# 46卷第一期02月號(2024)

[TOC]

## 物理新知

1. 第一篇
### 小型湖泊使地球冰層陷入危機
https://pubs.aip.org/physicstoday/article/76/10/70/2912740/Small-lakes-could-destabilize-Earth-s-ice-sheetsIn?searchresult=1
*Kristin Poinar*
林祉均
封面圖片:https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Ross_Ice_Shelf,_Antarctica_on_Earth.jpg

*融水 (Meltwater)湖泊是威脅格陵蘭與南極冰層的眾多因素之一*
地球的極地和其他地方不同，白晝和黑夜的週期不是24小時，而是整整一年。每個極地每年只會出現一次日出和一次日落。如此兩極化的一年包含了漫長的冬季和強烈的夏季，足以融化部分但不是全部的降雪。這種週期造就了地球的冰層。

格陵蘭冰川儲存了相當於全球海平面上7米高的水量，而南極的東西兩處冰層則鎖住了60米高的水量。在格陵蘭，夏季融水相當豐富，但在南極，只有邊緣地區會融化。

在冰層上，自然的地表凹陷會將融水收集成為數公里寬，數公尺深的湖泊，如圖1所示。如果沒有這些凹陷，融水將經過冰層表面流向海洋。但是湖泊中的水可以使下方冰層破裂讓融水得以抄捷徑。由於冰（密度為920 公斤/立方公尺）和融水（密度為1000 公斤/立方公尺）之間的密度差異，這種冰層破裂的唯一條件是預先存在的斷層和足夠填充它的融水。水的重量集中在裂縫的尖端，只要有新的水不斷流入以保持壓力，就會迫使裂縫變得更深。

相同的原理——水力壓裂（fracking）——也被石油和天然氣產業使用。然而，在這種情況下，鑽井工必須對水進行人工加壓來破壞密度為2500 公斤/立方公尺的頁岩。在冰層上，僅靠重力就足夠了。

**湖泊加速冰層滑動**
格陵蘭冰川中的冰以兩種方式流動：一種是變形，每年讓冰移動數十公尺；另一種則是滑動，冰層底部的水提供了潤滑，每年讓冰層移動好幾公里。這些水分約95%是來自地表，從裂縫流入，其中許多裂縫是由地表的湖泊引發。這些裂縫出現得非常迅速：僅僅在幾個小時內，它們就能向下傳遞數百公尺，將$10^{10}$公升的水排放到冰床上，流量超過尼加拉大瀑布。

在冰層下方，流入的水形成一個充滿水的腔室，像是水泡一樣，局部抬高冰層並消除了冰和冰床之間的摩擦力，使冰層得以流動。隨著時間的推移，水向外擴散，水泡縮小，摩擦力再度出現，但最初的擾動引發了重要的短暫變化。
圖1.格陵蘭冰川表面的湖泊（a）位於格陵蘭冰川的一個20×20公里區域（插圖中的紅星）中，這些湖泊是衛星於2018年6月12日拍攝。圖中橘色圓圈標示出其中三個湖泊周圍3到5公里的區域，一個湖泊的排水可能會誘發另一個湖泊排水。 (b) 這個地表湖在水突破冰層之前的樣貌。

冰面被推升約1公尺，且冰的速度增加得很快，每年可以將冰層拉伸0.1-1％。如果過程中引發的應力超過了冰的抗拉強度，那麼在湖泊周圍和內部將出現新的裂縫。至關重要的是，如果這些裂縫遇到另外一個湖泊，那麼該湖泊的水便可以鑽破冰層到達冰床，而這可能會產生另一個水泡，並在其他湖泊盆地中打開新的裂縫並排空湖水。觀測結果證實了此一過程：每年夏季，格陵蘭總是有數十個成群的湖泊會在幾天期間內相繼排空。

這些事件由兩個空間尺度控制：（A）水泡創建新地表裂縫的長度，和（B）湖泊之間的距離。A的估計範圍（3-5公里）超過B的範圍（1-2公里），因此帶來了一波湖泊排水的骨牌效應，往冰河的上下游傳播。隨著此一趨勢向下游推進，A的值通常會增加，而B減小，使得下游的所有湖泊可能都會排空。

然而，大約在距海岸線100公里處，B的數值會升高到超過A；這些湖泊之間的距離太遠，無法與水泡誘發的裂縫相交。但在不久的將來，隨著氣候暖化而冰層變薄，A將增加，而A與B的交會點將向內陸移動，導致新湖泊被排空。這會將水送到冰床內陸的較乾燥區域，那裡的冰河下水系統(原本)發展不佳，甚至可能根本不存在。理論上，這個過程可能會使冰層更快地滑入海中，進一步讓冰層變薄。

湖泊排空的趨勢是否是破壞冰層穩定性的最後一根稻草？可能是，但這個機制相當緩慢：它仰賴高黏度(Viscosity)的冰流使冰層變薄，將其表面高度降低到足夠低的海拔，那些地方的夏季溫度超過0°因而可形成融水湖泊。以這種方式完全摧毀冰層可能需要數千年。其他可能摧毀冰層的機制，例如冰山碎裂掉入溫度較高的海水，發生得更加迅速。重要的是，格陵蘭冰川消失的時間尺度主要受到地球暖化速率的影響。人為造成的暖化加劇看似可能帶來更快的時間尺度——也許只有1000年，但迄今為止還沒有任何過程將系統推向不穩定。

**湖泊使冰棚解體**
在地球的另一端，南極洲被冰棚環繞——它們是巨大南極洲冰層外圍的大片浮冰。由於冰棚浮在海中，約90%的冰處在水面下，使其表面只有高於海平面數十米。這麼低的海拔意味著在南半球夏季時該處會有更暖的氣溫和融水。
圖2. 在南極半島的拉爾森B冰棚（Larsen B Ice Shelf）上，（a）14×14公里區域內的地表湖泊，在冰棚解體的兩年前，2000年2月21日由衛星拍攝。粉紅色圓圈顯示了三個湖泊的2公里的彎曲變形半徑。 （b）一個冰棚坍塌之前的理想化剖面圖，包括湖泊本身以及它所引發的地表變形：一個中央盆地和一個半徑兩公里、高度達數十公分的前隆起（forebulge）。受到拉伸的表面很可能會斷裂。 （c）相同區域在湖水排空後的剖面，排空的湖引發因為*註地殼均衡（isostatic）產生的回彈並將原本的前隆起翻轉，在原先裂縫位置的另一面上會形成新的斷裂。
*註：地殼均衡(Isostasy)是一個地質學上的術語，是指地球岩石圈和軟流圈之間的重力平衡]*

南極半島上的拉爾森B冰棚曾在每個夏季都承載數千個融水湖泊，如圖2a所示。這些湖泊的重量對漂浮的冰棚造成彈性彎曲，因而產生了湖泊盆地和稱為前隆起（forebulge）的表面變形環繞著湖泊，如圖2b所示。

這種彈性彎曲應力影響了湖泊下方冰棚的下表面以及前隆起處的上表面。如前所述，足夠大的應力會引發斷裂，而任何裂縫所及之處的湖水便可穿過冰棚排入下方的海洋。移除水的重量負載會促使湖泊盆地回彈，就像一個橡皮玩具從下凹狀彈起變成凸起狀一樣。此一回彈將系統反轉成為一個突起的湖底和下凹的前隆起，如圖2c所示。

因此，應力引發的斷裂會形成在新的前隆起的下表面，恰好位於原先裂縫的正下方。如果裂縫處恰好有第二個湖泊，便可能會將湖水排空。這種情況在2002年就發生在拉爾森B冰棚上。棋盤狀的裂縫使得數百個湖泊在僅僅幾個星期內排空，造成冰棚解體。

在2002年之前，冰棚抑制了灌注它的上游冰河流動。而冰棚的解體導致這些冰河流入海中的流量增加了50％，不過後來流速已經趨近於其初始值。幸運的是，冰棚集水區僅有6300平方公里，相當於德拉瓦州的面積；冰棚崩解以及往後21年中冰河的變化，引起的總海平面上升不到1毫米。相較之下，整個南極冰川占地一千四百萬平方公里的冰川，自2002年以來已經導致全球海平面上升了8毫米，其中大部分歸因於較溫暖的海水加速了西南極洲的冰流。

南極的冰約有60％位於冰棚上游，冰棚的消失將使冰河陷入加速流失的危機。目前，羅斯（Ross）和菲爾克納-隆（Filchner– Ronne Ice Shelves）兩個冰棚占據了南極大陸的40％，而它們的表面幾乎沒有任何融水。它們也比拉爾森B冰棚厚很多，所以彎曲和斷裂不易發生。這些主要冰棚必須要同時經歷變薄及氣候暖化的作用才可能因湖泊引發的彎曲而解體，而這可能需要數個世紀甚至數千年才會發生。然而，南極半島上已經至少有四個冰棚是透過這種機制崩解的。此處情況和格陵蘭相同，倖存南極冰棚的命運將與未來氣候暖化密切相關。

‣ A. F. Banwell, D. R. MacAyeal, O. V. Sergienko, “Breakup of the Larsen B Ice Shelf triggered by chain reaction drainage of supraglacial lakes,” Geophys. Res. Lett. 40, 5872 (2013).
‣ L. A. Stevens et al., “Greenland supraglacial lake drainages trig-gered by hydrologically induced basal slip,” Nature 522, 73 (2015).
‣ J. Stock, “Modeled patterns of crevassing induced by supra-glacial lake drainage in western Greenland,” MS thesis, U. at Buffalo (2020).

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2. 第二篇
### 奈米列印低溫玻璃
https://doi.org/10.1063/PT.3.5316

林祉均

今日，大多數玻璃的製造方式仍與古代相似。在製程中，大量二氧化矽顆粒被加熱至約1100°C（的黏著樹脂狀態），然後壓實以形成塊狀固體材料。這種方法不僅耗費能源，還讓製造者無法在各種光電系統中使用玻璃：因為其他先進電子元件中所需的化合物熔點較低。這張顯微影像展示了製造溫度比傳統玻璃製程低500°C的新型拋物面玻璃透鏡。這些光學等級的透鏡直徑僅幾十微米。它們的可能應用包括將光線精確地聚焦到相機感光元件的單個像素上。
德國卡爾斯魯厄理工學院的楊斯·鮑爾（Jens Bauer）及其同事開發了一種3D列印程序，可以用於製造這類的微透鏡和許多其他具有複雜幾何的結構。首先，他們將一種內涵矽－氧奈米糰簇（silicon–oxygen nanoclusters）的有機－無機混合液態樹脂鋪在基板上。然後，他們使用超快雷射脈衝讓樹脂中的有機官能基中同時吸收兩個光子。有機成分隨後結合形成聚合物。最後，樣品在相對較低的650°C下進行熱分解，以去除有機成分並將先前的結構轉化為圖中所示的熔融二氧化矽玻璃。由於這個微透鏡陣列是以低溫製造，因此可以印刷到晶片上，不需要一連串繁瑣的組裝步驟。（資料來源：J. Bauer, C. Crook, T. Baldacchini, Science 380, 960, 2023；圖片由Jens Bauer提供。）

REFERENCES
1. J. Bauer, C. Crook, T. Baldacchini, Science 380, 960 (2023). https://doi.org/10.1126/science.abq3037
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3. 第三篇
### 短暫長週期無線電天體的未解之謎
https://doi.org/10.1063/PT.3.5321
林祉均

*三十年來，一個神祕天體所放出的週期性無線電波持續被觀測到，卻仍未露出真面目*

娜塔莎·赫利-沃克（Natasha Hurley-Walker）起初並沒有打算尋找長週期的中子星。在2020年，她獲得了澳大利亞研究委員會頒發的未來獎助金（Future Fellowship），這是一項多年資助計劃，旨在為處於職涯中期的研究人員提供財務彈性，以探索新計畫。對於身在澳大利亞國際無線電天文學中心的赫利-沃克來說，這是一個擺脫既有思想和發表壓力的機會。她決定「把一切都嘗試一遍……看看哪些會奏效。」

赫利-沃克的探索性計畫之一涉及以全新的方式使用一台澳洲無線電望遠鏡——即圖1中所見的莫奇森廣域陣列（Murchison Widefield Array，MWA）所取得的數據。她沒有選擇常用於製作天空深度圖像的數據處理方式，而是鋌而走險創造一種新技術，用於尋找短暫（transient）無線電波源，即隨時間推移出現和消失的天體。她選擇了這條道路，儘管以前的研究在無線電頻率段尚未取得任何成果。

