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淺談 - 三角形面積公式

作者：啊綸
20200308

這篇想要討論的是從小開始會接觸到的幾何圖形：三角形。它的面積公式我們也會陸續在不同階段的數學課學習到，因此想藉由這篇文章做個整理，希望讓讀者可以理解這個橫跨國小到高中的美妙幾何形狀。

一切的開始，矩形的一半

底

$\times$ 高

$÷2$，這是我們最早得知的三角形面積公式，只要給定三角形其中一邊為底，找出相對應的高，就能夠計算面積。

如圖，底為

$d$ ，高為

$h$，面積則為

$$\mathrm{△}={\displaystyle \frac{1}{2}}dh$$

運用三角函數

如果我們要算的三角形，高不太方便直接測量得知時，就可以運用三角函數來幫助我們把想要的高求出來。

令三角形某兩邊分別為

$a,b$，兩邊夾角為

$\theta$，如圖

我們假設底邊為

$a$，畫出對應的高，令為

$h$，需要知道

$h$ 的值才能使用前面的面積公式。

透過三角函數，可以求得

$h=b\sin \theta$
因此將原始的三角形面積公式改寫成：

$$\mathrm{△}={\displaystyle \frac{1}{2}}ab\sin \theta$$

外接圓

若有一個圓，使三角形的三個頂點都在該圓上，那麼我們稱這個圓是此三角形的外接圓，而這個圓的圓心稱為此三角形的外心。

令三角形

$\mathrm{△}ABC$的邊長分別為

$a,b,c$，其外接圓

$O$ 的半徑為

$R$，如圖。（

$AB=c,BC=a,CA=b,OA=OB=OC=R$）

為了方便我們將

$\mathrm{△}ABC$的三個內角度數分別記為

$\mathrm{\angle }A,\mathrm{\angle }B,\mathrm{\angle }C$，根據三角函數版本的面積公式，我們知道：

$\mathrm{△}ABC={\displaystyle \frac{1}{2}}ab\sin \mathrm{\angle }C$

這時需要知道

$\sin \mathrm{\angle }C$的值，不過我們可以利用其他已知資訊來替換掉它。

回顧一下正弦定理：
對任意三角形

$\mathrm{△}ABC$ ，

$a,b,c$ 分別為

$\mathrm{\angle }A,\mathrm{\angle }B,\mathrm{\angle }C$ 的對邊，

$R$ 為

$\mathrm{△}ABC$ 的外接圓半徑，則：

$${\displaystyle \frac{a}{\sin \mathrm{\angle }A}}={\displaystyle \frac{b}{\sin \mathrm{\angle }B}}={\displaystyle \frac{c}{\sin \mathrm{\angle }C}}=2R$$

應用正弦定理，我們得到

$\sin \mathrm{\angle }C={\displaystyle \frac{c}{2R}}$
代入前面的面積公式可得到

$\mathrm{△}ABC={\displaystyle \frac{1}{2}}ab{\displaystyle \frac{c}{2R}}={\displaystyle \frac{abc}{4R}}$

所以三角形面積為：

$$\mathrm{△}ABC={\displaystyle \frac{abc}{4R}}$$

內切圓

講到三角形外接圓也順便提一下內切圓。
若有一個圓在三角形的內部，且三角形的三條邊都各自與該圓相切，則此圓稱為三角形的內切圓，而圓心稱為三角形的內心。

設有一三角形

$\mathrm{△}ABC$，

$\mathrm{\angle }A,\mathrm{\angle }B,\mathrm{\angle }C$ 的對邊分別為

$a,b,c$，其內切圓

$I$ 的半徑為

$r$ ，如圖。

連接

$\overline{IA},\overline{IB},\overline{IC}$，將

$\mathrm{△}ABC$ 分成三個小三角形，則

$\mathrm{△}ABC$ 的面積就是這三個三角形面積的總和。

利用圓心到切點的連線會和該切線垂直的性質，我們分別作

$\overline{ID},\overline{IE},\overline{IF}$ 垂直

$\overline{BC},\overline{CA},\overline{AB}$，觀察發現

$\overline{ID},\overline{IE},\overline{IF}$ 都是內切圓半徑。

得到

$\overline{ID}=\overline{IE}=\overline{IF}=r$

若以

$\overline{BC},\overline{CA},\overline{AB}$ 分別為小三角形的底，對應的高即為

$\overline{ID},\overline{IE},\overline{IF}$

分別計算小三角形的面積再加起來：

$\mathrm{△}ABC=\mathrm{△}IBC+\mathrm{△}ICA+\mathrm{△}IAB={\displaystyle \frac{ra}{2}}+{\displaystyle \frac{rb}{2}}+{\displaystyle \frac{rc}{2}}={\displaystyle \frac{r(a+b+c)}{2}}$

