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# 淺談數學學習問題與建構式數學

> 由於最近接到的程度極差的家教學生，終於好像有點知道不懂數學的人到底不了解什麼了。
也因此開始思考數學到底是不是這麼難懂的東西，結果剛好發現我的想法好像跟建構式數學的想法有那麼一點關係，順便當作寫作的練習，把自己對於高中以前的數學教育的想法記錄下來，所以就出現了這麼一篇文章。
> [name=KHLee][time=20220711]

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💡 本文僅是嘗試闡述本人對於台灣國小到高中的數學教育，與大學以後的高等數學等內容完全無關，歡迎對於數學有興趣的各路好手留言給予指教。
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</aside>

## 數學在學什麼？
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💡 「從知道的事情得到不知道的事情」
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數理科最讓人頭痛的地方便是「沒有想法」，從這一點可以看出，數理科目是最重視「演繹法」的學習，嘗試透過邏輯推理的方式得到未知的答案。其中，由於自然科學在實際上是透過觀察身邊的各種現象，嘗試得到這個世界運行的「定律」，讓我們可以預測特定行為的後果，因此我認為自然科學在本質上更接近「歸納法」。只是在義務教育的範圍當中，自然科學學習內容僅僅是把過去歷史上各個科學家嘔心瀝血做實驗所歸納出來的無數定律告訴學生，再請學生嘗試預測特定行為的後果，因此也變成接近演繹的過程。但是，我認為數學的義務教育當中，更接近讓我們順著數學領域的發展歷程。從計數開始，一步一步面對生活當中有關數量的問題，再逐漸將數學從生活中的數量抽象化成一個概念性的內容，以便解決往後更加複雜的問題。

而本段開頭的「從知道的事情得到不知道的事情」便是我對於數學的義務教育想要帶給學生的本質的想法。數學教育帶給我們一個嘗試邏輯推理的媒介，知道什麼是「定義」、「因果關係」、「從屬關係」、「條件關係」，了解如何透過這些關係找到有用的規律，再如何利用這些規律得到更多東西。然而，困難的事情就是要從最一開始學習的時候，就從簡單的開始一步一步的體驗這個過程。當這個過程一再的重複，變成一個熟悉的方法時，才能用的更加得心應手。

不過，這個方法要怎麼熟悉呢？

## 為什麼「先乘除後加減」？

雖然這是個十幾年前學到的概念，對當時學習的過程也已經遺忘的差不多了。但在我的經驗當中，並沒有人告訴過我為什麼要「先乘除後加減」。如果讀到這邊的你對這個觀念也沒有什麼想法，不妨停下來想一下，這個從小到大已經遵守到變成本能的規則，到底有什麼道理。

回想一下國小最一開始的數學，從計數—如何表達數量開始，進入了最初的運算—加減法，由於擁有的東西數量經過一個過程有了變化，為了表達這樣的變化，產生了加減法。那個時候的我們，對於數字的概念還在數量的表達：一顆蘋果、五杯飲料，老師告訴我們小的數字不能減大的數字，對當時的我們也是理所當然，我只有兩個的東西當然不能給出去三個！

接下來，出現了乘法與除法。我認為這是開始產生變化的開始，也是為什麼這篇文章的標題會出現建構式數學這個好像有點爭議性的詞彙的原因。這幾年總會偶爾在社群媒體上看到一些「我看不懂現在小學數學在教什麼」的內容農場文章，其中內容總是在批評現在數學教育對於算式中數字順序要求太苛刻、明明答案是對的為什麼算式不對就錯了⋯⋯等等這種對於「建構式數學」的批評。然而，認真想一下這些單元希望我們學會的東西，似乎就能夠了解到底為什麼這些事情會重要到需要把已經得到「正確答案」的算式打錯。

> 這裡先不考慮對於創造力的考量，我相信100個學生就會有100個不同的思路，最近也經常被許多不同的思路震撼到。但是我認為，數學教育希望帶給學生的觀念確實需要有這個層面的制式化來確保其效果，反而是語文、人文、藝術學科應該帶給學生嘗試創造、發想的機會而非灌輸特定思想，這應該也是為什麼義務教育需要有這麼多不同的科目，而非少數特定幾科的原因吧。

### 乘法是什麼？

為什麼會有乘法的出現？乘法的定義是

$$
a \times b = \underbrace{a+a+\cdots+a}_{b個}
$$

從這樣的定義可以簡單的發現，乘法會出現的理由是因為重複的加法不停的出現，「有79個人都有55顆蘋果全部放在一起的時候會有幾顆？」之類的問題的出現，乘法才因此而出現。而在這個邏輯底下，假設以中文對乘法進行解釋的話，可以說成「把乙個甲全部加在一起時可以寫成甲乘以乙」。再從這個定義出發，就會得到「被乘數的單位應該與積的單位一樣」的道理，也就是為什麼「5個人分別有3顆蘋果總共幾顆」要寫成「$5 \times 3=15$顆」而不是「$3 \times 5=15$顆」，因為「5個人分別有3顆」跟「3個人分別有5顆」就是兩個不同的情境，即便總和相同還是不一樣的意義。