圖1

這些天線組成了澳大利亞莫奇森廣域陣列無線電望遠鏡的256個小方陣之一，該望遠鏡被用於發現超長週期的無線電短暫天體，這些天體像宇宙中的燈塔一樣發出脈衝。由於其地理位置，這個望遠鏡能夠觀測天球的南半球。（PETE WHEELER）

赫利-沃克的大學部學生泰隆·奧多赫蒂（Tyrone O'Doherty）比較了盡可能相似的數據組：相同的天空區域、相對地平線的相同位置以及相同的無線電頻帶。在這兩張圖像之間唯一應該發現的變化是不可控的浮動，比如來自電離層的背景信號。從一次觀測結果中減去另一次，會形成一個差異圖像。所有那些沒變化的信號源都會消失，只留下那些有變化的部分。當赫利-沃克仔細端詳某個天空區域的差異圖像時，她看到了一個強烈的信號，也就是現在被稱為GLEAM-X J1627.1的天體$^{[1]}$。

**探索的自由**
GLEAM-X J1627 展現了脈衝星（一種中子星）行為的新可能性。脈衝星就像是宇宙中的燈塔：這些旋轉的恆星通常以1毫秒到12秒的週期向地球發出無線電波，持續數十年。然而，GLEAM-X J1627的週期長達18分鐘，其運轉速度遠遠慢於典型的脈衝星。GLEAM-X J1627發出的無線電波並未持續很長的時間，這增加了另一種解釋的可信度，即它是另一種稱為磁星（magnetar）的中子星，由強磁場驅動，僅持續數個月。

然而由於觀測數據不足，研究人員仍無法肯定。因此，赫利-沃克設計了一個專門的觀測計畫，以尋找更多長週期的脈衝星。她和博士後研究員蒂姆·加爾文（Tim Galvin）自動化了他們的數據分析程式，以處理他們預期從MWA收集的大量數據。另一位大學部學生查納德·霍爾瓦（Csanad Horvath）則與赫利-沃克一同改善他們的偵測技術。

在2022年8月，僅僅觀測了幾週後，他們發現了GPM J1839-10，這是他們找到的第二個奇怪天體$^{[2]}$。由於它擁有更長的22分鐘週期和超過其他波段相似脈衝星的無線電波強度，赫利-沃克甚至不確定它是否是一顆中子星。但在她倉促下結論之前，她先蒐集更多的數據。

**紀錄之外**
脈衝星的行為非常一致且持久。如果GPM J1839-10是一顆脈衝星，它應該可以在資料庫的數據中被找到。赫利-沃克聯絡了維吉尼亞州斯威布萊爾學院（Sweet Briar College）的名譽教授史考特·海曼（Scott Hyman），以協助資料搜索的進行。海曼對於無法解釋的長週期短暫現象並不陌生，他在2005年發現了一個週期77分鐘的類似天體$^{[3]}$。十多年後，仍然沒有理論能夠完全解釋他的發現。

海曼和赫利-沃克開始在MWA和其他無線電望遠鏡資料庫中進行搜索，並使用一台X射線望遠鏡（歐洲太空總署的XMM-Newton）和一台光學望遠鏡進行新的觀測。與GLEAM-X J1627僅在數個月內發射可觀測的無線電波不同的是，GPM J1839-10在觀測數據中現身可以追溯到1988年9月，幾乎是和最初的數位無線電望遠鏡記錄同一時間。由於觀測之間的時間間隔不同，有時只能檢測到單一脈衝，且通常解析度不高。

儘管GPM J1839-10非常明亮，但一直到現在才被發現，這得歸因於天文學家搜索脈衝星的方式。脈衝星被預期具有短週期，因此天文學家通常在毫秒到秒的時間尺度上尋找變化來進行搜索。赫利-沃克設計了一種新的方法，用來搜尋長時間尺度的變化，這樣一來就算天體亮度改變的週期更長也不會被遺漏。要實現這種技術需要仰賴現代圖像處理來分析天空中大塊區域的大量數據、MWA天線的配置來提供比其他無線電望遠鏡更大的空間頻率範圍，以及MWA望遠鏡的穩定性來讓GPM J1839-10能夠在背景噪音中脫穎而出。

**新舊交織**
面對兩顆超長週期的脈衝星以及一些具有其他異常特性的天體（參見圖2），赫利-沃克希望弄清楚這些天體是否真的是中子星。

圖2
GPM J1839-10和GLEAM-X J1627這兩顆星的超長發射週期使它們從典型中子星（長期發射脈衝的星; 綠色圓圈）和磁星（以糾結的磁場為特徵; 紫色星星）的集群中脫穎而出。脈衝星的週期通常在1毫秒到12秒之間，而磁星的週期通常在2秒到10秒之間。除了GPM J1839-10和GLEAM-X J1627之外，只有少數其他天體具有長週期。總體而言，它們可能屬於一種尚未被歸類的天體。（數據來自參考文獻2。）

脈衝星通過快速旋轉和其磁場生成出一對電子和正子，稱為成對產生（pair production）過程來放出明亮的光束。同樣的這個磁場也會放出強烈的無線電波能量。（要了解更多有關中子星物理的知識，請參閱Lars Bildsten和Tod Strohmayer在《Physics Today》1999年2月刊上的文章，第40頁。）然而，基於目前對脈衝星模型的理解，GPM J1839-10的旋轉速度似乎不足以產生電子對。也許我們需要對脈衝星有新的理解，也有可能該星不是脈衝星，即便它在三十多年內保持規律的週期。

磁星類似於脈衝星——它們是強大的能量源，並具有規律的週期，但它們的能量是來自它們持續重新排列的糾結磁場。儘管磁星以X射線波長發射能量，但XMM-Newton望遠鏡並未從GPM J1839-10中檢測到任何此類發射。缺乏X射線發射，以及磁星在幾個月後停止發射的事實，使赫利-沃克認為GPM J1839-10也不是磁星。

自從這篇論文發表以來，赫利-沃克已經與其他天文學家交流，並提出了新的理論。其中一種理論認為該恆星是一顆白矮星。巧合的是，華威大學（University of Warwick）的英格里德·佩里索利（Ingrid Pelisoli）在赫利-沃克關於GPM J1839-10的論文發表後不久，發表了她發現的一個在無線電波段相當明亮的脈衝白矮星雙星系統$^{[4]}$。他們是在同一個研討會上報告成果時才得知彼此的工作。慢速旋轉和無線電發射是雙白矮星系統的有力證據，但白矮星的脈衝能量有一部分是由其伴星的吸積物質所提供的。

缺乏另一顆恆星提供佐證，目前的理論無法解釋如此慢的旋轉速度如何能夠產生足夠的電子以發射無線電光束。針對GLEAM-X J1627的後續光學觀測顯示它是孤立的單一星體系統，而GPM J1839-10的脈衝週期在如此長時間內具有如此高的一致性，因此不可能是雙星系統的一部分，除非它處於完美的正面位置，以至於偵測不到任何都卜勒位移。

**搜索持續**
由於目前沒有理論能夠解釋新的超長週期短暫現象的所有已知特性$^{[5]}$，赫利-沃克正在尋找更多關於她的團隊所發現的神秘物體可能是什麼的線索。她已經申請使用哈伯太空望遠鏡的觀測時間，並計劃申請使用詹姆斯·韋伯太空望遠鏡的觀測時間以獲得有關GPM J1839-10的數據。無論是光學（哈伯）還是紅外（韋伯）光度測量都可以讓赫利-沃克根據光譜強度來確定恆星的類型。不幸的是，在銀河面附近進行觀測非常困難。要在這麼擁擠的天空區域中完全分辨出如此微小的光源，太空望遠鏡是唯一具有足夠解析度的儀器。

在等待太空望遠鏡的觀測時間時，赫利-沃克繼續使用MWA尋找更多類似的物體。她的兩個長週期脈衝星的發現之間僅相隔六個月。相比之下，對另一種不尋常的無線電源，即快速無線電爆發，頭兩次的觀測之間相隔四年。「根據估算，這意味著它們並不是非常罕見。」她計劃在較高的銀河緯度進行搜索，以使觀測區域不那麼擁擠，並且讓更多的望遠鏡將能夠進行後續觀測。

REFERENCES
1. N. Hurley-Walker et al, Nature 601, 526 (2022). https://doi.org/10.1038/s41586-021-04272-x
2. N. Hurley-Walker et al, Nature 619, 487 (2023). https://doi.org/10.1038/s41586-023-06202-5
3. S. Hyman et al, Nature 434, 50 (2005). https://doi.org/10.1038/nature034004.
I. Pelisoli et al, Nat. Astron. 7, 931 (2023). https://doi.org/10.1038/s41550-023-01995-x
5. N. Rea et al, https://arxiv.org/abs/2307.10351.
6. L. Bildsten, T. Strohmayer, Physics Today 52(2), 40 (1999). https://doi.org/10.1063/1.882523

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## 物理專文

### 阿秒光學進展與應用
賈世璿(陽明交通大學生醫光電所助理教授)
周紹暐(中央大學物理系助理教授)
陳明彰(清華大學電機系副教授)

**什麼是光脈衝？什麼是阿秒？**
阿秒物理學是一門研究及利用阿秒（$10^{-18}$秒）級別的光脈衝來觀察和控制原子及分子內部電子運動的科學。阿秒是一個非常短的時間單位，如果比較阿秒與一秒的差異，這會相當於一秒與宇宙年齡的比值。阿秒物理學的發展不僅是物理學和光學領域的一項重要進展，也為理解物質的微觀世界提供了新的視角和工具。

如何產生短的光脈衝一直是雷射物理學家很重要的研究課題，這邊講的光脈衝指的是一光源只在一定的時間範圍內有光(如圖(一a))，而阿秒級別的光指的是有光的時間範圍在阿秒的時間尺度。這樣的光就像相機快門只在很短時間開啟以捕捉快速移動的物體一樣，短脈衝允許科學家觀察物質在極短時間尺度上的動態。這對於理解化學反應、分子電子運動等快速過程至關重要。

光脈衝在研究光與物質交互作用及其物理機制和應用方面扮演著重要角色。例如，奈秒（$10^{-9}$秒）或更長的光脈衝常用於探究與熱效應相關的物質交互作用，如材料加工和雷射切割。在這些過程中，光能被物質吸收並轉化為熱能。

要產生更短的脈衝，我們需要利用一系列精密且複雜的光學技術。皮秒（$10^{-12}$秒）脈衝可以通過一種稱為鎖模（modelocking）的技術產生。鎖模是一種使雷射內不同模態（波長）的光相位同步的方法。這種同步確保了這些不同波長的光能在特定時間內建設性地干涉，從而產生非常短暫且重複的脈衝(如圖(一b))。由於皮秒脈衝的光持續時間夠短暫，它們在熱擴散尚未發生時就能精準激發物質的交互作用，例如破壞化學鍵或使電子游離，同時減少熱能轉化及其影響。

當需要產生更短的飛秒（$10^{-15}$秒）脈衝時，鎖模技術需要涵蓋更廣泛的波長範圍，並且要求不同波長的光傳播速度保持一致。飛秒脈衝提供的超短時間快門使科學家能夠捕捉到原子和分子層面上的動態過程，從而深入探索化學反應的連續動態。

總之，利用鎖模技術產生的皮秒和飛秒級脈衝在科學研究中非常有效。然而，隨著脈衝持續時間的進一步縮短，找到能夠支持如此寬波長範圍並同時維持相位和速度同步的材料變得越來越具有挑戰性。

然而，要達到阿秒級別的時間尺度，就需要全新的技術手段。可見光的波長範圍在 400-700 奈米，對應的週期時間長度為 1.3 到 2.3 飛秒。由於光脈衝長度不能短於單個週期，所以簡單地將可見光波長切短無法產生阿秒光脈衝。因此最務實的方法是用數十奈米等級且週期時間對應到數十阿秒等級的極紫外光（XUV）來產生阿秒光。雖然已有能操作在紫外光區雷射器，但由於一般雷射輸出功率與頻率的五次方成正比以及他技術上的限制，實際上並無法單用縮短雷射波長的方式來產生極紫外光。另一方面，同步加速器等大型裝置雖然可以產生高強度極紫外光，但卻缺乏產生超短脈衝所必需的時間相干性。

