# 正定與半正定矩陣

This work by Jephian Lin is licensed under a [Creative Commons Attribution 4.0 International License](http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/).

$\newcommand{\trans}{^\top}
\newcommand{\adj}{^{\rm adj}}
\newcommand{\cof}{^{\rm cof}}
\newcommand{\inp}[2]{\left\langle#1,#2\right\rangle}
\newcommand{\dunion}{\mathbin{\dot\cup}}
\newcommand{\bzero}{\mathbf{0}}
\newcommand{\bone}{\mathbf{1}}
\newcommand{\ba}{\mathbf{a}}
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\newcommand{\bc}{\mathbf{c}}
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\newcommand{\be}{\mathbf{e}}
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\newcommand{\bq}{\mathbf{q}}
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\newcommand{\bx}{\mathbf{x}}
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\newcommand{\bw}{\mathbf{w}}
\newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}
\newcommand{\nul}{\operatorname{null}}
\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}
%\newcommand{\ker}{\operatorname{ker}}
\newcommand{\range}{\operatorname{range}}
\newcommand{\Col}{\operatorname{Col}}
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\newcommand{\idmap}{\operatorname{id}}
\newcommand{\am}{\operatorname{am}}
\newcommand{\gm}{\operatorname{gm}}
\newcommand{\iner}{\operatorname{iner}}$

from lingeo import random_int_list, random_good_matrix
from sym import inertia

## Main idea

A real symmetric matrix $A$ is said to be **positive definite** or **positive semidefinite** if

$$
\bx\trans A\bx > 0 \quad\text{ or }\quad \bx\trans A\bx \geq 0,
$$

respectively, for any nonzero vector $\bx$.

A matrix $A$ is **negative definite** or **negative semidefinite** if $-A$ is positive definite or positive semidefinite, respectively.

##### Remark

In general, only positivity of a matrix only focus on real symmetric matrices (or complex Hermitian matrices).
That is, when we say a matrix is positive (semi)definite, we automatically assume it is symmetric.

It is known that a matrix $A$ is positive definite if and only if all its eigenvalues are positive.
Similarly, $A$ is positive semidefinite if and only if all its eigenvalues are nonnegative.
Note that an $n\times n$ positive semidefinite matrix $A$ is positive definite if and only if $\rank(A) = n$.

Let $A$ be an $n\times n$ positive semidefinite matrix of $\rank(A) = k$.
One may diagonalize it as $A = QDQ\trans$ by some orthogonal matrix $Q$ and diagonal matrix $D$.
Let $\lambda_1,\ldots,\lambda_k$ be the nonzero eigenvalues of $A$.
Then we have

$$
A = Q\begin{bmatrix}
\lambda_1 & ~ & ~ & ~ \\
~ & \ddots & ~ & O_{r,n-r} \\
~ & ~ & \lambda_r & ~ \\
~ & O_{n-r,r} & ~ & O_{n-r,n-r}
\end{bmatrix} Q\trans
=
Q\begin{bmatrix}
\sqrt{\lambda_1} & ~ & ~ \\
~ & \ddots & ~ \\
~ & ~ & \sqrt{\lambda_r} \\
~ & O_{n-r,r} & ~
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
\sqrt{\lambda_1} & ~ & ~ & ~ \\
~ & \ddots & ~ & O_{r,n-r} \\
~ & ~ & \sqrt{\lambda_r} & ~ \\
\end{bmatrix} Q\trans = MM\trans
$$

for some $k\times n$ matrix $M$.

If a matrix $A$ can be written as $A = MM\trans$ for some matrix $M$, then $A$ is called a **Gram** matrix.
If $\br_1,\ldots,\br_n$ are the rows of $M$, then this means $A$ is a matrix of inner products;
that is, $A = \begin{bmatrix} \inp{\br_i}{\br_j} \end{bmatrix}$.

Indeed, a matrix is a Gram matrix if and only if it is positive semidefinite.

