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生活中的數學 - 信紙與根號2

因為擔心會不會超過平信8塊錢的郵資（重量是20公克），所以查了下20公克大概是幾張紙的重量，然後看到一些常用紙張尺寸的規定。

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重量

1. A4

• 長：297mm
• 寬：210mm
• 面積 $=29.7\times 21=623.7$ cm² $=0.06237$ m²

買紙時常見的80磅紙，其實是指每一平方公尺重80公克，所以我們得到一張A4紙重 $0.06237\times 80=4.9896$ 公克，大約$5$公克

假設信封跟郵票共重$0.5$ 公克，則我們可以放到3張紙左右（這裡不考慮將紙裁剪）。

2. B5

• 長：257mm
• 寬：182mm
• 面積 $=25.7\times 18.2=467.74$ cm² $=0.046774$ m²
• 重量：$0.046774\times 80=3.74192$ 公克，大約$3.742$ 公克

假設信封加郵票$0.5$ 公克，令可以放$n$張紙，則
$3.742\times n+0.5\le 20$
$\Rightarrow n\le 5.211...$
所以我們可以放最多5張B5的紙在信封裡。

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A4 是什麼??

A4 怎麼來的，觀察它的長寬，將長除以寬大約是$1.414$，這個數字就是國中我們記的$\sqrt{2}$的近似值，而除法的動作就像是在給這兩個數字比例關係，我們知道A4紙的長寬比是$\sqrt{2}:1$。

那A3呢？其實將A3沿著長的那邊對著，裁開後就是A4，也就是說，A3的面積是A4的兩倍，經過計算知道A3的長寬比也是$\sqrt{2}:1$

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$\sqrt{2}:1$

我想，為了方便，人們希望只要制定最一開始的紙張尺寸，剩下的都可以用它裁切得到，並且規格還能一致，最方便的裁法我想就是對折再切。（切長的那一邊）

• Q: 那一開始的比例應該要怎麼訂才能得到全部的紙張比例都一樣？

令紙張的某一邊為$1$，另一邊為$x$，假設$x>1$ 和 ${\displaystyle \frac{x}{2}<1}$，（確保從$x$那邊切半後會變成寬）
因為切半後長寬比要一樣，所以$1:x={\displaystyle \frac{x}{2}:1}$
我們得到 $x=\sqrt{2}$
也就是一開始的長寬比是$\sqrt{2}:1$

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A0的大小

看資料發現，A0紙是A版紙的標準，其他A開頭的紙都是從這個下去切的（對折切半），而A0的面積是$1$ m²，那他的長跟寬呢？
我們令它的寬為$x$ m，長為$\sqrt{2}x$ m
則$1=x\cdot \sqrt{2}x=\sqrt{2}{x}^2$
$\Rightarrow x=\sqrt{{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}}=2^{\frac{-1}{4}}\approx 0.8409$ m

所以
長 $=2^{\frac{1}{4}}\approx 1.189$ m
寬 $=0.8409$ m

實際去查發現A0的長為$1189$ mm ，寬為$841$ mm
跟我們求得的值很符合。

參考資料

A4纸尺寸的由来？

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