圖一：(a) 固定能量下不同脈衝寬度光源功率隨時間關係；(b) 不同波長之雷射光相位鎖定透過建設性干涉產生短脈衝。

**短脈衝的強場特性**
自從雷射被發明以來，科學家就發現了一種有趣的現象：當雷射光照射到某些介質（如氣體、液體或固體）時，會產生原始雷射頻率的整數倍的諧波。這一過程是非線性光學的一個經典範例，因為諧波的產生效率與入射光強度的幾次方成正比。

當我們使用的光源具有相同的平均功率時，脈衝越短就意味著在光脈衝期間達到的峰值功率更高(如圖(一a))。這一特性使得在這些短暫的光脈衝期間，激發、觀察甚至應用各種非線性光學現象成為可能。隨著脈衝雷射技術的不斷進步，科學家在1970年代起已經能夠產生皮秒和飛秒級別的光脈衝。而在這麼短的光脈衝的短暫存在期間，我們可以達到非常高的瞬間光強度。利用這些強烈的短暫光場，我們可以激發出更多不同類型的光與物質交互作用，進一步拓展了非線性光學的研究範疇。

**阿秒脈衝產生**
在1979年，一項具有劃時代意義的發現由諾貝爾獎得主Agostini教授及其研究團隊完成。他們發現，在強雷射光的照射下，原子或分子可以同時吸收多個光子，意味著原子或分子中原本被束縛的電子不僅獲得足夠逃逸的能量，還能獲得額外的動能。這種現象，被稱為超閾值游離（Above Threshold Ionization, ATI）(如圖(二a))[1]。

接著在1987年，L'Huillier教授及其團隊發現，通過使用強烈的光場與惰性氣體的交互作用，可以有效地產生更高次的諧波，即所謂的高次諧波生成（High Harmonic Generation, HHG）。這種高次諧波的頻率甚至可以達到原始雷射頻率的幾十甚至上百倍[2]。

此後，這一過程在1993年由Corkum教授通過半古典的三步模型得到了解釋(如圖(二b))[3]。這個模型包括以下三個步驟：

電子游離：在強雷射光場的作用下，原子的庫倫位能發生傾斜，使得電子可以透過穿隧效應逃離原子核的束縛，從而成為自由電子。
加速與返回：一旦電子游離，它會在雷射場中被加速，從而累積動能。隨著雷射脈衝的振盪，這些電子可能會被重新拉回它們原來的原子或分子附近。
發射高能量光子：當這些加速的電子在某些時刻以一定概率與它們的原子核再次相遇發生復合時，電子會將其積累的動能釋放發射出高能量的光子，形成高次諧波。

這一發現不僅使得科學家能夠利用紅外線雷射光產生極紫外線(XUV)雷射光源，而且還擴展了高次諧波的頻率覆蓋範圍。這進一步激發了科學家對利用這些高次諧波產生短脈衝的興趣。這與前面提及的鎖模技術有些類似，不同頻率的高次諧波可以透過建設性干涉形成一系列尖峰，這些尖峰就是阿秒脈衝。要實現這種建設性干涉，關鍵在於測量不同諧波之間的相位關係。在2001年，Agostini教授的團隊確認了不同諧波的相位資訊，從而證實了利用高次諧波產生阿秒脈衝序列的可能性[4]。這一發現為探索物質的超快過程和精密測量技術開啟了新的大門。

圖二：(a) 超閾值游離(above threshold ionization)示意圖；(b) 在強光場(背後黃色弦波)時原子位能被改變，可利用三步模型解釋高次諧波(HHG)產生，此過程半週期就會產生一次一阿秒脈衝，如果使用多週期紅外光激發高次諧波產生，會產生阿秒脈衝序列。

**如何產生單阿秒脈衝**
但早期在探索亞飛秒領域時，很快遇到一個關鍵的挑戰：從實驗上發現高次諧波過程會產生阿秒脈衝序列，而每個脈衝的長度僅為阿秒量級。但這些脈衝之間在時間上也僅間隔數飛秒長（紅外光半週期長），因此很難將其中的單一脈衝分離出來。最初的研究嘗試通過濾波或光柵將脈衝群切割成較短的片段。但這種方法的效率很低，而且難以保證選出脈衝精確的時間位置。隨後研究者們開發出新的技術：利用操縱光的色散可以選擇性地激發特定的諧波，從而得到一個單獨的飛秒脈衝。產生單獨的阿秒雷射脈衝需要兩個關鍵，第一個是光譜篩選（Spectral filtering），第二個是時間閘控（Temporal gating）。雖然光譜篩選並不是產生單阿秒脈衝的必要條件，但通過選出所要的特定波長範圍的高次諧波並移除其他波長的雜訊可控制阿秒脈衝的波形並避免不必要的旁瓣（Sidelobes），這樣可提升之後應用在超快動力學相關研究上的信噪比。常見光譜篩選方法為使用多層反射鏡、反射式光柵或是金屬奈米結構。

時間閘控則是藉由精確控制驅動雷射場的持續時間和特定脈峰的強度決定了諧波生成的動態。常見方法為偏極化閘控（Polarization gating）[5]、電離閘控（Ionization gating）[6]以及利用僅具有數週期的超短雷射來進行振幅閘控（Amplitude gating）[7]。其中偏極化閘控是利用控制兩道反向旋轉的圓偏振脈衝雷射在適當的延遲時間上重疊，以便能在短於一個光週期的閘寬內產生短暫具有近線性偏振的超短脈衝，偏極化閘控可以高效生成高對比度的孤立阿秒脈衝，產生的阿秒光品質對閘寬非常敏感，而閘寬是由反向旋轉圓偏振脈衝之間的延遲時間所決定的。由於在高次諧波產生過程中必須是線性偏振，且高次諧波的偏振角與驅動雷射的偏振方向一致。因此，閘控時間窗口內近線性偏振脈衝的偏振方向控制了孤立阿秒脈衝的偏振方向及產生的時間。在電離閘控技術中，當較高強度的驅動雷射脈衝前緣通過諧波產生介質時，諧波產生介質的瞬時電離程度會超過臨界電離值。在這種電漿密度下，由自由電子產生的負色散無法被剩餘中性產生氣體的正色散抵消。因此，破壞了產生高次諧波所需要的相位匹配，進而將產生高次諧波的時間區間限制在驅動雷射脈衝的最前端進而產生單阿秒脈衝。而在振幅閘控中，使用接近1.5週期的雷射驅動高次諧波並結合經過光譜篩選，以挑選出由最強半個週期驅動脈衝產生的阿秒脈衝，選擇出來高次諧波將對應到光譜的截止頻率並達成時間閘控，如此一來高次諧波的發射只會發生一次，並產生單阿秒脈衝。採用振幅閘控的方式必須控制驅動場的精確相位使得驅動電場具有可重現的形狀，因此需要有穩定載波包絡相位（Carrier- Envelope Phase, CEP）和時間上的穩定強度分布[8]。

**阿秒脈衝量測**
阿秒脈衝長度可用阿秒劃線相機測量（Attosecond streaking camera）[9]，這是是一種利用互相關（Cross correlation）技術的裝置。傳統的劃線相機是利用能隨時間產生不同角度的偏轉器將信號的時域資訊轉換成在探測器上的空間分布變化。在阿秒劃線相機測量上，其中偏轉器是一個隨時間快速變化的並只有幾個週期的紅外光電場（圖(三b)）。其原理是利用同步的強紅外脈衝和具有極紫外光波長單阿秒脈衝共同照射在介質上，藉由極紫外光引發光電離，同時掃描極紫外光及紅外光之間的延遲時間，並記錄受到強紅外光電場調變後光電子的能量譜，再與無激光場的情況下得到的電子能譜圖進行比較，並進行以下假設：(一) 極紫外單光子電離產生的電子脈衝完美轉換孤立阿秒脈衝的能量特性，也就是在初始孤立阿秒脈衝的能譜範圍內呈現無結構的連續譜。(二) 互相關過程遵循強場近似，電子從基態的原子被直接激發到連續譜，不會經歷與原子激發態間的共振過程，意即極紫外光電場不會改變能譜結構。(三) 紅外光電場必須保持低強度，以避免直接電離原子。最後通過分析不同拉延遲時間下釋放的電子脈衝所呈現出不同的最終能譜寬度，可以推斷出孤立阿秒脈衝的時間長度以及時域啁啾特性。

**阿秒光學應用**
時間解析
阿秒光源的產生和應用在極短時間尺度上有著重要的科學和技術應用。阿秒光源的應用範疇非常廣泛，涉及物理學、化學、生物醫學等多個領域，並為研究極短時間尺度的現象提供了強大的工具(圖(三))，以下是一些阿秒光源的應用：

* 觀察電子運動： 阿秒光源可用於觀察原子和分子中電子的運動[10]。由於阿秒的時間尺度與電子在原子和分子中運動的時間相符，因此可以捕捉到電子在不同能級之間的要遷過程，有助於理解電子動態行為。 譬如用半古典行星繞太陽的模型，電子在氫原子的基態繞氫原子一圈所需的時間為153 阿秒。

* 超快光譜學： 阿秒光源可以用於製備超快速的光脈衝，可用於超快速光譜學研究。這種技術可以提供關於分子和材料的超快速動態信息，有助於理解分子反應和材料特性[10-13]。

* 強場物理學研究： 在極強光場下，阿秒光源可以用於研究強場物理學，包括高次諧波產生、電子解離、以及其他與強場相關的現象。這有助於深入了解材料的光學性質和原子、分子的相互作用。

* 生物醫學應用： 阿秒光源的超快速特性也可應用於生物醫學領域。例如，可以用於研究生物分子的結構和動態，以及探索生物醫學成像的新方法。

* 量子控制： 透過阿秒光源，科學家可以實現對量子系統的極快速控制，進而探索量子信息處理和量子計算等領域。

圖（三）：(a) 在光激發後，呈現電子、自旋、激子和聲子動態的時間演變。(b) 單週期紅外光激發-極紫外線光偵測(pump-probe)的實驗架構。超快紅外光脈衝引發電子[10、11]、自旋[12]和激子密度[13]的超快動態行為，可驅動超快相變，相關研究凸顯了阿秒脈衝的深遠影響，使我們能夠探索新的物理、識別新的機制，並在下一代高速拍赫（PHz）固態元件方面取得重要進展。

**高分辨率成像影像**
由於阿秒脈衝具有極短的特性，它還有一個特性，中心波長落在5到100奈米的範圍內，也就是極紫外光（EUV）。這種特殊波長賦予EUV獨特的能力，使其在許多高精密領域中發揮著關鍵作用。這是因為影像的解析能力與使用的光源波長有關。這種關係可以通過簡單的瑞利準則來理解。瑞利準則是一種用來描述光學系統解析能力的方法，其中解析能力由入射光波的波長和光學系統的數值孔徑（即開口的大小）共同決定。

瑞利準則的公式為：**分辨極限=1.22⋅ 波長/數值孔徑**

由於瑞利準則中有波長的項目，因此波長較短的光波在相同的光學系統下會有更好的解析能力。換句話說，解析能力與光波的波長成正比，波長越短，解析能力越高。在奈米科技領域，EUV光也被廣泛應用於微小結構的檢測和研究。其短波長使得EUV能夠穿透並解析微細結構，提供高解析度的成像。這對於製造和研究奈米裝置至關重要，例如奈米半導體檢測，需要有10奈米以下的空間解析。
值得一提的是，阿秒極紫外光是同調光，可實現相干繞射影像術（Coherent diffraction image）（如圖（四）），以獲取對樣品的高解析度三維結構信息。在相干繞射影像中，一個相干的光波束照射在樣品上，形成一個繞射圖案。然後，通過測量這個繞射圖案，可以反推出樣品的結構信息。相干繞射的特點之一是它利用光的干涉效應，即波的相位信息，而不僅僅是振幅信息。這種技術的優勢在於其能夠在無需使用鏡頭或顯微鏡的情況下，直接獲取高解析度的結構信息而不失真。 三維相干繞射影像的優勢在於它允許獲取樣品的體積資訊(bulk information)，而不僅僅是表面的投影影像。這對於研究複雜的三維結構，例如生物分子的立體結構或材料的微觀結構，提供了一個非常有價值的影像工具。三維相干繞射影像技術的發展推動了對微細結構的深入研究，並為理解和設計新材料、藥物研發、生物學結構和奈米科技等領域提供了重要的工具。
圖（四）：桌上型同調極紫外光應用相干繞射影像術 [14]。