## Side stories

- square root of a matrix
- inner product space

## Experiments

##### Exercise 1

執行以下程式碼。

### code
set_random_seed(0)
print_ans = False

n = 3
while True:
    eigs = random_int_list(n, 1)
    if not all(eig == 0 for eig in eigs):
        break
Q = random_good_matrix(n,n,n,2)
A = Q * diagonal_matrix(eigs) * Q.transpose()

pretty_print(LatexExpr("A ="), A)
print("eigenvalues =", A.eigenvalues())
        
if print_ans:
    iner = inertia(A)
    if iner[0] > 0:
        while True:
            x = vector(random_int_list(n))
            if x.inner_product(A * x) > 0:
                break
    if iner[1] > 0:
        while True:
            y = vector(random_int_list(n))
            if y.inner_product(A * y) < 0:
                break
    if iner[1] == 0:
        if iner[2] == 0:
            print("positive definite")
        if iner[2] > 0:
            print("positive semidefinite")
        print("x =", x)
    if iner[0] == 0:
        if iner[2] == 0:
            print("negative definite")
        if iner[2] > 0:
            print("negative semidefinite")
        print("y =", y)
    if iner[0] > 0 and iner[1] > 0:
        print("none above")
        print("x =", x)
        print("y =", y)

##### Exercise 1(a)

判斷 $A$ 是否為正定、半正定、負定、半負定、或是皆不是。

:::warning

- [x] 其特徵值為 $(-0.006, 4.400, 39.606)$，--> 其特徵值為 $-0.006, 4.400, 39.606$，其中有正有負，
:::

$Ans:$ \
執行 ``` seed = 0 ```，得到
$$
\begin{aligned}
A= \begin{bmatrix}
3 & -5 & -4 \\
-5 & 12 & 16 \\
-4 & 16 & 29
\end{bmatrix}
\end{aligned}
$$
其特徵值為 $-0.006, 4.400, 39.606$，其中有正有負，所以皆不是。

##### Exercise 1(b)

若 $A$ 為正定或半正定，找一個非零向量 $\bf{x}$ 使得 $\bx\trans A\bx > 0$。
若 $A$ 為負定或半負定，找一個非零向量 $\bf{y}$ 使得 $\by\trans A\by < 0$。
若以上皆不是，找兩個非零向量 $\bf{x}$ 和 $\bf{y}$ 使得 $\bx\trans A\bx > 0$ 而 $\by\trans A\by < 0$。

:::warning

- [ ] 向量用粗體
:::

$Ans :$ \
令一矩陣 $Q = \begin{bmatrix}
x \\
y \\
z
\end{bmatrix}$ ，有一個 $\ Q \trans = \begin{bmatrix}
x & y & z \end{bmatrix}$。
帶入 $Q\trans AQ = \begin{bmatrix}
x & y & z
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
3 & -5 & -4 \\
-5 & 12 & 16 \\
-4 & 16 & 29
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
x \\
y \\
z \end{bmatrix} \\
=3x^2+12y^2+29z^2-10xy+32yz-8xz.$
找非零向量 $\bf{x}$ 使得 $\bx\trans A\bx > 0$ ，為此取其
$\lambda_1 = 4.400$ 時之特徵向量 $\bv_1 =(1.392,-1.190,1)$
帶入可得， \
$\bx\trans A\bx = 19.154 > 0$ 。 \
而找非零向量 $\by$ 使得 $\bx\trans A\bx < 0$ ，取 $\lambda_2=-0.006$ 時之特徵向量 $\bv_2=(-2.884,2.534,1)$ ，
將其帶入可得 $\ Q\trans AQ = -0.0903 <0$。

## Exercises

##### Exercise 2

判斷以下矩陣是否為正定、半正定、皆不是。

##### Exercise 2(a)

$$
A = \begin{bmatrix}
2 & 1 \\
1 & 2
\end{bmatrix}.
$$

:::warning

- [x] 中英數之間空格
- [x] 因為若 $\ x$ 和 $\ y$ 都不為$0$ --> 因為若 $(x,y) \neq \bzero$
- [x] $\ x$ --> $x$（看原始碼，$x$ 前面不用再加空格，請把後面都改掉）
:::

