一維彈性碰撞

# 一維彈性碰撞 > 作者：王一哲 > 日期：2018/4/29 <br /> 一維彈性碰撞是力學2第4章（舊課綱基礎物理2B下最後一章）的內容。假設在水平光滑桌面上有兩個小球，質量分別為 $m_1$ 及 $m_2$，速度分別為 $v_1$ 及 $v_2$，兩個小球碰撞後的速度分別為 $v_1'$ 及 $v_2'$。由於兩個小球的碰撞過程不受外力，系統動量守恆 $$ m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1' + m_2 v_2' ~\Rightarrow~ m_1 (v_1 - v_1') = m_2 (v_2' - v_2) ~~~~~ (1) $$ 若碰撞過程沒有能量損失，則碰撞前、後兩小球的總動能相等 $$ \frac{1}{2}m_1 v_1^2 + \frac{1}{2}m_2 v_2^2 = \frac{1}{2}m_1 v_1'^2 + \frac{1}{2}m_2 v_2'^2 \\ m_1 (v_1^2 - v_1'^2) = m_2 (v_2'^2 - v_2^2) \\ m_1 (v_1 + v_1')(v_1 - v_1') = m_2 (v_2' + v_2)(v_2' - v_2) ~~~~~ (2) $$ 第2式除以第1式可得 $$ v_1 + v_1' = v_2' + v_2 ~\Rightarrow~ \left\{\begin{matrix} & v_1' = v_2' + v_2 - v_1 ~~~~~ (3) \\ & v_2' = v_1 + v_1' - v_2 ~~~~~ (4) \end{matrix}\right. $$ 第4式代入第1式可得 $$ \begin{align*} & m_1 (v_1 - v_1') = m_2 [(v_1 + v_1' - v_2) - v_2] \\ \Rightarrow~ & (m_1 + m_2)v_1' = (m_1 - m_2) v_1 + 2m_2 v_2 \\ \Rightarrow~ & v_1' = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} v_1 + \frac{2m_2}{m_1 + m_2} v_2 \end{align*} $$ 第3式代入第1式可得 $$ \begin{align*} & m_1 [v_1 - (v_2' + v_2 - v_1)] = m_2 (v_2' - v_2) \\ \Rightarrow~ & (m_1 + m_2)v_2' = 2m_1 v_1 + (m_2 - m_1) v_2 \\ \Rightarrow~ & v_2' = \frac{2m_1}{m_1 + m_2} v_1 + \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} v_2 \end{align*} $$ <img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="100%" width="100%" src="https://i.imgur.com/KMwzfCU.png"> <div style="text-align:center">一維彈性碰撞的過程</div> <br /> 以下共有兩個程式，第一個是直接代撞後速度公式，第二個則是在木塊間加上理想彈簧作為緩衝，畫出完整的碰撞過程。 <img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="100%" width="100%" src="https://i.imgur.com/w072OIG.png"> <div style="text-align:center">程式15-1畫面截圖</div> <br /> <img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="100%" width="100%" src="https://i.imgur.com/d0T0ziW.png"> <div style="text-align:center">程式15-2畫面截圖</div> <br /> ## 程式 15-1.一維彈性碰撞公式（[取得程式碼](https://github.com/YiZheWangTw/VPythonTutorial/blob/master/15.%E4%B8%80%E7%B6%AD%E5%BD%88%E6%80%A7%E7%A2%B0%E6%92%9E/15-1_1D_collision.py)）　（[GlowScript 網站動畫連結](http://www.glowscript.org/#/user/yizhe/folder/Public/program/15-11Dcollision)） ```python= """ VPython教學: 15-1.一維彈性碰撞公式 Ver. 3: 2024/5/30 作者: 王一哲 """ from vpython import * """ 1. 