Free Body Diagram of Quadruped Robots

• Free Body Diagram of Quadruped Robots
  • Torque控制(for stance legs)
  • 靜態補償力(重力補償)
  • 前饋力矩(feedforward重力補償)
  • 馬達角度控制(for the swing legs)
• 研究方法之泛化性
  • 演算法
    • 底層控制器
    • 上層控制器
  • 硬體規格：
• 四足機器人規格預估
  • 1. 機械結構與尺寸縮放規則
  • 2. 動力學與電機選擇
    • 2.1 扭矩計算
    • 2.2 電機功率需求
  • 3. 電池容量與續航時間
  • 4. 感測器與運算資源
  • 5. 機械結構與材料強度計算
  • 6. 總結與建議
• 其他設計標準作業流程（SOP）
  • 1. 需求分析
    • 1.1 確定設計目標
    • 1.2 確定性能需求
  • 2. 機構與結構設計
    • 2.1 設計機械結構
    • 2.2 模擬與優化
  • 3. 電子與感測系統
  • 4. 運動學與動力學分析
  • 5. 步態規劃與控制
  • 6. 軟體架構與高階行為開發
  • 7. 測試與調試
  • 結論

Torque控制(for stance legs)

Note:以下粗體均為向量

$$\underset{A}{\underbrace{\left[\begin{array}{ccc}{\mathbf{I}}_3& \dots & {\mathbf{I}}_3\\ [p_1-p_c{]}_{\times }& \dots & [p_4-p_c{]}_{\times }\end{array}\right]}}{\mathbf{F}}_{\text{leg}}=\underset{b}{\underbrace{\left[\begin{array}{c}m({\ddot{\mathbf{p}}}_{c,d}+\mathbf{g})\\ {\mathbf{I}}_G{\dot{\text{boldsymbol}\omega }}_{b,d}\end{array}\right]}},(1)$$

• 其中
  $b$項中的
  $m\mathbf{g}$為feedforward項，而
  $m{\ddot{\mathbf{p}}}_{c,d}$為feedback項，定義如下
  
  $$\left[\begin{array}{c}{\ddot{\mathbf{p}}}_{c,d}\\ {\dot{\text{boldsymbol}\omega }}_{b,d}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\mathbf{K}}_{p,p}({\mathbf{p}}_{c,d}-{\mathbf{p}}_c)+{\mathbf{K}}_{d,p}({\dot{\mathbf{p}}}_{c,d}-{\dot{\mathbf{p}}}_c)\\ {\mathbf{K}}_{p,\omega }{e}_R+{\mathbf{K}}_{d,\omega }(\text{boldsymbol}{\omega }_{b,d}-\text{boldsymbol}\omega )\end{array}\right](2)$$
  
  ${\mathbf{p}}_c$為質心位置，
  ${\mathbf{p}}_{c,d}$為理想的質心位置(可參考此連結)定義如下：
  
  $${\mathbf{p}}_{c,d}={[}^I{r}_{B_x}^d{,}^I{r}_{B_y}^d,h_g+h_H(\varphi ),0,0,0{]}^{\mathbf{T}},$$
  $${\dot{\mathbf{p}}}_{c,d}=[v_{B_x}^d,v_{B_y}^d,0,0,0,{\dot{\psi }}_d{]}^{\mathbf{T}}$$
  
  $\text{boldsymbol}\omega$為角速度，
  $\text{boldsymbol}{\omega }_{b,d}$為身體的理想角速度，
  ${\mathbf{F}}_{\text{leg}}$為各隻腳確保穩定性所需的作用力(從地面提供，又稱地面反作用力，包含正向力+摩擦力)，
  ${\mathbf{e}}_{\mathbf{R}}$定義為
  $${\mathbf{e}}_{\mathbf{R}}=-\frac{1}{2}{(R_d^{T}R-R^T{R}_d)}^{\vee },$$
  $R$、
  $R_d$分別為身體姿態、理想身體姿態。再透過Jacobian matrix，可轉換出的每軸所需力矩。
  $$\tau ={\mathbf{J}}^T{\mathbf{F}}_{\text{leg}}(3),$$where
  
  $${\mathbf{F}}_{\text{leg}}=[{\mathbf{F}}_{\text{leg,1}},{\mathbf{F}}_{\text{leg,2}},...,{\mathbf{F}}_{\text{leg,n}}],$$where
  $n$ is the number of stance legs. Vee map (
  $\vee$) is inverse of skew operator defined by the relationship
  $\stackrel{\vee }{M}=V,$where
  $$V=\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]$$,
  
  $$M=\left[\begin{array}{ccc}0& -z& y\\ z& 0& -x\\ -y& x& 0\end{array}\right]$$

靜態補償力(重力補償)

