Thanos Tsouanas
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[fmcmon]: https://fmc.imd.ufrn.br/ [aulabooks]: https://fmc.imd.ufrn.br/aulabook/ [fmcbook]: https://tsouanas.org/fmcbook # AulaBook 2023.1 Desenvolvido pelo projeto [Monitoría FMCn][fmcmon]. Veja mais detalhes no site do projeto: fmc.imd.ufrn.br. Veja também os outros [AulaBook™][aulabooks]. ## 2023-03-27 (IG) - Demonstre que para quaisquer $a, b$ e $c$, Se $a|b + c$ e $a|b$ então $a|c$. - Demonstre que para qualquer $p$, se $2|p^2$ então $2|p$. ## 2023-03-28 (IL) Enquanto isso, no mundo do reais... - Demonstre a lei do cancelamento multiplicativo - (Extra) Demonstre que não há zero divisores *(Aqui iremos refletir um pouco sobre o uso da Lei do Terceiro Excluído (LEM))* ## 2023-03-29 (IG) Foco em IRI - Definir os Nats - Definir algumas operações (soma e multiplicação) ### Exercício - Demonstre que $(\forall a, b: Nats)[Sa + b = a + Sb]$ ## 2023-03-30 (IL) Com a maior naturalidade... - Revisão sobre naturais e a soma - A (+) é associativa nos naturais (sem/com indução) ## 2023-03-31 (IL) (IRI) Jogatina matemática... - O que é a L∃∀N? - [Exercício para iniciantes L∃∀N](https://gist.github.com/isaacmsl/c6d808d6283d5e0253e5b992ec6e387d) - Addition World (NNG) - (Extra) Multiplication World (NNG) ## 2023-04-03 (IG) (IDMa) Demonstre que $(\forall p_{\geq 1})[p \text{ primo} \land p \text{ ímpar} \implies (\exists !x, y, _{\geq 1})[x^2 - y^2 = p]]$ ## 2023-04-05 (IG) (IRI) - Revisão dos tipos básicos - Listas de naturais - Como generalizar a indução para qualquer tipo - (Se der tempo) Demonstrar associatividade da concatenação (++) de listas. ## 2023-04-10 (IG) (IDMa) Introdução à aritmética modular. - Duas definições para a congruência módulo $m$. - Demonstraremos a (quase) equivalência entre as duas. - $\equiv_m$ é uma relação de equivalência. ## 2023-04-14 (IL) (CRF1) Seja $I$ um conjunto de indices. Para todo $i \in I$, seja $A_i$ um conjunto. Demonstre: $\cup\{I, \cap_{i \in I}A_i\}=\cap_{i \in I}\cup\{I, A_i\}$. ## 2023-04-16 (IG) (CRF) - Associatividade da composição de funções. - $(\forall f: A \to B)[1_B \circ f = f \land f = f \circ 1_A]$ ## 2023-04-18 (IG) (CRF) Sejam $f: A \to B$ e $g: B \to C$ t.q $g \circ f$ é bijetora, podemos demonstrar que $$f \text{ sobrejetora } \iff g \text{ injetora }$$ ??? ## 2023-04-24 (IG) (IEA) - Definição de subgrupo - $(\forall m)[m\mathbb{Z} \leq \mathbb{Z}]$ ## 2023-04-26 (IG) (IEA) Critérion *one-test* $$\emptyset \neq H \subseteq G \land (\forall a, b \in H)[ab^{-1} \in H] \implies H \leq G$$ ## 2023-04-28 (IL) (IDMa) Rumo à criptografia! *unit* e *invertível* são sinônimos: $$(\forall x)[x \text{ unit} \iff x \text{ invertível}]$$ ## 2023-05-03 (IG) (CFR) Seja $f: A \to B$, demonstraremos: $$ f \text{ possui inverso } \iff f \text{ bijetiva } $$ ## 2023-05-05 (IL) (IDMa) Rumo à criptografia! Sejam a, m inteiros. $a$ tem inverso módulo m $\iff (a, m) = 1$. *Disclaimers*: - O detalhe de que a $(a,m) \in \mathbb{Z}_{\geq 0}$ vem do teorema da unicidade dos m.d.c a menos de sócios, isto