# 電子學考前筆記整理

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作者：國立新化高工 106資訊 Xuan
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此筆記約莫六萬個字。

2020-04-30 筆記突破1000點擊了，感謝大家的支持。

## 已知筆記BUG、未來可能會新增的東西

串級小信號的圖不見了，之後補
未來會新增OPA儀表放大器分析，如果無聊的話
FET特性曲線的歐姆區怪怪的，之後重畫

## 筆記更新

2020-04-25　第六章　新增米勒效應的考慮
2020-04-26　第六章　新增$\rm{BJT\quad g_m}$的公式
2020-04-26　第六章　新增歐力效應的考慮
> 筆記正式突破六萬字

2020-04-26　第十章　新增積分／微分器(Av-f)特性曲線

## 第零章、工廠安全衛生(電子學實習、數位邏輯實習)

### 火災分類

| 火災類別 | 火災敘述 |
| -------- | -------- |
| Class A | 固體火災 |
| Class B | 液體(油類)火災 |
| Class C | 電器火災 |
| Class D | 金屬火災 |

### 火災滅火器整理

火災滅火器適用表格

| | 水 | 泡沫 | 二氧化碳 | 乾粉 |
| --- | ---- | ---- | --- | --- |
| A | ✔ | ✔ | | ✔ |
| B | | ✔ | ✔ | ✔ |
| C | | | ✔ | ✔ |
| D | | | | ✔ |

乾粉為萬用滅火器，每種都可以用。

### 額外滅火注意事項
電器類火災滅火要先關電源，使用水、泡沫等可導電的滅火器必須在電源關閉時才能使用。

### CPR口訣

舊版：叫叫ABC
新版：叫叫CABD

避免爭議的情況下，並不會考口訣順序，但是會考口訣每個字的定義。

| 口訣 | 意義 |
| -------- | -------- |
| 第一個叫 | 檢查意識 |
| 第二個叫 | 求救 |
| A | 暢通呼吸道 |
| B | 呼吸評估 |
| C | 按壓維持循環，每分鐘100下 |
| D | 使用AED |

### 灼傷

灼傷急救步驟：沖脫泡蓋送

| 口訣 | 意義 |
| -------- | -------- |
| 沖 | 沖洗灼傷部位10~15分鐘 |
| 脫 | 以冷水沖洗，同時小心脫除灼傷部位的衣服 |
| 泡 | 將傷口在冷水中泡10~30分鐘，降低傷口疼痛 |
| 蓋 | 以乾淨的毛巾覆蓋傷口，防止細菌感染 |
| 送 | 緊急送醫 |

### 觸電

電死人的標準：通過人體的電流超過50mA，也有教科書寫100mA，總之不要亂摸電就不會死。

## 第一章、概論

### 電子學發展歷史
真空管→電晶體→積體電路→微電腦

### 積體電路分類

| 分類 | 邏輯閘數量 | 零件數量 |
| -------- | -------- | -------- |
| SSI | <12 | <100 |
| MSI | 12~100 | 100~1000 |
| LSI | 100~1000 | 1000~10000 |
| VLSI | 1000~10000 | 10000~100000 |
| ULSI | >10000 | >100000 |

你會發現他會呈現一種等差，每一個分類都是前一個的10倍，這樣記比較快。

### 發展趨勢
4C：元件材料、通訊、計算、控制

### 各種電源的波形
我們可以透過波形的大小以及極性來判斷波形

| 波形 | 大小變化 | 極性變化 |
| -------- | -------- | -------- |
| 直流 | ✖ | ✖ |
| 交流 | ✔ | ✔ |
| 脈波 | ✔ | ✖ |

直流示意圖

交流示意圖

脈波示意圖

週期剛好是50%的脈波為方波。

### 各種交流的名詞介紹

1. 峰值：波形的最大值，符號為$V_m$
2. 頻率：每一秒波形重複變化的次數，符號為$f$
3. 週期：每一次波形變化所需要的時間，符號為$T$
4. 相位角：正弦波的位移角度
5. 峰對峰值：波形最大值與最小值的差值
6. 平均值：
1. 非對稱波：波形正負半週面積總和
2. 對稱波：波形正半週的面積總和
(**因為對稱波的正負半週面積相加為0，算正半周才有意義**)
7. 有效值：又稱均方根值，定義為$V_{rms} = \sqrt{\dfrac{V_1^2\Delta t1 + V_2^2\Delta t2...}{T}}$
8. 波峰因數(C.F.)：最大值與有效值的比值。
9. 波形因數(F.F.)：有效值與平均值的比值。

### 正弦波的方程式

$v(t) = V_m \sin(\omega t + \theta)$

$\omega = 2\pi f$
$\theta$為位移角
$V_m$為峰值

### 其他交流波形

方波(由正弦波的基本波，與無限次的奇數諧波組成)

三角波(由正弦波的基本波，與無限次的偶數諧波組成)

### 交流波形有效值、平均值表格

| 波形 | 有效值 | 平均值 |
| -------- | -------- | -------- |
| 正弦波 | $\dfrac{1}{\sqrt{2}}V_m$ | $\dfrac{2}{\pi}V_m$ |
| 方波 | $V_m$ | $V_m$ |
| 三角波 | $\dfrac{1}{\sqrt{3}}V_m$ | $\dfrac{1}{2}V_m$ |

## 第二章、二極體

### 原子組態

1. 原子核外面有很多條軌道，軌道上有一些電子。
2. 我們將軌道命名成K、L、M、N....。
3. 原子核外第$I$層軌道，可以放$2I^2$個電子，依序從第一層、第二層往上放。
4. 原子核最外層的軌道上的電子為價電子。
5. 能隙的定義：一個價電子變成自由電子所需的能量
6. 價電子=4**可能**是半導體，能隙約為1eV，價電子<4為導體，能隙約為0eV，價電子>4為絕緣體，能隙約為9eV。
7. 我們判斷是否為半導體的標準為能隙的大小，並不只有是價電子的數量。

### 本質半導體

1. 本質半導體的定義為：沒有參雜其他元素的半導體，例如矽、鍺、砷化鎵
矽的能矽約莫1.1eV，鍺約莫0.66eV。
2. 本質半導體在絕對零度($0^{\circ}K$)之下為絕緣體，電阻值視為無限大。
3. 本質半導體為電中性，其中電子數與質子數相同。
4. 電阻呈負溫度係數電阻特性原因：室溫下約$10^{12}$個原子中會有一個獲得足夠的熱能，而產生熱跑脫(價電子獲得足夠的熱能脫離軌道成為自由電子)，因此溫度越高，自由電子越多，導電性越好，電阻越低，因此半導體為負溫度係數電阻特性。

### 外質半導體

1. 外質半導體的定義為：在本質半導體參雜少量的三價與五價元素，讓他產生載子(電洞或者電流)，以提升他的導電性。
2. 外質半導體分成N型半導體以及P型半導體

### N型半導體

1. 參雜了5價元素的本質半導體為N型半導體
2. 五價元素舉例：磷\(P\)、砷(As)、銻(Sb)。
3. 五價元素的原子稱為施體(Donor)：因為5價中的4個電子跟本質半導體做結合，一個運動於晶體結構外，因此施給了本質半導體額外的電子。
4. 施體失去一個電子，因此變成正離子
5. 因為參雜一個五價元素，會使本質半導體得到一個負電荷(電子)，一個正電荷，因此N型半導體依然為電中性。
6. 多數載子：電子。
7. 少數載子：電洞。

### P型半導體

1. 參雜了3價元素的本質半導體為P型半導體
2. 三價元素舉例：硼(B)、鋁(Al)、鎵(Ga)、銦(In)。
3. 三價元素的原子稱為受體(Acceptor)：因為3價中的3個電子跟本質半導體做結合，因此產生一個電洞，因此施給了本質半導體額外的電洞，會與自由電子做結合，因此接受了自由電子。
4. 受體接受一個電子，因此變成負離子
5. 因為參雜一個三價元素，會使本質半導體得到一個電洞(正電荷)、並且參雜原子與一個自由電子做結合形成負電荷，因此P型半導體依然為電中性。
6. 多數載子：電洞。
7. 少數載子：電子。

### 質量作用定律

定義：熱平衡之情況下，電子、電洞濃度乘積為一定值。

令$n_i$為本質濃度、$n$為電子濃度、$p$為電洞濃度。

本質半導體：$n_i = n = p$
雜質半導體：$n_i^2 = np$

### 載子移動方式

1. 擴散：因載子濃度不均所造成
2. 飄移：由外加電壓引起

半導體傳導電流有擴散電流與飄移電流。
導體傳導電流只有飄移電流。

### PN接面

(圖片來自維基百科)

1. PN接面：P型半導體與N型半導體接合的接合處就是接合面。
2. 空乏區：
1. N型半導體之自由電子穿過接合面擴散至P型半導體的電洞複合
2. N型半導體接面附近之自由電子擴散至P型，因此只剩下正離子聚集在N型半導體的接面
3. P型半導體之電洞與N型半導體之自由電子做結合，因此只剩下負離子聚集在P型半導體的接面。
4. 因為電容效應，接面處形成一個電位差，稱為**障壁電位**，在普遍的教科書上同時也可以叫做切入電壓。
補充：(同屆資訊科網友，狂戰：切入電壓跟障壁電位其實不一樣，他倆極性是相反的。)
5. 區域內不含任何的電子與電洞，只有正離子與負離子
3. 障壁電位：室溫下，矽約莫0.6\~0.7V、鍺約莫0.2\~0.3V
4. 順向偏壓之定義：P接正電壓、N接負電壓(或者接地)。
5. 逆向偏壓之定義：P接負電壓(或者接地)、N接正電壓。

### 外加偏壓對PN接面之影響

外加偏壓分成順向與逆向偏壓。

1. 順向偏壓
1. 空乏區變窄，障壁電位減少：多數載子朝向接面移動(同性相斥)，**空乏區變窄，障壁電位減少**。

2. 逆向偏壓
1. 空乏區變寬，障壁電位增加：多數載子遠離PN接面(異性相吸)，**空乏區變寬，障壁電位增加**。
2. 漏電流增加：少數載子朝向接面移動(同性相斥)，形成漏電流(逆向飽和電流)。

### 濃度對PN接面之影響

空乏區與濃度之關係：$N_nW_n=N_pW_p$，此公式建立在每單位面積之下。
因此一側濃度越高，空乏區越小，反之濃度愈低，空乏區越大。
也因為參雜濃度越高空乏區越小，因此參雜濃度越高，**內建電位越高(見補充)**。

補充：
$V_D = V_T \times \ln{\dfrac{N_A\times N_D}{n_i^2}}$
其中$N_A\times N_D$為摻雜濃度之乘積
$n_i^2$為電子電洞濃度之乘積

摻雜濃度與$V_D$呈正比關係，因此摻雜濃度越高，內建電位越高。

### PN二極體

功用：整流、濾波、截波、箝位、倍壓、開關。
編號：以1NXXXX為代表。

### 理想二極體

以下整理理想二極體之特性。

1. 切入電壓為0。
2. 順向導通電阻為0。
3. 逆向導通電阻為無限大(逆向導通視同斷路)。
4. 逆向飽和電流為0A。

### 實際二極體

以下整理實際二極體之特性。

1. 切入電壓：矽約等於0.7V，鍺約等於0.3V。
2. 順向電阻不為0歐姆
3. 逆向電阻不為無限大。
4. 逆向飽和電流不為0A。

### 實際二極體順向與逆向偏壓曲線


### PN二極體的各類效應

1. 溫度效應
1. 切入電壓：溫度越高，切入電壓越低。
1. 矽每上升$1^{\circ}C$切入電壓減少2.5mV
2. 鍺每上升$1^{\circ}C$切入電壓減少1mV
2. 逆向飽和電流，溫度越高，逆向飽和電流越高，每上升$10^{\circ}C$，逆向飽和電流上升一倍。
2. 電容效應
1. 逆偏時，空乏區產生過渡電容(空乏區電容)，空乏區越大、逆偏電壓越大、電容越小。
1. $C_T = \epsilon_r \epsilon_o \dfrac{A}{d}$，$\epsilon_o = 8.85\times 10^{-12}$
2. 順偏時，空乏區產生擴散電容(儲存電容)，順偏電流越大，擴散電容越大。
1. $C_D = \dfrac{\tau I}{\eta V_T}$，$\tau = 1\times 10^{-6}$
3. 電阻效應
1. 靜態電阻：$R_D = R_{DC} = \dfrac{V_D}{I_D}$
2. 動態電阻：$r_d = r_{aC} = \dfrac{\eta V_T}{I_D}$。
1. $\rm{V_T = \dfrac{K}{11600},\quad K = 273^{\circ}C + 當前溫度}$
2. $\eta$當材質為矽是2，鍺是1。

補充：鍺的逆向飽和電流為矽的逆向飽和電流的1000倍，因此矽的溫度特性較好，常用於製造半導體元件。

### 稽納二極體

功用：穩壓。

1. 稽納二極體順向偏壓時，與一般的二極體沒有任何差別。
2. 稽納二極體逆向偏壓時，若逆向偏壓大於$V_z$，則稽納二極體崩潰，流經稽納二極體的電流大變化，但稽納二極體兩端電壓維持在$V_z$。

### 稽納二極體特性曲線圖


$I_{ZK}$為最小電流(膝點電流)
$I_{ZM}$為最大電流

### 稽納二極體穩壓之條件

1. 令稽納二極體兩端電壓逆向偏壓為$V_A$，則$V_A \ge V_Z$。
2. 稽納二極體流經的電流必須在$I_{ZK} \sim I_{ZM}$之間。

### 稽納二極體崩潰方式與溫度係數

稽納二極體分為兩種崩潰：累增崩潰與稽納崩潰。

1. 累增崩潰：逆向偏壓越大，自由電子獲得能量去撞擊共價鍵，共價鍵斷裂後產生更多電子，再去撞擊更多的共價鍵，以此類推造成電流急遽增加。
2. 稽納崩潰：利用電場強度將價電子從共價鍵上拉出，而造成電流急遽增加。

溫度係數：稽納電壓隨著溫度改變而變化之量

$T_C = \dfrac{\Delta V_Z}{V_Z \Delta T} \times 100\%$

一般稽納電壓$V_Z>6V$時為累增崩潰，溫度係數為正。
稽納電壓$V_Z<5V$時為稽納崩潰，溫度係數為負。

$5<V_Z<6$，溫度係數為0。

### 其他二極體

1. 發光二極體的發光顏色決定於參雜之元素。

## 第三章、二極體應用電路

### 整流電路

整流電路主要改變波形的極性，或者截去波形的正半週或者負半週。

以下舉例一些電路。

### 整流電路-半波整流電路

二極體為理想。


我們可以先從判斷電源正半週與負半週之情況，來畫出波形。

1. 當電源為正半週時，二極體導通，$\rm{V_o=V_i}$
2. 當電源為負半週時，二極體不導通，$\rm{V_o=0V}$

因此，我們可以依照情況畫出波形。


二極體的$\rm{PIV}$為$\rm{V_m}$

若我們假設輸入的一週所需要的時間為2s，那我們可以求得有效值。
$\rm{V_{rms} = \sqrt{\dfrac{(\dfrac{1}{\sqrt{2}}Vm)^2\times 1+0 \times 1}{2}} = 0.5Vm}$

且平均值為
$\rm{V_{av} = \dfrac{\dfrac{2}{\pi}V_m\times 1 + 0\times 1}{2} = \dfrac{1}{\pi}V_m}$