所以得到三角形面積為：

$$\mathrm{△}ABC={\displaystyle \frac{r(a+b+c)}{2}}$$

向量版本

我們也可以將向量的概念帶進來，題目就會變成，若有兩個向量

$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ ，則其張開所形成的三角形面積為何？（如圖所示）

令

$a=|\overrightarrow{a}|,b=|\overrightarrow{b}|$
根據前面我們得到的三角函數版本的面積公式，可以改寫成：

$\mathrm{△}={\displaystyle \frac{1}{2}}|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\sin \theta$

因為

${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ 且

$0<\theta <\pi$
我們得到

$$\begin{array}{rl}\mathrm{△}& ={\displaystyle \frac{1}{2}}|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\sqrt{1-{\cos }^2\theta }\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{|\overrightarrow{a}{|}^2|\overrightarrow{b}{|}^2-|\overrightarrow{a}{|}^2|\overrightarrow{b}{|}^2{\cos }^2\theta }\end{array}$$

因為

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos \theta$

所以得到：

$$\mathrm{△}={\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{|\overrightarrow{a}{|}^2|\overrightarrow{b}{|}^2-(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}{)}^2}$$

行列式的引入

平面向量

由向量版本可以更進一步的得到與行列式的連結，我們將平面向量的分量定好，令

$\overrightarrow{a}=(a_1,a_2),\overrightarrow{b}=(b_1,b_2)$
代入向量版本的面積公式，展開計算：

$$\begin{array}{rl}\mathrm{△}& ={\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)-(a_1{b}_1+a_2{b}_2{)}^2}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{a_1^2{b}_1^2+a_2^2{b}_1^2+a_1^2{b}_2^2+a_2^2{b}_2^2-a_1^2{b}_1^2-2a_1{b}_1{a}_2{b}_2-a_2^2{b}_2^2}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{a_2^2{b}_1^2-2a_1{b}_1{a}_2{b}_2+a_1^2{b}_2^2}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{(a_1{b}_2-a_2{b}_1{)}^2}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}}|a_1{b}_2-a_2{b}_1|\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}}|\left|\begin{array}{cc}{a}_1& a_2\\ b_1& b_2\end{array}\right||\end{array}$$

所以向量所展開的三角形面積可以用行列式來表示。

已知三點坐標

設平面上三角形三頂點的坐標分別為

$A(a_1,a_2),B(b_1,b_2),C(c_1,c_2)$，我們可以先以

$C$ 點為定點，

$\overrightarrow{a}=CA$向量，

$\overrightarrow{b}=CB$向量，則

$\overrightarrow{a}=(a_1-c_1,a_2-c_2)$

$\overrightarrow{b}=(b_1-c_1,b_2-c_2)$

根據前面的行列式版本的公式可知，

$\mathrm{△}={\displaystyle \frac{1}{2}}|\left|\begin{array}{cc}{a}_1-c_1& a_2-c_2\\ b_1-c_1& b_2-c_2\end{array}\right||$

觀察發現，

$\left|\begin{array}{cc}{a}_1-c_1& a_2-c_2\\ b_1-c_1& b_2-c_2\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}{a}_1-c_1& a_2-c_2& 0\\ b_1-c_1& b_2-c_2& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right|$

我們接著運用一些行列式的性質：

1. 將一行（列）的
   $k$ 倍加到另一行（列）中，行列式值不變

利用這項性質可以整理上面行列式：

$$\begin{array}{rl}\left|\begin{array}{ccc}{a}_1-c_1& a_2-c_2& 0\\ b_1-c_1& b_2-c_2& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right|& =\left|\begin{array}{ccc}{a}_1-c_1& a_2-c_2& 0\\ b_1-c_1& b_2-c_2& 0\\ c_1& c_2& 1\end{array}\right|\\ & =\left|\begin{array}{ccc}{a}_1& a_2& 1\\ b_1& b_2& 1\\ c_1& c_2& 1\end{array}\right|\end{array}$$

因此若已知平面上三角形的三頂點坐標，其面積等於

$$\mathrm{△}=\left|\begin{array}{ccc}{a}_1& a_2& 1\\ b_1& b_2& 1\\ c_1& c_2& 1\end{array}\right|$$

海龍公式

若三角形三邊長分別為

$a,b,c$
令

$s={\displaystyle \frac{a+b+c}{2}}$，也就是三角形周長的一半
則三角形面積為

$\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
（證明日後待補）

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在此感謝國中同學的圖片協助與大學朋友的課程脈絡提供