# 微分公式

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當初在證明微分公式的時候是在學測前，一方面因為這些公式也不直觀，另一方面講義也不證明，害我用起來一點都不順手，於是就自己試著證明了一遍。
3Blue1Brown在微積分裡一直強調求導數相當於在問「變動一點點的$x，f(x)$會變動多少？」就拿$\frac{d}{dx}x^2$為例，假設$x$為一正方形的邊長，$x^2$為此正方形面積，則可以用下圖說明：
當$x$變動了極小的量$dx$時，$x^2$增加了$2x\cdot dx+(dx)^2$，在$dx$非常小的時候，相較於$2x\cdot dx$這項，$(dx)^2$就可以忽略掉，因此$\frac{d}{dx}x^2 = \frac{2x\cdot dx}{dx} = 2x$
我認為這樣說明比起死板的「次方數往前提當係數，然後次方數減1」更容易讓人體會微分的意義。
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## (1)微分$x^n$

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$$\frac{d}{dx}x^n\quad(n\in\mathbb{N})$$
$$ = \lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{\displaystyle\sum_{i=0}^nC_i^nx^ih^{n-i}-x^n}{h}$$
$$ = \lim_{h\to 0}\frac{\displaystyle\sum_{i=0}^{n-1}C_i^nx^ih^{n-i}}{h} = \lim_{h\to 0}\displaystyle\sum_{i=0}^{n-1}C_i^nx^ih^{n-i-1}$$
$$ = \lim_{h\to 0}(C_0^nh^{n-1}+C_1^nxh^{n-2}+...+C_{n-1}^nx^{n-1}) = \underbrace{0+0+...+0}_{n-1}+nx^{n-1}$$
$$\Rightarrow \frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}\quad , n\in\mathbb{N}$$
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這還挺簡單的，只要遵循求導數的定義，再二項式展開就行了。
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## (2)微分$x^{-n}$

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$$\frac{d}{dx}x^{-n}\quad(n\in\mathbb{N})$$
$$ = \lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^{-n}-x^{-n}}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{\frac{1}{(x+h)^n}-\frac{1}{x^n}}{h}$$
$$ = \lim_{h\to 0}\frac{\frac{x^n-(x+h)^n}{x^n\cdot(x+h)^n}}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{\frac{x^n-(x+h)^n}{(x^2+xh)^n}}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{x^n-\displaystyle\sum_{i=0}^nC_i^nx^{n-i}h^i}{h(x^2+xh)^n}$$
$$ = \lim_{h\to 0}\frac{-\displaystyle\sum_{i=1}^nC_i^nx^{n-i}h^i}{h(x^2+xh)^n} = \lim_{h\to 0}\frac{-\displaystyle\sum_{i=1}^nC_i^nx^{n-i}h^{i-1}}{(x^2+xh)^n} = \frac{-nx^{n-1}}{(x^2)^n} = -nx^{-n-1}$$
$$\Rightarrow \frac{d}{dx}x^{-n} = -nx^{-n-1}\quad, n\in\mathbb{N}$$
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因為敝人能力不足，無法直接證明$x$的實數次方的微分，因此只能先證(1)和(2)，再搭配合成函數微分應該就可以解決有里數次方的微分了，至於無理數次方就等大學了。
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## (3)微分$f(x)g(x)$

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$$\frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}$$
$$ = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)g(x+h)+f(x+h)g(x)-f(x+h)g(x)-f(x)g(x)}{h}$$
$$ = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)[g(x+h)-g(x)]+g(x)[f(x+h)-f(x)]}{h}$$
$$ = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)[g(x+h)-g(x)]}{h}+\lim_{h\to 0}\frac{g(x)[f(x+h)-f(x)]}{h} = f(x)g'(x)+g(x)f'(x)$$
$$\Rightarrow \frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = f(x)g'(x)+g(x)f'(x)$$
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## (4)微分$f(x)g(x)h(x)$

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$$\frac{d}{dx}[f(x)g(x)h(x)] = [f(x)g(x)]'h(x)+f(x)g(x)h'(x)$$
$$ = [f'(x)g(x)+f(x)g'(x)]h(x)+f(x)g(x)h'(x)$$
$$ = f'(x)g(x)h(x)+f(x)g'(x)h(x)+f(x)g(x)h'(x)$$
$$\frac{d}{dx}[f(x)g(x)h(x)] = f'(x)g(x)h(x)+f(x)g'(x)h(x)+f(x)g(x)h'(x)$$
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## (5)微分$\displaystyle\prod_{k+1}^nf_k(x)$