> 這邊我不禁想到，家長會覺得這兩個東西是一樣的，是不是因為接下來學到的交換律等各種形質讓這個概念不再被記得甚至是從來沒被提起過？
>

### 先乘除後加減？

乘法的定義可以知道，其實他就是把一連串的加法壓縮成一個簡單地表示法而已，最底層的本質還是加法。而從這個立足點出發，先乘除後加減的觀念，其實就是先把所有東西解壓縮成相同的本質後進行計算。

以一個例子來看，「5個有3顆蘋果的人把蘋果全部放在一個原本有8顆蘋果的藍子裡」直接寫成算式如下

$$
8+3\times5=8+3+3+3+3+3=23
$$

如果沒有先乘除後加減，那到乘法的步驟就會變成「有5個11加在一起」，很明顯的跟原本的情境不同了。在這樣的基礎上，好像先乘除後加減的道理就沒有這麼難懂了。

## 定義？推理結果？

回到最一開始的「從知道的事得到不知道的事」，一步一步學習的過程當中，「知道的事」也就是腦袋中的知識庫會飛速的增加，各式各樣的理論全部被塞進腦袋裡。想必這時候就會出現腦容量不足、學過但是忘記了⋯⋯等等的問題，這時候「到底要記得什麼」、「有什麼東西可以不用完全記得也沒關係」就變成很重要的課題了。先講結論，我認為只要是推理出來的的東西都是不用硬背的，只是要把推理的過程自己試過一遍把邏輯疏通，確定未來也可以想到就夠了。

在各種「知道的事」當中最重要的部分便是「定義」，給一個詞彙或運算賦予意義的過程，在更高等的數學似乎與「公理」有類似的概念。在這個概念的基礎上進行推理，嘗試對相關的所有事物得到有用的性質後包裝起來當做「知道的事」放進知識庫，方便以後直接拿來使用。

### 分配律怎麼來的？

我認為分配律是很適合解釋這個概念特性。先幫忘記分配律是什麼的人複習一下

$$
a\times b + a \times c = a\times (b+c)
$$

這個東西就是分配律，把等號從右邊看到左邊就是很常聽到的「乘進去解開括號」。而這個推理的過程其實也相當簡單，如下所示

$$
\begin{aligned}
& a\times b + a \times c \\
= & (\underbrace{a+a+\cdots+a}_{b個})+(\underbrace{a+a+\cdots+a}_{c個}) \\
= & \underbrace{a+a+\cdots+a}_{b+c個} \\
= & a \times (b + c)
\end{aligned}
$$

我也不記得究竟這個推理過程是否有在國小教到分配律的時候提到，但這是我在看著數學課程內容順序當中找到第一個推理的痕跡。也許他在大部分的成人知識庫當中已經理所當然到沒有想過他是怎麼來的，但在本質上他與以往學到的加減乘除的「定義」有非常大的不同，他是在學習過程當中第一個被「推理」出來的規則（或者說定律）

### 分配律有用？

分配律作為最早學到的定律之一好像沒什麼用，就算直接計算出來不用分配律也沒有什麼關係，但實際上，在日常的計算過程中基本上是天天會用到。

$$
\begin{array}{ccccc}
&&5&8&3\\
\times&&&2&9\\\hline
&5&2&4&7\\
1&1&6&6& \\ \hline
1&6&9&0&7
\end{array}
$$

直式乘法，其實就是分配律最經典的應用，從小在學習直式的時候就知道，乘數十位數乘出來的結果要寫在十位數的位置，就是因為分配律的原因。把上面的算式用橫式寫出來就可以很明顯的看到分配律。算式中框起來的兩個數字就是直式乘法最後相加的兩個數字。

$$
\begin{aligned}
583\times29 & = 583 \times (20 + 9) \\
& = 583 \times 20 + 583 \times 9 \\
& = \boxed{11660} + \boxed{5247} \\
& = 16907
\end{aligned}
$$

此外，在很多計算速度很快的人心中，其實在做乘法的過程也都會持續使用到分配律。透過這樣的定律，可以把數字變成自己熟悉或方便計算的數字，達到加速計算的目的。

$$
21 \times 97 = 21 \times (100 - 3) = 2100-63 = 2037
$$

回到定義與推理，確實地知道「知道的事」是怎麼來的，可以使得推理的思路更加清楚。同時，從最基礎的概念開始練習推理，熟悉這樣的思考方式，我認為應該也是建構式數學最想要訓練學生的精髓。