### 整流電路-中心抽頭全波整流電路


電壓先從線圈的一側輸入，另一側輸出。
接著再由中心抽頭所分配的比例來分配正半週電壓與負半週電壓。

我們可以先從判斷電源正半週與負半週之情況，來畫出波形。
若我們假設分配的比例為1:1。

1. 當電源為正半週時，$D_1$導通，$D_2$不導通，$\rm{V_o=V_i}$
2. 當電源為負半週時，$D_2$導通，$D_1$不導通，$\rm{V_o=-V_i}$

因此，我們可以依照特性畫出波形。


二極體的$\rm{PIV}$為$\rm{2V_m}$

若我們假設輸入的一週所需要的時間為2s，那我們可以求得有效值。
$\rm{V_{rms} = \sqrt{\dfrac{(\dfrac{1}{\sqrt{2}}Vm)^2\times 2}{2}} = 0.707Vm}$

且平均值為
$\rm{V_{av} = \dfrac{\dfrac{2}{\pi}V_m\times 2}{2} = \dfrac{2}{\pi}V_m}$

### 整流電路-橋式整流電路


我們可以先從判斷電源正半週與負半週之情況，來畫出波形。

1. 當電源為正半週時，$D_1$導通，$D_4$導通、$D_2$不導通，$D_3$不導通，$\rm{V_o=V_i}$
2. 當電源為負半週時，$D_2$導通，$D_3$導通，$D_1$不導通，$D_4$不導通，$\rm{V_o=-V_i}$

因此，我們可以依照特性畫出波形。


二極體的$\rm{PIV}$為$\rm{V_m}$

有效值、平均值推法與上一個全波整流電路相同。

### 整流電路補充

1. 全波整流，兩者電路
橋式整流的二極體耗費最多，但是PIV需求較低。
中心抽頭的二極體耗費最少，但是PIV需求較大。
2. 全波整流電路會將頻率提升至$2f$。

### 濾波電路

濾波的用意在於將脈動直流轉成一個比較平穩的直流。
但是非理想情況下不可能轉成純直流，依然存在一些交流成份。
這個交流成份的部分稱為漣波電壓$V_r$。


漣波因數的定義為$r\% = \dfrac{V_{r_(rms)}}{V_{dc}}$
漣波因數用來被當作濾波的優劣參考，漣波因數越低，濾波效果越好(也就是交流成份越少，波形越靠近直流)。

### 濾波電路-整流電容濾波電路

(左邊是半波整流濾波電路，右邊是橋式全波整流電容濾波電路)

#### 漣波有效值公式

$V_{r(rms)} = \dfrac{V_{r(p-p)}}{2\sqrt3} = \dfrac{V_m - 0.5V_{p-p}}{C\times f_i\times 2\sqrt3 \times R}$

其中全波頻率為$2f$，半波頻率為$f$，因此$f_i$當全波時為$2f$，半波為$f$
[公式推導見此(補充教材)](https://hackmd.io/@Han-Xuan/rkslgy4rL)

#### 漣波峰對峰值公式

$V_{r(p-p)} = 2\sqrt{3}V_{r(rms)} = \dfrac{V_m - 0.5V_{(p-p)}}{RCf} \approx \dfrac{V_m}{RCf}$
其中全波頻率為$2f$，半波頻率為$f$，因此$f_i$當全波時為$2f$，半波為$f$

#### 漣波最大值公式

$V_{r(m)} = 0.5V_{(p-p)} \approx \dfrac{V_m}{2RCf}$

### 倍壓電路

1. N倍壓電路需要N個二極體，N個電容
2. 電路結構兼具濾波與整流功能
3. 由於能量守恆，因此這是一種高電壓低電流的電源

### 倍壓電路-半波倍壓電路


| 第幾半週\電容電壓 | $C_1$ | $C_2$ |
| ----------------- | ----- | ------ |
| 第一個正半週 | $V_m$ | 0 |
| 第一個負半週 | 0 | $2V_m$ |
| 第二個正半週 | $V_m$ | $2V_m$ |

電容耐壓：C1耐壓$\rm{Vm}$，其餘耐壓都$\rm{2Vm}$
二極體逆向峰值偏壓：所有的二極體PIV需求$\rm{2Vm}$

### 倍壓電路-全波倍壓電路


| 第幾半週\電容電壓 | $C_1$ | $C_2$ |
| ----------------- | ----- | ------ |
| 第一個正半週 | $V_m$ | 0 |
| 第一個負半週 | $V_m$ | $2V_m$ |

電容耐壓：C1耐壓$\rm{Vm}$，其餘耐壓都$\rm{2Vm}$
二極體逆向峰值偏壓：所有的二極體PIV需求$\rm{2Vm}$

### 截波電路

截波電路用意：將波形的某一個準位之上或者之下截去。

### 截波電路：電壓串聯截波電路

#### 電路範例


我們假設直流電壓源小於5V，二極體為理想，且交流電壓源大於5V。

當$\rm{V_i}$為正半週時，二極體不導通，因此$\rm{V_o=0V}$
當$\rm{V_i}$為負半週時，二極體導通，因此$\rm{V_o=V_i - V_a}$

#### 電路波形

紅色為輸入波形$\rm{V_i}$
綠色為輸出波形$\rm{V_o}$


### 截波電路：電壓並聯截波電路

#### 電路範例


我們假設直流電壓源小於5V，二極體為理想，且交流電壓源大於5V。

當$\rm{V_i}$正半週時，二極體導通，輸出電壓為$\rm{V_o = V_a}$
當$\rm{V_i}$負半週時，二極體不導通，輸出電壓為$\rm{V_o = -V_i}$

#### 電路波形

紅色為輸入波形$\rm{V_i}$
綠色為輸出波形$\rm{V_o}$


### 截波電路：稽納串聯截波電路

#### 電路範例


我們假設稽納二極體崩潰電壓均為6V，二極體為理想，且交流電壓源等於15V。

1. 當$\rm{V_i}$正半週時：
1. 若$\rm{V_i > V_{z2}}$，$\rm{V_o = V_i-V_{z2}}$
2. 若$\rm{0 < V_i < V_{z2}}$，$\rm{V_o = 0V}$
2. 當$\rm{V_i}$負半週時：
1. 若$\rm{|V_i| > V_{z1}}$，$\rm{V_o = -V_i+V_{z2}}$
2. 若$\rm{|V_i| < V_{z2}}$且$\rm{V_i < 0}$，$\rm{V_o = 0V}$

#### 電路波形

紅色為輸入波形$\rm{V_i}$
綠色為輸出波形$\rm{V_o}$


### 截波電路：稽納並聯截波電路

#### 電路範例


我們假設稽納二極體崩潰電壓均為6V，二極體為理想，且交流電壓源等於15V。

1. 當$\rm{V_i}$正半週時：
1. 若$\rm{V_i > V_{z2}}$，$\rm{V_o = V_{z2}}$
2. 若$\rm{0 < V_i < V_{z2}}$，$\rm{V_o = V_i}$
2. 當$\rm{V_i}$負半週時：
1. 若$\rm{|V_i| > V_{z1}}$，$\rm{V_o = V_{z1}}$
2. 若$\rm{|V_i| < V_{z2}}$且$\rm{V_i < 0}$，$\rm{V_o = V_i}$

#### 電路波形

紅色為輸入波形$\rm{V_i}$
綠色為輸出波形$\rm{V_o}$


### 鉗位電路

鉗位電路用意：更改波形直流準位。

鉗位電路的時間常數$\tau=RC$，若我們假設輸入週期為$T$，則$\tau$必須要大於$\rm{5T}$

### 鉗位電路-無偏壓鉗位電路

#### 範例電路

我們假設交流電壓源等於15V。


當$\rm{V_i}$為正半週時，二極體導通
電容$\rm{C}$充電，電容電壓$\rm{V_C=V_i}$，輸出電壓$\rm{V_o = 0V}$

當$\rm{V_i}$為負半週時，二極體不導通
電容$\rm{C}$放電，輸出電壓$\rm{V_o=-(V_i+V_c)}$

#### 電路波形

紅色為輸入波形$\rm{V_i}$
綠色為輸出波形$\rm{V_o}$


### 鉗位電路-偏壓鉗位電路

我們假設交流電壓源等於15V，直流電壓源為10V。


當$\rm{V_i}$為正半週時，二極體導通
電容$\rm{C}$充電，電容電壓$\rm{V_C=V_i-V_a}$，輸出電壓$\rm{V_o=V_a}$

當$\rm{V_i}$為負半週時，二極體不導通
電容$\rm{C}$放電，輸出電壓$\rm{V_o=-(V_i+V_C)}$

#### 電路波形

紅色為輸入波形$\rm{V_i}$
綠色為輸出波形$\rm{V_o}$


## 第四章、雙極性介面電晶體


### BJT電晶體的特性

雙極性電晶體又稱為BJT電晶體，有兩種不同的載子，又稱雙載子電晶體。

BJT電晶體分成兩種：PNP與NPN。


其中，電晶體有三隻腳，可以分成三極。

NPN三極

PNP三極

### BJT三極特性、功用

以下表格將會敘述這三極主要對電晶體有什麼影響。

| 極性 | 作用 |
| ---- | ---- |
| E極(射極) | 發射多數載子 |
| B極(基極) | 控制多數載子流向集極 |
| C極(集極) | 收集射極過來的多數載子 |

電晶體三極的寬度：B極<E極<C極。

電晶體三極的濃度：C極<B極<E極。

※電晶體$\beta$值大小與E極濃度和B極濃度之比值成正比，也就是E極濃度越高，B極濃度越低，則$\beta$值越大。

### BJT電晶體偏壓方式

如同二極體一樣。

P接正，N接負→順向偏壓。
P接負，N接正→逆向偏壓。

### BJT電晶體工作方式

電晶體共有兩個接面：BE接面與BC接面。
根據接面的順偏與逆偏，決定電晶體為以下四種工作狀態。

| 工作型態 | BE接面 | BC接面 | 用途 |
| -------- | -------- | -------- | - |
| 順向工作區/順向主動區 | 順偏 | 逆偏 | 線性放大器 |
| 逆向工作區/逆向主動區 | 逆偏 | 順偏 | 無用途 |
| 飽和區 | 順偏 | 順偏 | 開關(ON) |
| 截止區 | 逆偏 | 逆偏 | 開關(OFF) |

1. 當電晶體為順向工作區時
1. $\rm{I_C = \beta I_B = \alpha I_E}$
2. 當電晶體為飽和區時
1. $\rm{I_C < \beta I_B}$，$\rm{V_{CE} = 0.2V}$
3. 當電晶體為截止區時
1. $\rm{I_C = I_B = I_E = 0A}$

### BJT電晶體主動區

1. 當電晶體在主動區時，電流$I_C$與$I_B$呈線性關係，$I_C = \beta I_B$。

2. 由於集極為收集流入的多數載子，基極為控制多數載子流入集極的數量，射極為發射多數載子。
因此根據$\rm{KCL}$，我們可以知道，$\rm{I_E = I_B + I_C}$

3. 通常來說，若$\beta >> 10$，則我們可以推斷$\rm{I_E \approx I_C}$

### BJT電晶體飽和區

飽和區的功用可以當成數位開關，當電路進入飽和後，$V_{CE}$約莫會等於$\rm{0.2V}$。
因此，電晶體成為一個常閉開關，且$I_B \neq \beta I_C$

### BJT電晶體截止區

飽和區的功用可以當成數位開關，當電路進入截止區後，$V_{CE}$會等於$\rm{V_{CC}}$。
因此，電晶體成為一個常開開關。

### 電晶體之命名(電子學實習)

1. 美系依照JEDEC之命名規則。

| 編號 | 元件 |
| -------- | -------- |
| 1NXXXX | 二極體 |
| 2NXXXX | 電晶體 |

2. 日系依照JIS命名之規則，原件名稱分為五碼(例如：2SK30A)


### BJT放大電路

BJT在主動區可以做線性放大，我們定義以下三個名詞。

電壓增益：$A_v = \dfrac{V_o}{V_i}$

電流增益：$A_i = \dfrac{I_o}{I_i}$

功率增益：$A_p = \dfrac{P_o}{P_i} = A_v\times A_i$

BJT共有三種不同的組態：共射極組態，共集極組態，共基極組態。

### BJT共射極組態

1. 功率增益最高，電壓增益與電流增益都高於1。
2. 輸入信號與輸出信號反相
3. 為應用最廣泛的放大電路
4. 電流增益$A_I = \beta = \dfrac{I_C}{I_B} >> 1$
5. 共射極漏電流$I_{CEO}$因反向之$V_{CE}$而產生，$I_{CEO} = I_{CBO}\times (1+\beta)$，$I_C = \beta I_B + I_{CEO}$

輸出特性曲線

[圖片來源](http://www.phy.ntnu.edu.tw/demolab/html.php?html=electronics/transistor)

可以看出，非理想特性上，令$I_B = 0$，由於$I_C = \beta I_B + I_{CEO}$，因此$I_C = I_{CEO}$，曲線因漏電流存在，而不是一條水平直線。

### BJT共基極組態

1. 電壓增益最高，電流增益略小於0
2. 輸入信號與輸出信號同向
3. 有高輸出電阻、低輸入電阻
4. 高頻響應佳
5. 共基極漏電流$I_{CBO}$因反向之$V_{CB}$而產生，又稱$I_{CO}$，$I_C = \beta I_C + I_{CBO}$

### BJT共集極組態

1. 電流增益最高，電壓增益略小於0
2. 輸入信號與輸出信號同向
3. 有低輸出電阻、高輸入電阻
4. 適合作為電路阻抗匹配，也可以做為電壓隨耦器
5. 又稱射極隨耦器

### BJT組態接法

| | 輸入端 | 輸出端 | 共同端 | 電流增益 |
| ------ | ------ | ------ | ------ | -------- |
| 共射極 | B | C | E | $\beta$ |
| 共集極 | B | E | C | $\gamma$ |
| 共閘極 | E | C | B | $\alpha$ |

### BJT電流參數

$\alpha = \dfrac{\beta}{1+\beta}$，$0 \le \alpha \le 1$
$\beta = \dfrac{\alpha}{1-\alpha}$
$\gamma = \dfrac{1}{1-\alpha}$

### BJT三種放大器的特性比較

| | CB | CC | CE |
| -------- | ---- | ---- | ---- |
| 電壓增益 | 最高 | 最低 | 中等 |
| 電流增益 | 最低 | 最高 | 中等 |
| 功率增益 | 中等 | 最低 | 最高 |
| 輸入阻抗 | 最低 | 最高 | 中等 |
| 輸出阻抗 | 最高 | 最低 | 中等 |
| 相位關係 | 同相 | 同相 | 反相 |