參考資料：
1.P. Agostini, F. Fabre, G. Mainfray, G. Petite, and N. K. Rahman, "Free-free transitions following six-photon ionization of xenon atoms," Phys Rev Lett 42, 1127 (1979).
2.M. Ferray, A. L. Huillier, X. F. Li, L. A. Lompre, G. Mainfray, and C. Manus, "Multiple-harmonic conversion of 1064 nm radiation in rare gases," Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics 21, L31 (1988).
3.P. B. Corkum, "Plasma perspective on strong field multiphoton ionization," Phys Rev Lett 71, 1994-1997 (1993).
4.P. M. Paul, E. S. Toma, P. Breger, G. Mullot, F. Augé, P. Balcou, H. G. Muller, and P. Agostini, "Observation of a Train of Attosecond Pulses from High Harmonic Generation," Science 292, 1689-1692 (2001).
5.T. Okino and K. Midorikawa, “Characterization of polarization gating parameters for attosecond pulse generation using an imaging polarimeter,” Phys. Rev. A, vol. 102, no. 2, p. 23116, Aug. 2020, doi: 10.1103/PhysRevA.102.023116.
6.M. J. Abel et al., “Isolated attosecond pulses from ionization gating of high-harmonic emission,” Chem. Phys., vol. 366, no. 1, pp. 9–14, 2009, doi: https://doi.org/10.1016/j.chemphys.2009.09.016.
7.F. Calegari, G. Sansone, S. Stagira, C. Vozzi, and M. Nisoli, “Advances in attosecond science,” J. Phys. B At. Mol. Opt. Phys., vol. 49, no. 6, p. 62001, 2016, doi: 10.1088/0953-4075/49/6/062001.
8.A. Baltuska et al., “Phase-controlled amplification of few-cycle laser pulses,” IEEE J. Sel. Top. Quantum Electron., vol. 9, no. 4, pp. 972–989, 2003, doi: 10.1109/JSTQE.2003.819107.
9.I. Orfanos et al., “Attosecond pulse metrology,” APL Photonics, vol. 4, no. 8, p. 80901, Aug. 2019, doi: 10.1063/1.5086773.
10.Eleftherios Goulielmakis, Zhi-Heng Loh, Adrian Wirth, Robin Santra, Nina Rohringer, Vladislav S Yakovlev, Sergey Zherebtsov, Thomas Pfeifer, Abdallah M Azzeer, Matthias F Kling, Stephen R Leone, and Ferenc Krausz, “Real-time observation of valence electron motion,” Nature 466, 739–743 (2010).
11.H. Mashiko, K. Oguri, T. Yamaguchi, A. Suda, and H. Gotoh, “Petahertz optical drive with wide-bandgap semiconductor,” Nature Physics 12, 741–745 (2016).
12.Florian Siegrist, Julia A Gessner, Marcus Ossiander, Christian Denker, Yi-Ping Chang, Malte C Schröder, Alexander Guggenmos, Yang Cui, Jakob Walowski, Ulrike Martens, J K Dewhurst, Ulf Kleineberg, Markus Münzenberg, Sangeeta Sharma, and Martin Schultze, “Light-wave dynamic control of magnetism,” Nature 571, 240–244 (2019).
13.Matteo Lucchini, Shunsuke A Sato, Giacinto D Lucarelli, Bruno Moio, Giacomo Inzani, Rocío Borrego-Varillas, Fabio Frassetto, Luca Poletto, Hannes Hübener, Umberto De Giovannini, Angel Rubio, and Mauro Nisoli, “Unravelling the intertwined atomic and bulk nature of localised excitons by attosecond spectroscopy,” Nature Communications 12, 1021 (2021).
14.B. Zhang, D. F. Gardner, M. D. Seaberg, E. R. Shanblatt, H. C. Kapteyn, M. M. Murnane, and D. E. Adams, "High contrast 3D imaging of surfaces near the wavelength limit using tabletop EUV ptychography," Ultramicroscopy 158, 98-104 (2015).

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## 物理專欄

第一篇
### 邁向解析力學之路第一集：吵架王達朗拜(上)從棄嬰到院士
高崇文

阿文曾教過大學部二年級的「力學」必修課，教了整整三年，由於要求太過嚴格，不少同學修了三次，從大二修到大四才過，被戲稱為「幽靈船」，因為有些學生一修再修，始終無法通過，簡直像華格納的歌劇「漂泊的荷蘭人」一劇的幽靈船一樣，永遠無法上岸！ 因此阿文被戲稱為「幽靈船船長」。其實阿文對「力學」的確情有獨鍾，因為「力學」從原本一門研究滑輪，槓桿等實際工程器材的學問，在笛卡兒、牛頓等偉大學者的努力下，逐漸華麗轉身，成為描述宇宙的宏偉數學架構，現代物理學於焉而生，當然令人肅然起敬！

但是故事並沒有在牛頓之後就戛然而止。 從牛頓的「原理」問世之後，力學仍然持續向著嚴謹化，體系化的方向大步邁進。我們通常將這個最後成型的高度數學化的學問稱之為「解析力學」，不過在比較古老的文獻上，也被稱為「理論力學」(法文mécanique rationelle，英文：Rational Mechanics)，實則更貼切。它成為物理其他分支的典範！統計力學、電動力學。相對論力學，乃至於量子力學都是從它身上得到養分而開花結果。所以說「解析力學」是眾物理理論架構之母，絲毫不為過。在它發展的過程中，有許多重要的人物參與其中，阿文打算將這些人物與解析力學的發展交織而成的故事，撰寫成一系列的文章。原本應該從牛頓的死對頭，萊布尼茲講起，無奈他的故事太長，必須獨立成一個系列，所以阿文就將第一篇的主角，改成了科學史上少見的吵架王。就是以「達朗拜原則」、「達朗拜算子」、「達朗拜級數收斂準則」而聞名的尚·達朗拜(Jean-Baptiste le Rond d'Alembert，1717–1783) 。

說起吵架王，大家印象最深刻的，莫過於周星馳的「九品芝麻官」中有一段，主人翁潛藏在窯子裡，結果被老鴇斥責一番；從此之後，他痛下決心，苦練口技，最後成了一張口就罵死魚蝦無數的「吵架王」。科學家裡，喜歡跟人吵架的，所在多有，特別是有競爭對手的，更是屢見不鮮；但是這一集的主角，可是喜歡吵架喜歡到逢人就吵，吵到朋友都翻臉成仇。他若是吵架王亞軍，保證沒有人敢自稱冠軍。但是他不但是個數學天才，也是著名法國啟蒙運動中的一個要角。著名的「百科全書」其中數學相關的內容，許多都是出於他的手筆。這樣才華洋溢的人，不好好過日子，出了名的難相處，究竟是什麼原因呢?

阿文大膽不負責地猜測，達朗拜乖僻的個性，也許跟他孤獨的童年有關吧？說起達朗拜的身世在科學史上也算非常罕見。他的父親是一名砲兵軍官，名叫 Louis-Camus Destouches，官拜准將。但是他的母親不是他父親的太太，而是巴黎上流社會著名的交際花，德·滕欽夫人，閨名是克勞汀·亞歷桑德琳·蓋因(Claudine Alexandrine Guérin de Tencin)。她曾是一名貴族出身的修女，她的父親還是地方議會的議長。但在 1714 年獲得了教皇特許還俗，其實在此之前她就與愛爾蘭來的戰爭英雄Arthur Dillon 譜出可歌可泣的戀曲。還俗以後，她就展開了她多采多姿的社交名媛生涯。她的入幕之賓不乏達官貴人，也參予了眾多宮廷內的派系鬥爭。她靠著跟約翰·勞(John Law，法國人通常讀作Jean Lass，1671年4月21日－1729年3月21日）的交情海撈了一筆（約翰·勞是蘇格蘭出身的金融「冒險家」。他於 1716 年在巴黎創立了一家銀行，有權發行紙幣。 起初它非常成功，但在 1720 年倒閉了。史稱「密西西比泡沫」）。而達朗拜是德·滕欽夫人在“多重關係”中懷上的小孩。他的父親在達朗拜出生時，派駐在外，他的母親則是將剛出生的孩子留在了巴黎聖母院北邊的一間小教堂，Saint-Jean-le-Rond de Paris 的台階上。小嬰兒很快被發現，並且被帶到了一個收容無家可歸兒童的收容機構。在那裡達朗拜受洗禮，就以他被發現的教堂為他命名。

當他的父親回到巴黎時，他與年幼的兒子取得了聯繫，並安排由一位玻璃工的妻子盧梭夫人來照顧他。 在達朗拜的眼中，盧梭夫人才是他真正的母親，他的親生母親從來沒有承認過他，而他也一直住在盧梭夫人的房子裡，直到他中年為止。
達朗拜的教育原本是由他的父親一手包辦。但是他的父親於 1726 年去世，當時達朗拜 只有9 歲，幸虧他父親留給他的錢足夠的錢。他父親所屬的 Destouches 家族繼續照顧他的教育，並安排他進入揚森派(Jansenist) 辦的明星學校馬薩林學院(Collège des Quatre Nations)。 他註冊時用了讓-巴蒂斯特·達倫貝格(Jean-Baptiste Daremberg )的名字，但沒多久就改成後世熟知的尚·達朗拜。

馬薩林學院是達朗拜學習數學的絕佳場所。Carron 教授開設的數學課程以法國數學家伐里農(Pierre Varignon 1654年—1722年)的講座為基礎，伐里農是牛頓、萊布尼茲以及白努利家族的朋友，他把微積分引進法國，甚至試著用萊布尼茲的微積分符號來「重寫」牛頓的力學。他在1687年發表的Projet d'une nouvelle mécanique，引入了「力矩」的概念；可以說，他是當代法國「新科學」的泰斗。伏里農從1688年就是馬薩林學院的數學教授，同一年被選為法蘭西科學院院士。後來他還成為柏林學術院與英國皇家學會的院士。有這樣的傳統，達朗拜無疑得到了一流的訓練，而且達朗拜利用學院收藏頗豐的數學圖書館來自學，數學能力變得更強。除了數學訓練，他還在學院學習了笛卡兒的物理學說，但是當他後來形成自己的思想時，就拋棄了笛卡兒的觀點了。

其實馬薩林學院的主要目的原本是培養神學專家，並且是站在揚森派的立場反對耶穌會的神學。然而，達朗拜對學院裡的神學研究覺得非常乏味。1735 年畢業後，他決定從事法律，但他真正的熱情是數學。起初他為了生計，決定要當律師，然後在業餘時間從事數學的研究。著名的費馬正是這麼做，但是到了1738年，達朗拜取得了律師資格之後，他似乎發現他實在不適合在波旁王朝統治下當律師。第二年，達朗拜決定要改學醫學，但他發現這比神學更糟，完全不合他的口味，幾番思量後，達朗拜終於下定決心，要當個學者，因為在他所曾涉獵的所有學科中，他唯一熱衷的只有數學，下定決心後，他在這方面的進步非常顯著，而且他幾乎都是靠自學，可見他真的有很高的數學天賦。

他的學者生涯很快就開始了，1739 年 7 月達朗拜向巴黎科學院宣讀了他的第一篇論文，內容涉及他在雷諾的標準文本Analyze démontrée中發現的一些錯誤，這些錯誤其實影響不大，但卻是他數學生涯的開始。 1740 年，他提交了關於流體力學的第二篇著作，這部作品得到了數學家克萊羅(Alexis Claude Clairault，1713—1765）的稱讚。克萊羅也是力學發展的要角，以後我會為他特地寫一篇。達朗拜下定決心，連續提交了三份不成功的申請。1741 年 5 月，達朗拜憑藉關於積分的論文被巴黎科學院錄取，此時他年方24，不過克萊羅18歲時就被破格選為法國科學院院士，因為克萊羅16歲時就完成了《關於雙重曲率曲線的研究》（Recherches sur les courbes a double courbure）一書。人比人，氣死人，這也種下兩人後來交惡的遠因。