## 數學很抽象？

從接近國中開始，數學便開始變得抽象化，從生活中可見到的整數、分數開始，透過對特定情形的不支援進行拓展，出現了負數、有理數、無理數、指數等等更多難以被實際使用出來的概念。同時出現了未知數—對於「不確定性」的描述、一般性表達法—不限定值的定理表達、以及不是應用題的純數學問題，這些內容都讓數學逐漸的從生活當中分離出來。這時候的數學開始與「情境」、「意義」脫離，對於某些文字理解力較差但推理能力好的學生而言，反而卻是一種解脫，不用再從出題老師不明確的題幹或者不明白的用詞當中猜測其意義來答題。

而這個演變，讓過去不太熟悉定義與推理的學生出現了各種不明不白的情況。「為什麼要有未知數？」「公式解是蝦米碗糕？」「各種規則好難背…」都是常見到的煩惱。

### 等號是什麼意思？

在這些煩惱當中，我認為有一個很重要但是似乎也沒有被提起的概念是等號的意義。在最一開始的數學當中，等號的意思通常是「計算結果」，也就是從左到右的順序關係。但到了抽象後的數學，等號的意義漸漸的改變成「等效」，也就是等號兩邊結果恆等，這使得未知數等等符號化後的數學推理更加順利。舉個例子，最基本的指數律當中包括以下內容。

$$
\begin{aligned}
a^m \times a^n = a^ { m+n} \\
(a^m)^n=a^{m \times n} \\
a^n \times b^n = (a \times b)^n
\end{aligned}
$$

這當中的每一個等號都代表等效，也就是等號兩邊可以任意互換。若沒有意識到這件事，即便由左到右成功推理了整個過程，在解題的過程中也可能因為沒有把這些內容作為知識庫進行活用，導致計算速度過慢。

另外，等號代表等效的意義透過等量公理（等號兩邊同時做同一運算，俗稱移項）的出現所引入，由於兩邊的數值相同，做同一操作的結果也會相同，此背後最重要的演變就是代表等效的等號。

### 為什麼要用未知數、符號？

像上面提到的指數律一樣，大部分的數學定律都用類似的未知數或者符號化的一般化的表達方法，但卻很少有被告知過未知數是什麼、為什麼要用未知數、同一個符號代表什麼意義。

就結論來說，符號就是個容器，負責提供一個可以放入數字的空間。但就意義與使用時機上來說，我認為符號有兩種不同的意義。第一是在「一元一次方程式」、「二元一次方程式」等等方程式當中出現的未知數，第二是在如同上方在表達分配律、指數律、公式解甚至是物理定律等等定律時使用到的變數符號。在第一種情況下，未知數是一個將尚未確定的資訊放入方程式的一個媒介。方程式的貢獻是透過數學算式將已知的資訊或條件轉化爲等式後，透過等量公理等方法在「兩數相等」的基礎上進行轉化以推理出不確定的資訊。而第二種情況下，變數的使用是作為一個對應關係使用，在相同符號上的放入相同的數值時或者是放入對應意義的數值時，等式關係會成立。若用在闡述物理定律的等式上，在式子的背後更包含了一整套對應的理論。

在這樣相對複雜的意義上，對於某些學生可能從未理解過，也就不容易在遇到問題的時候寫出「設⋯為 $x$，由題幹可以寫出以下關係⋯⋯」的敘述，就因此錯失了使用數學這個有效率的工具的機會了。

### 數學只是工具？

撇除高等理論數學的範圍不談，我認為義務教育當中的數學科目很好的提供了我們一個工具包，其中包含了各式各樣的工具以便在遇到問題的時候有對應的工具得以使用。例如：要將糖果分送出去時，可以使用「除法」以免去一個一個嘗試的麻煩；出去玩的時後要預估抵達時間時可以透過速度、距離、時間的關係以「一元一次方程式」進行計算；資金週轉不靈需要借錢的時候可以透過「等比級數」知道複利計算下預期需要付出的總額；在拿繩子框土地的時候，「二次函數」提供了一個快速找到最大化面積的方法；在雞兔不分的時候可以透過「二元一次方程式」把頭跟腳的數量數出來後就可以知道分別的數量（我至今依然不解到底這個經典的應用問題什麼時候會出現，至少我就算閉著眼睛摸，也分得出雞跟兔子）。這些一個又一個的數學單元只是提供了我們一個方法—也就是工具，讓我們在面對問題的時候可以省下一一嘗試的時間來做更多事情，就僅僅是因為得到這個工具包的過程需要動腦進行一些推理與理解便放棄掉也太可惜了吧。而且為了找到一個符合條件的組合必須不停嘗試接近無限多的可能性也真的太花時間了。