## 第五章、電晶體之直流偏壓

### 輸出負載線

直流偏壓：將電晶體上加上適當的電壓與電流，才能在線性區上得到放大的信號。

一張電路一定會有直流負載線，我們可以根據以下兩條式子來畫出輸出負載線。
例如這是一張電路圖


$V_{CC} = I_C R_C + V_{CE}$

我們可以畫一個二維圖形，其中橫軸是$V_{CE}$，縱軸是$I_C$


其中若$V_{CE}=0$，則$I_C = \dfrac{V_{CC}}{R_C}$
若$I_C = 0$，則$V_{CE} = V_{CC}$


因此，我們就能得到一條輸出負載線了

### 輸出負載線的變因

輸出負載線主要的變因是$I_C$與$V_{CE}$，而$I_C$與$R_B$有關係，$V_{CE}$與$R_C$、$V_{CC}$有關係。
以下整理變因。

| 變因 | 影響 |
| -------- | -------- |
| $R_B$下降 | $I_B\uparrow$，$I_C \uparrow$，輸出負載線斜率不變。 |
| $R_B$上升 | $I_B\uparrow$，$I_C \uparrow$，輸出負載線斜率不變。 |
| $R_C$下降 | $I_B$與$I_C$不變，但是由於輸出負載線斜率$m = \dfrac{1}{-R_C}$，因此負斜率變小，負載線越來越趨近垂直。|
| $R_C$上升 | $I_B$與$I_C$不變，但是由於輸出負載線斜率$m = \dfrac{1}{-R_C}$，因此負斜率變大，負載線越來越趨近水平。|
| $V_{CC}$上升 | 輸出負載線斜率不變，但由於$V_{CE}=0, \quad I_C = \dfrac{V_{CC}}{R_C}$，且$I_C = 0 \quad V_{CE} = V_{CC}$，因此位於$V_{CE}$與$I_C$軸上的點會變大。 |
| $V_{CC}$下降 | 輸出負載線斜率不變，但由於$V_{CE}=0, \quad I_C = \dfrac{V_{CC}}{R_C}$，且$I_C = 0 \quad V_{CE} = V_{CC}$，因此位於$V_{CE}$與$I_C$軸上的點會變小。 |



### 直流工作點

我們將輸出特性曲線上畫上直流負載線。


因此，我們就可以根據要工作區、截止區、飽和區，來決定直流點的位置。

除此之外，還得要注意$P_{C(Max)}$


$P_{C(Max)} = I_C\times V_{CE}$，因此我們選的直流工作點一定要在$P_{C(Max)}$的區域內。

### 溫度對直流工作點的影響

溫度上升，則$\beta \uparrow$，$I_C \uparrow$，且$V_{CE} \downarrow$，工作點將會往飽和區移動
將會有可能離開$P_{C(MAX)}$的區域，造成電晶體燒毀。

### 穩定因數(SF)

探討溫度變化時之$I_C$變化程度。S愈小，穩定性越佳；S=1穩定度最佳，S=$\beta+1$時穩定性最差。

1. 溫度對$V_{BE}$之影響 $S=\dfrac{\Delta I_C}{\Delta V_{BE}}$，($I_{CO},\beta$維持固定)
1. Si : $-2.5mV$/$^{\circ}C$
2. Ge : $-1mV$/$^{\circ}C$
2. 溫度對$I_{CO}$之影響 $S=\dfrac{\Delta I_C}{\Delta I_{CO}}$，($V_{BE},\beta$維持固定)
1. 每上升$10^{\circ}C$，$I_{CO}$增加一倍。
3. 溫度對$\beta$之影響 $S=\dfrac{\Delta I_C}{\Delta \beta}$，($I_{CO},V_{BE}$維持固定)
1. $T \uparrow$，$\beta \uparrow$

其中溫度對$\beta$造成的影響最大。

### 直流分析要點

1. 移除交流電壓輸入
2. 由於$\dfrac{1}{\omega C}$，且$\omega = 2\pi f$，因此當$f=0$，電容阻抗無限大，可以視為開路。
3. 畫直流偏壓等效電路
4. 依等效電路求出直流工作點($V_{CE}$，$I_C$)

### BJT共射極固定偏壓電路


1. 沿著輸入迴路(藍線)，可以依照KVL得$V_{CC} = I_B R_B + V_{BE}$，其中$V_{BE}$約等於$0.7V$，求$I_B$。
2. $I_C = \beta I_B$
3. 沿著輸出迴路(橙線)，可以依照KVL得$V_{CC} = I_C R_C + V_{CE}$，求出$V_{CE}$。
4. 判斷$V_{CE} <= 0.2$，若有，則電路已飽和，重新求$I_C$。
5. 得到直流工作點$(V_{CE},I_C)$

當溫度上升時，$I_C$上升，$V_{CE}$下降，工作點$Q$往飽和區移動。

$S = \dfrac{I_B電流流過的電阻和}{I_B電流流過的電阻和，其中R_B除以1+\beta}$
$S = \dfrac{R_B}{\dfrac{R_B}{1+\beta}}$，$S = 1+\beta$，穩定性最差。

### BJT射極回授偏壓電路(電流負回授)


1. 延著輸入迴路(藍線)
可以依照KVL得$V_{CC} = I_B R_B + V_{BE} + (\beta+1)I_B R_E$，其中$V_{BE}$約等於$0.7V$，求$I_B$
2. $I_C = \beta I_B$，若$\beta$遠大於100，則$I_C \approx I_E$，否則$I_E = (1+\beta) I_B$。
3. 沿著輸出迴路(橙線)
可以依照KVL得$V_{CC} = I_B R_B + V_{CE} + (\beta+1)I_B R_E$，求$V_{CE}$
4. 判斷$V_{CE} <= 0.2$，若有，則電路已飽和，重新求$I_C$。
5. 得到直流工作點$(V_{CE},I_C)$

當溫度上升時，$I_C$上升。
1. 因為$I_C$上升，又$I_E \approx I_C$，因此$V_E$上升
但$I_B = \dfrac{V_{CC} - 0.7 - V_E}{R_B}$，因此$I_B$下降，$I_C$隨之跟著下降。
2. $V_{CE}=V_{CC} - I_C R_C - I_E R_E$，因此$V_{CE}$下降。

因此，$I_B$會因為回授的關係而減少，造成$I_C$減少，電路穩定性比共射極固定偏壓好。

$S = \dfrac{I_B電流流過的電阻和}{I_B電流流過的電阻和，其中R_B除以1+\beta}$

$S = \dfrac{R_B + R_E}{\dfrac{R_B}{1+\beta} + R_E}$

若R_E越大，則S越趨近於1，則電路穩定性越好。

### BJT集極回授偏壓電路(電壓負回授)


1. 延著輸入迴路(藍線)
可以依照KVL得$V_{CC} = \beta I_B R_C + I_B R_B + V_{BE}$，其中$V_{BE}$約等於$0.7V$，求$I_B$。
2. $I_C = \beta I_B$
3. 延著輸出迴路(橙線)
可以依照KVL得$V_{CC} = I_C R_C + V_{CE}$
4. 由於$V_{CC} = I_C R_C + I_B R_B + V_{BE}$
因此$V_{CE} = V_{CC} - I_C R_C$一定大於$0.7V$，因此該電路不會飽和。
5. 得到直流工作點$(V_{CE}, I_C)$

當溫度上升時，$I_C$上升，$V_{CE}$下降，$V_C$下降。
又因為$V_C = I_B R_B + V_{BE}$，因此$I_B$下降，$I_C$下降。

因此，$I_B$會因為回授的關係而減少，造成$I_C$減少，電路穩定性比共射極固定偏壓好。

$S = \dfrac{I_B電流流過的電阻和}{I_B電流流過的電阻和，其中R_B除以1+\beta}$

$S = \dfrac{R_C + R_B}{R_C + \dfrac{R_B}{1+\beta}}$

若$R_C$越大或者$R_B$越小，則S越趨近於1，則電路穩定性越好。

### BJT共射極分壓偏壓電路


對於$R_{B1},R_{B2}$的電阻，我們可以直接戴維寧等效。


$R_B = (R_{B1} // R_{B2}) = \dfrac{R_{B1}\times R_{B2}}{R_{B1} + R_{B2}}$

$V_B = \dfrac{R_{B2}}{R_{B1}+R_{B2}}$

#### 精確解
1. 延著輸入迴路(藍線)
可以依照KVL得$V_{B} = I_B R_B + V_{BE} + (\beta+1)I_B R_E$，其中$V_{BE}=0.7V$，解$I_B$
2. $I_C = \beta I_B$，若$\beta >> 100$，則$I_C \approx I_E$
3. 延著輸出迴路(橙線)
可以依照KVL得$V_{CC} = I_C R_C + V_{CE} + I_E R_E$，解出$V_{CE}$
4. 判斷$V_{CE} <= 0.2$，若是則電路飽和，重新解$I_C$
5. 得到直流工作點$(V_{CE},I_C)$

#### 近似解

使用時機：$\beta R_E$ >> $R_B$，題目沒有給$\beta$，題目說$I_B$可以省略。
使用方法：直接令$I_B=0$。

1. 延著輸入迴路(藍線)
可以依照KVL得$V_{B} = V_{BE} + I_E R_E$，其中$V_{BE}=0.7V$，解$I_E$
2. $I_C \approx I_E$
3. 延著輸出迴路(橙線)
可以依照KVL得$V_{CC} = I_C R_C + V_{CE} + I_E R_E$，解出$V_{CE}$
4. 判斷$V_{CE} <= 0.2$，若是則電路飽和，重新解$I_C$
5. 得到直流工作點$(V_{CE},I_C)$

一般使用情形下$I_B$極小，因此通常使用近似解計算，由於$I_C$無關於$\beta$，因此穩定因數$S=1$

### BJT共集極固定偏壓電路


1. 延著輸入迴路(藍線)
可以依照KVL得$V_{CC} = R_B I_B + V_{BE} + I_E R_E$，解$I_B$
2. $I_E = (\beta+1) I_B$，$I_C = \beta I_B$，若$\beta >> 100$，則$I_E \approx \beta I_B$
3. 延著輸出迴路(橙線)
可以依照KVL得$V_{CC} = V_{CE} + I_E R_E$，解$V_{CE}$
4. 判斷$V_{CE} <= 0.2$，若是則電路飽和，重新解$I_C$
5. 得到直流工作點$(V_{CE},I_C)$

### BJT共集極分壓偏壓電路



戴維寧等效。

$R_B = R_{B1} // R_{B2} = \dfrac{R_{B1}\times R_{B2}}{R_{B1} + R_{B2}}$
$V_B = V_{CC} \times \dfrac{R_{B2}}{R_{B1}+R_{B2}}$

1. 延著輸入迴路(藍線)
可以依照KVL得$V_{B} = R_B I_B + V_{BE} + I_E R_E$，解$I_B$
2. $I_E = (\beta+1) I_B$，$I_C = \beta I_B$，若$\beta >> 100$，則$I_E \approx \beta I_B$
3. 延著輸出迴路(橙線)
可以依照KVL得$V_{CC} = V_{CE} + I_E R_E$，解$V_{CE}$
4. 判斷$V_{CE} <= 0.2$，若是則電路飽和，重新解$I_C$
5. 得到直流工作點$(V_{CE},I_C)$

### BJT共基極電路


1. 延著輸入迴路(藍線)
可以依照KVL得$V_{EE} = V_{BE} + I_E R_E$，解$I_E$
2. $I_E = (\beta+1) I_B$，$I_C = \beta I_B$，若$\beta >> 100$，則$I_E \approx I_C$
3. 延著輸出迴路(橙線)
可以依照KVL得$V_{CC} = V_{CE} + I_E R_E + I_C R_C$，解$V_{CE}$
4. 判斷$V_{CE} <= 0.2$，若是則電路飽和，重新解$I_C$
5. 得到直流工作點$(V_{CE},I_C)$

## 第六章、BJT放大與小信號運作原理

### 小信號與大信號

小信號的定義：輸入的交流信號振幅小於$\rm{5mV}$。
大信號的定義：輸入的交流信號振幅大於$\rm{5mV}$。

輸入小信號時，輸入與輸出呈線性關係，又稱電壓放大器。
輸入大信號時，輸入與輸出呈非線性關係，又稱電流、功率放大器。

### 交流輸出特性曲線


根據直流工作點的位置，有可能波形會正半週、負半週失真。

### BJT互導參數

$g_m = \dfrac{I_C}{V_T} = \dfrac{\beta}{r_{\pi}} = \dfrac{\alpha}{r_e} \approx \dfrac{1}{r_e}$

### PI/T模型

小信號PI模型與T模型圖解


解電壓、電流增益時，只需要圖解即可。

### 交流等效電阻

一般來說，我們的$V_T$都會取$\rm{25mV}$或者$\rm{26mV}$。
可以根據好不好算來決定要取哪一個值。

$r_{\pi} = \dfrac{V_T}{I_B} = (\beta+1) r_e \approx \beta r_e$

$r_{e} = \dfrac{V_T}{I_E} = \dfrac{r_{\pi}}{1+\beta} \approx \dfrac{r_{\pi}}{\beta} \approx \dfrac{V_T}{I_C}$

使用近似解請注意題目上的數值，以免發生近似災難。

### 放大電路分析要領

1. 大部分的題目都是詢問$Z_i、Z_o、A_v、A_i$。
2. 只需要關注交流訊號變化，因此電壓源短路，電流源斷路。
3. 電容視同短路，電感視同斷路。
4. 用小信號模型來取代電晶體。
5. 先求輸入阻抗，再找電壓增益、電流增益與輸出阻抗。

### CE組態分析(含射極旁路電容)


畫出小信號等效模型


#### 求輸入阻抗

$Z_{ib} = r_{\pi}$
$Z_i = R_B // Z_{ib} = R_B // r_{\pi}$

#### 求電壓增益

$V_i = r_{\pi}\times i_b$
$V_o = R_c\times I_o = R_c\times -i_c$

$A_v = \dfrac{V_o}{V_i} = \dfrac{R_c\times -i_c}{r_{\pi}\times i_b}$

#### 求電流增益

$i_b = I_i \times \dfrac{R_B}{R_B + r_{\pi}}$

$I_i = i_b \times \dfrac{R_B + r_{\pi}}{R_B}$
$I_o = -\beta i_b$

$A_i = \dfrac{I_o}{I_i} = \dfrac{-\beta i_b}{i_b \times \dfrac{R_B + r_{\pi}}{R_B}} = -\beta \dfrac{R_B}{R_B + r_{\pi}}$

#### 求輸出阻抗

將輸入電壓全部移除，也就是令$i_b=0A$，$V_i=0V$，$\beta i_b$電流源視同開路。


因此，$Z_o = R_c$

### CE組態分析(不含射極旁路電容)


畫出小信號等效模型


#### 求輸入阻抗

$Z_{ib} = \dfrac{V_B}{i_b} = \dfrac{r_{\pi}i_b + R_E i_e}{i_b} = r_{\pi} + R_E (1+\beta)$
$Z_i = Z_{ib}//R_B$

#### 求電壓增益

$A_v = \dfrac{V_o}{V_i} = \dfrac{I_o R_c}{r_{\pi}i_b + R_E i_e} = \dfrac{-i_c R_c}{r_{\pi}i_b + R_E i_e} = \dfrac{-\beta R_c}{r_{\pi}+(1+\beta)R_E}$

#### 求電流增益

$A_i = \dfrac{I_o}{I_i} = \dfrac{\dfrac{V_o}{Z_o}}{\dfrac{V_i}{Z_i}} = A_v \times \dfrac{Z_i}{Z_o} = A_v \times \dfrac{Z_i}{R_c}$

#### 求輸出阻抗

第一個方法：$Z_o = \dfrac{V_o}{I_o} = R_c$

第二個方法：畫圖，將輸入電壓全部移除，也就是令$i_b=0A$，$V_i=0V$，$\beta i_b$電流源視同開路。


因此，$Z_o = R_c$

### CC組態分析


畫出小信號模型


#### 求輸入阻抗

$Z_ib = \dfrac{V_i}{i_b} = \dfrac{r_{\pi}i_b + R_E i_e}{i_b} = r_{\pi} + (1+\beta)R_E$
$Z_i = R_B // Z_{ib}$

