微積分-基礎數學篇

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    • 合成函數
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數

N: Natural自然數：

$\{...1,2,3,...\}$
Z: Integer整數：

$\{...,-2,-1,0,1,2,3,...\}$
Q: Quotient有理數：

$\{x\mid x=\frac{p}{q}p,q\in Z,q\ne 0\}$
R: Real實數：

$N\subset Z\subset Q\subset R$

$\sqrt{2}$無理數證明問題：為什麼假設有理數p,q必須互質?

解答:
因為如果

$a\subset Z,b\subset Z$ ，

$\frac{a}{b}$必定存在

$p\subset Z,q\subset Z$互質的最簡分數

$\frac{p}{q}$。
該證明最後的結果是a,b不論最簡化多少次永遠存在有最大公因數2
故反證

完備性：數的集合收斂

$\frac{1}{{}^{2^2}}+\frac{1}{{}^{3^2}}+\frac{1}{{}^{4^2}}+...+=\frac{\pi }{6}$
有理數相加=>無理數，故有理數不具有完備性

函數

函數

定義域不可以重複對應值域
應該是ManyToOne 或 OneToOne
不可為OneToMany

定義域中任一

${\displaystyle x}$在對應域中唯一對應的

${\displaystyle y}$記為

${\displaystyle f(x)}$。

如果值域每個值都有對應到則為映成

合成函數

(g ∘ f )(x) = g(f(x))

兩個函數經過多次對映到達目標值域

高斯函數

定義:

${\displaystyle f(x)}=[x]$ 表示不大於x的最大整數

範例 [5.4] = 5
[4.99] = 4
[7] = [7]
[

$/pi$] = [3]
[-8] = [-8]
[-3.4] = [-4]

高斯函式的重要不等式

y =[x]

x-1

$<$ [x]

$\le$ x

絕對值函數

絕對值意義

$\left|a\right|=\left\{\begin{array}{c}aifa\ge 0\\ -aifa<0\end{array}\right\}$

${\displaystyle f(x)}=|x|$，在x = 0時連續，但不可微

反函數

存在條件(一對一且映成)

${\displaystyle f^{-1}}$ :

$f$ inverse

${\displaystyle f^{-1}f(x)=x}$

直線方程式