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# 生活中的數學 - 信紙與根號2
因為擔心會不會超過平信8塊錢的郵資（重量是20公克），所以查了下20公克大概是幾張紙的重量，然後看到一些常用紙張尺寸的規定。

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## 重量
1. A4
- 長：297mm
- 寬：210mm
- 面積 $= 29.7\ \times 21 = 623.7$ cm^2^ $= 0.06237$ m^2^

買紙時常見的80磅紙，其實是指每一平方公尺重80公克，所以我們得到一張A4紙重 $0.06237\ \times 80 = 4.9896$ 公克，大約$5$公克

假設信封跟郵票共重$0.5$ 公克，則我們可以放到3張紙左右（這裡不考慮將紙裁剪）。

2. B5
- 長：257mm
- 寬：182mm
- 面積 $= 25.7\ \times 18.2 = 467.74$ cm^2^ $=0.046774$ m^2^
- 重量：$0.046774\ \times 80 = 3.74192$ 公克，大約$3.742$ 公克

假設信封加郵票$0.5$ 公克，令可以放$n$張紙，則
$3.742\ \times n + 0.5 \leq 20$
$\Rightarrow n \leq 5.211...$
所以我們可以放最多5張B5的紙在信封裡。

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## A4 是什麼??
A4 怎麼來的，觀察它的長寬，將長除以寬大約是$1.414$，這個數字就是國中我們記的$\sqrt{2}$的近似值，而除法的動作就像是在給這兩個數字比例關係，我們知道A4紙的長寬比是$\sqrt{2} : 1$。

那A3呢？其實將A3沿著長的那邊對著，裁開後就是A4，也就是說，A3的面積是A4的兩倍，經過計算知道A3的長寬比也是$\sqrt{2} : 1$

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## $\sqrt{2}:1$
我想，為了方便，人們希望只要制定最一開始的紙張尺寸，剩下的都可以用它裁切得到，並且規格還能一致，最方便的裁法我想就是對折再切。（切長的那一邊）

- Q: 那一開始的比例應該要怎麼訂才能得到全部的紙張比例都一樣？

令紙張的某一邊為$1$，另一邊為$x$，假設$x > 1$ 和 $\displaystyle{\frac{x}{2}} < 1$，（確保從$x$那邊切半後會變成寬）
因為切半後長寬比要一樣，所以$1 : x = \displaystyle{\frac{x}{2}} : 1$
我們得到 $x = \sqrt{2}$
也就是一開始的長寬比是$\sqrt{2}:1$

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## A0的大小
看資料發現，A0紙是A版紙的標準，其他A開頭的紙都是從這個下去切的（對折切半），而A0的面積是$1$ m^2^，那他的長跟寬呢？
我們令它的寬為$x$ m，長為$\sqrt{2}\ x$ m
則$1 = x\ \cdot \sqrt{2}\ x = \sqrt{2}\ x^2$
$\Rightarrow x = \sqrt{\displaystyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}} = 2^{\frac{-1}{4}} \thickapprox 0.8409$ m

所以
長 $= 2^{\frac{1}{4}} \thickapprox 1.189$ m
寬 $= 0.8409$ m

實際去查發現A0的長為$1189$ mm ，寬為$841$ mm
跟我們求得的值很符合。

### 參考資料
[A4纸尺寸的由来？](https://zhidao.baidu.com/question/1541865663854440747.html)

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