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由(3)和(4)的結果，我們猜測$$\frac{d}{dx}[\prod_{k=1}^nf_k(x)] = \sum_{i=1}^n[\frac{f'_i(x)}{f_i(x)}\prod_{k=1}^nf_k(x)]$$
試證$\displaystyle\frac{d}{dx}[\prod_{k=1}^nf_k(x)] = \sum_{i=1}^n[\frac{f'_i(x)}{f_i(x)}\prod_{k=1}^nf_k(x)]$對於任意正整數n階成立
1.當$n=1$時，$\frac{d}{dx}f_1(x) = \frac{f'_1(x)}{f_1(x)}\cdot f_1(x) = f'_1(x)$，成立
2.假設當$n=p$時，$\displaystyle\frac{d}{dx}[\prod_{k=1}^pf_k(x)] = \sum_{i=1}^p[\frac{f'_i(x)}{f_i(x)}\prod_{k=1}^pf_k(x)]\quad ,p\in\mathbb{N}$ 亦成立
3.則$n=p+1$時，$$\frac{d}{dx}[\prod_{k=1}^{p+1}f_k(x)] = \frac{d}{dx}[(\prod_{k=1}^pf_k(x))\cdot f_{p+1}(x)]$$
$$ = \frac{d}{dx}[\prod_{k=1}^pf_k(x)]\cdot f_{p+1}(x)+\prod_{k=1}^pf_k(x)\cdot f'_{p+1}(x)$$
$$ = \sum_{i=1}^p[\frac{f'_i(x)}{f_i(x)}\prod_{k=1}^pf_k(x)]\cdot f_{p+1}(x)+\prod_{k=1}^pf_k(x)f'_{p+1}(x)$$
$$ = \sum_{i=1}^p[\frac{f'_i(x)}{f_i(x)}\prod_{k=1}^{p+1}f_k(x)]+\frac{f'_{p+1}(x)}{f_{p+1}(x)}\prod_{k=1}^{p+1}f_k(x) = \sum_{i=1}^{p+1}[\frac{f'_i(x)}{f_i(x)}\prod_{k=1}^{p+1}f_k(x)]$$
$$\Rightarrow \frac{d}{dx}[\prod_{k=1}^{p+1}f_k(x)] = \sum_{i=1}^{p+1}[\frac{f'_i(x)}{f_i(x)}\prod_{k=1}^{p+1}f_k(x)]$$
由數學歸納法原理可知$$\frac{d}{dx}[\prod_{k=1}^nf_k(x)] = \sum_{i=1}^n[\frac{f'_i(x)}{f_i(x)}\prod_{k=1}^nf_k(x)]$$
對於任意正整數n皆成立
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在函數只有兩個的時候可以用補項的方式來求導數。三個函數的時候也可以用補項的方式，或者先把前兩個函數當成一個這樣去拆解。到了n個函數時，其實也可以補項、也可以慢慢拆，但是我覺得用數學歸納法應該是最直接明瞭的。
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## (6)微分$f(x)^n$

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$$\frac{d}{dx}[f(x)^n]\quad(n\in\mathbb{N})$$
$$ = n(f'(x)f(x)^{n-1}) = nf'(x)f(x)^{n-1}\quad(由(5)可知)$$
$$\Rightarrow \frac{d}{dx}[f(x)^n] = nf'(x)f(x)^{n-1}$$
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證明完(5)之後，(6)的結果其實也呼之欲出了，倒不如說(6)是(5)的簡易版。
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## (7)微分$\frac{f(x)}{g(x)}$

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$$\frac{d}{dx}[\frac{f(x)}{g(x)}] = \lim_{h\to 0}\frac{\frac{f(x+h)}{g(x+h)}-\frac{f(x)}{g(x)}}{h}$$
$$ = \lim_{h\to 0}\frac{\frac{f(x+h)g(x)-f(x)g(x+h)}{g(x+h)g(x)}}{h}$$
$$ = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)g(x)-f(x)g(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x+h)}{h\cdot g(x+h)g(x)}$$
$$ = \lim_{h\to 0}\frac{g(x)[f(x+h)-f(x)]-f(x)[g(x+h)-g(x)]}{h\cdot g(x+h)g(x)}$$
$$ = \lim_{h\to 0}\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x+h)g(x)} = \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}$$
$$\Rightarrow \frac{d}{dx}[\frac{f(x)}{g(x)}] = \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}\quad,g(x)\ne 0$$
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這也是用補項的方式來證，當初就是這個公式用得最不順手，因為長得太奇怪了XD，但自己證一遍後...還是覺得長得很奇怪，哀
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## (8)微分$f(g(x))$

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$$\frac{d}{dx}f(g(x)) = \lim_{h\to 0}\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h}$$
$$ = \lim_{h\to 0}\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{g(x+h)-g(x)}\cdot\frac{g(x+h)-g(x)}{h} = f'g(x)\cdot g'(x)$$
$$\Rightarrow \frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x))\cdot g'(x)$$
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這個補項還蠻難想的，但只要想到就證很快了。
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## (9)微分$x^{\frac{1}{n}}$

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令$f(x) = x^\frac{1}{n},\;g(x) = x^n$，則$f(g(x)) = x\quad(n\in\mathbb{N})$
$$\frac{d}{dx}f(g(x)) = \frac{d}{dx}x = 1$$
$$\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x))\cdot g'(x)$$
$$\Rightarrow f'(g(x))\cdot g'(x) = 1\Rightarrow f'(x^n)\cdot nx^{n-1} = 1$$
$$\Rightarrow f'(x^n) = \frac{1}{n}\cdot x^{1-n} = \frac{1}{n}\cdot(x^n)^\frac{1-n}{n} = \frac{1}{n}\cdot(x^n)^{\frac{1}{n}-1}$$
$$\Rightarrow f'(x) = \frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1}$$
$$\Rightarrow \frac{d}{dx}x^\frac{1}{n} = \frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1}\quad,n\in\mathbb{N}$$
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這個我原本是要第三個證的，但是就是證不出來。後來請教老師才知道要用合成函數的概念去證。
最近段考剛考完，清明連假後馬上就要上傳學習歷程了，弄完學習歷程要準備備審資料，同時間要準備二階筆試，一想到快要上大學了就覺得挖苦挖苦！
2024/4/2
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