如果前述公式所有微分像都為零，可算出靜態下讓機器人穩定條件下，每隻腳所需的力。

$$\underset{A}{\underbrace{\left[\begin{array}{ccc}{\mathbf{I}}_3& \dots & {\mathbf{I}}_3\\ [p_1-p_c{]}_{\times }& \dots & [p_4-p_c{]}_{\times }\end{array}\right]}}{\mathbf{F}}_{\text{leg}}=\underset{b}{\underbrace{\left[\begin{array}{c}\mathbf{mg}\mathbf{+}\mathbf{m}{\mathbf{K}}_{\mathbf{p}\mathbf{,}\mathbf{p}}\mathbf{(}{\mathbf{p}}_{\mathbf{c}\mathbf{,}\mathbf{d}}\mathbf{-}{\mathbf{p}}_{\mathbf{c}}\mathbf{)}\\ {\mathbf{K}}_{p,\omega }{e}_R\end{array}\right]}}(4),$$
並可接著算出每軸所需力矩為

$$\tau ={\mathbf{J}}^T{\mathbf{F}}_{\text{leg}},(5)$$

前饋力矩(feedforward重力補償)

如果前述公式只考慮重力，可算出讓機器人穩定條件下，每隻腳所需的力和每軸的力矩。

$$\underset{A}{\underbrace{\left[\begin{array}{ccc}{\mathbf{I}}_3& \dots & {\mathbf{I}}_3\\ [p_1-p_c{]}_{\times }& \dots & [p_4-p_c{]}_{\times }\end{array}\right]}}{\mathbf{F}}_{\text{leg}}=\underset{b}{\underbrace{\left[\begin{array}{c}\mathbf{mg}\\ 0\end{array}\right]}},$$
並可接著算出每軸所需力矩為

$${\tau }_{\mathbb{f}}={\mathbf{J}}^T{\mathbf{F}}_{\text{leg}},$$

$$={\mathbf{J}}^T(A^{†}b),$$

馬達角度控制(for the swing legs)

$${\tau }_i={\mathbf{K}}_p(q_{d,i}-q_i)+{\mathbf{K}}_d({\dot{q}}_{d,i}-\dot{q})$$

研究方法之泛化性

演算法

底層控制器

• 上述的演算法不管是(1)-(3)或是(4)、(5)式都已經考慮不同大小機器人的尺寸(
  $p_i-p_c$)和質量(m)，且PD gain都為無因次，因此更換機器人不需大量更動程式碼。

上層控制器

• 在質心軌跡規劃(QP-based COG Trajectory)演算法中，給定跨步的大小(step length)，可算出該限制下的質心軌跡，機器人尺寸越大(
  $r$)，步伐可以給的越大(只要不發生joint limit或是Jacobian sigularity)。
• 質心位移、速度、加速度基本上跟機器人尺寸越大(
  $r$)成正比。
• 結論：程式只需改參數(跨步的大小)，其餘不變。

硬體規格：

硬體規格會跟機器狗大小比例(

$r$)息息相關，解釋如下。

• 馬達所需torque會是跟機器狗大小比例(
  $r$)成4次方倍(torque
  $\propto r^4$)，馬達所需功率為5次方倍(power
  $\propto r^5$)。
• 所需電池容量也為5次方倍(baterry capacity
  $\propto r^5$)。
• 不同腳在地上，馬達torque不同，例如swing leg跟stance lag的torque需求落差很大，因此腳是否落地的偵測想當重要。宇樹機器狗的腳底具有壓力感測器，增加是否落地的判斷機率。可透過sensor fusion增加判斷機率，參考Leg Phase detection.