#### 求電壓增益

$A_V = \dfrac{V_o}{V_i} = \dfrac{i_e R_E}{i_b r_{\pi} + i_e R_E} = \dfrac{(1+\beta) R_E}{r_{\pi} + (1+\beta)R_E}$

#### 求電流增益

$A_i = \dfrac{I_o}{I_i} \dfrac{\dfrac{V_o}{R_E}}{\dfrac{V_i}{Z_i}} = A_v \times \dfrac{Z_i}{R_E}$

#### 求輸出阻抗

畫圖，將輸入電壓全部移除，也就是令$i_b=0A$，$V_i=0V$，$\beta i_b$電流源視同開路。


從$Z_o$看進去，$\dfrac{i_e R_E // i_b r_\pi}{i_e} = R_E // \dfrac{r_\pi}{(1+\beta)} = R_E // r_e$

### CB組態分析


畫出小信號模型


#### 求輸入阻抗

$Z_i = R_B // \dfrac{V_i}{i_e} = R_B // \dfrac{r_e i_e}{i_e} = R_B // r_e \approx r_e$

#### 求電壓增益

$A_v = \dfrac{V_o}{V_i} = \dfrac{R_C i_c}{r_e i_e} = \alpha \dfrac{R_C}{r_e}$

#### 求電流增益

$i_e = I_i \times \dfrac{Z_{ie}}{Z_i} = \dfrac{r_e}{r_e} \approx 1$

$I_i \approx i_e$

$I_o = i_c$

$A_i = \dfrac{I_o}{I_i} = \dfrac{i_c}{i_e} \approx 1$

#### 求輸出阻抗

畫圖，將輸入電壓全部移除，也就是令$i_e=0A$，$V_i=0V$，$\alpha i_e$電流源視同開路。


因此，$Z_o = R_C$

### 【補充】考慮米勒效應的情況

如以下例題


#### 求電壓增益

首先，我們可以用節點硬幹，由於$r_{\pi}$的電流為$i_b$，因此我們可以果斷假設以下的式子。

$V_i = R_{\pi}i_b = 5ki_b$。

接著我們可以以$V_o$為節點，列出以下方程式。

$\dfrac{V_o-V_i}{5k} + 50i_b + \dfrac{50V_o-Vi}{5k}$

接著把$V_i$帶進式子並化簡，可以得到$V_o = \dfrac{-245ki_b}{2}$

$\dfrac{V_o}{V_i} = \dfrac{\dfrac{-245ki_b}{2}}{5ki_b}= \dfrac{-245ki_b}{10ki_b} = -24.5$

#### 求輸入阻抗

已知$Vi = 5ki_b$，$V_o = \dfrac{-245}{2}ki_b$。

我們可以根據KCL，求得$I_i = \dfrac{5ki_b}{5k} + \dfrac{5ki_b-(-122.5ki_b)}{5k} = 26.5i_b$

然後我們可以用$Z_i = \dfrac{V_i}{I_i} = \dfrac{5ki_b}{26.5i_b} \approx 188\Omega$

#### 求輸出阻抗

將電流源開路，輸入電壓短路，因此我們可以知道，$Z_o = 5k//5k = 2.5k$

#### 求電流增益


$A_i = \dfrac{I_o}{I_i} = \dfrac{\dfrac{-122.5ki_b}{5k}}{26.5i_b} = \dfrac{-24.5ib}{26.5ib} \approx -0.92$

### 【補充】考慮歐力的情況


其中$r_o = \dfrac{V_A}{I_C}$

#### 求電壓增益

$V_o = -\beta i_b \times \dfrac{r_o}{r_o+R_L} \times R_L$
$V_i = r_{\pi}i_b$

$A_v = \dfrac{V_o}{V_i} = \dfrac{-\beta i_b \times \dfrac{r_o}{r_o+R_L} \times R_L}{r_{\pi}i_b} = -\beta \dfrac{R_Lr_o}{R_L+r_o} \dfrac{1}{r_{\pi}}$

#### 求輸入阻抗

$V_i = r_{\pi}i_b$

$\because I_i\times\dfrac{R_B}{r_{\pi}+R_B}=i_b$
$\therefore I_i = i_b \times \dfrac{r_{\pi}+R_B}{R_B}$

$Z_i = \dfrac{V_i}{I_i} = \dfrac{r_{\pi}i_b}{i_b \times \dfrac{r_{\pi}+R_B}{R_B}} = \dfrac{r_{\pi}R_B}{r_{\pi}+R_B} = r_{\pi} // R_B$

#### 求電流增益

$\because I_i\times\dfrac{R_B}{r_{\pi}+R_B}=i_b$
$\therefore I_i = i_b \times \dfrac{r_{\pi}+R_B}{R_B}$

$I_o = -\beta i_b \times \dfrac{r_o}{r_o+R_L}$

$A_i = \dfrac{I_o}{I_i} = \dfrac{-\beta i_b \times \dfrac{r_o}{r_o+R_L}}{i_b \times \dfrac{r_{\pi}+R_B}{R_B}} = \dfrac{-\beta\dfrac{r_o}{r_o+R_L}}{\dfrac{r_{\pi}+R_B}{R_B}} = \dfrac{-\beta r_o R_B}{(r_o+R_L)(r_{\pi}+R_B)}$

#### 求輸出阻抗

將電流源開路，輸入電壓短路，因此我們可以知道，$Z_o = r_o//R_L$

## 第七章、串極放大電路之增益

### 多級放大電路總增益

當我們有N個串級放大器串起來時，這些放大器可能都會有增益。

例如以下就是一個串級放大的方塊圖。


我們定義

$A_{VT}$為這N個串級放大器的總電壓增益。
$A_{IT}$為這N個串級放大器的總電流增益。
$A_{PT}$為這N個串級放大器的總功率增益。

$A_{VT} = A_{V1}\times A_{V2}\times A_{V3} .... \times A_{VN}$
$A_{IT} = A_{I1}\times A_{I2}\times A_{I3} .... \times A_{IN}$
$A_{PT} = |A_{VT} \times A_{IT}|$ (功率一定是正整數)

### 分貝(dB)表示

我們可以用分貝($dB$)來表示我們的增益，他是一種表示增益的單位。

我們定義
$A_V(dB)$為用$dB$表示的電壓增益。
$A_I(dB)$為用$dB$表示的電流增益。
$A_P(dB)$為用$dB$表示的功率增益。

其中
$A_V(dB) = 20\log A_V$
$A_I(dB) = 20\log A_I$
$A_P(dB) = 10\log A_P$

接著，當我們有N個串級放大器，欲計算這N個放大器的電壓、電流、功率增益。


$A_{VT}(dB) = 20\log(A_{V1}\times A_{V2}\times A_{V3}....)$
$= 20\log(A_{V1}) + 20\log(A_{V2}) + 20\log(A_{V3}) ... = dB1 + dB2 + dB3 ...$

因此
$A_{VT}(dB) = \sum^N_{i=1} A_{Vi}(dB)$
$A_{IT}(dB) = \sum^N_{i=1} A_{Ii}(dB)$
$A_{PT}(dB) = \sum^N_{i=1} A_{Pi}(dB)$

### 毫分貝(dBm)表示

依照國際無線電傳輸標準規定，無線電信號之$\rm{0dB}$是以$\rm{600\Omega}$的電阻上消耗$\rm{1mW}$的功率為參考，通常記做$\rm{dBm}$。

$\rm{1mW = \dfrac{V^2}{600\Omega}, V^2 \approx 0.775V}$

$\rm{dBm = 10\log\dfrac{P_o}{1mW} = 10\log\dfrac{\dfrac{V_o^2}{Z_o}}{\dfrac{(0.775)^2}{600}} = 10\log(\dfrac{V_o^2}{(0.775)^2}\times \dfrac{600}{Z_o}) \\ = 20\log{\dfrac{V_o}{0.775}} + 10\log{\dfrac{600}{Z_o}}}$

### 直接耦合放大電路


#### 直流分析

$V_{CC} = I_{B1} R_B + V_{BE1} + I_{E1} R_{E1} = I_{B1} R_B + V_{BE1} + (\beta_1 + 1) R_{E1}$，解$I_{B1}$
$I_{C1} = \beta_1 I_{B1} \approx I_{E1}$

$V_{CE1}$可以用節點電壓解，假設流入$V_{CE1}$的電流均為流出。

$\dfrac{V_{CE1}-V_{CC}}{R_{C1}} + I_{C1} + \dfrac{V_{CE1}-V_{BE2}}{(1+\beta_2)R_{E2}} = 0$，解$V_{CE1}$

$V_{CE1} = V_{BE2} + (1+\beta_2) I_{B2} R_{E2}$，解$I_{B2}$

$I_{C2} = \beta_2 I_{B2} \approx I_{E2}$

$r_{\pi1} = \dfrac{V_{T}}{I_{B1}}$
$r_{\pi2} = \dfrac{V_{T}}{I_{B2}}$

#### 交流分析

畫出小信號模型

$Z_i = R_{B1} // (r_{\pi} + (1+\beta_1) R_E)$

$A_v = \dfrac{v_{o1}}{v_i} \dfrac{v_o}{v_{o1}} = \dfrac{-(R_{C1}//Z_{o1})\times \beta_1 i_{b1}}{r_{\pi1}i_{b1}} \times \dfrac{-R_{C2}\times \beta_2 i_{b2}}{r_{\pi2}i_{b2}} \\ = \dfrac{-(R_{C1}//Z_{o1})\times \beta_1}{r_{\pi1}} \times \dfrac{-R_{C2}\times \beta_2 }{r_{\pi2}} = \dfrac{(R_{C1}//Z_{o1})R_{C2}\beta_1 \beta_2}{r_{\pi1}r_{\pi2}}$

$A_i = \dfrac{i_o}{i_i} = \dfrac{\dfrac{V_o}{R_{C2}}}{\dfrac{V_i}{Z_i}} = A_v \times \dfrac{Z_i}{R_{C2}}$

$Z_o = R_C$

#### 優缺點分析

直接耦合電路由於沒有耦合電容，因此低頻響應佳。
缺點是直流工作點容易受到前一級的電晶體所影響。

### 變壓器耦合放大電路


#### 直流分析

變壓器視為兩個電感，$X_c = \omega L$，$\omega = 2\pi f$，$f=0$，因此$X_L = 0\Omega$，視為短路。


因此，兩個電晶體直流分析互不相干，按照普通方式解電晶體直流分析即可。

#### 交流分析

畫出小信號模型

我們令$n = \dfrac{一次側線圈}{二次側線圈}$

$\because \dfrac{Z_1}{Z_2} = (\dfrac{N_1}{N_2})^2$

$\therefore Z_i = Z_1n_1^2$
$\therefore Z_2 = Z_3n_2^2$
$\therefore Z_4 = R_Ln_3^2$

$\because \dfrac{N_1}{N_2} = \dfrac{V_1}{V_2}$
$\therefore v_i = n_1 v_1$
$\therefore v_2 = n_2 v_3$
$\therefore v_4 = n_3 v_o$

$A_v = \dfrac{v_o}{v_i} = \dfrac{v_o}{v_4} \dfrac{v_4}{v_3} \dfrac{v_3}{v_2} \dfrac{v_2}{v_1} \dfrac{v_1}{v_i} = \dfrac{1}{n_3} \dfrac{-\beta_2 i_{b2} Z_4}{r_{\pi2} i_{b2}} \dfrac{1}{n_2} \dfrac{-\beta_1 i_{b1} Z_2}{r_{\pi1} i_{b1}} \dfrac{1}{n_1} \\ = \dfrac{Z_4Z_2\beta_1\beta_2}{n_1n_2n_3r_{\pi1}r_{\pi2}}$

$\because \dfrac{I_1}{I_2} = \dfrac{N_2}{N_1}$
$\therefore i_{b1} = n_1 i_{i}$
$\therefore i_{b2} = n_2 i_{c1}$
$\therefore i_o = n_3 i_{c2}$

$A_i = \dfrac{i_o}{-i_{c2}} \dfrac{-i_{c2}}{i_{b2}} \dfrac{i_b2}{i_{c1}} \dfrac{i_{c1}}{i_{b1}} \dfrac{i_{b1}}{i_i}$
$= \dfrac{n_3 i_{c2}}{-i_{c2}} \dfrac{-\beta_2 i_{b2}}{i_{b2}} \dfrac{n_2 i_{c1}}{i_{c1}} \dfrac{-\beta_1 i_{b1}}{i_{b1}} \dfrac{n_1 i_{i}}{i_i} = n_1 n_2 n_3 \beta_1 \beta_2$

$Z_o = R_{C2}$

#### 優缺點分析

由於是變壓器，因此各極阻抗匹配容易。
可以阻絕各級的直流信號。
線圈的直流阻抗很低(直流時可以視為短路)，因此直流消耗功率低，電晶體可以獲得較大的功率。

由於線圈的雜散電容、分佈電容，因此高頻響應不佳
易受磁場干擾且體積大、價格高。

### RC耦合放大電路


#### 直流分析

電容容抗$X_C = \dfrac{1}{\omega C}$，$\omega = 2\pi f$，$f=0$，因此電容抗$X_c = \infty$，視同斷路。


因此，兩個電晶體直流分析互不相干，按照普通方式解電晶體直流分析即可。

#### 交流分析

畫出小信號模型

$Z_i = R_{B11} // R_{B12} // r_{\pi1}$

$A_v = \dfrac{v_o}{v_i} = \dfrac{v_{i2}}{v_i} \dfrac{v_o}{v_{i2}} = \dfrac{-\beta_1 i_{b1} (R_{C1}//R_{B21}//R_{B22}//r_{\pi})}{r_{\pi1} i_{b1}} \dfrac{-\beta_2 i_{b2} R_{C2}}{r_{\pi2} i_{b2}}$

$=\dfrac{\beta_1 \beta_2 (R_{C1}//R_{B21}//R_{B22}//r_{\pi2}) (R_{C2})}{r_{\pi1}r_{\pi2}}$

$A_i = \dfrac{\dfrac{v_o}{R_L}}{\dfrac{v_i}{Z_i}} = A_v \dfrac{Z_i}{R_L}$

$Z_o = R_{C2}$

#### 優缺點分析

優點：
1. 成本跟價格都低，因此是最廣泛的交連方式。
2. 頻率響應佳，適合中頻放大。

缺點：
1. 電阻性負載效率低
2. 低頻時，耦合電容抗較大，增加交流損失，因此要選擇比較大的電容。

影響低頻響應的因素：耦合電容、旁路電容
影響高頻響應的因素：極際電容、雜散電容

### 達靈頓放大電路


達靈頓放大電路是一個直接耦合電路，它有以下幾點特點。

1. 高輸入阻抗，輸入阻抗約$(1+\beta_1)(1+\beta_2) R_E$。
2. 輸出阻抗低。
3. 高電流增益，約為$(1+\beta_1)(1+\beta_2)$。
4. 低電壓增益。
5. 高漏電流。

達靈頓放大電路常用於阻抗匹配。

#### 同形達靈頓


#### 異形達靈頓


#### 直流分析

$V_{CC} = R_B I_{B1} + V_{BE1} + V_{BE2} + I_{E2} R_E$
$V_{CC} = R_B I_{B1} + V_{BE1} + V_{BE2} + (1 + \beta_2) I_{B2} R_E$