$Ans$
令一矩陣 $Q = \begin{bmatrix}
x \\
y
\end{bmatrix}$ ，有一個 $\ Q \trans = \begin{bmatrix}
x & y \end{bmatrix}$。
帶入$\ Q\trans AQ = \begin{bmatrix}
x & y
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
2 & 1 \\
1 & 2
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
x \\
y \end{bmatrix} = \ (x+y)^2 + \ x^2 + \ y^2$，
因為若 $(x,y) \neq \bzero$ ，那麼 $\ (x+y)^2 + \ x^2 + \ y^2$ 恆大於 $0$，所以 $A$ 正定矩陣。

##### Exercise 2(b)

$$
A = \begin{bmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{bmatrix}.
$$

$Ans$
令一矩陣 $Q = \begin{bmatrix}
x \\
y
\end{bmatrix}$ ，有一個 $\ Q \trans = \begin{bmatrix}
x & y \end{bmatrix}$。
帶入$\ Q\trans AQ = \begin{bmatrix}
x & y
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
x \\
y \end{bmatrix} = \ 2xy$，
因為若 $\ x$ 和 $\ y$ 帶入$\begin{bmatrix}
1 \\
0 \end{bmatrix}$，那麼 $\ 2xy = 0$，若 $x$ 和 $y$ 帶入 $\begin{bmatrix}
-1 \\
1 \end{bmatrix}$ ，那麼 $\ 2xy = -2$，所以 $A$ 皆不是正定或半正定。

##### Exercise 2(c)

$$
A = \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 \\
\end{bmatrix}.
$$

$Ans$
令一矩陣 $Q = \begin{bmatrix}
x \\
y \\
z
\end{bmatrix}$ ，有一個 $\ Q \trans = \begin{bmatrix}
x & y & z \end{bmatrix}$。
帶入$\ Q\trans AQ = \begin{bmatrix}
x & y & z
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
x \\
y \\
z \end{bmatrix} = \ x^2 + y^2 + z^2 + 2xy +2xz +2yz = (x+y+z)^2$，
因為若 $x$ 和 $y$ 和 $z$ 帶入$\begin{bmatrix}
1 \\
-1\\
0 \end{bmatrix}$ 或 $\begin{bmatrix}
-1 \\
1\\
0 \end{bmatrix}$ 或 $\begin{bmatrix}
1 \\
0\\
-1 \end{bmatrix}$，則 $(x+y+z)^2 = 0$ 所以 $A$ 為半正定矩陣。
##### Exercise 3

令 $A = \begin{bmatrix} a_{ij} \end{bmatrix}$ 為 $n\times n$ 一正定矩陣。

##### Exercise 3(a)

證明對於所有 $i$ 都有 $a_{ii} \geq 0$。

:::warning

- [x] $n$ 己經是 $A$ 的大小，所以 $\bx_n$ 的下標要用別的
- [x] 中英數之間空格
- [x] 用文字敘述取代 $\forall$
- [x] $n = 1 \cdots i$ --> $n = 1, \ldots i$
:::
Ans:
對所有的 $c = 1,\ldots, n$ 而言，
令 $\bx_c$ 為 $n\times n$ 單位矩陣的第 $c$ 個行向量。
如 $\bx_1 = [1\ 0\ 0\cdots0]\trans,\bx_2 = [0\ 1\ 0\cdots0]\trans$。
根據正定矩陣定義，所有 $\bx\neq \bzero$ 都有，$\bx\trans A\bx>0$ 的性質。
因為 $A$ 正定，所以對每一個 $c = 1,\cdots, n$ 都有 $\bx_c\trans A\bx_c=a_{cc}>0$. $Q.E.D$

##### Exercise 3(b)

證明
$$
\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{ij} \geq 0.
$$

:::warning

- [x] 中英數之間空格
- [x] 用文字敘述取代 $\forall$
:::

Ans: 令 $\bx = [1\ 1\ 1\cdots1]\trans,$ 根據正定矩陣定義，$\bx\trans A\bx>0$，對每一個 $\bx\neq 0$,
則 $\bx\trans A\bx=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n a_{ij} >0,\ Q.E.D$。