é, conseguimos demonstrar que existe único $d \in \mathbb{Z}_{\geq 0}$ t.q. $d = (a, m)$. - A partir de $(a, m) = 1$, conseguimos escrever $1$ como combinação linear dos $a$, $b$ (Lemma de Bézout). Além disso, podemos encontrar esses coeficientes também por meio do algoritmo estendido de Euclides. ## 2023-05-10 (IG) (CFR) Seja $f: A \to B$. Podemos demonstrar que $$f \text{ sobrejetiva } \iff f^{-1}[ \_ ] \text{ injetiva }$$ ??? ## 2023-05-10 (IL) (IDMa) Finalmente, RSA. - Sejam $e, M ∈ \mathbb{Z}$ com $(e, \phi(M)) = 1$, e seja $d$ um inverso de $e$ módulo $\phi(M)$. Para cada $m$ com $(m, M) = 1$, $$(m^e)^d ≡_m m\text{.}$$ - A ideia do RSA ## 2023-05-15 (IG) (CFR) Seja $f: A \to B$ $$f \text{ bijetiva } \iff (\forall b \in B)[f^{-1}[\{b\}] \text{ é um conjunto unitario }$$ ## 2023-05-17 (IG) (CFR) Seja $f$ endomapa. $$(\forall x \in A)[x \text{ é um fixpoint da } f \iff (\forall n)[x \text{ é um fixpoint da } f^n]]$$ ## 2023-05-18 (IL) (IEA) Homomorfismo! Sejam $\mathcal{A}, \mathcal{B}$ grupos e $\phi : \mathcal{A} \to \mathcal{B}$. Suponha que $\phi$ respeita a operação binária do $\mathcal{A}$. Demonstre que $\phi$ é um homomorfismo. *Disclaimer*: demonstramos um critérion de homomorfismo. ## 2023-05-22 (IG) (IEA) Conjugados! Sejam $a, b \in G$ tal que $a$ e $b$ são conjugados. Demonstre que para qualquer $n \in \mathbb{N}, a^n$ e $b^n$ são conjugados. ## 2023-05-24 (IG) (IEA) - Simetrias e o grupo $D_3$ - Homomorfismos $$\phi: A \to B \text{ respeita operação } \implies \phi \text{ é homomorfismo }$$ ## 2023-05-25 (IL) (IEA) O <ins>centro do grupo</ins> G é o conjunto de todos os elementos de G que comutam com todos os elementos do G: $$Z(G) \stackrel{def}{=} \{z \in G | (\forall g \in G)[zg=gz]\}.$$Demonstre $Z(G) ⊴ G$, isto é, $Z(G)$ é subgrupo normal do $G$. ## 2023-05-29 (IG) (IEA) O conjunto $Kernel$ e suas propriedades. Sejam $\mathcal{A}, \mathcal{B}$ grupos e $\phi: \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ $$ker \; \phi ⊴ A$$ ## 2023-05-31 (IG) (CFR) - Composição de relações - ($\diamond$) é associativa - "Potências" de relações ## 2023-06-01 (IL) *Início de São João!* 🧑‍🌾🌽 **Relações.** Para todo $P,Q$ posets, e $φ: P \to Q$. Dizemos que $φ$ é order-embbeding sse ela é injetora e preserva as ordens. Em símbolos matemáticos: $$φ\ \text{order-embbeding} \stackrel{def}{\iff} φ\ \text{injetora & }\ (x \leq y \iff φ\ x \leq φ\ y).$$ Demonstre que $\phi$ preserva as ordens $\stackrel{?}{\iff} φ$ injetiva. ## 2023-06-05 (IG) Investigando relações doidas Sejam $f,g: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ Definimos: $$f \sim g \stackrel{def}{\iff} (\exists u : \mathbb{Z})(\forall x : \mathbb{Z})[f(x) = g(x+u)]$$ $$f \; R \; g \stackrel{def}{\iff} (\exists v: \mathbb{N})(\forall x : \mathbb{Z})[f(x) = g(x) + v]$$ ## 2023-06-07 (IG) Joins e meets nos posets. Introdução aos reticulados. ## 2023-06-13 (IL) **Relações.