參數設定, 設定變數及初始值 """ d1, m1, v1, c1 = 0.2, 0.5, 1.0, color.red # 木塊1的寬度=0.1 m, 質量=0.5 kg, 初速, 紅色 d2, m2, v2, c2 = 0.2, 0.1, 0.0, color.green # 木塊2的寬度=0.1 m, 質量=0.1 kg, 初速, 綠色 xmax, xmin = 2.0, -2.0 # x 軸範圍 t, dt = 0, 0.0005 # 時間, 畫面更新的時間間隔，單位為s, 原為0.001但能量不夠準確, 故改為0.0005 """ 2. 畫面設定 """ # 產生動畫視窗 scene = canvas(title="1 Dimension Collision", width=800, height=300, center=vec(0, 0.4, 0), background=vec(0, 0.6, 0.6)) # 產生地板 floor = box(pos=vec(0, -d1/2.0, 0), size=vec((xmax - xmin), 0.05, 0.8), color=color.blue) # 產生左側木塊 b1, 右側木塊 b2 並設定初速度 b1 = box(pos=vec(xmin + 0.5*d1, 0, 0), size=vec(d1, d1, d1), color=c1, v=vec(v1, 0, 0)) b2 = box(pos=vec(0, 0, 0), size=vec(d2, d2, d2), color=c2, v=vec(v2, 0, 0)) # 繪圖部分 gd = graph(title="<i>v</i>-<i>t</i> plot", x=0, y=300, width=600, height=450, xtitle="<i>t</i> (s)", ytitle="red: <i>v</i><sub>1</sub>, green: <i>v</i><sub>2</sub> (m/s)") vt1 = gcurve(graph=gd, color=c1) vt2 = gcurve(graph=gd, color=c2) # 自訂函式，一維彈性碰撞速度公式 def af_col_v(m1, m2, v1, v2): v1_prime = (m1-m2)/(m1+m2)*v1 + (2*m2)/(m1+m2)*v2 v2_prime = (2*m1)/(m1+m2)*v1 + (m2-m1)/(m1+m2)*v2 return v1_prime, v2_prime """ 3. 物體運動部分, 重複執行直到木塊抵達邊緣時 """ # 印出木塊質量及撞前速度 print("m1 = {:.6f}, m2 = {:.6f}".format(m1, m2)) print("碰撞前：v1 = {:.6f}, v2 = {:.6f}".format(b1.v.x, b2.v.x)) while b2.pos.x <= xmax - d2/2 and b1.pos.x >= xmin + d1/2: rate(1000) # 計算木塊間的距離, 若發生碰撞則計算撞後速度 dx = b2.pos.x - b1.pos.x if dx <= (d1 + d2)/2: b1.v.x, b2.v.x = af_col_v(m1, m2, b1.v.x, b2.v.x) # 更新木塊的位置 b1.pos += b1.v * dt b2.pos += b2.v * dt # 畫 v-t 圖 vt1.plot(pos=(t, b1.v.x)) vt2.plot(pos=(t, b2.v.x)) # 更新時間 t += dt # 印出木塊撞後速度 print("碰撞後：v1 = {:.6f}, v2 = {:.6f}".format(b1.v.x, b2.v.x)) ``` <br /> ### 參數設定在此設定變數為木塊的寬度、質量、初速、顏色，x軸的範圍、時間、時間間隔，其中時間間隔 dt 設定為 0.0005，這是因為設定為 0.001 時計算木塊能量的誤差較大，故選擇較小的數值。 <br /> ### 畫面設定產生動畫視窗、地板、木塊、繪圖視窗的程式碼在之前動畫當中已經出現很多次，這裡就不再贅述。 <br /> ### 自訂函式程式碼第 36 ~ 39 行設定了一個名為 af_col_v 的函式，輸入的參數為 (m1, m2, v1, v2)，將以上參數代入一維彈性碰撞速度公式，回傳撞後速度 v1_prime, v2_prime。我們在程式碼第 58 行呼叫這個函式 ```python b1.v.x, b2.v.x = af_col_v(m1, m2, b1.v.x, b2.v.x) ``` 由於回傳值有兩個，程式會將第1個回傳值指定給 b1.v.x，將第2個回傳值指定給 b2.v.x。 <br /> ### 物體運動部分 1. 當木塊抵達邊緣時停止動畫，因此 while 迴圈的條件設定為 ```python b2.pos.x <= xmax - d2/2 and b1.pos.x >= xmin + d1/2 ``` 2. 