##### Exercise 4

證明以下關於（半）正定矩陣的相關性質。

##### Exercise 4(a)

正定矩陣的主子矩陣也是正定矩陣。

:::warning

- [ ] 中英數之間空格
- [ ] 用文字敘述取代 $\forall$
- [ ] 沒說明 $a_{kk}$ 是什麼，如果它是矩陣的話 $a_{kk} > 0$ 是什麼意思
- [ ] 重點不是前 $k$ 個位置皆不為零，重點是後 $n-k$ 個位置皆為零
:::

可表示 $A$ 為$\begin{bmatrix}
a_{kk} & a_{k(n-k)} \\
a_{(n-k)k} & a_{(n-k)(n-k)}
\end{bmatrix},$其中 $1 \leq k \leq n。$
$a_{kk}$ 表示同時選取 $k$ 行， $k$ 列的矩陣(主子矩陣)，令 $\bx$ 為後 $n-k$ 個位置皆為零的向量，根據定義，$\bx\trans A\bx > 0$,則 $a_{kk}>0$。 對 $a_{kk}$ 這一主子矩陣，存在不全為零的且長度為 $k$ 向量 $\bx_k$ 使得 $\bx_k\trans a_{kk} \bx_k>0$ ,正定矩陣的主子矩陣也是正定矩陣。

##### Exercise 4(b)

正定矩陣加半正定矩陣是正定矩陣、
而半正定矩陣加半正定矩陣是半正定矩陣。

:::warning

- [ ] 中英數之間空格
- [x] $\bx$ 有什麼條件嗎？
- [ ] 數學式要加文字解釋
:::

Ans:令 $A$ 為正定矩陣，$B$,$C$ 為半正定矩陣，對每一個不全為零的向量 $\bx$，
觀察 $\bx\trans (A+B)\bx = \bx\trans A\bx +\bx\trans B\bx \ >0$, 則正定矩陣加半正定矩陣是正定矩陣。
觀察 $\bx\trans (B+C)\bx = \bx\trans B\bx +\bx\trans C\bx \ \geq 0$， 則半正定矩陣加半正定矩陣是半正定矩陣。

##### Exercise 5

依照以下步驟證明以下敘述等價：

1. $A$ 是正定矩陣。
2. $A$ 的特徵值均為正。

##### Exercise 5(a)

證明若 $A$ 有一特徵值 $\lambda\leq 0$，則存在一個非零向量 $\bx$ 使得 $\bx\trans A\bx \leq 0$。
因此若 $A$ 正定，則 $A$ 的特徵值均為正。

:::warning

- [x] 令 $A$ 可被對角化為 $Q\trans AQ = D = ...$
- [x] 中英數之間空格
- [x] $\bx\trans A\bx = \bx\trans QDQ\trans \bx \leq0,$ --> $\bx\trans Q\trans AQ\bx = \bx\trans D \bx \leq 0,$

:::

Ans：令 $A$ 為可被對角化為$Q\trans AQ = D$，$D=\begin{bmatrix} \lambda_{1} &&0\\&\ddots&\\0&&\lambda_{n}\end{bmatrix}$,
其中 $\lambda_1\leq 0$, 則可找到一非零向量 $\bx=[1\ 0 \cdots0]\trans$ 使得 $\bx\trans Q\trans AQ\bx = \bx\trans D \bx \leq 0,$ 負特徵根與正定矩陣定義不合，$Q.E.D$。

##### Exercise 5(b)

證明若 $A$ 的特徵值均為正，則 $\bx\trans A\bx \geq 0$。
（參考 607-3。）

:::warning

- [x] 用文字說明清楚，不用使用 $\forall, \because, \therefore$ 等邏輯符號
- [x] 不要中英混雜
- [x] 向量用粗體，純量不用
:::