又因為$I_{B2} = I_{E1}$

$V_{CC} = R_B I_{B1} + V_{BE1} + V_{BE2} + (1 + \beta_2) I_{E1} R_E$
$V_{CC} = R_B I_{B1} + V_{BE1} + V_{BE2} + (1 + \beta_2)(1 + \beta_1) I_{B1} R_E$

解出$I_{B1}$後反推$I_{B2} = I_{E1} = (1 + \beta_1) I_{B1}$即可。

$r_{\pi1} = \dfrac{V_T}{I_{B1}}$
$r_{\pi2} = \dfrac{V_T}{I_{B2}}$

#### 交流分析

畫出小信號模型

輸入阻抗$Z_i = R_B // Z_{i1} = R_B // (r_{\pi1} + (1 + \beta_1) Z_{i2}) \\
= R_B // [r_{\pi1} + (1 + \beta_1)(r_{\pi2} + (1 + \beta_2) R_E)] \\
= R_B // [r_{\pi1} + (1 + \beta_1)r_{\pi2} + (1 + \beta_1)(1 + \beta_2) R_E)]$

電壓增益$A_v = \dfrac{V_o}{V_i} = \dfrac{i_{e2}R_E}{i_{b1}r_{\pi1} + i_{e1}r_{\pi2} + i_{e2}R_E} \\ = \dfrac{(1+\beta_1)(1+\beta_2)i_{b1}R_E}{i_{b1}r_{\pi1} + (1+\beta_1)i_b1r_{\pi2} + (1+\beta_1)(1+\beta_2)i_{b1}R_E} \\ = \dfrac{(1+\beta_1)(1+\beta_2)R_E}{r_{\pi1} + (1+\beta_1)r_{\pi2} + (1+\beta_1)(1+\beta_2)R_E} \le 1$

電流增益$A_i = \dfrac{I_o}{I_i} = \dfrac{\dfrac{v_o}{R_E}}{\dfrac{v_i}{Z_i}} = A_v \dfrac{Z_i}{R_E}$

輸出阻抗$Z_o = R_E // (\dfrac{r_{\pi2} + Z_{o2}} {(1+\beta_2)}) \\ = R_E // (\dfrac{r_{\pi2} + \dfrac{r_{\pi1}}{(1+\beta_1)}} {1+\beta_2}) = R_E // [\dfrac{r_{\pi2}}{1+\beta_2} + \dfrac{r_{\pi1}} {(1+\beta_1)(1+\beta_2)}]$

### 疊接放大電路


疊接放大器可以視為一個$\rm{CE}$放大器串級一個$\rm{CB}$放大器。
它可以改善$\rm{CB}$的低輸入阻抗，並改善高頻增益過低的問題(因為$\rm{CB}$放大器適用於高頻)。

### 多級放大器的頻率響應

串聯越多的放大電路，電壓增益上升，頻寬越小。

若我們假設$f_1$為單一個放大電路低頻，$f_2$為單一個放大電路高頻，若我們串級了n個放大電路，則

低頻響應不佳的原因：耦合電容與旁路電容
高頻響應不佳的原因：極際電容與雜散電容

低頻上限$f_L = \dfrac{f_1}{\sqrt{2^{\dfrac{1}{n}}-1}}$
高頻上限$f_H = {f_2}*\sqrt{2^{\dfrac{1}{n}}-1}$

### 頻率曲線

頻率曲線大致上可以分成四大類

1. 高通


頻率太低，電壓增益衰減。

2. 低通


頻率太高，電壓增益衰減

3. 帶通


輸入信號只在某一個頻率範圍內通過，頻率太高或太低，電壓增益衰減。

4. 帶拒


輸入信號在某一個頻率範圍內通過，電壓增益衰減

### 放大器的失真

1. 波幅失真：輸出信號為原來輸入信號，再加上新的頻率信號(諧波信號)，又稱為非線性失真或諧波失真
2. 頻率失真：因電容器或電感器在不同頻率下有不同阻抗，造成放大器對不同頻率的輸入信號，產生不同的放大倍數
3. 相位失真：放大器對不同頻率的輸入信號，產生不同的相位延遲，又稱延遲失真
4. 總諧波失真：
1. 若有一輸出信號為$V_o(t) = V_1\sin\omega t + V_2\sin2 \omega t + V_3\sin3 \omega t ... V_n\sin n \omega t$
2. $D_2 = \dfrac{|V_2|}{|V_1|} \times 100\%$，$D_3 = \dfrac{|V_3|}{|V_1|} \times 100\%$，$D_n = \dfrac{|V_n|}{|V_1|} \times 100\%$
3. $D_T = \sqrt{D_2^2 + D_3^2 ... + D_n^2}$
5. 含有諧波失真之輸出總功率
1. $P_T = P_1 (1 + D_2^2 + D_3^2 ... + D_n^2) = P_1 (1+D_T^2)$

## 第八章、場效應電晶體

場效應電晶體(FET)是一個單載子元件。
由通道種類來決定傳導哪種載子，P通道傳導電洞，N通道傳導電子。

### 場效應電晶體的種類

各電晶體通道由S至D。
只有E-MOS沒有預製通道，其餘電晶體有預製通道。

#### JFET

請注意箭頭方向


#### D-MOS (空乏型)

請注意箭頭方向


#### E-MOS (增強型)

請注意箭頭方向


### 接面場效應電晶體(JFET)

JFET是一個單載子、三端點的原件，其中元件接腳有S、G、D。

S(源極)發射載子，D(汲極)吸引載子，形成電流$I_{DS}$。


### JFET偏壓方式


### JFET工作原理

當$\rm{V_{GS}=0V}$時：


$\rm{V_{DS}}$很小時，通道內有少許的空乏區產生，但可以視為非常平均的。
此時的$I_D$隨著$V_DS$呈線性變化，如同一個電阻器，此時稱為歐姆區。

$\rm{V_{DS}}$變大時，靠近D的通道的逆偏較大，因此產生的空乏區也越大。
導致通道逐漸縮小(自由載子的濃度減少)，當$V_{DS}=|V_p|$(夾止電壓)時，通道在汲極端產生夾止，自由載子的濃度固定，$I_D$不隨$V_{DS}$呈線性變化，此時稱為夾止區。

最大的電流稱為$I_{DSS}$。


若$V_{DS}$繼續增加，則電晶體進入崩潰區，電晶體損壞。


當$\rm{V_{GS}\neq 0V}$時：

由於JFET已經預製了通道，因此我們必須要用$V_{GS}$產生逆偏來產生空乏區，控制通道縮放，來控制$\rm{I_D}$。
若$V_{GS}$是順偏，則閘極與通道呈現順向偏壓，失去控制通道寬度，導致無法控制$\rm{I_D}$。

當$V_{GS}$上升，則閘極與通道逆偏越來越嚴重，越來越容易夾止與崩潰。

若將$V_{GS}$的逆偏增加，直到小於$V_P$時，通道內被空乏區佔滿，因此沒有電流$I_D$，此時通道稱為截止區。

因此，我們可以畫出$V_{GS}-I_D$特性曲線。

N-JFET特性曲線


判別是否進入飽和區：$V_{DS} > V_{GS} - V_T$

P-JFET特性曲線


判別是否進入飽和區：$V_{DS} < V_{GS} - V_T$

其中$K=\dfrac{I_{DSS}}{V_P^2}$，且$I_D = K(V_{GS}-V_P)^2$僅適用於夾止區之情形。

### 空乏型MOSFET(D-MOS)


### D-MOS偏壓方式


### D-MOS運作原理

以NMOS為例。

當$\rm{V_{GS} = 0V}$，將$V_{DS}$逐漸放大，則$I_D$與$V_{DS}$呈線性關係，到夾止點時產生汲極飽合電流$I_{DSS}$。

當$\rm{V_{GS} < 0V}$，N通道感應出正電荷，減少通道內的多數載子，汲極電流減少。
1. 若$V_{DS} < V_{GS} - V_T$，則電晶體工作於歐姆區
2. 若$V_{DS} > V_{GS} - V_T$，則電晶體工作於飽和區

當$\rm{V_{GS} > 0V}$，N通道感應出負電荷，增加通道內的多數載子，汲極電流增加。

因此，我們可以畫出特性曲線

D-NMOS特性曲線


判別是否進入飽和區：$V_{DS} > V_{GS} - V_T$

D-PMOS特性曲線


判別是否進入飽和區：$V_{DS} < V_{GS} - V_T$

其中$K=\dfrac{I_{DSS}}{V_P^2}$，且$I_D = K(V_{GS}-V_P)^2$僅適用於夾止區之情形。

### 增強型MOSFET(E-MOS)


### E-MOS偏壓方式


### E-MOS工作原理

增強型MOSFET(E-MOS)沒有預製通道，因此必須要用電壓來感應通道。

以NMOS為例。

當$V_{GS} = 0$時，無法感應出通道，因此$I_D = 0A$。

$V_{GS} > 0$，且$V_{GS} > V_T$時，基底內感應負電荷而生成N型通道，使載子可以由S到D形成$I_D$，此時進入飽和區(夾止區)。
若$V_{GS}$小於$V_T$，則通道無法形成，因此$I_D$ = $0A$

$V_{GS} < 0$，基底內出現正電荷，與基體多數載子相排斥，使$D-S$間形成空乏區，MOSFET呈現截止狀態。

因此，我們可以畫出$I_D - V_{GS}$與$I_D - V_{DS}$特性曲線圖。

<特性曲線圖>

### FET與BJT之比較

1. 輸入阻抗
1. FET的輸入阻抗大於BJT
2. BJT的共集極輸入阻抗最高，但仍遠不及FET
3. 高輸入阻抗可以減少負載效應
2. 工作載子
1. FET是單一載子元件，PMOS工作載子是電洞，NMOS工作載子是電子
2. BJT是雙載子元件，也就是兩個載子(電洞與電子)同時存在，PNP電晶體多數載子是電洞，NPN電晶體多數載子是電子
3. 溫度效應
1. FET熱穩定性佳，電流呈現負溫度係數，溫度上升則$I_D$下降，熱穩定性佳。
2. BJT電流呈現正溫度係數，溫度上升則$I_D$上升，熱穩定不及FET。
4. 封裝方式
1. FET製作容易，體積小，一般都應用於積體電路中
2. BJT體積大
5. 控制方式
1. FET使用電壓控制
2. BJT使用電流控制
6. 其他
1. FET的S與D極可以對調，但BJT的C與E極由於濃度不同因此不能對調。
2. FET較不受輻射(光、熱)影響，但BJT容易受輻射影響，使$\beta$上升與$I_C$上升。
3. FET雜訊較低，可以應用於調頻收音機之前置放大器
4. FET可以利用內部電容當成記憶體使用
5. FET沒有少數載子，因此FET沒有漏電流，沒有抵補電壓。
6. MOSFET工作在歐姆區時，可以當作電阻，節省IC之使用體積與面積
7. FET增益與頻寬之乘積較小。
8. FET高頻響應差
9. FET反應速度慢

### FET偏壓電路

在高職現今的課綱內，電路通常都只有兩種情況，截止與夾止(飽和)區。
因此，我們得要先判定該電路是否在夾止(飽和)區、或者在截止區。

### FET固定偏壓電路


#### 直流分析

先求$V_{GS}$。

依照KVL求出$V_G = R_G I_G + V_{GG}$，由於$I_G = 0$，因此$V_G = V_{GG}$。

**請注意電壓源的方向，來改變$V_G$之式子。**

$V_S$接地，因此$V_S = 0V$

$V_{GS} = V_G - V_S$

判斷$V_{GS}$是否小於$V_P$(NMOS)，或者大於$V_P$(PMOS)，若是則電路截止，電路呈現截止區。

接著將$V_{GS}$帶入$I_D = K(V_{GS} - V_P)^2$，其中$K=\dfrac{I_{DSS}}{V_P^2}$。
求出$I_D$後，$V_{DD} = I_D R_D + V_{DS}$。

### FET自給偏壓電路


#### 直流分析

先求$V_{GS}$。

依照KVL求出$V_G = R_G I_G$，由於$I_G = 0$，因此$V_G = 0$。
接著依照KVL求出$V_S = R_S I_S$，其中$I_S = I_D$，因此$V_S = R_S I_D$。

$V_{GS} = V_G - V_S$

判斷$V_{GS}$是否小於$V_P$(NMOS)，或者大於$V_P$(PMOS)，若是則電路截止，電路呈現截止區。

接著將$V_{GS}$帶入$I_D = K(V_{GS} - V_P)^2$，其中$K=\dfrac{I_{DSS}}{V_P^2}$。
求出$I_D$後，$V_{DD} = I_D R_D + V_{DS} + I_D R_S$。

### FET分壓式偏壓電路


#### 直流分析

先將左邊兩個電阻($R_{G1}$、$R_{G2}$)做等效。


其中$R_G = R_{G1} // R_{G2}$，且$V_G = \dfrac{R_{G2}}{R_{G1}+R_{G2}}$。

因此，$V_G = V_{GG} - I_G R_G$，因為$I_G = 0A$，因此$R_G = V_{GG}$。
接著$V_S = I_D R_S$。

$V_{GS} = V_G - V_S$。

判斷$V_{GS}$是否小於$V_P$(NMOS)，或者大於$V_P$(PMOS)，若是則電路截止，電路呈現截止區。

接著將$V_{GS}$帶入$I_D = K(V_{GS} - V_P)^2$，其中$K=\dfrac{I_{DSS}}{V_P^2}$。
求出$I_D$後，$V_{DD} = I_D R_D + V_{DS} + I_D R_S$。

### FET汲極分壓偏壓電路


常用於增強型MOSFET。

$I_{D1} = I_{D2}$

$V_{GS1} = {V_{G1}-V_{S1}}$。
$V_{G1} = V_{DD} - R_{G1} I_{G1}$。
$\because I_{G1} = 0$，$\therefore V_{G1} = V_{DD}$
$\therefore V_{GS1} = V_{DS1}$

判斷$V_{GS1}$是否小於$V_{P1}$(NMOS)，或者大於$V_{P1}$(PMOS)，若是則電路呈現截止區。

$V_{GS2} = V_{DD} - V_{DS1} - I_{G2} R_{G2}$。
$\because I_{G2} = 0$，$\therefore V_{G2} = V_{DD} - V_{DS1}$
$V_{S2}$接地，$V_{S2} = 0V$。
$V_{GS2} = V_{DD} - V_{DS1}$

判斷$V_{GS2}$是否小於$V_{P2}$(NMOS)，或者大於$V_{P2}$(PMOS)，若是則電路呈現截止區。

$\because I_{D1} = I_{D2}$
$\therefore K_1(V_{GS1}-V_{T1})^2 = K_2(V_{GS2}-V_{T2})^2$
$\therefore K_1(V_{DS1}-V_{T1})^2 = K_2(V_{DD} - V_{DS1}-V_{T2})^2$

解出$V_{DS1}$後，即可推出$I_{D1}$與$I_{D2}$。

## 第九章、FET放大與小信號動作原理

在FET放大電路組態中如果要做小信號放大，則必須工作在特性曲線中的飽和區。

### FET等效小信號模型


### FET參數探討

互導$g_m$：當$V_{DS}$保持不變時，$V_{GS}$的變化量對$I_D$之變化量的影響。
其中$g_m = \dfrac{\Delta V_{GS}}{\Delta I_D}|_{\Delta V_{DS} = 0} = 2\sqrt{KI_D}$

