | zero divisor | 零因子 | | | | 消去律 | cancellation property | 簡約律 | | 相伴 | sio-phuānn | 相伴 | associate | 同伴 | | 等元 | tíng-guân | 公因子 | common divisor | 公約元 | | 上大等元 | siōng-tuā tíng-guân | 最大公因子 | greatest common divisor | 最大公約元 | | 整環 | tsíng-khuân | 整環 整域 | integral domain | 整域 | | | | 唯一分解整環 | unique factorization domain UFD | 一意分解整域 | | | | 主理想整環 | principal ideal domain PID | 単項イデアル整域 主イデアル整域 | | 游居列整環 | Iû-ku-lia̍t tsíng-khuân | 歐幾里得整環 | Euclidean domain | ユークリッド整域 | | 份式體 | hūn-sik-thé | 分式體 | quotient field field of fractions fraction field | 分数体 商体 | 愛注意「quotient field」的「quotient」是代表講伊貯的是份式，佮「quotient group」、「quotient ring」彼種的完全無交插。若是欲「quotient group」彼種的，就愛去看「field extension」。 ## 體 | 台漢 | 台羅 | 華語 | 英語 | 日語 | | --- | --- | --- | --- | --- | | 體 | thé | `台` 體 `中` 域 | field | （可換）体 | | | | 除環 斜體 | division ring skew field | 可除環 斜体 | | 有限體 | iú-hān-thé | 有限體 伽羅瓦體 | finite field Galois field | 有限体 ガロア体 | | | | 特徵數 | characteristic | 標数 | | | | `台` 質體 `中` 素域 | prime field | 素体 | ### 體擴張 | 台漢 | 台羅 | 華語 | 英語 | 日語 | | --- | --- | --- | --- | --- | | 體==擴張== | thé-==khok-tiong== | 體擴張 | field extension | 体の拡大 | | ==子==體 | tsú-thé | 子體 | subfield | 部分体 | | 擴張體 | khok-tiong-thé | 擴張體 | extension (field) | 拡大体 | | ==居中==體 子擴張 | ==ku-tiong==-thé tsú-khok-tiong | 中間體 子擴張 | intermediate field subextension | 中間体 | | | | 體擴張次數 | degree of the extension | 拡大次数 | | 有限擴張 | iú-hān khok-tiong | 有限擴張 | finite extension | 有限次拡大 | | 代數元 | tāi-sòo-guân | 代數元 | algebraic element | 代数元 | | 超越元 | tshiau-ua̍t-guân | 超越元 | transcendental element | 超越元 | | 代數擴張 | tāi-sòo khok-tiong | 代數擴張 | algebraic extension | 代数拡大 | | 上細多項式 | siōng-sè to-hāng-sik | 最小多項式 | minimal polynomial | 最小多項式 | | | | 代數閉包 | algebraic closure | 代数的閉包 | ## 模 | 台漢 | 台羅 | 華語 | 英語 | 日語 | | --- | --- | --- | --- | --- | | | | 模 | module | 加群 | | | | 左模 | left module | 左加群 | | | | 右模 | right module | 右加群 |