Ans:令$A = QDQ\trans,\ D=\begin{bmatrix} \lambda_{1} &&0\\&\ddots&\\0&&\lambda_{n}\end{bmatrix}$,各特徵根皆為正, 依正定矩陣定義可得 $\bx\trans A\bx = \bx\trans QDQ\trans \bx$。
令 $\by=Q\trans x$，因為$\bx \neq 0$，所以$\by \neq 0$，改寫 $A=\by\trans D \by=\sum\limits_{i=1}^n\lambda_iy_i^2,$ 因各特徵根皆為正 且 $y_i^2 \geq 0$,則 $\bx\trans A \bx \geq 0, Q.E.D$。

##### Exercise 6

證明以下敘述等價：

1. $A$ 是半正定矩陣。
2. $A$ 是格拉姆矩陣。

:::warning

- [x] 向量用粗體
:::

$Ans:$ \
由 $1.$ 到 $2.$ ，令 $A$ 為一對稱矩陣其特徵值 $\lambda \space \geq 0$ ， \
則 $A =$
$$
\begin{aligned}
Q \begin{bmatrix} \lambda_{1} &&0\\&\ddots&\\0&&\lambda_{n}\end{bmatrix}Q\trans
&=Q \begin{bmatrix} \sqrt{\lambda_{1}} &&0\\&\ddots&\\0&&\sqrt{\lambda_{n}}\end{bmatrix}\begin{bmatrix} \sqrt{\lambda_{1}} &&0\\&\ddots&\\0&&\sqrt{\lambda_{n}}\end{bmatrix}Q\trans
\end{aligned}
$$
由於 $A$ 為半正定矩陣，其特徵值皆大於等於 $0$ ，因此對其取根號獲得以上形式。 \
且
$$
\begin{aligned}Q \begin{bmatrix} \sqrt{\lambda_{1}} &&0\\&\ddots&\\0&&\sqrt{\lambda_{n}}\end{bmatrix}\begin{bmatrix} \sqrt{\lambda_{1}} &&0\\&\ddots&\\0&&\sqrt{\lambda_{n}}\end{bmatrix}Q\trans
&=M M\trans
\end{aligned}
$$
由此可得半正定矩陣與格拉姆矩陣等價。 \
由 $2.$ 到 $1.$ ，令 $A=MM\trans$ ， \
$\bx\trans A \bx = \bx\trans MM\trans \bx
=\by\trans \by=\lvert\lvert M\trans \bx \rvert\rvert ^{2} \geq 0$ \
由此可得格拉姆矩陣與半正定矩陣等價。

##### Exercise 7

以下練習探討矩陣根號的概念。

##### Exercise 7(a)

證明若 $A$ 是一正定矩陣，
則其可寫成 $A = M^2$，
其中 $M$ 是對稱矩陣。

:::warning

- [x] $^T$ --> $\trans$
- [x] posituve --> positive
:::

Because $A$ is real symmetric,
$A$ can be written as $A=QDQ\trans$, where
$Q$ is an orthogonal matrix and $D$ is diagonal.
Because A is positive definite,
$D=\begin{bmatrix} \lambda_{1} &&0\\&\ddots&\\0&&\lambda_{n}\end{bmatrix}$, where $\lambda_{1}, \dots, \lambda_{n} >0$
Then we can define $\sqrt{D}=\begin{bmatrix} \sqrt{\lambda_{1}} &&0\\&\ddots&\\0&&\sqrt{\lambda_{n}}\end{bmatrix}$.
Pick $M=Q\sqrt{D}Q\trans$.
Clearly, $M$ is symmetric, too.
Finally, we have $M^{2}=(Q\sqrt{D}Q\trans)(Q\sqrt{D}Q\trans)=Q\sqrt{D}\sqrt{D}Q\trans=QDQ\trans=A.$

##### Exercise 7(b)

若 $A$ 是一正定矩陣、$B$ 為一對稱矩陣，
證明 $AB$ 的特徵值均為實數。

提示：證明 $AB$ 和某對稱矩陣相似。

:::warning

- [x] $^T$ --> $\trans$
- [x] $R^n$ --> $\mathbb{R}^n$
- [ ] 若 $\bx = c_1\bx_1 + \cdots + c_n\bx_n$，要怎麼把 $\bx\trans AB\bx$ 用 $\bx_i\trans AB\bx_i$ 表示？
:::