** Sejam $A$ conjunto e $R$ uma relação binária sobre $A$. Demonstre ou refute: $R$ é uma relação de equivalência sse $R$ é reflexiva e circular. *Definições:* - $R$ é uma relação de equivalência $\stackrel{def}{\iff} R$ reflexiva, transitiva e simétrica - $R$ é circular $\stackrel{def}{\iff} (\forall x,y,z)[x\ R\ y$ & $y\ R\ z \implies z\ R\ x]$ ## 2023-06-14 (IG) Seja $(G, *, e, ^{-1})$ um grupo cíclico infinito. Mostre que $G$ é contável. ## 2023-06-15 (IL) **🐱 Cat*egorias*!** Sejam $e : E \to A,f,g : A \to B$. Dizemos que $e$ é um <ins>equalizer</ins> das $f,g$ sse o seguinte diagrama comuta: <!-- https://q.uiver.app/#q=WzAsNCxbMCwwLCJFIl0sWzEsMCwiQSJdLFsyLDAsIkIiXSxbMCwxLCJIIl0sWzAsMSwiZSJdLFsxLDIsImYiLDAseyJvZmZzZXQiOi0xfV0sWzEsMiwiZyIsMix7Im9mZnNldCI6MX1dLFszLDEsImgiLDJdLFszLDAsIiEiLDIseyJzdHlsZSI6eyJib2R5Ijp7Im5hbWUiOiJkYXNoZWQifX19XV0= --> <iframe class="quiver-embed" src="https://q.uiver.app/#q=WzAsNCxbMCwwLCJFIl0sWzEsMCwiQSJdLFsyLDAsIkIiXSxbMCwxLCJIIl0sWzAsMSwiZSJdLFsxLDIsImYiLDAseyJvZmZzZXQiOi0xfV0sWzEsMiwiZyIsMix7Im9mZnNldCI6MX1dLFszLDEsImgiLDJdLFszLDAsIiEiLDIseyJzdHlsZSI6eyJib2R5Ijp7Im5hbWUiOiJkYXNoZWQifX19XV0=&embed" width="432" height="304" style="border-radius: 8px; border: none;"></iframe> ou se o link morreu (tentei): ``` f e ———> E———>A———>B ^ ^ g . = / .! / . / H ``` Demonstre que equalizadores são monos. ## 2023-06-21 (IG) Sejam $A,B$: Set e $f: A \to B$ Sabemos o que é $\mathcal{P} A$. O que seria $\mathcal{P} f$ ? Demonstre que $\mathcal{P}: \mathbb{Set} \to \mathbb{Set}$ é um functor ## 2023-06-27 (IL) **Zero-Knowledge Proof (ZPK)**. > Alice possui um segredo que Bob não pode saber. OO desafio para Alice é encontrar uma maneira de mostrar que possui tal conhecimento sem o revelar para Bob. Encontre uma forma convincente¹ de convencer alguém que um teorema é válido sem revelar como ele pode ser demonstrado. ¹ convincente: por meio de algum *proof assistant*, como: [L∃∀N (Lean)](https://leanprover.github.io/), [Agda](https://agda.readthedocs.io/en/v2.6.3/index.html), [Coq](https://coq.inria.fr/) ## 2023-06-28 (IG) Introdução às álgebras booleanas. $$(B, 0, 1, \vee, \wedge, ')$$ - Unicidade dos complementos - $(a')' = a$ - Leis de demorgan. ## 2023-07-06 (IL) *Essa aula foi gravada: [assista no youtube](https://youtu.be/dVw_mVzGTok).* **🐱🖥️ Categorias na computação.** - Stacks - *Type stack-of-X* - O $\mathbb{N}$ é *stack-of-* de algum conjunto? ## 2023-07-13 (DT) Seja $P$ poset chain-completo e $\pi : P \to P$ monótona e contávelmente contínua. Logo $\pi$ possui exatamente um strongly least fixpoint $p$. ## 2023-07-14 (DT) - Seja $L$ um *lattice* (reticulado). Demonstre que para todo $x,y,z \in L$, vale: $(x \vee y) \wedge (x \vee z) \leq x \vee (y \wedge z)$. - Seja $P$ um poset habitado. Mostre que as seguintes são equivalentes: - $P$ é um reticulado completo - $\bigvee S$ existem para todo $S \subseteq P$ - $P$ tem $T$ e $\bigwedge S$ existem para todos conjuntos habitados $S \subseteq P$ ## 2023-07-18 (IM) Demonstre que para todo $P$ poset chain-completo, $P$ possui bottom. ## 2023-07-18 (DT) Mostre que $X$ é filtro sse $X'= \{x'\ |\ x \in X\}$ é ideal.

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