在討論達朗拜的科學貢獻之前，讓我先介紹一下他的個性吧！因為這對他的科學工作發展方式產生了重大影響。雖然達朗拜的生活平淡無奇，他不喜歡旅行，一生都在巴黎科學院和法國科學院工作。晚年前，他的社交活動也不活躍，可是在另一個層面上，他的生活算得上波濤洶湧，簡直可當成一場大戲，因為他幾乎與周圍的每個學者，（狄德羅可能是唯一的例外）最後都鬧到不歡而散。當時的人這麼描述：

達朗拜總是被爭議所包圍。 ...他是一根避雷針，從所有身為哲學家的敵人身上引來了火花。......不幸的是，他將這種......好鬥性帶入了他的科學研究，一旦他陷入爭議，他就會以積極和固執的態度為自己的事業辯護。他從不認為自己可能是錯的……

儘管有與周圍人爭吵的強烈傾向，但達朗拜對數學的貢獻確實非常出色。他在 1743 年出版的《動力學論文Traité de dynamique 》正是將力學推向嚴謹的理論力學更是有不可磨滅的重要著作，他在序言中明確地聲明，試圖改進牛頓的力學系統為力學奠定堅實的基礎。達朗拜是數學家，而不是物理學家，達朗拜不滿意牛頓原先「力」的概念，嘗試在《動力學論文》提議新的動力學系統。他認為力學與幾何或代數一樣是數學的一部分。理性力學是一門基於簡單必要原理的科學，所有特定現象都可以通過嚴格的數學方法推導出來。總而言之，達朗拜認為力學應該成為一個完全奠基在先驗公設，類似歐幾里得幾何的數學系統。

達朗拜透過對力下了一個數學上嚴謹的定義，幫助解決了數學物理學中關於動能守恆的爭議。這本書也包含了達朗拜的力學原理，也就是後世稱為「達朗拜原則」的重要原理。以他為名的達朗拜原則雖然被表達成頗為難解的形式，但是後來被拉格蘭日表達成類似「虛功原理」的形式，更具體地講，是外力的虛功與質點質量乘上加速度再乘上虛位移相等。所以要講這個重要原則，還是要從「虛功原理」談起。

亞理斯多德曾主張當秤處於平衡時，兩端的重量比與兩端到端點的比是互成倒數，這是槓桿原理的推廣。伽利略將這個主張推廣到斜面上的滑輪兩端放砝碼，要達成平衡的條件是兩個砝碼重的比與斜面和高的比成倒數。逐漸地，學者發現靜力平衡的條件是物體受到的力乘上”虛位移”的乘積必須為零。「虛(virtual)位移」這個詞是約翰·白努利(John Bernoulli)最早使用的，是力學機械在滿足幾何限制條件下同一時間作出的無限小位移。像是單擺的話，幾何限制條件就是擺到懸掛點的距離必須保持固定。而雙擺的話，則是第一擺到懸掛點的距離，第二個擺到第一擺的距離都要固定。第一個將這個原本只適用於靜力學的原理用到動力學的是約翰·白努利的長兄雅各·白努利(Jacob Bernoulli)，他在1703年用「虛功原理」研究雙擺的運動，要注意的是，系統每個質點的虛位移並不一定是獨立的，因為系統要滿足特定的束縛，等於是各個質點之間要滿足特定的幾何關係。這個原則乍看之下只是簡單的算術，為何在科學史上占有一席之地呢？這是因為機械系統之間有束縛力，如果用牛頓的方式，因為不知道束縛力的大小、方向，所以解不出系統中質點的運動方程式，而不知道下個時刻的質點位置與速度；反過來，不知道下個時刻的質點位置與速度，也無法得出下個時刻的束縛力，這就變成「雞生蛋？蛋生雞？」的窘境。但是束縛力通常與虛位移垂直，所以束縛力造成的虛功為零，這樣就能”閃過”束縛力造成的困境。

用現代的眼光來看，「達朗拜原理」其實就等於將運動中的力學系統做一個座標變換到質心速度為零的座標系中，然後運用虛功原理，因為此時的系統質心不受力，這等於是將動力學問題轉換成了靜力學了。可是要注意，讓質心維持靜止的座標系並非慣性系，所以必須將質點質量乘上加速度再乘上負號，當作所謂的「假想力」以後考慮進來。在這個座標下所有力（包含假想力）所做的虛位移必須等於零。將假想力移項，就得到外力的虛功與質點質量乘上加速度再乘上虛位移要相等的結論。達朗拜還特別研究牛頓第三運動定律（每一個作用都有一個大小相等、方向相反的反作用力），說明了這個定律對於自由運動的物體和剛性固定的物體（俗稱剛體）都適用。由此我們可以看出牛頓之後，學者們開始要處理像是剛體這類更複雜的系統，牛頓的質點力學遠遠不足，所以才會有達朗拜這樣的數學家跳進來，從事力學的研究。達朗拜清楚地表明了他的立場，他認為力學是基於形而上學原理而不是實驗證據。在閱讀牛頓的「原理」時，他似乎沒有意識到牛頓的運動定律有多麼強烈地建立在實驗證據之上。對於達朗拜來說，這些運動定律是合乎邏輯的先驗命題。這種學風不只是達朗拜一人獨有，而是當時歐陸普遍的現象。十八世紀被學者稱為「理性主義的世紀」不是叫假的。

達朗拜於 1742 年末開始向學院朗讀他尚未出版的《動力學論文》，但不久之後克萊羅也開始向學院朗讀他自己關於動力學的著作。很快地，兩人之間的煙硝味就瀰漫在法蘭西學院內，兩人之間的一場競爭日益白熱化，年輕氣盛的達朗拜居然就停止向學院朗讀這部作品，並帶著這篇論文匆忙出版。這兩位數學家在接下來的幾年裡，競爭變得更加嚴重，也愈來愈意氣用事，彼此批判的言詞也愈來愈辛辣。這些強調理性的學者們，言行舉止其實也不盡理性，似乎也是頗為諷刺的一件事。

當時力學的研究除了延伸到剛體，物體的彈性之外，另外一個重要的範疇則是流體。1744 年，達朗拜將他的結果應用於流體的平衡和運動，並出版了《Traité de l'équilibre et du mouvement des fluides》。之前丹尼爾·白努利針對相同的問題發表的論文另一種處理的方法。達朗拜認為他的方法比較好，當然丹尼爾·白努利可不這麼想，兩人之間的關係也因此打壞。達朗拜在巴黎科學院愈來愈不開心，幾乎可以肯定是因為他與克萊羅的競爭以及與其他人的分歧所造成的。

大約在 1746 年左右，達朗拜的生活發生了相當突然的變化，之前他一直滿足於在養母的家裡過著沒有社交但精神活躍的生活。 1746 年，他被介紹到傑弗林夫人(**Marie Thérèse Geoffri，1699-1777**)所主持的沙龍，她是一位富有、且慷慨的夫人。傑弗林夫人的沙龍與之前的沙龍不同，她的沙龍吸引的不只是一般的貴族名流，許多帶著「危險思想」的學者，作家也受邀來到她的沙龍，她的沙龍聚集了當時法國的俊彥之士。法國學術院秘書貝爾納·勒·布耶·德·豐特奈爾、著名的哲人如孟德斯鳩、伏爾泰、克洛德·阿德里安·愛爾維修(Claude Adrien Helvétius)等都曾是她沙龍的座上賓，當時外國賓客到巴黎，都以能有幸訪她舉辦的沙龍為榮。這讓達朗拜很快進入了社交生活，令人驚訝的是，他開始享受巨大的成功和聲望。

1747 年對達朗拜來說是重要的一年，因為這一年，達朗拜提交普魯士學術院 *Réflexions sur la Cause générale des vents* （對風的一般成因的思考）的一篇文章得獎了！事實上，達朗拜的這部關於風的作品，存在他所有作品的典型缺陷，也就是它在數學上非常合理，但基於相當差的物理證據。例如：在這種情況下，達朗拜假設風是由潮汐對大氣的影響而產生的，而大氣的加熱只起了很小的作用。克萊羅攻擊了達朗拜的方法：

為了避免精密的實驗或冗長乏味的計算，為了替代更省事的分析方法，他們常常做出在自然界中沒有立足之地的假設；他們追求與他們的目標無關的理論，而在執行一個完全簡單的方法時稍加堅持，肯定會讓他們達到他們的目標。

達朗拜和克萊羅之間的激烈爭論甚至導致這兩位優秀的數學家在當時的科學期刊上互相辱罵。同一年，他發表了關於振動弦的論文。這篇文章首次出現了波動方程式，波動方程式中出現的算子就被稱為「達朗拜算子」。但這篇文章存在著同樣的缺陷，即他在數學上對某些邊界條件進行了簡化，這導致了與觀察結果不一致的結果。克萊羅對達朗拜的批評大概就是打中痛腳，才會讓達朗拜如此火大吧！

雖然與克萊羅交惡，但是達朗拜也結交了新朋友。尤拉在 1743 年左右通過丹尼爾·白努利的來信得知了達朗拜的作品。然而，由於我們上面提到的原因，丹尼爾·白努利在閱讀了他的 Traité de l'équilibre et du mouvement des fluides 後對達朗拜提出了高度的批評。當達朗拜憑藉關於風的論文獲得普魯士科學院獎時，尤拉正是該年度論文獎的評審。尤拉認為達朗拜的作法優於丹尼爾·白努利的作品。 當然，此時尤拉和達朗拜的關係非常好，尤拉對達朗拜的工作非常尊重，兩人在許多共同感興趣的話題上都有往來。尤拉看到了達朗拜引入方法的威力，並很快將這些方法發展得比達朗拜更進一步。結果達朗拜與尤拉到後來也鬧翻了。整件事的來龍去脈，要等到下一回再來細說了。

各位看官看到這裡，如果以為這是個棄嬰變成院士的勵志故事，那您恐怕要失望了。事實上，他的後半生充滿著各式各樣的風暴，有些風暴純粹是他咎由自取，但是有些風暴卻是來自時代的背景，達朗拜是後世稱為「啟蒙運動」的一個要角，他的學術成就並不是他留名青史的主要原因，這其中種種緣故，還請靜待阿文在下一回為您慢慢道來，請不要忘了下一回的吵架王達朗拜(下)集喔！

參考資料：
(一) 中文 英文 法文 德文維基相關條目

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第二篇
### 邁向解析力學之路第一集：吵架王達朗拜(下)百科全書派的健將
高崇文

上次阿文為大家介紹了法國數學家，尚·達朗拜(**Jean-Baptiste le Rond d'Alembert**，1717 – 1783)的前半生，這一回要繼續來介紹他的後半生。達朗拜的後半生中最重要的轉折點發生在1745年，這一年法國出版商布雷頓準備邀請32歲的狄德羅(Denis Diderot，1713－1784）和28歲的達朗拜將1728年英國出版的《百科全書：或藝術與科學通用字典》譯成法文。一開始這事情似乎只是件小事，但是後來的發展卻改變了歷史。