Let $\bx_{1},\dots,\bx_{n}$ be eigenvectors of $B$.
Because $B$ is real symmetric, {$\bx_{1},\dots,\bx_{n}$} is a basis of $\mathbb{R}^{n}$.
Let $\bx\in\mathbb{R}^n$, and $\bx = c_1\bx_1 + \cdots + c_n\bx_n$, for some $c_1,...,c_n\in F$.
Because ${\bx_{i}\trans}AB\bx_{i} = \lambda_{i}{\bx_{i}\trans}A\bx_{i}$, we have ${\bx\trans}AB\bx={c_1}^2{\bx_1\trans}AB\bx_1+...+{c_n}^2{\bx_n\trans}AB\bx_n={c_1}^2\lambda_1{\bx_1\trans}A\bx_1+...+{c_n}^2\lambda_n{\bx_n\trans}A\bx_n.$
Because $\lambda_{i}$ is real and $\bx_{i}^{T}A\bx_{i}$ must be positive, $\bx_{i}^{T}AB\bx_{i}$ is real, for $i=1,\dots,n.$
Let $\bx$ be eigenvector of $AB$.
Then we have $\lambda=\frac{{\bx\trans}AB\bx}{\bx\trans\bx}$.
Because ${\bx\trans}AB\bx$ is real and so is $\bx\trans\bx$, we can find $\lambda$ is real.

##### Exercise 8

回顧 213-5 中提到的廣義內積的定義。

以下練習說明廣義內積完全是由正定矩陣做出來的。

##### Exercise 8(a)

令 $A$ 為一正定矩陣。
定義 $\inp{\bx}{\by}_A:=\by\trans A\bx$。

證明 $\inp{\cdot}{\cdot}_A$ 為一內積。

:::warning

- [x] $^T$ --> $\trans$
- [x] 這裡的 $F$ 就是 $\mathbb{R}$
- [x] 向量用粗體
- [x] 第四個條件要求 $\bx\neq\bzero$
:::

(1) $\inp{\bx+\by}{\bz}_A={\bz\trans}A(\bx+\by)={\bz\trans}A\bx+{\bz\trans}A\by=\inp{\bx}{\bz}_A+\inp{\by}{\bz}_A$
(2) $\inp{c\bx}{\by}_A={\by\trans}A(c\bx)=c{\by\trans}A\bx=c\inp{\bx}{\by}_A$, for all $c\in\mathbb{R}.$
(3) $\inp{\bx}{\by}_A={\by\trans}A\bx=\overline{{\bx\trans}A\by}=\overline{\inp{\by}{\bx}_A}$
(4) $\inp{\bx}{\bx}_A={\bx\trans}A\bx>0$, for all $\bx\neq\bzero.$
By (1)~(4), $\inp{\cdot}{\cdot}_A$ is an inner product.

##### Exercise 8(b)

令 $\inp{\cdot}{\cdot}$ 為一內積，
找一個矩陣 $A$ 使得對所有向量 $\bx$ 和 $\by$ 都有 $\inp{\bx}{\by} = \by\trans A\bx$。
驗證這個矩陣必須是正定的。

提示：選一些特別的 $\bx$ 和 $\by$ 來找到 $A$ 的各項。

:::warning

- [x] 這題要先求出 $A$
:::

Let $A=[a_{ij}]$, for $i,j=1,...,n.$
Choose $\bx=\be_j,\by=\be_i$ and we have $a_{ij}=\by\trans A\bx.$
By (3) from 8(a) , we know $a_{ij}=a_{ji}$ ($a_{ij}$ is real.), so $A$ is a symmetric matrix.
Because $A$ is real symmetric,
we can choose a basis $\beta$ of $\mathbb{R}^{n}$, where
$\beta = {x_{1},\dots,x_{n}}$ and $x_{i}$ is an eigenvector of $A$.
By (4) from 8(a), $\inp{\bx_{i}}{\bx_{i}}=\lambda_{i}||\bx_{i}||^{2}>0.$
Then, we can find $\lambda_{i}>0, i=1,2,\dots,n$.
Finally, we have $A$ be positive definite.

:::info
分數 = 5
:::