【數學理論】 07. 毛巾挑戰的終極解法—拓撲學 (Topology)

--- title: 【數學理論】 07. 毛巾挑戰的終極解法—拓撲學 (Topology) tags: - 【數學理論】 url: https://hackmd.io/wcTj6mztR7K-q-_Tpnb7Tg lastSync: 2025-05-25T08:45:51.812Z hackmd: url: https://hackmd.io/wcTj6mztR7K-q-_Tpnb7Tg title: 【數學理論】 07. 毛巾挑戰的終極解法—拓撲學 (Topology) lastSync: 2025-05-25T08:52:03.477Z --- 毛巾挑戰的終極解法 === 拓撲學 (Topology) ---  按照慣例，開頭先來說一個故事。 前陣子偶然在網路上刷到國外很紅的「**毛巾挑戰**」 不囉嗦，先來看看挑戰內容是什麼。 {%youtube lJd0a_lAV4s %} 所以我們可以看到，毛巾挑戰的內容是： - 兩個人雙手分別握住毛巾兩端，並且兩條毛巾互相扣住。 - 在手不放開毛巾的情況下，能否讓兩個人分開？ 起初我看到這個挑戰的第一直覺是認為**絕對不可能成功**，但隨著越來越多挑戰成功的影片，抱持著一絲懷疑的同時，也開始漸漸相信其實說不定這是真的？ 對於這種討論幾何、扭結等問題，只能搬出我認為數學當中最難的**拓撲學 (Topology)** ## 拓撲學 (Topology) **拓撲學**主要是一門研究在拓撲空間內，物體連續變化(例如拉伸、扭轉，但並非剪斷、黏貼)下維持不變的學科。其中還可以細分成以下幾個分支： >[!Important] **一般拓樸學（點集拓樸學）** 研究拓樸空間的基本概念和性質，例如連續性、緊緻性和連通性等。它為其他拓樸學分支提供了基礎，涉及對開集、閉集、鄰域等概念的研究。 >[!Important] **代數拓樸學** 利用抽象代數的方法研究拓樸空間，旨在通過代數不變量（如同調群、同倫群）來分類和分析拓樸空間的性質。其目標是尋找代數不變量，以分類在同胚意義下的拓樸空間。 >[!Important] **微分拓樸學** 研究具有光滑結構的流形上的可微函數，關注微分結構與拓樸性質之間的關係。它與微分幾何密切相關，主要研究在微分流形上的可微函數及其應用。 >[!Important] **幾何拓樸學** 主要研究低維流形及其與幾何的互動，尤其關注三維和四維空間中的拓樸性質。它透過幾何方法研究拓樸空間的性質，是低維流形研究的核心領域之一。 記得高中的數學老師曾說過：「如果學會了拓樸學就能成為數學大師。」 當時對於數學有濃厚興趣的我來說，宛如化身成**數學界真新鎮的小智**~~障~~，踏上**目標是成為數學大師**之路。 然而很快我就被現實打臉了，因為以下兩個原因： 1. 我的幾何學很爛。 2. 拓樸學非常的**抽象**。 舉例來說，你能相信在拓樸的世界裡**一個馬克杯跟一個甜甜圈**是一樣的嗎？ 如果你跟我一樣不相信、不知道這到底是在公三X的話，那恭喜你我們是同類人。 但如果你深信不疑，甚至去咖啡廳時會跟店員要甜甜圈裝咖啡，然後津津樂道的開始啃馬克杯，那你肯定有成為**拓樸學家**的資質。 <img src="https://raw.githubusercontent.com/lewisjjj800soic/HackMD-images-backup/main/Mathematic-Theorems/07/01.jpg" alt="圖片描述" style="display: block; margin: 0 auto;" width="600"> > photo credit by: https://www.facebook.com/share/p/15rExYF7ZD/ 事實上，**一個馬克杯跟一個甜甜圈**在拓樸學家眼裡確實是一樣的，因為在拓樸學當中，這兩個物體的形狀是同胚（Homeomorphism）。 --- ### 同胚（Homeomorphism） **同胚**是拓樸學中的一個基本概念，用來描述兩個拓樸空間在拓樸結構上的等價性。直觀上，同胚兩個空間在拓樸性質上是相同的，只是形狀可能不同。 首先我們先來看看為甚麼**一個馬克杯跟一個甜甜圈是一樣的**。 <img src="https://raw.githubusercontent.com/lewisjjj800soic/HackMD-images-backup/main/Mathematic-Theorems/07/02.gif" alt="圖片描述" style="display: block; margin: 0 auto;" width="500"> > photo credit by: 由 Lucas Vieira - 自己的作品, 公有領域, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=1236079 上面這個動畫可以看到馬克杯跟甜甜圈可以互相變換。 下面我們多舉一些例子： >[!Tip] **例如：** > - **一個咖啡杯和一個甜甜圈（三維環面）** 在拓樸學上是同胚的，因為它們都具有一個空洞，可以通過變形將它們轉換成彼此。 > - **一個圓和一個橢圓**在拓樸學上是同胚的，因為可以通過拉伸將**圓**變成**橢圓**。 > - **一條橡皮筋和一條直線**在拓樸學上是同胚的，因為**橡皮筋**可以拉直成**一條直線**。 > - **一顆圓球和一個盤子**在拓樸學上是同胚的，因為**圓球**可以壓扁成**一個盤子**。 **同胚**可以看作是將一個物體**拉伸**、**扭曲**或**彎曲**成另一個物體，但不允許**剪切**或**黏貼**。這種情況叫做**可逆的連續變形**。 >[!Note] **可逆的連續變形（Homotopy）** >**可逆連續變形**是拓撲學中的一個核心概念，是指在破壞與重組結構的情況下，通過一系列連續變化將一個拓撲空間變為另一個拓撲空間。如果兩個空間之間存在這種變形，它們被稱為同倫等價。 另外**同胚**具有以下的定義，對於這篇專欄不是太重要，只要知道有這個概念就好。 >[!Note] **同胚** 設 $X$ 和 $Y$ 為兩個拓樸空間。如果存在一個函數 $$f: X \to Y$$ 滿足以下條件，則稱 $f$ 是一個**同胚**，並且 $X$ 和 $Y$ 是**同胚的**（Homeomorphic）： >1. **連續性**：$f$ 是連續函數。 >2. **雙射性**：$f$ 是一個雙射，即 $f$ 是一一對應且滿射的函數。 >3. **逆連續性**：$f^{-1}: Y \to X$ 也是連續的。如果 $f$ 滿足這三個條件，就可以說 $X$ 和 $Y$ 的拓樸結構完全相同。 以上定義參考即可。現在我們了解了拓樸學中兩個重要的概念：**同胚**以及**可逆的連續變形**，而且他們的關係是： $$同胚 \subset 可逆的連續變形$$ 也就是只有**同胚**的物體才能進行**可逆的連續變形**，然而可以進行**可逆的連續變形**的物體不一定是**同胚**。 --- ### 拓樸結構分析接下來我們就可以針對毛巾挑戰進行拓樸結構的分析了。 首先對兩個正在進行毛巾挑戰的人進行簡化的數學建模，我們可以把**兩個人的手臂+毛巾當作是環**，而**其餘部分就簡化成一根直線**，於是就可以利用以下程式進行建模。 :::spoiler **點擊查看程式碼** ```python= import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D # 定義參數 t = np.linspace(0, 2*np.pi, 200) radius = 1.0 # 直線1與直線2的座標 z = np.linspace(-2, 2, 100) x_line1 = np.zeros_like(z) y_line1 = np.zeros_like(z) z_line1 = z x_line2 = np.ones_like(z) * 2 y_line2 = np.zeros_like(z) z_line2 = z # 環1的參數方程（躺在xz平面上） x_ring1 = radius * np.cos(t) y_ring1 = np.zeros_like(t) z_ring1 = radius * np.sin(t) # 環2的參數方程（垂直於環1） x_ring2 = radius + radius * np.cos(t)/2 y_ring2 = radius * np.sin(t) z_ring2 = radius * np.cos(t)/2 # 建立圖形 fig = plt.figure(figsize=(12, 10)) ax = fig.add_subplot(111, projection='3d') # 繪製直線 ax.plot(x_line1, y_line1, z_line1, 'b-', linewidth=4, label='Body_1') ax.plot(x_line2, y_line2, z_line2, 'g-', linewidth=4, label='Body_2') # 分段繪製環1以創建深度效果 for i in range(len(t)-1): if abs(y_ring2[i]) < radius/2 and x_ring1[i] > 0: color1 = 'lightcoral' # 被環2穿過的部分用淺色 else: color1 = 'blue' ax.plot(x_ring1[i:i+2], y_ring1[i:i+2], z_ring1[i:i+2], color=color1, linewidth=4) # 分段繪製環2以創建深度效果 for i in range(len(t)-1): if abs(y_ring2[i]-0.8*radius) < radius/2 and x_ring1[i] > 0: color2 = 'lightcoral' # 被環1穿過的部分用淺色 else: color2 = 'green' ax.plot(x_ring2[i:i+2], y_ring2[i:i+2], z_ring2[i:i+2], color=color2, linewidth=4) # 設定視圖範圍 ax.set_xlim(-1.5, 2.5) ax.set_ylim(-1.5, 