以下是一份 機器狗設計的標準作業流程（SOP），涵蓋從需求分析到最終測試的完整開發流程。

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四足機器人規格預估

針對根據數學模型預估不同尺寸的四足機器人之零件規格，可以從 運動學、動力學、結構強度、電機需求、電池容量等數學模型 進行推導，確保不同尺寸機器狗的零件規格能夠符合性能需求。以下是詳細方法：

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1. 機械結構與尺寸縮放規則

不同尺寸的機器狗，其機械結構可以參照「幾何相似性定律（Geometric Similarity Laws）」，進行比例縮放。但機械強度和動力需求不會線性變化，需要考慮尺度效應（Scaling Effect），其影響如下：

• 長度 L 縮放比例：
  $k$
• 體積 V 縮放比例：
  $k^3$
• 重量 W 縮放比例：
  $k^3$（假設相同材質）
• 關節扭矩需求縮放：
  $k^4$（與重量和長度相關）
• 電機功率需求縮放：
  $k^5$（與扭矩與速度相關）

範例：
若機器狗尺寸從 0.5m 增加到 1.0m，則：

• 體積變為 8 倍（
  $2^3$）
• 重量變為 8 倍（
  $2^3$）
• 扭矩需求變為 16 倍（
  $2^4$）
• 電機功率需求變為 32 倍（
  $2^5$）

這代表若要放大尺寸，零件（馬達、電池、材料強度）必須按這些非線性比例增強，否則會影響穩定性。

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2. 動力學與電機選擇

電機的選擇取決於關節所需的扭矩 (

$\tau$) 及功率 (

$P$) 需求：

2.1 扭矩計算

關節所需扭矩可根據牛頓-歐拉方程計算：

$$\tau =I\alpha +mgr$$
其中：

• $I$：關節的慣性矩
• $\alpha$：角加速度
• $m$：負載質量
• $g$：重力加速度
• $r$：關節長度

如果機器狗的尺寸變為

$k$ 倍，則：

$${\tau }^{\prime }=k^4\tau$$
這表示尺寸增加會使扭矩需求增大四次方，因此應選擇更大扭矩的伺服馬達或使用減速比提升輸出扭矩。

2.2 電機功率需求

馬達功率需求：

$$P=\tau \cdot \omega$$
其中：

• (
  $\omega$ )：馬達轉速

假設機器狗速度 (

$v$ ) 按比例 (

$k$ ) 增加，則：

$$P^{\prime }=k^{5}P$$
因此，機器狗尺寸放大 2 倍時，所需馬達功率會增加 32 倍，電池容量與散熱設計必須同步提升。

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3. 電池容量與續航時間

電池需求可用功率與時間關係計算：

$$E=P\times T$$
其中：

• (
  $E$ )：電池容量（Wh）
• (
  $P$ )：平均功率消耗（W）
• (
  $T$ )：續航時間（h）

若尺寸增為 (

$k$ ) 倍，則：

• 馬達功率 (
  $P^{\prime }=k^{5}P$ )
• 若希望續航時間 (
  $T$ ) 不變，則電池容量 (
  $E^{\prime }=k^{5}E$ )

例如：

• 小型機器狗 (0.5m, 5kg)，功率需求 50W，使用 100Wh 電池，續航時間 2 小時。
• 若尺寸變成 1m, 40kg，則功率需求變成 1600W，若要維持 2 小時續航，則需 3200Wh 電池。

這表示大型機器狗需要更高能量密度的電池，如 高壓鋰電池 。

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4. 感測器與運算資源

感測器與運算能力需求會隨機器狗大小變化：

• IMU/陀螺儀：不受尺寸影響，但要確保精度提高。
• 視覺感測器： 若機器狗視角高度增加，則鏡頭分辨率與視野範圍要增加。
• LIDAR/雷達： 大型機器狗應用於更複雜環境時，LIDAR 需更高解析度。
• 嵌入式運算： AI 推理（SLAM、步態控制）需求增加，可選擇 NVIDIA Jetson Orin / Xilinx FPGA。

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5. 機械結構與材料強度計算

較大機器狗需使用更高強度材料：

• 骨架強度分析（有限元素分析 FEA）：

  • 計算應力 (
    $\sigma =\frac{F}{A}$ )
  • 若尺寸變為 (
    $k$ ) 倍，則結構受力增為 (
    $k^3$ )，需選擇高強度輕量材料（如碳纖維、鈦合金）。

