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title: 関数の極限
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## 関数の極限
### 高校～大学数学を**ゆるふわ**で

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#### 2021.10.11
### 岡本拓海

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## 前提知識

- 関数って何か何となく説明できる
- 三角関数は何となく知ってる
- 対数は何となく知ってる

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## 微積分の勉強の順序
1. 関数の極限
1. 無限大まで数字を増やしたらどうなる？
1. 微分
1. 細かく分けて変化を捉える
1. 積分
1. 微分の逆演算
1. 面積を求める

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## なんで関数の極限値について知る必要があるの？

微分・積分の基本は関数の数字を細かく分けて考えることです。

なので"限りなく大きくする”とか”限りなく小さくする”といったことについて学ぶ必要があります。

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## 関数の極限値の定義

> 関数$f(x)$において、$x$が$a$とは異なる値を取りながら$a$に限りなく近づくとき,$f(x)$の値が一定の値$\alpha$に限りなく近づくならば,この値$\alpha$を$x\to a$の時の$f(x)$の極限値または極限といい、次のように表す$$\lim_{x \to a}f(x) = \alpha$$もしくは$$ x \longrightarrow a \Rightarrow f(x) \longrightarrow \alpha $$
また、このとき、$f(x)$は$x$$\rightarrow$$a$で$\alpha$に収束するという

ニホンゴムズカシイ

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## どういうこと？

下図のように徐々に点Xをaに近づけていくと、値が徐々に近づいていきます。

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## でも厳密じゃないよね？

"限りなく近づく"ってどういうこと？数式とかで明確に示して欲しい。

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## 大学数学での定義

"限りなく近づく"="差がほとんどない"　$\Longrightarrow$ $x$と$a$の差の絶対値を取って考える

> $|x-a|$が0に近い値($\neq0$)になるとき ($0<|x − a|<\delta$)
> $|f(x)-\alpha|$の値が0に近い値になっていく ( $|f(x) − \alpha | < \varepsilon$ )

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## 大学数学での定義

>**任意**の正の数$\varepsilon$に対し、ある正の数$\delta$が存在して、$0<|x − a|<\delta$を満たし、かつ、$f(x)$の定義域に含まれるすべての$x$について、$|f(x) − \alpha | < \varepsilon$ が成り立つとき、この値$\alpha$を **$x$$\rightarrow$$a$のときの関数$f(x)$の極限または極限値**といい、次のように表す
>$$\lim_{x \to a}f(x) = \alpha$$
>もしくは
>$$ x \longrightarrow a \Rightarrow f(x) \longrightarrow \alpha $$
また、このとき、$f(x)$は$x$$\rightarrow$$a$で$\alpha$に収束するという。

この定義の仕方を$\varepsilon$-$\delta$論法などと言ったりします。

※ここでの**任意の**は全てのという意味であるので注意

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## もう一度図で確認

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## 参考：まだ、厳密じゃないという人へ

日本語で表現されているので解釈の余地が有るのはケシカラン！という場合には以下の形式言語で記述すればもはや言葉は入ってないので、解釈の余地は生まれません。

$$
\forall \varepsilon \gt 0,
\exists \delta \gt 0;\;
\forall x \in \mathbb{R}\;
[ 0 \lt | x - a | \lt \delta \Rightarrow
|f(x)- \alpha| \lt \varepsilon ]
$$

- $\forall\varepsilon$ : すべての$\varepsilon$
- $\exists$ : 存在する
- $\mathbb{R}$ : 実数の集合
- $A\in B$ : AがBに含まれる

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## ちょっとややこしい具体例

関数$\displaystyle f(x)=\frac{x^2-1}{x-2}$の$x \to1$の極限値を考える

$\{x \mid x \neq 1\}$であり$x=1$は定義域に含まれない。
しかし$x \neq 1$においては

$$
\begin{eqnarray}
f(x) & = \frac{x^2-1}{x-1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} \\
& = x+1
\end{eqnarray}
$$
である

よって$x\to 1$のとき、$f(x)\to 2$である

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## 練習問題

以下の収束値を求めてみましょう

$$
(1)\lim_{x \to 2}(x^2+5x+6)\quad
(2)\lim_{x \to 2} \frac{x^3-8}{x-2}
$$

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## 解答

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## 関数の極限についての諸性質

>$\displaystyle\lim_{x \to a}f(x) = \alpha$ , $\displaystyle\lim_{x \to a}g(x) = \beta$とすると以下の定理が成り立つ

>1. $\displaystyle\lim_{x \to a}kf(x) = k\alpha$
>2. $\displaystyle\lim_{x \to a}\{f(x)+g(x)\} = \alpha +\beta$ , $\lim_{x \to a}\{f(x)-g(x)\} = \alpha -\beta$
>3. $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)g(x) = \alpha\beta$
>4. $\displaystyle\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\alpha}{\beta}$

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## 関数の極限についての諸性質 合成関数の極限

>関数$f(x),g(x)$について、$\displaystyle\lim_{x \to a}f(x) = b$ , $\displaystyle\lim_{x \to b}g(x) = \alpha$とする。ただし$a,b,\alpha$は実数である。この時$f(x)とg(x)$の合成関数$(g\circ f)(x)$について$\displaystyle\lim_{x\to a}(g\circ f)(x)=\alpha$が成り立つ

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## 関数の極限についての諸性質 はさみうちの原理

>関数$f(x)$と$g(x)$の定義域が開区間$I$を含み $a\in I$である実数$a$について
>$\displaystyle\lim_{x \to a}f(x) = \alpha$ , $\displaystyle\lim_{x \to a}g(x) = \beta$とする。この時以下が成り立つ
> (1) 全ての$x \in I$について$f(x) \leq g(x)$ ならば $\alpha \leq \beta$
> (2) 関数$h(x)$の定義域が開区間$I$を含み、すべての$x \in I$について$f(x) \leq h(x)\leq g(x)$かつ$\alpha = \beta$ならば$\displaystyle\lim_{x \to a}h(x) = \alpha$

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## 無限大や0の極限値

$$
\lim_{x \to \infty}\frac{1}{x} = 0 \\
\lim_{x \to +0 }\frac{1}{x} = \infty\\
\lim_{x \to -0 }\frac{1}{x} = -\infty
$$

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## 練習問題

(演習回をやります)

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## まとめ

- 関数の極限値についての定義を示した
- 関数の極限値の諸性質についてしめした

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## 参考文献

- 市原一裕(2020) 大学教養微分積分の基礎　数研出版
- 砂田利一(2017) 基幹講座 数学 微分積分　東京図書株式会社
- 加藤文元(2019) 大学教養微分積分　数研出版

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## 付録

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