1.5) ax.set_zlim(-1.5, 1.5) # 設定比例相等 ax.set_box_aspect([4, 3, 3]) # 調整視角以更好地展示環的相互穿過 ax.view_init(elev=20, azim=45) # 添加標籤和標題 ax.set_xlabel('X-axis') ax.set_ylabel('Y-axis') ax.set_zlabel('Z-axis') ax.legend() plt.title('Towel Challenge Modelling') plt.show() ``` ::: 執行以上程式就可以得到以下輸出： <img src="https://raw.githubusercontent.com/lewisjjj800soic/HackMD-images-backup/main/Mathematic-Theorems/07/03.png" alt="圖片描述" style="display: block; margin: 0 auto;" width="600"> 其中可以看到，我特別將兩個環相互扣著的部分用不同顏色標記出來以便展示。 接下來為了方便分析拓樸結構，我們做一些簡化。我們都知道線段是可以伸縮的，所以在環上的線段(也就是人的身體的部分)收縮到環上，變成下圖。 <img src="https://raw.githubusercontent.com/lewisjjj800soic/HackMD-images-backup/main/Mathematic-Theorems/07/04.png" alt="圖片描述" style="display: block; margin: 0 auto;" width="600"> 我們會發現，原本的結構被簡化成兩個環了，而且這個簡化方式是可逆的連續變形，也就是沒有破壞、重組其結構的變形。**但是！這並不代表變形前後的結構是同胚的哦！** 現在我們有兩個互相扣著的環了，而事實上這種類型的拓樸結構有一個特別的名稱**霍普夫連結**。 >[!Note] **霍普夫連結 (Hopf Link)** > **霍普夫連結**是由兩個閉環組成的拓撲結構，其特點是兩個環互相穿過一次。 另外，當兩個環沒有相互扣著，這種類型的拓樸結構也有一個特別的名稱叫**平凡連結**。 >[!Note] **平凡連結 (Unlink)** > **平凡連結**也是由兩個閉環組成的拓撲結構，但是兩個環並沒有互相穿過。 有了這些概念，要證明毛巾挑戰是不是真的可以挑戰成功就簡單了。下面來說說我的證明思路： >[!Tip] **證明思路** >**1.** 因為在挑戰開始前(兩個人還沒分開)的狀態可以被簡化成**霍普夫連結** >**2.** 可以用 **1.** 的簡化過程，將挑戰成功後(兩個人分開了)的狀態簡化成**平凡連結** >**3.** 所以只要我們能夠證明**霍普夫連結**跟**平凡連結**是同胚 >**4.** 就代表**霍普夫連結**跟**平凡連結**可以進行可逆的連續變形 >**5.** 可以進行**可逆的連續變形**代表**挑戰就可以成功** 我相信聰明的你一定看出這個證明思路的重點在於 **3.**，所以接下來就讓我們來證明**霍普夫連結**跟**平凡連結**是不是同胚。 --- ## **證明** 首先對於繩結類的拓樸，有發展出另外一套理論叫做**扭結理論 (Knot Theory)**，其中有將這些扭結給分門別類，而其中一種分類方式就是利用連結 (Link)。 鏈結（link）是指兩個或多個閉合曲線（通常是圓環）在三維空間中的互相纏繞方式，各種連結鏈結可能有不同連結數量，這個數量就被稱做是連結數 (Linking Number)。 >[!Note] **連結數 (Linking Number)** >若有兩條閉曲線 $C_1$ 和 $C_2$，其**連結數**可以利用**高斯連結數的積分公式**計算： $$ Lk(C_1, C_2) = \frac{1}{4\pi} \int_{C_1} \int_{C_2} \frac{\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2}{\|\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2\|^3} \cdot (\mathrm{d}\mathbf{r}_1 \times \mathrm{d}\mathbf{r}_2) $$ 其中：$\mathbf{r}_1$ 和 $\mathbf{r}_2$ 是分別在兩個環上移動的點的位置向量。 >這個積分公式是雙重積分，意味著： > >1. $\mathbf{r}_1$ 遍歷第一個環上的所有點 >2. $\mathbf{r}_2$ 遍歷第二個環上的所有點 >3. 對於每一對點，計算它們的相互影響的大小 > >而 $\mathrm{d}\mathbf{r}_1 和 \mathrm{d}\mathbf{r}_2$ 是這些點對應的切向量（表示曲線在該點的方向）。