說起狄德羅 (Denis Diderot，1713—1784），他出生於法國朗格勒，父親是一個刀匠。他在耶穌會辦的學校求學，1729年進入巴黎大學學習，並於1732年獲得文學學士學位。本來他要繼續深造成為律師，但是後來改變心意，成了作家。狄德羅與達朗拜兩個人在接受這項工作之後，卻在翻譯過程中，發現英國的這套百科全書內容支離破碎，觀點陳舊，充滿了令人窒息的宗教思想，於是狄德羅提出由他自己任主編，達朗拜任副主編。狄德羅自告奮勇去找人來編寫一套更好的百科全書。出版商接受了這個建議，沒想到狄德羅的計畫得到了伏爾泰、盧梭、霍爾巴赫、愛爾維修等20多位著名學者的支持。在他們的幫助下，狄德羅把法國最優秀的100餘位思想家、哲學家、科學家、政治家，以及工程師、航海家、軍事專家和醫師組織起來，共同從事這項偉大的事業。這部書就是啟蒙運動中赫赫有名的《百科全書，或科學、藝術和工藝詳解詞典》（Encyclopédie, ou dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers），通稱《百科全書》（Encyclopédie），這套書從1751年一路編纂到1772年才大功告成。1772年出版28卷，其中共17卷正編，11卷圖編，此後其他人多有補編，1780年再版時共有35卷。成為了歷史上第一部致力於科學、藝術的綜合性百科全書。
這部《百科全書》之所以留名青史是因為參加編纂的主要人員如孟德斯鳩、魁奈、杜爾哥、伏爾泰、盧梭、布豐伯爵等人都是法國啟蒙運動時期的著名人物。在1752年到1753年間，狄德羅成功地找到不少人，包括伏爾泰及孟德斯鳩願意參與撰寫相關條目，盧梭則是早在1749年就曾為狄德羅《百科全書》音樂和經濟學方面寫稿。就在此同時，宗教及王權舊勢力也開始在動用資源打壓以激進啟蒙思維為主的《百科全書》，因為對這些舊勢力來說《百科全書》的普及將說服更多較包容及開明的法官、部長、王朝官員、大學教授，和比較激進的神職人員接受所謂的「危險思想」。在舊勢力中，《百科全書》是用來系統化灌輸物質主義的、無神論及反皇權教條的隱秘工具，所以需要反制和打壓。
有打壓就有反抗，於是在編輯百科全書的過程中，形成了一個代表第三等級利益，以反對封建專制、天主教會和經院哲學為己任的「百科全書派」（Encyclopédiste）。結果《百科全書》在「百科全書派」這群法國啟蒙思想家手上成為衝撞當時法國社會保守勢力的破門錘，《百科全書》以啟蒙主義為目的，條目常常夾敘夾議、議論時政，造成有時知識的介紹被議論喧賓奪主，雖然從百科全書的角度而言並不能算是一部理想的工具書，但是它對社會產生的影響卻變得極為巨大。它不僅是一部法語百科全書，更是啟蒙時代思想的代表之作。正如主編狄德羅所述，《百科全書》的目標是「改變人們的思維方式」。1751年第1卷出版後，就遭到政府與教會的壓力，導致有幾卷不得不地下發行，最後10卷甚至改用假封面和倒填日期出版。後來《百科全書》發行四開及八開更便宜的版本，使非精英更容易取得，學者估計在法國大革命前，約有25,000本《百科全書》在法國及歐洲流通，這包羅廣泛且一般人負擔得起的《百科全書》成為向群眾傳達啟蒙及科學教育的代表作品。
達朗拜在整個百科全書的編纂過程中算得上是狄德羅以下的第一人，他從一開始就被聘為編輯，負責數學和物理天文學。達朗拜從事百科全書工作多年，事實上，他寫了這 28 卷著作中的大部分數學文章。達朗拜在 1754 年寫於 Encyclopédie 第 4 卷的一篇題為 Différentiel 的文章中，他建議將極限理論建立在堅實的基礎之上。他是最早了解函數這個概念重要性的人之一，在文中，他將函數的導數定義為增量商的極限。他也是第一個提出代數基本定理證明的人，雖然他的證明有漏洞，後來被德國數學家高斯修補完成。

達朗拜的興趣除了數學，也包括音樂理論。他於1752 年出版的《音樂要素》試圖闡述作曲家讓·菲利普·拉莫（Jean-Philippe Rameau，1683-1764 年）的原則，他將當代音樂的發展整合成一個主導西方音樂的和聲體系直至1900年左右。達朗拜於1754 年出版了一篇題為“Réflexions sur la musique en général et sur la musique française en preiculier”的文章表達了他對一般音樂（特別是法國音樂）的看法。他還在他的數學小冊子中發表了有關聲學、聲音物理學的論文，並為百科全書撰寫了幾篇有關音樂的文章。

但是他的角色不只於此，他於1751 年撰寫了《初步論述》，介紹了該書的第一卷。這是一次非凡的嘗試，旨在呈現當代知識的統一觀點，追蹤其各個分支的發展和相互關係，並展示它們如何形成單一結構。《論述》的第二部分致力於文藝復興時期以來歐洲的思想史。 1752 年，達朗拜為第三卷寫了序言，這是對百科全書批評者的有力反駁，而作為第五卷序言的《孟德斯鳩的著作》（1755 年），巧妙但有些不誠實地將孟德斯鳩描述為百科全書的一位哲學家，百科全書的支持者。事實上，孟德斯鳩拒絕了撰寫《民主》和《專制主義》文章的邀請，而他承諾的《品味》一文在孟德斯鳩於 1755 年去世時仍未完成。

但是達朗拜後來逐漸從編輯的工作中淡出，這事的原委是由於達朗拜於1756年，他前往日內瓦與伏爾泰同住，在那裡他還為百科全書的一篇文章〈日內瓦〉收集資料，那篇文章讚揚了日內瓦牧師的教義和實踐。當它在1757年問世時，在日內瓦引起了憤怒的抗議，因為它肯定了許多牧師私底下不再相信基督的神性，並且還主張（可能是在伏爾泰的慫恿下）建立劇院。這篇文章促使為《百科全書》撰寫音樂相關文章的盧梭在他的《致達朗拜》（Lettre à d'Alembert sur les spectacles，1758）中指出，劇院總是具有腐敗性的影響力。達朗拜本人以一封尖銳但友善的信件回覆盧梭。然而編輯事業日益困難，達朗拜逐漸灰心喪氣，於 1758 年初放棄了自己的編輯職位，此後他只投入對數學和科學文章的創作。

除了與盧梭交惡之外，達朗拜後來也與尤拉形同水火。兩人的恩怨說來話長，導火線是達朗拜參加了1750年的柏林獎競賽，而評審團再次由尤拉擔任主席，結果裁定當年提交的參賽作品均不值得獲獎，因此該獎項被推遲至1752年。達朗拜拒絕參加1752 年的比賽，且親自發表了他1750 年的論文。於 1752 年初在巴黎以《流體阻力新理論論文Essai d’une nouvelle théorie de la résistance desflues》的形式出現。在這篇文章中，他認為空氣是由小顆粒組成不可壓縮的彈性流體，並從固體力學原理中繼承了阻力與運動物體撞擊時動量損失有關的觀點，但是他得出了令人驚訝的結果：粒子受到的阻力為零，達朗拜本人對結果並不滿意。 這個結論被稱為「達朗拜悖論」。達朗拜用清晰的數學證明，對於不可壓縮和沒有粘滯性的勢流，當物體相對於流體以恆定速度移動時，物體將不會受到任何阻力。達朗拜本人對結果並不滿意。這個結論被稱為「達朗拜悖論」。實際觀測相對於流體（比如：空氣和水）運動的物體，阻力卻相當可觀，這點與零阻力的證明直接矛盾。這個悖論值得特別討論的原因，這是典型的，達朗拜式力學的風格，漂亮的數學。但是往往與物理現實脫節，不過這個悖論卻對流體力學的後續發展產生不小的影響。阿文將為「達朗拜悖論」寫篇專文，這裡限於篇幅就不多說了。

這麼優秀的論文沒有得獎，達朗拜想來滿腔怒火，而1750年12月，年輕的天文學家奧古斯丁·納撒內爾·格里肖（Augustin Nathanael Grischow，1726-1760）離開柏林學術院，前去聖彼得堡的俄羅斯學術院。格里肖是 1750 年比賽的三名評審委員之一，而且他過去與達朗拜熟識。他向達朗拜和巴黎社會的其他人透露了他對導致該競賽所有參賽作品被拒絕的看法。結果達朗拜開始認定尤拉其實認出了他的參賽作品，並說服了格里肖和另一位評審，他們都認為這篇論文是最好的參賽作品，但並沒有充分回答為比賽而設置的問題。柏林學術院的競賽與當時的其他有獎競賽一樣，參賽者都是匿名參賽，但是對尤拉來說，要辨識達朗拜獨特的數學風格並不困難，因此這個故事有一定的可信度。無論如何，達朗拜認為自己受到了不公平的對待，並在1751 年9 月10 日的一封憤怒的信中中斷了與尤拉的通信。同年晚些時候，柏林學院1749年的期刊出現，其中包含尤拉的一系列文章，其中一篇是關於歲差的文章，另外三篇則是達朗拜在他們的通信中曾熱情地向尤拉描述主題的文章。達朗拜很快就警覺起來。他直覺地認為自己的全部作品都被偷了！即使是他最重要的貢獻，就是關於春分點移動的那本書，尤拉居然沒有提及，達朗拜因此徹底惱火了！