洩極電阻$r_d$：當$V_{GS}$保持不變時，$V_{DS}$的變化量對$I_D$之變化量的影響。
其中$r_d = \dfrac{\Delta V_{DS}}{\Delta I_D}|_{\Delta V_{GS} = 0}$，其值約莫在10k至數百k。

放大因數$\mu$：當$I_D$保持不變時，$V_{DS}$的變化量對$V_{GS}$之變化量的影響。
其中$\mu = \dfrac{\Delta V_{DS}}{\Delta V_{GS}}|_{\Delta V_{I_D} = 0} = g_mr_d$。

### FET放大電路組態

#### 共源極放大電路


#### 共汲極放大電路


#### 共閘極放大電路


### FET放大電路組態特性比較

| | CG | CD | CS |
| -------- | ---- | ---- | ---- |
| 電壓增益 | 最高 | 最低 | 中等 |
| 電流增益 | 最低 | 最高 | 中等 |
| 功率增益 | 中等 | 最低 | 最高 |
| 輸入阻抗 | 最低 | 最高 | 中等 |
| 輸出阻抗 | 最高 | 最低 | 中等 |
| 相位關係 | 同相 | 同相 | 反相 |

### FET共源極放大電路(不含RS)

我們假設$r_d$極大，可以忽略。
直流電源接地，電容短路，畫出小信號模型。


#### 輸入阻抗

將相依電流源斷路，輸出電壓短路。


從圖可以看出，$Z_i = R_G$

#### 電壓增益

電壓增益$A_v = \dfrac{V_o}{V_i}$

$V_i = v_{gs}$，$V_o = -g_mV_{gs} \times R_D$
因此$A_v = \dfrac{V_o}{V_i} = \dfrac{-g_mv_{gs} R_D}{v_{gs}} = -g_m R_D$

#### 電流增益

電流增益$A_i = \dfrac{I_i}{I_o}$

$I_o = -gmVgs$，$I_i = \dfrac{V_i}{R_G} = \dfrac{v_{gs}}{R_G}$
$A_i = \dfrac{I_o}{I_i} = \dfrac{-gmv_{gs}}{\dfrac{v_{gs}}{R_G}} = -gmR_G$

#### 輸出阻抗

將相依電流源斷路，輸入電壓短路。


從圖上可以看出，$Z_o = R_D$

### FET共源極放大電路(含RS)

我們假設$r_d$極大，可以忽略。
直流電源接地，電容短路，畫出小信號模型。


#### 輸入阻抗

將相依電流源斷路，輸出電壓短路。


從圖可以看出，$Z_i = R_G$

#### 電壓增益

$A_v = \dfrac{V_o}{V_i}$

$V_i = v_{gs} + R_S (i_G + g_m v_{gs}) = v_{gs} + R_S g_m v_{gs} (i_G = 0A)$
$V_o = -g_m v_{gs} R_D$

$A_v = \dfrac{-g_m v_{gs} R_D}{v_{gs} + g_m v_{gs} R_S} = \dfrac{-g_m R_D}{1 + g_m R_S}$

#### 電流增益

$A_i = \dfrac{I_o}{I_i} = \dfrac{\dfrac{V_o}{R_D}}{\dfrac{V_i}{Z_i}} = A_v \dfrac{R_G}{R_D}$

#### 輸出阻抗

將相依電流源斷路，輸入電壓短路。


$Z_o = R_D$

### FET共汲極放大電路

我們假設$r_d$極大，可以忽略。
直流電源接地，電容短路，畫出小信號模型。


#### 輸入阻抗

將相依電流源斷路，輸電壓短路。


$Z_i = R_G$

#### 電壓增益

$V_o = R_S (i_G + g_m v_{gs}) = R_S g_m v_{gs} (i_G = 0A)$
$V_i = v_{gs} + R_S (i_G + g_m v_{gs}) = v_{gs} + R_S g_m v_{gs} (i_G = 0A)$

$A_v = \dfrac{V_o}{V_i} = \dfrac{R_S g_m v_{gs}}{v_{gs} + R_S g_m v_{gs}} = \dfrac{R_S g_m}{1+R_S g_m} < 1$

#### 電流增益

$I_i = \dfrac{V_i}{R_G} = \dfrac{v_{gs} + R_S g_m v_{gs}}{R_G}$
$I_o = g_m v_{gs} + i_G (i_G = 0A) = g_m V_{gs}$

$A_i = \dfrac{I_o}{I_i} = \dfrac{g_m v_{gs}}{\dfrac{v_{gs} + R_S g_m v_{gs}}{R_G}} = \dfrac{R_G g_m v_{gs}}{v_{gs} + R_S g_m v_{gs}} = \dfrac{R_G g_m}{1 + R_S g_m}$

#### 輸出阻抗

將相依電流源斷路，輸出電壓短路。


**從S端看入。**

$Z_{o1} = \dfrac{v_{gs}}{g_m v_{gs}} = \dfrac{1}{g_m}$
$Z_o = R_S // Z_{o1} = R_s // \dfrac{1}{g_m}$

### FET共閘極放大電路

我們假設$r_d$極大，可以忽略。
直流電源接地，電容短路，畫出小信號模型。


#### 輸入阻抗

將相依電流源斷路，輸出電壓短路。


**從S端看入。**

$Z_{iS} = \dfrac{v_{gs}}{g_m v_{gs}} = \dfrac{1}{g_m}$

$Z_i = R_S // Z_{iS} = R_S // \dfrac{1}{g_m}$

#### 電壓增益

$V_i = -v_{gs}$
$V_o = -g_m v_{gs} R_D$

$Av = \dfrac{V_o}{V_i} = \dfrac{-g_m v_{gs} R_D}{-v_{gs}} = g_m R_D$

#### 電流增益

$I_i = \dfrac{V_i}{Z_i} = \dfrac{-v_{gs}}{\dfrac{1}{g_m} // R_D}$
$I_o = \dfrac{V_o}{R_D} = -g_m v_{gs}$

$A_i = \dfrac{I_o}{I_i} = \dfrac{\dfrac{V_o}{R_D}}{\dfrac{V_i}{Z_i}} = A_v \dfrac{Z_i}{R_D} \approx 1$

#### 輸出阻抗

將相依電流源斷路，輸入電壓短路。


$Z_o = R_D$

## 第十章、運算放大器

### 簡介

運算放大器OPA是一個電壓增益極高的差動放大器，利用負回授來控制電壓增益。
OPA擁有雙端輸入，單端輸出，可以用來計算許多數學的線性運算，例如加減乘除、微分或者積分，故稱為運算放大器，或稱為線性IC。

### 符號


### uA741接腳圖


### uA741腳位說明

第一腳、第五腳：抵補腳(校零)，使OPA更接近理想狀態
第二腳：反向輸入端(V-)
第三腳：非反向輸入端(V+)
第四腳：工作電壓(-VCC)
第六腳：輸出端
第七腳：工作電壓(+VCC)
第八腳：空腳

### OPA內部結構


D.A：一個**差動放大器**，為OPA的核心
驅動級：提高增益以推動輸出級
定電流源：可提高運算放大器之CMRR值
輸出級：以**射極隨耦器**當作輸出級，做為低阻抗輸出

### 理想OPA之特性

理想OPA主要有以下幾點理想特性

1. 輸入阻抗無限大
2. 輸出阻抗為0
3. 開迴路增益無限大
4. 共模拒斥比無限大
5. 抵補電壓為0
6. 頻帶寬度無限大
7. 響應時間短
8. 特性不受溫度變化而改變

### 運算放大器的特性與參數

1. 輸入特性
1. 輸入阻抗$R_i$：一輸入端接地，而從另一端輸入端看入接地端的阻抗，其典型值約莫為$2M\Omega$以上。
2. 輸入偏壓電流$I_{bias}$：當輸出電壓$V_o = 0V$時，在兩輸入端出現偏壓電流之平均值
3. 輸入抵補電流$I_{io}$：當輸出電壓$V_o = 0V$時，即$I_{io} = I_{B+} - I_{B-}$，此電流會引起輸入抵補電壓產生，故理想上越小越好。
4. 輸入抵補電壓$V_{io}$：當輸出電壓$V_i = 0V$時，$V_o$應亦為0V，但實際上OPA電路因輸入級電晶體不匹配，造成$V_o$並不等於0V，因此需要加上些微的$V_{io}$使$V_o$等於0V，理想上$V_{io}=0V$。
5. 輸入電容$C_{in}$：一輸入端接地，而從另一輸入端看入接地端的電容，此值會影響OPA高頻響應。
2. 輸出特性
1. 輸出阻抗$R_o$：當$V_i=0V$，由輸出端往接地點所看到的阻抗，由於輸出級是射極隨耦器，因此通常$R_o$很小，約莫80歐姆
2. 輸出短路電流$I_{os}$：當輸出端接地時，所得到的最大有效輸出電流值。
3. 輸出抵補電壓$V_{oo}$：當OPA輸出端短路接地時，輸出端所測得的直流電壓值。
4. 輸出電壓擺幅$V_{op}$：理想上在輸出不失真下約等於$V_{CC}$，但因為非理想，通常輸出會是$0.8~0.9V_{CC}$，超過的部分會被截掉，造成波型失真。
3. 動態特性
1. 開迴路電壓增益$A_{vo}$：指當OPA在無回授的情況下，輸出電壓最大值與輸入電壓最大值之比值，典型$A_{vo}$值約莫100dB。
2. 全值頻寬增益$BW$：代表OPA增益由最大變為1時的頻帶寬度，這個寬度會受輸入電容$C_{in}$所影響。
3. 變動率$SW$：$SW=\dfrac{\Delta V_o}{\Delta t}$。代表單位時間內輸出電壓變化之情形，可以當作OPA操作速度快與慢的參考依據，若輸入信號頻率超過比值，則OPA輸出波形將會失真。
1. 正弦波：若$SR \le 2\pi f_m V_m$不成立，則波形將會失真。
2. 三角波：看峰值與時間所形成的斜率來觀察即可
4. 共模具斥比$CMRR$：定義為$|\dfrac{A_d}{A_c}|$，若以分貝值表示為$CMRR(dB) = 20\log|\dfrac{A_d}{A_c}|$，若越大則代表放大器對雜訊的拒斥能力越好，理想上越大越好。
4. 其他
1. 差模信號$V_d$ = $V_{i1} - V{i2}$
2. 共模信號$V_c$ = $\dfrac{V_{i1} + V{i2}}{2}$
3. 若已知$A_d、A_c、V_d、V_c$，則輸出電壓為$V_o = A_d V_d + A_c V_c$
5. 負回授
1. 回授定義：輸出信號經由一定的路徑或元件送回輸入端。通常要完成自動控制的電路一定要有負回授。
2. 負回授：送回輸入端的回授信號與原輸入的信號相位相反。因OPA開迴路增益過大，常採用負回授來控制電路增益值，並可增加穩定性與頻寬、有效降低雜訊，但缺點是會使增益下降。
3. 正回授：送回輸入端的回授信號與原輸入的信號相位相同。正回授用於震盪器會使增益增加。
4. OPA的負回授方式：只需要確保有一路線從輸出接回(V-)即可。
6. 虛短路
1. 理想狀態下，$R_i=\infty$且$A_{vo}=\infty$，因此$I_i=0$且$V_i=0$，代表輸入端有個短路存在，使得$V(+)=V(-)$，但實際上他們並沒有電流通過，因此這種情況叫做虛短路。
2. 只有在負回授的情況下，才有虛短路特性。

### 反向與非反向放大器

反向放大器：輸入電壓與放大過後的輸出電壓反相。


#### 直流分析

先判斷是否負回授，上圖的電路$R_f$連接了$V_{(-)}$與$V_o$，因此他具有負回授特性。

因此，$V_{(+)} = V_{(-)}$

接著我們可以使用KCL，令$I_1 + 0 = I_2$。

$\dfrac{V_i-0}{R_1} = \dfrac{0-V_o}{R_f}$，解$V_o$。

若$-V_{CC} < V_o < V_{CC}$，則$V_o$保持原值，否則就是飽合狀態。
通常上，若$V_o < -V_{CC}$，則$V_o = -V_{CC}$，若$V_o > V_{CC}$，則$V_o = V_{CC}$

輸入阻抗$Z_i = \dfrac{V_i}{I_1} = \dfrac{V_i}{\dfrac{V_i}{R_1}} = R_1$

### 非反向放大器

非反向放大器：輸入電壓與放大過後的輸出電壓同相。


#### 直流分析

先判斷是否負回授，上圖的電路$R_f$連接了$V_{(-)}$與$V_o$，因此他具有負回授特性。

因此，$V_{(+)} = V_{(-)}$

接著我們可以使用KCL，令$I_1 + 0 = I_2$。

$\dfrac{0-V_i}{R_1} = \dfrac{V_i-V_o}{R_f}$，解$V_o$。

若$-V_{CC} < V_o < V_{CC}$，則$V_o$保持原值，否則就是飽合狀態。
通常上，若$V_o < -V_{CC}$，則$V_o = -V_{CC}$，若$V_o > V_{CC}$，則$V_o = V_{CC}$

輸入阻抗$Z_i = \dfrac{V_i}{I_i} = \dfrac{V_i}{0} = \infty$

### 電壓隨耦器

電壓隨耦器：輸入電壓等於輸出電壓且同相，也就是電壓增益為1。


先判斷是否負回授，上圖的電路連接了$V_{(-)}$與$V_o$，因此他具有負回授特性。

因此，$V_{(+)} = V_{(-)}$

$V_{(+)} = V_{(-)} = V_{o}$

### 非反相加法器


先判斷是否負回授，上圖的電路$R_f$連接了$V_{(-)}$與$V_o$，因此他具有負回授特性。

節點電壓法可以直接硬幹，簡單好用。

$\dfrac{V_1-0}{R_1} + \dfrac{V_2-0}{R_2} + \dfrac{V_3-0}{R_3} = \dfrac{0-V_o}{R_f}$

### 反相加法器


先判斷是否負回授，上圖的電路$R_f$連接了$V_{(-)}$與$V_o$，因此他具有負回授特性。

節點電壓法可以直接硬幹，簡單好用。

先求$V_{(-)}$

$\dfrac{V_1-V_{(-)}}{R_1} + \dfrac{V_2-V_{(-)}}{R_2} + \dfrac{V_3 - V_{(-)}}{R_3} = 0$，求出V_{(-)}$

因為負回授特性，$V_{(-)}=V_{(+)}$。

因此可以依照KCL列式$\dfrac{0-V_{(-)}}{R_a} = \dfrac{V_{(-)}-V_o}{R_f}$

### 減法器


我們假設所有的電阻阻抗都是R，且電壓都是V。

先判斷是否負回授，上圖的電路連接了$V_{(-)}$與$V_o$，因此他具有負回授特性。

接著，我們可以先求$V_{(-)}$

$\dfrac{V-V_{(-)}}{R} + \dfrac{V-V_{(-)}}{R} + \dfrac{V-V_{(-)}}{R} = 0$

由於負回授特性，因此$V_{(-)} = V_{(+)}$

因此根據KCL，可得$\dfrac{V-V_{(+)}}{R} + \dfrac{V-V_{(+)}}{R} + \dfrac{V-V_{(+)}}{R} = \dfrac{V_{(+)}-V_o}{R}$