• 足部結構與減震設計：

  • 增加減震層與避震機構（彈簧阻尼系統）。

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6. 總結與建議

• 關鍵設計原則：

  1. 幾何縮放非線性影響 → 尺寸變 (
     $k$ ) 倍，動力需求 (
     $k^5$ ) 倍。
  2. 動力學計算 → 確保關節扭矩足夠（
     $k^4$ 倍增長）。
  3. 電池續航 → 尺寸變 (
     $k$ ) 倍，需 (
     $k^5$ ) 倍能量。
  4. 感測器與控制 → 根據應用場景優化 AI 算法與傳感器。

• 不同尺寸機器狗的設計對應：

  尺寸	扭矩需求	馬達功率	電池容量
  0.5m	5Nm	50W	100Wh
  1.0m	80Nm	1600W	3200Wh
  1.5m	400Nm	8000W	16000Wh

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其他設計標準作業流程（SOP）

1. 需求分析

1.1 確定設計目標

• 應用場景（如：巡邏、救援、娛樂、教育）
• 移動方式（四足步行、跳躍、跑步）
• 負載能力（是否需要夾取物品、運載設備）
• 自主性（遙控 vs. AI 自主運行）

1.2 確定性能需求

• 移動速度、穩定性、續航時間
• 適應地形（平地、樓梯、崎嶇地形）
• 通訊方式（Wi-Fi、5G、藍牙）
• 感測器需求（相機、雷達、IMU、壓力感測器）

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2. 機構與結構設計

2.1 設計機械結構

• 骨架材料選擇（鋁合金、碳纖維、塑膠）
• 關節數量與自由度（DOF）
• 伺服馬達或驅動系統選擇

2.2 模擬與優化

• 使用 SolidWorks / CATIA / Fusion 360 進行 3D 建模
• 進行剛性與耐久性分析（有限元素分析 FEA）
• 計算機器狗在不同動作下的受力與能耗

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3. 電子與感測系統

• 運動控制器選擇（如 STM32、NVIDIA Jetson、ROS 控制板）
• 馬達驅動器與電源管理
• 感測器選擇：
  • IMU（慣性測量單元）
  • 力/力矩感測器（足端壓力感測）
  • 深度相機或 LiDAR（環境感知）
  • GPS / SLAM（定位與導航）
• 通訊協議：
  • 內部通訊（如 CAN Bus、SPI、I2C）
  • 遠端控制（如 Wi-Fi、BLE、5G）

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4. 運動學與動力學分析

• 正運動學 (FK) / 逆運動學 (IK)
• 運動規劃與控制：
  • 基於 ZMP（零力矩點）控制
  • 基於 MPC（模型預測控制）
  • 模仿生物學控制（如 CPG 中樞模式產生器）
• 足端接觸動力學：
  • 地面反作用力 (GRF) 模擬
  • 足端滑移與摩擦分析

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5. 步態規劃與控制

• 靜態步態（Static Gait）：
  • 三足支撐步態（Tripod Gait）
  • 爬行步態（Crawling）
• 動態步態（Dynamic Gait）：
  • 小跑步 (Trot)
  • 跳躍 (Bounding)
  • 跑步 (Galloping)
• 步態轉換與穩定性分析
• 實時控制：
  • 足端力回饋
  • 重心 (CoM) 調整
  • 落腳點 (Foot Placement) 計算

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6. 軟體架構與高階行為開發

• 嵌入式控制 (Firmware)：
  • 實時控制迴圈（低延遲驅動馬達）
  • 傳感器數據融合（EKF / UKF）
• 行為層 (Behavior Layer)：
  • 適應性行走（足端避障、自適應步態）
  • 強化學習 / 模仿學習控制
• 導航與感知：
  • VSLAM（視覺 SLAM）與 LiDAR SLAM
  • AI 目標識別（透過 CNN / Transformer）
  • 路徑規劃（A*、Dijkstra、RRT）

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7. 測試與調試

• 硬體測試：
  • 馬達驅動與關節靈活度測試
  • 負載與扭矩測試
  • 電池壽命與散熱測試
• 運動測試：
  • 運動學與動力學誤差分析
  • 步態穩定性測試
  • 適應不同地形測試（沙地、草地、斜坡、樓梯）
• 自動化測試：
  • 模擬環境測試（如 Mujoco、Gazebo）
  • 強化學習訓練與策略驗證

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結論

四足機器人的設計是一個跨領域的工程問題，涉及機械、電子、控制與 AI 算法等多方面知識。透過系統性的 SOP 流程，可以高效開發穩定且高性能的四足機器人，應用於各種實際場景，如巡邏、搜索救援、物流運輸及軍事應用。