透過現實生活事物的各種關係，將問題寫成算式，建立一個「數學模型」。在這樣的一個模型底下，或許可以擺脫各種事物各種概念之間錯綜複雜的邏輯關係，拿出工具包，找找可用的工具便可以將問題化簡甚至解決。最後，再套用回原先賦予給數字或符號的意義，將數學模型轉換回現實生活中的意義，便完成了一次解決問題的過程。這樣的一個「現實→數學模型→現實」的轉換過程，我認為是數學的學習當中非常重要的認知。當瞭解了數學是一個工具、助手、媒介後，或許比起死命的記憶各種天書般的公式、定理，數學也會變的有趣親民一些。

## 那麼，數學到底怎麼學？

洋洋灑灑講了一堆道理，到底在學數學的時候應該要有什麼認知以及方法，才會比較有幫助呢？大家都說數學重視理解，那要做什麼才能理解呢？

我認為，在學習的過程中必須要強調推理的重要性，或許從乘法開始，在遇到「5個人分別有3顆蘋果總共有幾顆」的問題的時候，試著將算式寫成如下的樣子，了解運算方式的意義以及算式之間的因果關係。

$$
\begin{aligned}
總蘋果數是\quad&3+3+3+3+3 \\
(因為有5個3加在一起) \Rightarrow \quad = & 3 \times 5 \\
= & 15
\end{aligned}
$$

如此一來，對於乘法的認知不再是「被乘數的單位要跟積的單位相同」、「有很多人都有一樣數量的東西的時候要用乘法」⋯⋯等等各式各樣的理解，而是從源頭出發，了解各個方法的定義，自己推理得到了其他有用的工具後，經過不斷使用、熟悉後便可以很熟練的應用那些方法。並且同時間，使用因果關係的推理這樣的技能也會被訓練到，只要熟悉了這樣的技能，往後的過程也將漸漸地順利。

再來，像上面提到的等號、未知數、變數，在數學從數字轉換到符號的過程，其中的意義務必要說明清楚，如果只是「這裡我們可以假設這個數量是 $x$」一般輕描淡寫的帶過，或許對教學者而言，這已經是非常理所當然的動作，但有些學生便可能會覺得「好好的一個數字為什麼要寫 $x$？我寫5不行嗎？」，而對這樣的工具產生疑惑甚至排斥。當一個人對於不解、不熟悉的事物產生排斥時，我想接下來的發展也就不言自明了。

## 國小被乘數與乘數寫相反到底該不該算錯？(更)

> 在朋友看過後討論過程中發現這個有趣的議題沒有被講到，把他補在後面

從前面的描述可以看出在最一開始的數學當中，有沒有確實的理解計算過程中的含義是個十分重要的事情。但於此同時，乘法具有交換率因此 $3 \times 5 = 5 \times 3$ 也應該是對的。那以建構式數學為由將寫反了的算式視為錯誤到底是不是合理的。

我認為這件事情應該可以算是數學抽象化最重要的象徵之一。若把 $3 \times 5$ 視為「五個人各有三個蘋果的蘋果總數」的符號表記時，被乘數與乘數分別有其具體的意義，這個階段的學習便應該將這樣的觀念確實理解清楚。但當數學抽象化到 $3 \times 5$ 變成一個泛用的工具，或是說以純粹的數學角度來看時，乘法運算具有交換率，此時甚至不在有被乘數與乘數的分別。那麼 $a \times b$ 與 $b \times a$ 可能便可以說是具有相同意義了。

在這樣的想法下，交換率或許可以作為一個數學學習過程當中抽象化的開端。如果可以透過這麼一個算式的「錯誤」對學生進行相關抽象化的引導，仔細的描述「將情境符號化後具有意義的數學」與「作為模型、工具甚至是一個獨立學術領域的數學」之間的差異，引導學生進行理解的話，那這個因為交換率所產生的爭議似乎也可以搖身一變成為一個十分好的教材了。

## 後記

> 認真整理過自己的想法之後發現，好像越寫想到越多。目前是一個階段的整理，接下來如果還有其他內容再慢慢加上。嘗試使用大家都了解的簡單概念來描述我的想法，希望可以讓看到的人輕鬆理解。過程當中也想到到底這是國際間普遍的問題、會不會提出了本質上不可行的方法，但目前還沒有這麼有研究精神的去看看其他資料怎麼寫，只是想要把想法記錄下來而已。之後如果還有其他想到的問題再嘗試繼續寫其他內容吧