說起來達朗拜的憤怒是有道理的。他在1749年發表了《牛頓系統中分點進動和地軸章動的研究》(Recherches sur la précession des equinoxes, et sur la nutation de l'axe de la terre, dans le système Newtonien)中找到了對歲差（地球軌道位置的逐漸變化）的解釋，確定了其特徵，還加碼解釋了地軸的章動。春分點的進動是自古以來就已為人所知的現象。地軸其實並不是靜止的，而是相對於恆星畫出一個大圓圈，就像在斜軸上旋轉的陀螺一樣。歲差的周期約為26,000年，它將在未來千年內顯著改變北天極的位置。1748年，英國天文學家皇家詹姆斯·布拉德利宣布他發現了地球自轉軸的另一種擾動，即以18年為週期的點頭運動或「章動」。 達朗拜為自己設定的任務是用嚴格的力學術語以及牛頓萬有引力平方反比定律來解釋這兩種現象，他最終解決了這個問題，並於 1749 年中旬出版了說明他的解決方案的書。尤拉過去也一直在研究進動和章動問題，但從未解決它。1749 年夏末，他收到了達朗拜的書。在1752 年6 月寄給學院的「觀察」論文中，達朗拜報告說收到了尤拉的一封信，日期為1750 年1 月3日，其中尤拉確認收到這本書。尤拉也表示，他並沒有真正理解達朗拜的論點，但在讀完之後，他開始能夠針對問題提出自己的解決方案。尤拉在柏林科學院 1749 年發表的正是這個解決方案。尤拉的解決方案比達朗拜的解法更簡潔、容易理解，一共只有36 頁，而達朗拜的卻有 184 頁！事實上，達朗拜的數學著作向來以組織不良和難以理解而惡名昭彰。更重要的是，尤拉的解決方案更加一般化，還促使他在第二年發表了一篇關於剛體運動一般原理的重要論文，他至少從1734 年起就一直在研究這個問題。因此，儘管尤拉在解決進動和春分點問題上很大程度上要歸功於達朗拜，但是他的論文中也的確有很多新穎之處；然而，尤拉應該在論文一開始就承認，達朗拜已經解決了這個問題，他只是提出了另一個解決方案。紀錄顯示，尤拉直到 1750 年 3 月 5 日才真正向柏林科學院提交了他關於該問題的結果，因此他將這篇文章插入該學院 1749 年的卷中並不妥當。不過，尤拉承認了達朗拜擁有優先權，並在學院期刊的下一卷中插入了一條簡短的通知。在這份通知中，尤拉承認他是在讀了達朗拜的書之後才寫的論文，並且他「沒有假裝自己因首先解決了這個重要問題而獲得榮耀」。事實上，尤拉在《柏林學院史》這卷中出版了五篇論文，此時正是他職業生涯最有生產力的階段。達朗拜對尤拉感到憤怒的原因是他覺得尤拉在竊取他的想法，而且沒有給予他應有的功勞。從某種意義上來說，達朗拜生氣是站得住腳的；但另一方面，達朗拜的論文通常寫得非常混亂，以至於尤拉無法遵循它，只好從頭開始來解決問題。也難怪他一開始不覺得需要提達朗拜的書。不管誰是誰非，兩人還是從無所不談的好友變成死敵。
雪上加霜的是1751 年開始，尤拉涉及塞繆爾·柯尼希(Johann Samuel König 1712 – 1757)與莫佩爾蒂（Pierre Louis Moreau de Maupertuis，1698—1759）在柏林學術院爆發的爭端。柯尼希說萊布尼茲在1707年寫給Jacob Hermann 的信中就提出了最小作用量原理。而與莫佩爾蒂為了查特萊夫人而爭風吃醋的伏爾泰也趁機寫了小冊子挖苦莫佩爾蒂。然而柯尼希拿不出萊布尼茲信的原稿，所以莫佩爾蒂的好友尤拉，反過來指控對手偽造文書。這件事鬧得滿城風雨，達朗拜站在柯尼希與伏爾泰這邊，兩人的關係就更進一步惡化了。後來當普魯士國王腓特烈二世試圖說服達朗拜接受柏林學術院院長的職位時，尤拉對此強烈反對，並寫信給拉格朗日：
.... 達朗拜試圖各種吹毛求疵來破壞 [我對振動弦問題的解決方案]，唯一的原因是他自己沒有解出來。 ……他認為他可以用他的口才欺騙那些半桶水的傢伙。 ...他希望在我們的期刊上發表不是證明，而是簡單地聲明我的解決方案有缺陷。……從這裡你可以判斷如果他成為我們的院長，他會造成多大的騷動。
其實尤拉過慮了，因為達朗拜根本不想去柏林。他只有在1755 年在萊茵河畔的韋塞爾村短暫拜訪過腓特烈二世，並於1763 年在德國波茨坦停留了一段時間。1756-1763年期間爆發了七年戰爭，法國與普魯士彼此交戰，當然不可能見面。達朗拜在 1764 年拜訪了腓特烈二世三個月，再次拒絕了腓特烈二世邀請他擔任院長的提議，並試圖說服腓特烈二世任命尤拉為院長。達朗拜也拒絕了葉卡捷琳娜二世(就是凱薩琳大帝)去俄羅斯為她兒子做家庭教師的邀請。反倒是尤拉在1766年接受凱薩琳大帝前去聖彼得堡，造化弄人哪！
達朗拜只想留在巴黎，他於 1754 年11 月 28 日當選為法蘭西學院院士，這在很大程度上是由於著名作家和沙龍女主人杜凡德夫人(**marquise du Deffand**)的不懈努力所達成的。杜凡德夫人雖然是傑弗林夫人的死對頭，但是非常喜歡達朗拜。法蘭西學術院院士只有四十人，死後才遞補的，被稱為「不朽的四十人」。達朗拜是第二十五號。1772 年，達朗拜被任命為常任秘書。他的職責之一是撰寫 1700 年至 1772 年間去世的所有成員的傳記。他透過在學院公開會議上發表的Éloges向他的前任致敬，並花費大量時間為學院撰寫成員的訃告。儘管文學價值有限，但它們有趣地揭示了他對許多當代問題的態度，也揭示了他希望在學院和公眾之間建立聯繫的願望。
被選為學術院院士後達朗拜依然持續他的科學研究。在他的*Recherches sur différents point importants du système du monde*（1754-56）中，他將幾年前向學院提出的行星擾動造成軌道變化的解決方案修整地更嚴謹。1750 年代末期，達朗拜與巴黎科學院的同事鬧翻後，他就不在巴黎科學院發表論文，他將數學論文寄給柏林學術院。他積分學的研究成果就是刊登在《柏林學術院備忘錄》，積分學是透是數學的一個分支，透過變數數值的變化率來研究變數之間的關係，這個分枝的建立很大程度上要歸功於他。然而，當他與尤拉交惡之後，尤拉開始不樂意發表他的作品，達朗拜於是停止發表他的數學文章，而是將它們收集在一起並以Opuscules mathématiques的形式出版，該作品在 1761 年至 1780 年間共出版了八卷。 他對極限的想法使他進行了收斂性檢驗，即今天被稱為「達朗拜比率檢驗」，就出現在Opuscules mathématiques的第 5 卷中。
在他生命的後期，達朗拜逐漸轉向了文學和哲學。 達朗拜的哲學著作主要出現在 1753 年至 1767 年間出版的五卷本*Mélanges de littérature et de philosophie*中。在這部著作中，他闡述了他對形而上學問題的懷疑態度。他接受了支持上帝存在的論點，基於這樣的信念，即心智不能僅是物質的產物。然而，儘管他在書中採取了這種折衷的觀點，但有證據顯示，達朗拜其實在 1770 年之前被狄德羅說服，接受了唯物主義。
達朗拜從 1765 年開始抱怨，在一次疾病發作後，他的大腦不再能夠專注於數學。 1777 年，在給拉格蘭日的一封信中，表明了他的遺憾：
最讓我煩惱的是，幾何學是我唯一真正感興趣的職業，我卻做不到了。我在文學方面所做的一切，雖然在法蘭西學院的公開課堂上很受歡迎，但對我來說只是一種填補時間的方式，因為我沒有更好的事情可做。
儘管身為懷疑論者，達朗拜願意支持哲學家對基督教的批評，但他過於謹慎，總是避免站到火線上。然而，1764年法國驅逐耶穌會士，促使他首先以「由一位無私的作者」匿名出版，後來以自己的名義出版了《法國耶穌會士的毀滅》（1765 年；《耶穌會士毀滅的記述》）在法國，1766 年）。他在那裡試圖表明，耶穌會士儘管具有優秀學者和教育家的品質，但由於過度熱愛權力而毀滅了他們自己。
1765年，一場重病迫使他離開了養母的家，最終搬到了著名的沙龍女主人，朱莉·德·萊斯皮納斯(Jeanne Julie Éléonore de Lespinasse，1732-1776)的家裡，還與她發展出親密關係。他是她的沙龍中的領導人物，她的沙龍後來成為法蘭西學術院私底下的重要聯誼中心。他們的親密關係僅持續了很短一段時間，達朗拜很快就成為「好友」的角色。但是直到 1776 年朱莉去世後，他才發現她與其他男人的親密「友誼」。於是他搬到了羅浮宮的一間公寓裡——因為他擔任學院常任秘書而享有的特權——並在那裡去世。他最後於1783年死於膀胱疾病。作為一個著名不信基督教的名人，達朗拜被埋葬在一個沒有標記的墳墓裡。這在當時是很平常的事，就算是伏爾泰，法國教會也拒絕為他舉行葬禮，還是靠著他親友張羅，伏爾泰才有葬身之處，不過伏爾泰後來被遷葬到巴黎萬神殿，達朗拜就沒那麼幸運了。
吵架王達朗拜只是邁向解析力學之路這個系列的第一篇，解析力學的獨特性格與發展它的人物，時代有著千絲萬縷的關聯。還請各位看官持續支持，更多精彩的內容等著您喔！

參考資料:
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第三篇
### 邁向解析力學之路第二集：縱情聲色的快樂學者：神童克萊羅
高崇文

上一回阿文介紹了啟蒙運動的重要人物，達朗拜。他是理論力學邁向嚴謹體系的重要人物，阿文也提到達朗拜幾乎與當時重要的學者都吵過架。這一回就從最早與達朗拜發生爭吵，可以說，吵了一輩子的亞歷克西斯·克勞德·克萊羅（Alexis Claude Clairaut，1713年5月13日－1765年5月17日）說起。克萊羅也是力學發展中不能不提的重要人物，他的工作幫助確立了牛頓在1687 年《原理》中概述的原理和結果的有效性。他的眾多成就都是沿續牛頓的足跡而行，但是他卻能做到一些牛頓做不到的事情，這都要歸功於十八世紀微積分的長足進步。他對解析力學的建立有不可抹滅的功勳，就讓阿文為您細細道來。

克萊羅出生於法國巴黎，父母是讓-巴蒂斯特 (Jean-Baptiste) 和凱瑟琳·佩蒂特·克萊羅 (Catherine Petit Clairaut)。這對夫婦育有 20 個孩子，但只有非常少數能夠存活下來，這在當時乃是司空見慣之事。他的父親是一名數學教師，很早就發現亞歷克西斯是個數學神童。讓-巴蒂斯特·克萊羅自己在家裡教兒子，他制定了非常嚴苛的標準。亞歷克西斯在自己父親的指導下，數學能力進步地驚人迅速。他的啟蒙讀物是歐幾里德的《幾何原本》，九歲時就讀通了一本優秀的數學教科書《吉斯尼應用數學教科書》，該教科書很好地介紹了微分、積分以及解析幾何。大家別忘了，在那個時代，微積分還是只有少數頂尖學者才能夠一窺堂奧的高深學問呢！隔年，亞歷克西斯繼續研究德洛皮塔爾侯爵(**Guillaume François Antoine, Marquis de l'Hôpit, 1661-1704**)的著作，特別是他的著名著作《闡明曲線的無限小分析Analyze des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes》，讀了這麼多好書，早熟如他者自然也會開啟自己的研究。亞歷克西斯在十二歲時寫了一本關於四個幾何曲線的備忘錄。到了十三歲的時候，亞歷克西斯居然能夠在法蘭西學院朗讀一篇關於他先前發現的四條曲線性質的論文《Quatre problèmes sur de nouvelles courbes》。亞歷克西斯持續打破各項記錄，當他年僅16 歲時完成了一篇論文《雙曲率曲線研究(Recherches sur les courbes a double courbure)》，所謂雙曲率曲線指的是立體的三維曲線，它的曲率與扭率可以完全決定曲線的行為。這篇論文於1731年出版，使他得以進入皇家科學院，儘管他當時年僅18歲，遠遠低於可以進入科學院的法定年齡。有趣的是，三維歐氏空間中任意兩個點的距離與兩個點的卡氏座標的具體關係第一次被寫下來也是在這篇文章中！雖然畢氏定理有上千年歷史，笛卡兒發明解析幾何也已經百來年了，但是卻到此時才由克萊羅把這公式寫出來，也是有趣之事。克萊羅於1729年9月4日被推薦為法國科學院的會員，但國王路易十五直到1731年才確認他的選任。1731年7月，克萊羅成為有史以來法國科學院最年輕的院士。在那裡，他加入了由皮埃爾·路易斯·莫佩爾蒂領導的一個小團體，該團體支持牛頓的自然哲學。莫佩爾蒂比克萊羅大15歲，但儘管如此，33 歲的莫佩爾蒂也還算是學院的年輕成員。雖然牛頓的原理早在1687年就發表了，但是當時並不是所有的歐陸科學家都相信牛頓的理論，有些學者仍然寧願相信笛卡兒的渦旋理論。這群年輕人憑著優異的數學能力傲視學界，可以說是領一時風騷了。

克萊羅在1733年以約翰·白努利的風格撰寫了關於變分法的論文《Sur quelques questions de maximis et minimis》，並於同年發表了旋轉二次曲線(quadratic curves)測地線，這也是約翰·白努利研究過的主題。 1734年，克萊羅與莫佩爾蒂一起訪問巴塞爾，一起向約翰·白努利學習了幾個月。在巴塞爾的期間，克萊羅與塞繆爾·柯尼格(Johann Samuel König 1712 – 1757)成為了朋友，兩人後來透過信件持續進行了好幾年的科學合作。約在此時，克萊羅研究了現在稱為「克萊羅微分方程」的微分方程，除了方程的一般解之外還給出了特解。

1736 年 4 月 20 日至 1737 年 8 月 20 日，克萊羅參加了由莫佩爾蒂領導的拉普蘭探險隊，這次探險由巴黎科學院組織。拉普蘭是位於北歐北極圈內外的地區。這次探險的目的是估計高緯度子午線弧度，希望從幾何的角度來計算地球的形狀。先前，牛頓在他的《原理》一書中認為地球的形狀並非完美球形，而是稍微扁平的橢球體形狀；克萊羅與莫佩爾蒂試圖驗證牛頓的理論是否符合實況。在探險隊返回巴黎之前，克萊羅將他的計算結果發送給了英國皇家學會。這篇文章後來由皇家學會在 1736-37 年的旗艦刊物《哲學彙刊Philosophical Transactions》發表。在這篇文章中，他宣稱地球是扁橢球體，兩極較扁平，往赤道方向變寬，符合牛頓的主張，但是克萊羅在文章中概述了一些反駁牛頓關於地球形狀理論中某些計算有效性的關鍵問題，克萊羅證明了牛頓的方程式是如何不正確的，並且沒有證明地球真的是橢球體的形狀。克萊羅相信牛頓選擇他所選擇的形狀是有道理的，但他宣稱牛頓在《原理》中並沒有真的證明這一點。克萊羅在《哲學彙刊》的文章引起了很大爭議，因為他自認自己回答了地球形狀的問題，但卻幾乎沒有提供修正牛頓原始計算的解決方案。當時巴黎天文台台長卡西尼吉利主張地球是兩極長的橢球體，莫佩爾蒂團隊證明了卡西尼是錯的，這在當時引起軒然大波，我把這事留到講莫佩爾蒂時再細說。

克萊羅回到巴黎後持續他的數學工作，他在1739 年和 1740 年之間，發表了關於積分術的進一步研究，發明了可以尋找積分因子來求一階微分方程的解，約翰·白努利、雷諾和尤拉也對這個主題感興趣。 克萊羅在1741 年還出版了一本名為《幾何元素Elements de géometrie》的書。 這本書概述了幾何的基本概念。 1700 年代，幾何普遍被認為是一個枯燥的話題。 克萊羅看到了這個趨勢，激發他寫了這本書，試圖讓一般學習者來說幾何可以很有趣。 他認為，與其讓學生重複解決他們不完全理解的問題，不如讓他們以主動、體驗式的方式去學習，自己動手去發現。他透過比較幾何形狀和土地測量來開始這本書，因為這是大多數人都能了解的主題。 他的主題涵蓋線條、形狀，甚至一些立體物體。 在整本書中，他不斷地將物理和其他數學分支等不同概念與幾何聯繫起來。 書中概述的一些理論和學習方法至今仍被教師在幾何和其他主題中使用。在《Elements de géometrie》的序言中，克萊羅給出了他撰寫這本書的目標：

我打算回到幾何學的起源。我試圖透過用足夠自然的方法來發展它的原理，讓人們甚至以為發明幾何學的人所用的方法正是這個方法，只是試圖避免他們犯過的任何錯誤的步驟......