這個公式的物理意義可以理解為： > >計算兩個環上所有點對之間的「相互作用」 $(\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2)$ 表示兩點之間的位置差 $\|\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2\|^3$ 在分母上類似於重力或電場的平方反比定律 $\mathrm{d}\mathbf{r}_1 \times \mathrm{d}\mathbf{r}_2$ 考慮了兩條曲線在這些點的相對方向 連結數定義的公式看起來有點複雜，但其實有個更直觀的計算方式： >[!Tip] **計算連結數** >1. **選擇投影平面：** 將兩個閉合曲線投影到某個平面上，使它們的交叉點清晰可見，並且設定環旋轉的方向。 >2. **標記交叉點方向：** 在每個交叉點上，根據右手規則標記正負號。 >3. **計算總和：** 將所有交叉點的正負號相加，得到的總和的一半即為鏈結數。 接下來我們分別計算**霍夫普連結**以及**平凡鏈結**的連結數看看。 --- ### 1. **霍夫普連結的連結數** 首先將**霍夫普連結**投影到 $xy$ 平面上，接著設定兩個環都是順時針轉： <img src="https://raw.githubusercontent.com/lewisjjj800soic/HackMD-images-backup/main/Mathematic-Theorems/07/05.png" alt="圖片描述" style="display: block; margin: 0 auto;" width="500"> >也可以逆時針轉，只要兩個環的方向一致即可。給予兩個環一致的定向（比如都是逆時針）是為了確保連結數的計算是有意義且一致。如果不給定一致的定向，同一個霍夫連結可能得到不同的連結數。且當我們改變其中一個環的定向時，連結數的符號會改變。 接著標記交叉點方向。因為我們可以看到，右邊**藍色的環**從下面往上穿過左邊**綠色的環**，共有兩個交叉點，我們將上面的交叉點標記成 **A點**，下面的交叉點標記成 **B點**。 <img src="https://raw.githubusercontent.com/lewisjjj800soic/HackMD-images-backup/main/Mathematic-Theorems/07/06.png" alt="圖片描述" style="display: block; margin: 0 auto;" width="500"> 接著我們先放大來看 **A點**，可以看到這個交叉點是**藍色的環**在上，**綠色的環**在下，而這邊有箭頭方向，我們可以發現，**藍色的箭頭**要**往順時針方向**才會跟**綠色的箭頭**同方向。因為是**往順時針方向**，根據右手定則是遠離觀察者，標記為 $-1$。 <img src="https://raw.githubusercontent.com/lewisjjj800soic/HackMD-images-backup/main/Mathematic-Theorems/07/07.png" alt="圖片描述" style="display: block; margin: 0 auto;" width="500"> 接著我們先放大再來看 **B點**，可以看到這個交叉點是**綠色的環**在上，**藍色的環**在下，而這邊的箭頭方向可以發現，**綠色的箭頭**也是要**往順時針方向**才會跟**藍色的箭頭**同方向。因為是**往順時針方向**，根據右手定則是遠離觀察者，標記為 $-1$。 <img src="https://raw.githubusercontent.com/lewisjjj800soic/HackMD-images-backup/main/Mathematic-Theorems/07/08.png" alt="圖片描述" style="display: block; margin: 0 auto;" width="500"> 最後計算總和，因為兩個交叉點的值都是 $-1$ ，所以計算結果為 $$ Lk(C_1, C_2) = \frac{1}{2} \cdot [(-1) + (-1)] = -1 $$ 所以**霍夫普連結**的連結數等於 $-1$。 --- ### 2. **平凡連結的連結數** 接著我們再將**平凡連結**投影到 $xy$ 平面上，且一樣設定兩個環都是順時針轉： <img src="https://raw.githubusercontent.com/lewisjjj800soic/HackMD-images-backup/main/Mathematic-Theorems/07/09.png" alt="圖片描述" style="display: block; margin: 0 auto;" width="500"> >注意這邊兩個圓圈只是**重疊**哦！ 接著標記交叉點方向。因為我們可以看到，右邊**藍色的環**重疊在**綠色的環**上方，共有兩個交叉點，為了跟**霍夫普連結**有所區隔，我們將上面的交叉點標記成 **C點**，下面的交叉點標記成 **D點**。 <img src="https://raw.githubusercontent.com/lewisjjj800soic/HackMD-images-backup/main/Mathematic-Theorems/07/10.png" alt="圖片描述" style="display: block; margin: 0 auto;" width="500"> 接著我們先放大來看 **C點**，可以看到這個交叉點是**藍色的環**在上，**綠色的環**在下，而這邊有箭頭方向，我們可以發現，**藍色的箭頭**要**往順時針方向**才會跟**綠色的箭頭**同方向。因為是**往順時針方向**，根據右手定則是遠離觀察者，標記為 $-1$。 <img src="https://raw.githubusercontent.com/lewisjjj800soic/HackMD-images-backup/main/Mathematic-Theorems/07/11.png" alt="圖片描述" style="display: block; margin: 0 auto;" width="500"> 接著我們先放大再來看 **D點**，可以看到這個交叉點是**藍色的環**在上，**綠色的環**在下，而這邊有箭頭方向，我們可以發現，**藍色的箭頭**要**往逆時針方向**才會跟**綠色的箭頭**同方向。因為是**往逆時針方向**，根據右手定則是靠近觀察者，標記為 $+1$。 <img src="https://raw.githubusercontent.com/lewisjjj800soic/HackMD-images-backup/main/Mathematic-Theorems/07/12.png" alt="圖片描述" style="display: block; margin: 0 auto;" width="500"> 最後計算總和，因為交叉點的值分別是 $-1$ 以及 $+1$ ，所以計算結果為 $$ Lk(C_1, C_2) = \frac{1}{2} \cdot [(-1) + (+1)] = 0 $$ 所以**平凡連結**的連結數等於 $0$。 >[!Note] 註如果你的數感夠敏銳的話，會發現其實在計算連結數時，透過「箭頭方向與順逆時針」搭配右手定則得判斷方法，就是高中時學過的**外積**，而當你回頭看連結數的定義時也會發現裡面有外積的概念 $(\mathrm{d}\mathbf{r}_1 \times \mathrm{d}\mathbf{r}_2)$ 。 現在我們已經個別計算出兩個連結的連結數，**霍普夫連結**的連結數等於 $-1$ ，表示兩個環彼此穿過一次；**平凡連結**的連結數等於 $0$ ，表示兩個環彼此之間並無相互穿過。 在拓撲學中，**連結數**是用來描述兩個閉曲線之間纏繞次數的重要**拓樸不變量**。 --- ### 3. 拓撲不變量 什麼是拓撲不變量？ >[!Note] **拓樸不變量（Topological Invariant）** **拓樸不變量**是拓樸學中的一個性質，能夠在拓樸空間進行連續變形（如拉伸或彎曲，但不包括撕裂或切割）時保持不變。這些不變量用於分類和區分不同的拓樸空間。常見的拓樸不變量包括： > > - **基本群（Fundamental Group）**：描述空間中環路的同倫類。 > - **歐拉示性數（Euler Characteristic）**：與空間的幾何結構相關。 > - **鏈結數（Linking Number）**：用於描述兩個環的纏繞關係。 這時你會發現，**鏈結數**也是拓樸不變量，這代表**只要不剪斷環或破壞其結構，連結數 $Lk(C_1, C_2)$ 就不會改變**。 這意味著，「連結數為 $-1$ 的**霍普夫連結**」無法利用不剪斷環或破壞其結構的方法變成「連結數為 $0$ 的**平凡連結**」。 同時也代表，在毛巾挑戰中，兩個人將毛巾扣在一起時，無法以不鬆開手或破壞其結構的方法，讓兩人分開。 所以毛巾挑戰**不可能在不作弊的情況下挑戰成功**。 --- ### 4. 小結 回顧一下，我們先是理解了**拓樸學**中的**同胚**以及**可逆的連續變形**，接著利用建模與簡化的方式，將毛巾挑戰時兩人成功前後的狀態分別簡化成**霍夫普連結**以及**平凡連結**並計算出個別的**連結數**，由於**連結數**為**拓撲不變量**，而霍普夫連結與平凡連結的**拓撲不變量**不同，所以這兩種連結不同胚，從而在毛巾挑戰中無法在不鬆開手或破壞其結構的情況下分開。 --- ## 結論看到這邊可能有些人會好奇：**可是有些影片挑戰成功了**，其實仔細看會發現很少有人發出真正解法，或是用錯位遮擋的方式來掩飾偷偷放開毛巾的行為，所以**毛巾挑戰終究還是一場騙局**。 在這篇專欄中，我們從觀察到的現象開始，到蒐集資料、推導並證實，最後得知真相。仔細想想生活中不乏很多現象值得我們去探求真相，無論是真是假，都會讓我們更加趨近於真理，保持實事求是的態度才能在這個資訊爆炸的時代，辨別真假，避免被混淆視聽。 我是Lewis，我們[**下一篇**](https://hackmd.io/@lewisjjj800/r1U-OQefxl)專欄見！

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