### 比較器

比較器不用負回授，而是採用開迴路形式$A_{vo}$


當$V_{(-)} > V_{(+)}$，則輸出$-V_{CC}$(飽合)
當$V_{(-)} < V_{(+)}$，則輸出$+V_{CC}$(飽合)
當$V_{(-)} = V_{(+)}$，則輸出$0$

### 微分器/積分器

1. 微分
1. 三角波→方波→脈衝
2. 正弦波→餘弦波
2. 積分
1. 三角波←方波←脈衝
2. 正弦波←餘弦波

### 微分器


當頻率為0時，$X_C$阻抗無限大，視同斷路。
因此微分器屬於高通電路。

微分器的輸出電壓是$V_o = -{RC}\dfrac{dV_i}{dt}$

### 微分器高頻補償

當微分器在高頻時，$f\uparrow$因此$\omega \uparrow$，因此$X_C \downarrow$。
且$A_v = \dfrac{R}{X_C}$因此$A_v$發散，因此很容易受雜訊干擾。

因此我們可以在C上串聯一個約莫$\dfrac{1}{100}R$的電阻$R'$，使其電壓增益上限變為$-\dfrac{R}{R'}$，也就可以使電壓增益不發散。

但是缺點是，可操作的頻率範圍限制成了$f_L = \dfrac{1}{2\pi R'C}$，當電壓頻率小於$f_L$或者週期大於等於$10R'C$才可以微分。
且電壓增益最大值限制成了$-\dfrac{R}{R'}$。


### 積分器


當頻率為0時$X_C$阻抗無限大，視同斷路，微分器喪失負回授特性變回開路電壓增益狀態，$A_{vo}=\infty$。
當頻率為無限大時$X_C$阻抗趨近0，視同短路，$V_o = V_{+} = 0V$
因此積分器是低通電路。

積分器的輸出電壓是$V_o = \dfrac{-1}{RC} \int_{t1}^{t2}V_i(t)dt + V_C(t_1)$
若輸入電壓為正弦波或者餘弦波，則$V_o = \dfrac{-1}{RC} \int V_i(t)dt$

### 積分器低頻補償

當積分器在低頻時，$f\downarrow$因此$\omega \downarrow$，因此$X_C \uparrow$。
且$A_V = \dfrac{-X_{C}}{R}$因此$A_v$發散，因此很容易受雜訊干擾。

因此我們可以在C上並聯一個約莫$100R$的電阻$R'$，使其電壓增益上限變為$-\dfrac{R'}{R}$，也就可以使電壓增益不發散。

但是缺點是，可操作的頻率範圍限制成了$f_H = \dfrac{1}{2\pi R'C}$，當電壓頻率大於$f_H$或者週期小於等於$10R'C$才可以積分。
且電壓增益最大值限制成了$-\dfrac{R'}{R}$。


## 第11章、正弦波產生器

### 震盪與震盪器定義

震盪的定義是，產生一個有週期性，有波幅大小，以及有波形變化的電壓與電流波形。
而震盪器的定義是，不用外加信號的輸入，就能將直流功率換成各種頻率、波形的信號或脈動直流信號輸出的電路。

### 負回授

負回授：用於放大器
見以下方塊圖。


$V_o = A(V_i-V_f) = A(V_i - \beta V_o) = AV_i - \beta A V_o$

$V_o + \beta A V_o = AV_i$
$V_o(1+\beta A) = AV_i$
$V_o = \dfrac{A}{1+\beta A}V_i$
$A_f = \dfrac{V_o}{V_i} = \dfrac{A}{1+\beta A}$

其中$A_f$為閉迴路增益，而$A$為開迴路增益，$\beta$為回授因數。

因此，閉迴路增益比開迴路增益減少了$(1+\beta A)$倍，有了增益降低的特性。

且當$\beta A >> 1$，則$A_f = \dfrac{A}{1+\beta A} \approx \dfrac{1}{\beta}$，閉迴路增益由回授電路來決定，與放大器無關，因此可以增加電路的穩定性。

### 正回授

正回授：用於震盪電路
見以下方塊圖。


$V_o = A(V_i+V_f) = A(V_i + \beta V_o) = AV_i + \beta A V_o$

$V_o - \beta A V_o = AV_i$
$V_o(1-\beta A) = AV_i$
$V_o = \dfrac{A}{1-\beta A}V_i$
$A_f = \dfrac{V_o}{V_i} = \dfrac{A}{1-\beta A}$

因此電路有了增加增益的特性，但穩定性變差。

如果$\beta A = 1$，則$A_f=\dfrac{V_o}{V_i} = \dfrac{V_o}{0} = \infty$，因此$V_{s}=\dfrac{V_o}{\infty}=0$，因此電路不需要加入任何外加的信號，只需要利用回授信號$V_f$即可引起電路震盪。

因此，我們知道震盪器是在外加信號為0的情況下，採取正回授的方式，讓回授信號與放大器原來的輸入信號同相，且大小相等使電路產生自激現象。

### 巴克豪森準則

定義：當迴路增益相位移為$\theta = 0^{\circ}$或者$\theta = 360^{\circ}$，且$|\beta A|$大於等於1。

### 震盪器震盪條件

1. 符合巴克豪森準則
2. 有穩定的直流電源
3. 具有頻率控制的電路

### 低頻震盪器

低頻震盪器又稱RC震盪器，音頻震盪器，以及AF。

以下將會列舉幾個低頻震盪器。

### RC相移震盪電路

RC相移震盪電路是一個**低頻震盪器**。

電路由一個反向放大器與一個RC相移電路所組成。
每節RC電路相位移60度，三節相移共180度，因此角度為0度，輸入與輸出同相。

主要RC相移震盪電路有兩種。


令微分超前$R_1=R$。
積分落後型由於不穩定，因此甚少人使用，以下將提供微分超前型的參數。

震盪條件：$|\beta A| \ge 1 \angle 0^{\circ}$
回授因數：$\beta = \dfrac{-1}{29}$

因此若要震盪，放大倍率必須要$\ge -29$，其中放大倍率等於$-\dfrac{R_2}{R_1}$(反相放大器)。

震盪頻率$f = \dfrac{1}{\sqrt{6}2\pi RC}$

### 瑋恩電橋震盪電路

瑋恩電橋震盪電路是一個**低頻震盪器**。

瑋恩電橋由一個非反向放大器與一個回授電橋網路所組成。由於非反相放大${V_o}$與${V_i}$沒有相位移，且回授網路在某一頻率下也不具有相移作用。
因此回授信號才能與輸入同相，而形成正回授，此一頻率稱為震盪頻率。


震盪條件：$|\beta A| \ge 1 \angle 0^{\circ}$
回授因數：$\beta = 1 + \dfrac{R1}{R2} + \dfrac{C2}{C1}$
放大倍率：$A = 1 + \dfrac{R_3}{R_4}$

因此，放大倍率$A_v$必須要與震盪條件相乘為1，才可以達成震盪條件。

震盪頻率$f = \dfrac{1}{2\pi \sqrt{C_1C_2R_1R_2}}$

### 高頻震盪器

高頻震盪電路又稱LC震盪器、射頻震盪電路。
以下介紹一些高頻震盪器

### 哈特萊震盪電路


哈特萊震盪電路是由電感器所組成的，又稱電感分壓式震盪器

震盪條件：$|\beta A| \ge 1 \angle 0^{\circ}$
回授因數：$\beta = \dfrac{-L_1}{L_2}$

放大倍率$A_v$必須要與震盪條件相乘為1，才可以達成震盪條件。

震盪頻率$f = \dfrac{1}{2\pi \sqrt{L_TC}}$
其中$L_T = L_1 + L_2 \pm 2M$，視電感互助或互消。

### 考畢子震盪電路


考畢子震盪電路是由電容器所組成的，又稱電容分壓式震盪器

震盪條件：$|\beta A| \ge 1 \angle 0^{\circ}$
回授因數：$\beta = \dfrac{-C_2}{C_1}$

放大倍率$A_v$必須要與震盪條件相乘為1，才可以達成震盪條件。

震盪頻率$f = \dfrac{1}{2\pi \sqrt{C_TL}}$
其中$C_T = \dfrac{C_1C_2}{C_1+C_2}$。

### 石英晶體震盪器

上面介紹的震盪器，都會因為元件特性變化等關係導致電路不穩定，因此我們常用晶體材料的壓電效應來得到比較穩定且精確的震盪頻率，且價格便宜，所以使用最普遍。
其中晶體的震盪頻率會依照晶體的大小，厚薄(越薄頻率越高)，切割方向有關。

壓電效應即為，當一週期性的機械應力施加於晶體，晶體表面會產生與機械震動相同頻率的電荷形成電位差，且電荷量與施加的應力成正比；反之，若在晶體施加一交流電，則會產生與交流電壓相同頻率的震動，且於諧振頻率時，具有最大的震動輸出。

※當工作頻率$f$在範圍：$f_s<f<f_p$時，電路呈電感性，其餘呈電容性，其中$f_s$為晶體的串聯諧振頻率，此時阻抗最小，$f_p$為晶體的並聯諧振頻率，此時阻抗最大。

### 樞密特觸發電路

樞密特觸發電路是比較器的改良電路。
因比較器只有一個臨界電壓，當$V_{+}$與$V_{-}$兩端的電壓快速變化且差距微小時，輸出信號將在正負飽和電壓之間快速變動，造成電路不穩定與誤觸動。
而樞密特觸發電路只有當在輸入電壓大於$V_{UT}$或小於$V_{LT}$時，輸出才會轉態，可以用來消除雜訊。

### 反相樞密特觸發電路


電路接成開迴路狀態，因此開路電壓增益無限大，輸出只有$+V_{CC}$與$-V_{CC}$兩種可能，波形為方波或者直流。

以下介紹一些名詞。

$V_{UT}$：上觸發準位，當$V_o$位於$+V_{CC}$時，使$V_o$變為$-V_{CC}$的觸發電壓值。
$V_{LT}$：下觸發準位，當$V_o$位於$-V_{CC}$時，使$V_o$變為$+V_{CC}$的觸發電壓值。
$V_H$：磁滯電壓，使輸出不轉態維持定值的電壓值，其定義為$V_H = V_{UT} - V_{LT}$。

#### 電路分析(當$Vref = 0$)

假設$V_o = +V_{CC}$，則$V_{(+)} = V_{CC} \times \dfrac{R_2}{R_1 + R_2}$
若$V_{(+)} < V_i$時，則$V_o$轉態，變成$-V_{CC}$，因此我們得到了上觸發準位$V_{UT}$。

假設$V_o = -V_{CC}$，則$V_{(+)} = V_{CC} \times \dfrac{R_2}{R_1 + R_2}$
若$V_{(+)} > V_i$時，則$V_o$轉態，變成$+V_{CC}$，因此我們得到了下觸發準位$V_{LT}$。

綜合以上，我們可以知道，在$V_{ref}=0$時：

上準位觸發$V_{UT} = V_{CC}\times \dfrac{R_2}{R_1+R_2}$
下準位觸發$V_{LT} = -V_{CC}\times \dfrac{R_2}{R_1+R_2}$

當輸入電壓$V_i$為$V_{UT}<V_i<V_{LT}$，則電路不轉態。
當輸入電壓$V_i$為$V_i<V_{LT}$，$V_o$從$+V_{CC}$轉成$-V_{CC}$。
當輸入電壓$V_i$為$V_i>V_{LT}$，$V_o$從$-V_{CC}$轉成$+V_{CC}$。

磁滯電壓為$V_H=V_{UT}-V_{LT}$，因此等於$\dfrac{2V_{CC}R_2}{R_1+R_2}$

因此，我們可以畫出$V_i - V_o$特性曲線


#### 電路分析(當$Vref ≠ 0$)

假設$V_o = +V_{CC}$，則$V_{(+)} = V_{CC} \times \dfrac{R_2}{R_1 + R_2} + V_{ref} \times \dfrac{R_1}{R_1+R_2}$
若$V_{(+)} < V_i$時，則$V_o$轉態，變成$-V_{CC}$，因此我們得到了上觸發準位$V_{UT}$。

假設$V_o = -V_{CC}$，則$V_{(+)} = -V_{CC} \times \dfrac{R_2}{R_1 + R_2} + V_{ref} \times \dfrac{R_1}{R_1+R_2}$
若$V_{(+)} > V_i$時，則$-V_o$轉態，變成$V_{CC}$，因此我們得到了下觸發準位$V_{LT}$。

綜合以上，我們可以知道，在$V_{ref}\neq 0$時：

上準位觸發$V_{UT} = V_{CC} \times \dfrac{R_2}{R_1 + R_2} + V_{ref} \times \dfrac{R_1}{R_1+R_2}$
下準位觸發$V_{LT} = -V_{CC} \times \dfrac{R_2}{R_1 + R_2} + V_{ref} \times \dfrac{R_1}{R_1+R_2}$

當輸入電壓$V_i$為$V_{UT}<V_i<V_{LT}$，則電路不轉態。
當輸入電壓$V_i$為$V_i<V_{LT}$，$V_o$從$+V_{CC}$轉成$-V_{CC}$。
當輸入電壓$V_i$為$V_i>V_{LT}$，$V_o$從$-V_{CC}$轉成$+V_{CC}$。

磁滯電壓為$V_H=V_{UT}-V_{LT}$，因此等於$\dfrac{2V_{CC}R_2}{R_1+R_2}$

因此，我們可以畫出$V_i - V_o$特性曲線


### 非反相樞密特觸發電路


電路接成開迴路狀態，因此開路電壓增益無限大，輸出只有$+V_{CC}$與$-V_{CC}$兩種可能，波形為方波或者直流。

以下介紹一些名詞，**請注意，一些部份與反相樞密特電路的名詞是不相同的**。

$V_{UT}$：上觸發準位，當$V_o$位於$\color{red}{-V_{CC}}$時，使$V_o$變為$\color{red}{+V_{CC}}$的觸發電壓值。
$V_{LT}$：下觸發準位，當$V_o$位於$\color{red}{+V_{CC}}$時，使$V_o$變為$\color{red}{-V_{CC}}$的觸發電壓值。
$V_H$：磁滯電壓，使輸出不轉態維持定值的電壓值，其定義為$V_H = V_{UT} - V_{LT}$。

#### 電路分析(當$Vref = 0$)

假設$V_o = -V_{CC}$。
利用重疊定理，我們可以知道$V_{+} = -V_{CC}\times \dfrac{R_2}{R_1 + R_2} + V_{i}\times \dfrac{R_1}{R_1 + R_2}$
當$V_{+} > V_{ref}$也就是$V_{+} > 0$時，$V_o$轉態成$+V_{CC}$。

假設$V_o = V_{CC}$。
利用重疊定理，我們可以知道$V_{+} = V_{CC}\times \dfrac{R_2}{R_1 + R_2} + V_{i}\times \dfrac{R_1}{R_1 + R_2}$
當$V_{+} < V_{ref}$也就是$V_{+} < 0$時，$V_o$轉態成$-V_{CC}$。

因此，我們可以推出
$-V_{CC}\times \dfrac{R_2}{R_1 + R_2} + V_{UT}\times \dfrac{R_1}{R_1 + R_2} = 0$
$V_{CC}\times \dfrac{R_2}{R_1 + R_2} + V_{LT}\times \dfrac{R_1}{R_1 + R_2} = 0$