若兩個木塊中心的距離小於 (d1 + d2) / 2，表示木塊之間發生碰撞，呼叫自訂函式 af_col_v 計算撞後速度。 3. 更新木塊的位置，畫速度 - 時間關係圖。 <br /> ### 模擬結果我測試了 3 種不同的條件： 1. m1 = 0.5, m2 = 0.1, v1 = 1.0, v2 = 0.0 2. m1 = 0.2, m2 = 0.4, v1 = 1.0, v2 = -2.0 3. m1 = 0.4, m2 = 0.2, v1 = 2.5, v2 = -0.5 這是將數值直接代入一維彈性碰撞速度公式得到的結果，主要是作為下一個程式的對照組。 <img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://imgur.com/ByAquKF.png"> <div style="text-align:center">條件1的模擬結果：速度 - 時間關係圖</div> <br /> <img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://imgur.com/Oh1cljX.png"> <div style="text-align:center">條件2的模擬結果：速度 - 時間關係圖</div> <br /> <img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://imgur.com/SgMK25h.png"> <div style="text-align:center">條件3的模擬結果：速度 - 時間關係圖</div> <br /> ## 程式 15-2.木塊彈簧系統彈性碰撞（[取得程式碼](https://github.com/YiZheWangTw/VPythonTutorial/blob/master/15.%E4%B8%80%E7%B6%AD%E5%BD%88%E6%80%A7%E7%A2%B0%E6%92%9E/15-2_1D_collision.py)）　（[GlowScript 網站動畫連結](http://www.glowscript.org/#/user/yizhe/folder/Public/program/15-21Dcollision)） ```python= """ VPython教學: 15-2.木塊彈簧系統彈性碰撞 Ver. 5: 2024/5/30 作者: 王一哲 """ from vpython import * """ 1. 參數設定, 設定變數及初始值 """ d1, m1, v1, c1 = 0.2, 0.5, 1.0, color.red # 木塊1的寬度 = 0.1 m, 質量 = 0.5 kg, 初速, 紅色 d2, m2, v2, c2 = 0.2, 0.1, 0.0, color.green # 木塊2的寬度 = 0.1 m, 質量 = 0.1 kg, 初速, 綠色 L0, k = 0.5, 2.0 # 彈簧的原長 = 0.5 m, 彈性常數 = 2.0 N/m xmax, xmin = 2.0, -2.0 # x 軸範圍 t, dt = 0, 0.0005 # 時間, 畫面更新的時間間隔，單位為s, 原為0.001但能量不夠準確, 故改為0.00005 """ 2. 畫面設定 """ # 產生動畫視窗 scene = canvas(title="1 Dimension Collision", width=800, height=300, center=vec(0, 0.4, 0), background=vec(0, 0.6, 0.6)) # 產生地板 floor = box(pos=vec(0, -d1/2.0, 0), size=vec((xmax - xmin), 0.05, 0.8), color=color.blue) # 產生左側木塊 b1, 右側木塊 b2 並設定初速度 b1 = box(pos=vec(-L0 - 1, 0, 0), size=vec(d1, d1, d1), color=c1, v=vec(v1, 0, 0)) b2 = box(pos=vec(0, 0, 0), size=vec(d2, d2, d2), color=c2, v=vec(v2, 0, 0)) # 產生彈簧, 起點為(-0.5*d2, 0, 0), 方向為(-L0, 0, 0) spring = helix(pos=b2.pos + vec(-0.5*d2, 0, 0), axis=vec(-L0, 0, 0), radius=0.05, thickness=0.03) # 能量 - 時間關係圖 gd1 = graph(title="<i>E</i>-<i>t</i> plot", x=0, y=300, width=600, height=450, xtitle="<i>t</i> (s)", ytitle="red: <i>K</i><sub>1</sub>, green: <i>K</i><sub>2</sub>, orange: <i>U</i>, blue: <i>E</i> (J)") kt1 = gcurve(graph=gd1, color=c1) kt2 = gcurve(graph=gd1, color=c2) ut = gcurve(graph=gd1, color=color.orange) et = gcurve(graph=gd1, color=color.blue) # 速度、加速度 - 時間關係圖 gd2 = graph(title="<i>v</i>-<i>t</i> and <i>a</i>-<i>t</i> plot", x=0, y=750, width=600, height=450, xtitle="<i>t</i> (s)", ytitle="red: <i>v</i><sub>1</sub>, green: <i>v</i><sub>2</sub> (m/s); orange: <i>a</i><sub>1</sub>, blue: <i>a</i><sub>2</sub> (m/s<sup>2</sup>)") vt1 = gcurve(graph=gd2, color=c1) vt2 = gcurve(graph=gd2, color=c2) at1 = gcurve(graph=gd2, color=color.orange) at2 = gcurve(graph=gd2, color=color.blue) # 動量 - 時間關係圖 gd3 = graph(title = "p-t plot", x = 0, y = 1200, width = 600, height = 450, xtitle = "t(s)", ytitle = "red: <i>p</i><sub>1</sub>, green: <i>p</i><sub>2</sub>, blue: <i>p</i><sub>total</sub> (kg m/s)") pt1 = gcurve(graph = gd3, color = c1) pt2 = gcurve(graph = gd3, color = c2) pt3 = gcurve(graph = gd3, color = color.blue) """ 3. 物體運動部分, 重複執行直到木塊抵達邊緣時 """ # 印出木塊質量及撞前速度 print("m1 = {:.6f}, m2 = {:.6f}".format(m1, m2)) print("碰撞前：v1 = {:.6f}, v2 = {:.6f}".format(b1.v.x, b2.v.x)) while b2.pos.x <= xmax - d2/2 and b1.pos.x >= xmin + d1/2: rate(1000) # 計算木塊間的距離, 更新彈簧起點位置 dx = b2.pos.x - b1.pos.x - 0.5*d1 - 0.5*d2 spring.pos = b2.pos + vec(-0.5*d2, 0, 0) # 若木塊間的距離大於等於彈簧原長, 彈簧未被壓縮, 回復力 = 0, 木塊加速度 = 0 # 若木塊間的距離小於彈簧原長, 彈簧被壓縮, 計算彈簧回復力, 木塊加速度 if dx >= L0: spring.axis = vec(-L0, 0, 0) dL = 0 b1.a = vec(0, 0, 0) b2.a = vec(0, 0, 0) else: spring.axis = vec(-dx, 0, 0) dL = L0 - dx force = vec(-k*dL, 0, 0) b1.a = force/m1 b2.a = -force/m2 # 更新木塊速度、位置 b1.v += b1.a * dt b2.v += b2.a * dt b1.pos += b1.v * dt b2.pos += b2.v * dt # 計算木塊動能、系統彈性位能、力學能並作圖 k1 = 0.5 * m1 * b1.v.mag2 k2 = 0.5 * m2 * b2.v.mag2 u = 0.5 * k * dL**2 e = k1 + k2 + u kt1.plot(pos=(t, k1)) kt2.plot(pos=(t, k2)) ut.plot(pos=(t, u)) et.plot(pos=(t, e)) # 畫v-t圖及a-t圖 vt1.plot(pos=(t, b1.v.x)) vt2.plot(pos=(t, b2.v.x)) at1.plot(pos=(t, b1.a.x)) at2.plot(pos=(t, b2.a.x)) # 畫p-t圖 pt1.plot(pos = (t, m1*b1.v.x)) pt2.plot(pos = (t, m2*b2.v.x)) pt3.plot(pos = (t, m1*b1.v.x+m2*b2.v.x)) # 更新時間 t += dt # 印出木塊撞後速度 print("碰撞後：v1 = {:.6f}, v2 = {:.6f}".format(b1.v.x, b2.v.x)) ``` <br /> ### 程式設計部分由於程式 15-2 和 15-1 幾乎相同，只是加上一條理想彈簧作為緩衝，因此以下只說明兩者的不同之處。 