得到$V_{UT} = V_{CC}\times\dfrac{R_2}{R_1+R_2} \times \dfrac{R_1 + R_2}{R_1} = V_{CC}\times\dfrac{R_2}{R_1}$
得到$V_{LT} = -V_{CC}\times\dfrac{R_2}{R_1+R_2} \times \dfrac{R_1 + R_2}{R_1} = -V_{CC}\times\dfrac{R_2}{R_1}$

而$V_H = V_{UT}-V_{LT} = 2V_{CC}\times \dfrac{R_2}{R_1}$。

因此，我們可以畫出$V_i - V_o$特性曲線。


#### 電路分析(當$Vref \neq 0$)

假設$V_o = -V_{CC}$。
利用重疊定理，我們可以知道$V_{+} = -V_{CC}\times \dfrac{R_2}{R_1 + R_2} + V_{i}\times \dfrac{R_1}{R_1 + R_2}$
當$V_{+} > V_{ref}$時，$V_o$轉態成$+V_{CC}$。

假設$V_o = +V_{CC}$。
利用重疊定理，我們可以知道$V_{+} = V_{CC}\times \dfrac{R_2}{R_1 + R_2} + V_{i}\times \dfrac{R_1}{R_1 + R_2}$
當$V_{+} < V_{ref}$時，$V_o$轉態成$-V_{CC}$。

因此，我們可以推出
$-V_{CC}\times \dfrac{R_2}{R_1 + R_2} + V_{UT}\times \dfrac{R_1}{R_1 + R_2} = V_{ref}$
$V_{CC}\times \dfrac{R_2}{R_1 + R_2} + V_{LT}\times \dfrac{R_1}{R_1 + R_2} = V_{ref}$

$V_{UT}\times \dfrac{R_1}{R_1 + R_2} = V_{ref} + V_{CC}\times \dfrac{R_2}{R_1 + R_2}$
$V_{UT} = V_{ref}\times\dfrac{R_1 + R_2}{R_1} + V_{CC}\times\dfrac{R_2}{R_1 + R_2}\times\dfrac{R_1 + R_2}{R_1}$
$V_{UT} = V_{ref}\times\dfrac{R_1 + R_2}{R_1} + V_{CC}\times\dfrac{R_2}{R_1}$

$V_{LT}\times \dfrac{R_1}{R_1+R_2} = V_{ref} - V_{CC}\times\dfrac{R_2}{R_1+R_2}$
$V_{LT} = V_{ref}\dfrac{R_1+R_2}{R_1} - V_{CC}\times\dfrac{R_2}{R_1+R_2}\times\dfrac{R_1+R_2}{R_1}$
$V_{LT} = V_{ref}\dfrac{R_1+R_2}{R_1} - V_{CC}\times\dfrac{R_2}{R_1}$

$V_H = V_{UT} - V_{LT} = 2V_{CC}\times\dfrac{R_2}{R_1}$

因此，我們可以畫出$V_i - V_o$特性曲線。


### 方波產生器

方波產生器有以下幾種電路。

1. 單穩態多諧震盪電路
2. 雙穩態多諧震盪電路
3. 無穩態多諧震盪電路
4. OPA無穩態多諧震盪電路
5. 555計時器

多諧震盪器的兩個電晶體輪流工作在飽和區以及截止區，當A電晶體飽和時，B電晶體必定截止。
多諧震盪器使用正回授產生震盪
輸出的波形都是脈波或者方波

### 單穩態多諧震盪電路


在這條電路上，共有三種電流迴路。

#### 1. $R_{B1}-D_2$順向電流

有一條電流經由$R_{B1}$至$V_{BE2}$，然後接地。
構成$Q_2$偏壓，使$Q_2$飽和，$V_{CE2}=0V$。

接著，由於$V_{CE2}=0V$，因此$Q_1$迴路沒有偏壓，電晶體截止。

因此我們知道，$Q_2$飽和，$Q_1$截止。

#### 2. $C_{B1}$充電電流

由於$Q_1$截止，因此沒有電流從$C$極流入電晶體。
因此我們有了一條充電迴路，從$V_{CC}$流經$R_{C1}$與$C_{B1}$，再流到$V_{BE2}$，此時$Q_2$電晶體依然截止。
且$C_{B1}$充電了直流電壓$V_{CC}$。

#### 3. $R_{C2}$順向電流

由於$V_{CE2}=0V$，因此$R_{C2}$有順向電流。

#### 當電路沒有訊號時

三種迴路穩態後，$V_{CE2}$輸出電壓$0V$，$V_{CE1}$輸出電壓$V_{CC}$。

當電路$trigger$給予方波信號時，請見以下步驟

#### 4. Trigger使$Q_2$截止

$R_1$、$C_1$構成一個微分器，產生一個負脈衝波。
因此，$V_{B2} = V_{TC1}$，且$V_{TC1} < 0$，因此$V_{BE2}$逆偏，$Q_2$截止。

由於$Q_2$截止，沒有電流流經$V_{BE2}$，因此對$C_{B1}$反向充電。

#### 5. $Q_2$截止，沒有電流經由$R_{C2}$流進$Q_2$，因此流入$V_{BE1}$，使電晶體$Q_1$飽和

$V_{CC}\rightarrow R_{C2}\rightarrow R_{B1}\rightarrow V_{BE1}$，因此$Q_1$飽和，$V_{CE1}=0V$。

#### 6. $Q_2$截止，沒有電流流入$V_{BE1}$，因此電容$C_{B1}$逆向充電。

$V_{B2}$等於$V_{C1}$之電壓，當電容由迴路2充電時，其電容為(+ -)，因此當$Q_2$截止時，$V_{B2} = 0V$。
由於$Q_2$截止，因此沒有電流流入$V_{BE2}$，電流改對$C_{B1}$逆向充電，電容變為(- +)。

當電容上的電壓能使$V_{BE2}$變為順偏時(約莫$0.693R_{B1}C_{B1}$)，則$Q_2$恢復飽和，$V_{CE2} = 0V$。
由於$V_{CE2}=0V$，狀態回歸成第一迴路之狀態，電晶體截止。

#### 方塊圖

綜合以上，我們可以畫出迴路進行的方塊圖


### 雙穩態多諧震盪器


由於「**多諧震盪器的兩個電晶體輪流工作在飽和區以及截止區，當A電晶體飽和時，B電晶體必定截止。**」
因此我們可以先假設一個電晶體為飽和，另一個電晶體為截止。
在本例，我們假設$Q_1$電晶體為截止，$Q_2$電晶體為飽和，也就是$\beta_2 > \beta_1$，$V_{CE1} = V_{CC}$，且$V_{CE2} \approx 0V$。

因此，我們可以開始分析電路。

若我們將兩端輸入同時接上$+V_{CC}$，則兩電晶體均進入飽和區，兩輸入端均為0。

若我們將兩端輸入同時接地，則$V_{BE1} = {V_{CE2}}$，且$V_{BE2} = V_{CE1}$。
因此，在我們的假設上，$V_{CE2} \approx 0V$且$V_{CE1} = +V_{CC}$，也就是$Q_1$電晶體截止，$Q_2$電晶體飽和。
我們可以得知，當兩輸入端均為0時，並不改變電晶體輸出結果。

若我們將input1接上$+V_{CC}$且input2接地，可以得知$Q_2$的$V_{BE2}$為順偏，因此飽和。
且因為$V_{BE1} = V_{CE2} = 0$，因此$V_{BE2}$迴路沒有電壓，$Q_1$截止，$V_{CE1}$輸出$+V_{CC}$，$V_{CE2}$輸出$0V$。

若我們將input2接上$+V_{CC}$且input1接地，可以得知$Q_1$的$V_{BE1}$為順偏，因此飽和。
且因為$V_{BE2} = V_{CE1} = 0$，因此$V_{BE2}$迴路沒有電壓，$Q_2$截止，$V_{CE2}$輸出$+V_{CC}$，$V_{CE1}$輸出$0V$。

電路分析結束。
讀者可以將雙穩態多諧震盪器當成RS正反器理解。

### 無穩態多諧震盪器


由於「**多諧震盪器的兩個電晶體輪流工作在飽和區以及截止區，當A電晶體飽和時，B電晶體必定截止。**」
因此我們可以先假設一個電晶體為飽和，另一個電晶體為截止。
在本例，我們假設$Q_1$電晶體為截止，$Q_2$電晶體為飽和，也就是$\beta_2 > \beta_1$，$V_{CE1} = V_{CC}$，且$V_{CE2} \approx 0V$。

由於$Q_2$飽和，因此$V_{CE2} = 0V$，電晶體可以構成$R_{B1} - C_{B1} - Q_2$迴路，對$C_{B1}$進行充電。
由於$Q_1$截止，因此$V_{CE1} = 5V$，電晶體截止無法構成迴路，$C_{B2}$不充電。

當$C_{B1}$充電一段時間後(約莫$0.693\times R_{B1}C_{B1}$)，使$V_{BE1}$能夠順偏時，$Q_1$飽和，$C_{B2}$放電因此$V_{BE2}$逆偏，$Q_2$截止。

由於$Q_1$飽和，因此$V_{CE1} = 0V$，電晶體可以構成$R_{B2} - C_{B2} - Q_1$迴路，對$C_{B2}$進行充電。
由於$Q_2$截止，因此$V_{CE2} = 5V$，電晶體截止無法構成迴路，$C_{B1}$不充電。

當$C_{B2}$充電一段時間後(約莫$0.693\times R_{B2}C_{B2}$)，使$V_{BE2}$能夠順偏時，$Q_2$飽和，$C_{B1}$放電因此$V_{BE1}$逆偏，$Q_1$截止。

綜合以上，我們可以知道此電路達成了自激，不需外加額外信號即可產生週期性方波。

由於$C_{B1}$充電，因此充電迴路$R_{B1} - C_{B1}$所需的充電時間約莫一個時間常數，此時$V_o$高態，當$C_{B1}$充電一個時間常數後，$V_o$低態。
因此高態時間$T_H = 0.693\times R_{B1}C_{B1}$

由於$C_{B2}$充電，因此充電迴路$R_{B2} - C_{B2}$所需的充電時間約莫一個時間常數，此時$V_o$低態，當$C_{B1}$充電一個時間常數後，$V_o$高態。
因此低態時間$T_L = 0.693\times R_{B2}C_{B2}$

綜合以上，整個週期時間$T$約莫為$T \approx 0.7R_{B1}C_{B1} + 0.7R_{B2}C_{B2}$

### OPA無穩態多諧震盪電路

由一個RC充電電路，以及一個施密特觸發電路組成。


假設$V_o=+V_{CC}$，則我們可以透過分壓知道$V_{(+)}= V_{CC} \times \dfrac{R_2}{R_1 + R_2}$
且$V_o$對電容$C1$開始充電。

若$V_C = V_{(-)} > V_{(+)}$，則$V_o$轉態為$-V_{CC}$，使電容開始放電。
當$V_C$放電到$V_C < V_{(+)}$時，$V_o$轉態為$+V_{CC}$，再使電容開始充電，周而復始。

綜合以上，我們可以知道此電路達成了自激，不須外加額外信號即可產生週期性方波。

週期時間約莫為$2R_FC_1\ln(1+\dfrac{2R_2}{R_1})$

### 三角波產生電路

三角波產生電路可以由一個反相積分器與一個非反相輸入史密特無穩態電路來組成。


週期與OPA無穩態多諧震盪器相同，$2R_FC_1\ln(1+\dfrac{2R_2}{R_1})$。

### NE555簡介

NE555是一個積體電路晶片，常被用於計時器、脈衝產生器和震盪電路。

他有以下幾點優點：

1. 電源供應範圍廣泛，4.5~16V都可以接。
2. 電路簡單，只需要電阻和電容器
3. 震盪時間極廣，最小可以到微秒，最長可以到小時
4. 優越的驅動能力，當$V_{CC}$為$5V$時，輸出電流約為$100mA$，若$V_{CC}=15V$時，約為$200mA$，可以推比較大的負載，例如繼電器或者燈泡
5. 無穩帶與單穩態都可以操作
6. 價格便宜，計時的精準度高

### NE555結構


1. 接地(GND)：電源的接地端
2. 觸發(TR)：接於上比較器的非反相端，當接在觸發上的輸入電壓小於$\dfrac{1}{3}V_{CC}$，則控制正反器$\overline{Q}=0$，使放電電晶體截止，NE555輸出高電位。
3. 輸出(OUT)：通常來說，輸出高電位約為$V_{CC}-1.7V$，若$V_{CC}=5V$時，$V_{OH}=5-1.7=3.3V$，$V_{OL}=0.25V$，若$V_{CC}=10V$時。$V_{OH}=10-1.7=8.3V$，$V_{OL}=2V$。
4. 重置(RST)：當接在重置上的輸入電壓低於$0.7V$，則輸出低準位電壓，此腳具有優先權，若此腳不用時必須接於$V_{CC}$。
5. 控制電壓(CTL)：接於上比較器的反相端，此腳電壓通常情況下接在$\dfrac{2}{3}V_{CC}$上，若不用時可以接一個$0.01\mu F$的電容。通常使用時可以輸入$2~(V_{CC}-1)$的電壓來改變上下比較器的參考電壓，用來更改NE555的震盪頻率。
6. 臨限(TH)：接於下比較器的反相端，當接在臨限上的輸入電壓大於$\dfrac{2}{3}V_{CC}$，則控制正反器$\overline{Q}=0$，使放電電晶體飽和，NE555輸出低電位。
7. 放電(DIS)：則控制正反器$\overline{Q}=0$，此端視同直接接地，否則此端視為開路。
8. 電源(VIN)：NE555的輸入電壓範圍為$4.5\sim 16V$，一般使用情況下為$5\sim 15V$，供給電流約需$10mA$。

### NE555單穩態多諧震盪器


1. 電路一開始時，TR(觸發)腳輸入電壓為$+V_{CC}$，$+V_{CC} > \dfrac{1}{3}V_{CC}$。
2. 電路一開始時，TH(臨限)腳輸入電壓為$0$，$0 < \dfrac{2}{3}V_{CC}$。
3. 綜合以上，可以得知NE555輸出低準位電壓，電容$C$不充電。
4. 當按下SW時，TR(觸發)腳輸入電壓為$0$，$0 < \dfrac{1}{3}V_{CC}$，輸出高準位電壓，放電腳開路，RC充電迴路開始充電。
5. 當$C$過了$T$秒後，充電至$\dfrac{2}{3}V_{CC}$時，輸出低電位，放電腳接地，電容放電，輸出回復至低準位電壓。

其中，$T \approx 1.1RC$。

### NE555無穩態多諧震盪器


1. 電路一開始，電容未充電，TR腳與TH腳為$+V_{CC}$，$+V_{CC} > \dfrac{2}{3}V_{CC} > \dfrac{1}{3}V_{CC}$，輸出高準位電壓，放電腳開路。
2. 放電腳開路，電容開始充電，當電容經過T秒後，充電至大於$\dfrac{2}{3}V_{CC}$，則$TH$腳電壓小於$\dfrac{1}{3}V_{CC}$，因此電路輸出低準位。
3. 輸出低準位，因此放電腳接地，電容開始放電，經過一段時間後電容電壓小於$\dfrac{1}{3}V_{CC}$時，輸出高準位電壓，放電腳開路，周而復始。

因此，此電路達成了自激，不需任何外加電壓即可產生方波。

其中，對C充電所需的時間約莫為$0.7(R_1+R_2)C_1$，且放電所需時間約莫為$0.7(R_2)C_1$，因此整個週期$T=0.7(R_1+2_{R2})C_1$。