1. 第 17 行，設定彈簧的原長 L0 = 0.5、彈性常數 k = 5.0。 2. 第 33 行，用 helix 物件產生彈簧，彈簧的起點位置為 b2 的左側，彈簧的軸為 vec(-L0, 0, 0)。 3. 第 41 ~ 46 行，增加一個繪圖視窗，用來畫能量 - 時間關係圖。 4. 第 58 行，計算兩個木塊之間的距離 dx = b2.pos.x - b1.pos.x - d1/2 - d2/2。第 59 行，更新彈簧的起點位置。 5. 第 62 ~ 72 行：若 dx >= L0，代表彈簧沒被壓縮，將彈簧的軸設定為 vec(-L0, 0, 0)，彈簧的回復力及 b1、b2 的加速度皆為0；反之，代表彈簧被壓縮，將彈簧的軸設定為 vec(-dx, 0, 0)，計算彈簧的回復力及 b1、b2 的加速度。 6. 第 79 ~ 86 行，計算木塊動能、系統彈性位能、力學能並作圖。 <br /> ### 模擬結果我測試了 3 種不同的條件： 1. m1 = 0.5, m2 = 0.1, v1 = 1.0, v2 = 0.0, k = 2.0 2. m1 = 0.2, m2 = 0.4, v1 = 1.0, v2 = -2.0, k = 5.0 否則會無法擋住木塊 3. m1 = 0.4, m2 = 0.2, v1 = 2.5, v2 = -0.5, k = 5.0 否則會無法擋住木塊木塊的撞後速度皆與理論計算相符，代表這個模擬結果應該是可靠的，可以從圖中觀察撞擊過程的能量、速度、加速度的變化。 <img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://imgur.com/IRMhR5d.png"> <div style="text-align:center">條件1的模擬結果：速度 - 時間、加速度 - 時間關係圖</div> <br /> <img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://imgur.com/G1DEaGQ.png"> <div style="text-align:center">條件1的模擬結果：能量 - 時間關係圖</div> <br /> <img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://imgur.com/OSs0BRz.png"> <div style="text-align:center">條件2的模擬結果：速度 - 時間、加速度 - 時間關係圖</div> <br /> <img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://imgur.com/EPfsJ5Y.png"> <div style="text-align:center">條件2的模擬結果：能量 - 時間關係圖</div> <br /> <img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://imgur.com/GclnkWi.png"> <div style="text-align:center">條件3的模擬結果：速度 - 時間、加速度 - 時間關係圖</div> <br /> <img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://imgur.com/D5rztGY.png"> <div style="text-align:center">條件3的模擬結果：能量 - 時間關係圖</div> <br /> ## 結語很少有課本或講義的作者肯認真地把一維彈性碰撞的過程畫出來，這是相當奇怪的事情，在碰撞過程中部分的動能會先轉換成彈性位能，接著再將彈性位能釋放出來變回動能，所以整個碰撞過程的動能並不守恆，只能說碰撞前後動能沒有損失。如果將碰撞過程完整地畫出來，可以使學生的觀念更加清楚。 <br /> ## 延伸閱讀〈[一維彈性碰撞次數與圓周率](https://hackmd.io/@yizhewang/Sk7_QkbEr)〉 <br /> ## VPython官方說明書 1. **canvas**: http://www.glowscript.org/docs/VPythonDocs/canvas.html 2. **box**: http://www.glowscript.org/docs/VPythonDocs/box.html 3. **helix**: http://www.glowscript.org/docs/VPythonDocs/helix.html 4. **graph**: http://www.glowscript.org/docs/VPythonDocs/graph.html --- ###### tags:`VPython`

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