克萊羅除了這本幾何教科書之外，還寫了另外一本關於代數的書*Elements d'algèbre*於1749 年出版。在*Elements de géometrie*的序言中，克萊羅寫出了這本書的目標：

我打算回到代數學的起源。 我試圖透過一種足夠自然的方法來發展它的原理，以便人們可以認為它與幾何學第一個發明者的方法相同，只是試圖避免他們可能不得不採取的任何錯誤步驟......

這本代數書是一本更具學術性的著作，將主題上升到四次方程式的解。他試圖證明為什麼引入代數符號是必要且不可避免的，並且取得巨大成功。這本書多年來一直用於法國學校的教學。

1742 年，克萊羅發表了一篇關於動力學的重要著作，也就在此時，他與達朗拜開始交惡，因為達朗敗也寫了一本類似的書！接下來，克萊羅終於將注意力轉向了先前他沒有完成的地球形狀問題。一年後克萊羅完成了他的計算，出版了論文《關於地球形狀的理論Théorie de lafigure de la terre》（1743）。在這篇論文中，他提出了「克萊羅定理」，該定理將旋轉橢球體表面上各點的重力與緯度還有橢球的橢圓率(ellipticity)聯繫起來。這種地球形狀的流體靜力模型是根據蘇格蘭數學家科林·麥克勞林(Colin Maclaurin)的一篇論文建立的，這篇論文證明，圍繞通過其質心的旋轉軸旋轉的大量均勻流體，在其組成粒子相互吸引力的影響下，會變成橢球體。假設地球是由均勻密度的同心橢球殼組成，克萊羅定理能夠透過表面重力測量的結果來計算地球的橢圓率。由此證實了地球形狀是扁橢球體的理論。 1849年，英國學者喬治·斯托克斯 (George Stokes) 進一步證明，無論地球的內部結構或密度如何，只要地球表面是一個橢圓率夠小的橢球體(spheroid)，而且滿足靜力平衡的話，克萊羅的結果都是正確的。

在完成《關於地球形狀的理論Théorie de lafigure de la terre》之後，克萊羅於1745年開始研究三體問題，特別是月球軌道問題。 18 世紀最具爭議的問題之一正是三體問題，即地球、月球和太陽如何相互吸引。透過使用萊布尼茨發明的微積分，克萊羅企圖使用四個微分方程式來解決這個問題；另一個問題也是三體問題的一部份，就是月球遠地點的進動運動問題。如果只考慮地球與月球的話，月球的軌道是一個漂亮的橢圓，遠地點與近地點應該是固定的，但是因為太陽龐大的質量，所以月球的軌道會受到來自太陽的強大重力影響，所以遠地點與近地點這些所謂的拱點會產生進動。但即使是牛頓，也只能解釋月球拱點進動運動約一半的值，這個問題讓天文學家備感困惑。月球拱點進動問題在歐洲是一個激烈爭論的話題。與克萊羅一起，還有另外兩位數學家，尤拉和達朗拜也都競相為三體問題提供解釋。

克萊羅工作了一陣子之後，居然得出的第一個結論是牛頓的平方反比定律需要修正！在這一點上，克萊羅得到了尤拉的支持，尤拉在得知克萊羅的結論後，於 1747 年 9 月 30 日寫信給他：

我可以提供幾個證明，證明作用在月球上的力並不完全遵循牛頓定律，而你從遠地點的運動中得出的證明是最引人注目的…

克萊羅在尤拉的支持下更加自信，於 1747 年 11 月 15 日向巴黎學院宣布牛頓的平方反比重力定律是錯誤的！ 就在克萊羅宣布這一消息之前，達朗拜向學院也提交了一份文件，表明他的計算與克萊羅的計算一致。克萊羅建議重力定律需要多添加一項，而尤拉同意克萊羅在他之前就發現了平方反比定律中的錯誤。牛頓定律不正確的宣布讓許多笛卡兒的支持者欣喜若狂，甚至連尤拉也動搖了。當然也有些人攻擊克萊羅的聲明，例如：布豐，他使用了基於簡單的平方反比定律的形上學論證。但是事情接下來卻發生一百八十度的轉變。到了 1748 年春天，克萊羅意識到觀測的月球遠地點運動與理論預測之間的差異是由於近似產生的誤差。1749 年 5 月 17 日，克萊羅向學院宣布，他將其近似算到第三階，隨即發現結果與觀察結果相符。他現在的理論與平方反比定律一致。然後，達朗拜和尤拉花了一段時間努力重複他的計算。克萊羅寫信給他的朋友加布里埃爾·克萊默：

……達朗拜和尤拉對我得出新結果的策略一無所知。後者兩次寫信告訴我，他為找到與我相同的東西而付出了徒勞的努力，並懇求我告訴他我是如何找到這些東西的。我或多或少告訴了他這一切是怎麼回事…

尤拉始終覺得他沒有正確理解克萊羅到底是怎麼找到解答的，因此他試圖通過讓聖彼得堡學院將月球遠點進動問題當作1752 年的獎項主題來引誘克萊羅把解答完整詳盡地寫下來。尤拉的策略還真的奏效了，克萊羅提交了這篇文章讓尤拉充分理解了克萊羅的方法。尤拉表明他自己沒有解決這個問題是多麼令他感到沮喪，他寫信給克萊羅，稱讚他的結果是：

……數學史上最重要、最深刻的發現。

克萊羅於 1752 年出版了《月球理論》(Théorie de la lune )，這部著作連同兩年後出版的月相表，完成了他對這一特定問題的研究。《月球理論》在性質上是嚴格的牛頓主義的。隨後在 1754 年，他使用離散傅立葉變換的形式計算了一些月球表。解決三體問題最重要的意義還不僅僅在於證明牛頓定律的正確性。解開三體的問題也具有實際意義。它使水手能夠確定船隻的經度，這不僅對於航行到某個地點至關重要，而且對於水手找到回家的路也至關重要。

克萊羅隨後撰寫了有關月球軌道以及受行星攝動影響的彗星運動（特別是哈雷彗星路徑）的多篇論文。他也利用應用數學研究金星，精確測量金星的大小和離地球的距離。這是行星大小的首次精確計算。但是真的讓他聲名大噪的，還是由他與拉朗德(Jérome Lalande) 及著名女數學家勒波特( Nicole Reine Lepaute )組成的團隊，成功計算出 1759 年哈雷彗星返回的日期。克萊羅決定運用他在三體問題方面的知識來計算哈雷彗星的軌道，從而預測其返回的確切日期。這需要比月球問題更精確的近似值。他計算出 1759 年哈雷彗星將在一個月內返回近日點。 他於 1758 年 11 月 14 日向巴黎科學院宣布了他的結果，即哈雷彗星將於 1759 年 4 月 15 日到達近日點，而實際的近日點日期是 3 月 13 日。 當彗星出現時，距離預計日期僅一個月，克萊羅獲得了公眾的廣泛讚譽。有人建議以克萊羅彗星的名字重新命名這顆彗星，克萊羅彗星被稱為「新泰勒斯」。(泰勒斯是古代希臘第一位哲學家，傳說他正確地預測了日蝕發生的時間而聞名)

克萊羅在向聖彼得堡科學院提交 1762 年獲獎論文時使用了不同的方法，從而提高了精確度。他在這項工作中算出來哈雷彗星是在 3 月 30 日到達近日點，考慮到木星和土星擾動的問題複雜性，這是非常傑出的結果。

克萊羅和達朗拜之間再一次就這項彗星工作發生了爭論。當克萊羅為達朗拜的書撰寫評論時，其中包含月球表，正如漢金斯 (Hankins) 所描寫的：

他（克萊羅）並沒有公開敵視，而是採取了一種高高在上的師父教導弟子的語氣。 他讚揚了達朗拜出色的分析能力，但表示他的表格沒什麼用處——至少與克萊羅自己的表格相比是如此。

在對像達朗拜這樣專注於理論而忽略實驗人的攻擊中，克萊羅寫道：

為了避免精密的實驗或長時間繁瑣的計算，為了取代更省事的分析方法，他們常常做出一些在自然界中根本不適用的假設；他們追求與他們原先設定的目標無關的數學理論，其實只要堅持不懈地執行一個非常簡單的方法就能讓他達到原先的目標。
當達朗拜攻擊克萊羅對三體問題的解決方案過於倚賴觀察，而不是像他的工作那樣，基於純粹的理論，克萊羅在他們一生中最激烈的爭論中強烈攻擊了達朗拜。很難判斷這兩位偉大的數學家誰是正確的，但克萊羅在對哈雷彗星返回日期的非凡預測之後，地位水漲船高，顯然克萊羅贏得了當時學界的輿論支持。
克萊羅還對一個主題有所貢獻，就是光的像差。當他從拉普蘭探險隊開始，他就對這個主題有相當透徹的了解。這是由於他發現行星和彗星的觀測結果與理論計算有所偏差，他必須進行修正。他對使用由兩種不同類型玻璃製成的透鏡來改進望遠鏡設計的想法特別感興趣。克萊羅就這個主題撰寫了一些重要的回憶錄，還進行了一些光學實驗。可惜在這項工作尚未完成時，他就過世了。克萊羅終生雖未婚，但與難相處的達朗拜不同，克萊羅以多彩多姿的社交生活而聞名。他在巴黎的眾多沙龍中受到女性的歡迎，甚至到了阻礙他科學工作的程度。克萊羅在1765年一病不起，在巴黎去世，享年52 歲。

達朗拜的學生查爾斯·博蘇特(Charles Bossut 1730-1814)後來評論說：「克萊羅很專注在吃飯和夜生活，加上他對女性的「活潑品味」，並試圖將樂趣融入到日常工作中，讓他失去了休息、健康，最後在52 歲就失去了生命。」不過阿文說句公道話，能夠盡情享受人生，還能做出這麼多了不起的結果，就算天不假命，也是不虛此生啦！

參考資料 ：
(一)中文 英文 法文維基相關條目
(二)O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Alexis Clairaut", MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews

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第四篇

### 從參考圓，相空間，到升降算符：聊聊簡諧運動

欒丕綱

簡諧運動 (Simple harmonic motion，簡稱 SHM) 或者稱簡諧振子 (simple harmonic oscillator，簡稱 SHO) ，大概是應用最廣的物理概念了。在力學振動系統、電磁波與聲波系統、LC（電感與電容）電路、分子振動、固體比熱、量子光學 (quantum optics)，甚至是量子場論 (quantum field theory) 與凝態物理 (condensed matter physics)，都可以看到諧振子物理的應用。

在高中階段，許多學生還沒有學過微分方程式，所以通常會用其它方法解簡諧振動的問題，通常用的是參考圓 (reference circle)。在量子力學裡解諧振子問題時，則至少有兩種方法。第一種是直接解諧振子問題的薛丁格方程式 (Schrodinger equation)，用的是解微分方程式邊界值問題 (boundary value problem) 的方法。第二種是將位置算符 (position operator) 與動量算符 (momentum operator) 先組合成上升算符 (raising operator) 與下降算符 (lowering operator)，然後藉著此兩算符的對易關係 (commutation relation) 以及「能量必須有最低值」，亦即能量有下邊界 (lower bound) 的條件，用代數方法得出量子化能階 (quantized energy levels)，以及如何藉著上升算符的重複作用，由基態 (ground state) 生成各激發態 (excited states)。一般量子力學教科書在使用上述升降算符解諧振子問題時，並不會特別解釋這兩個算符是怎麼想到的，而是直接寫出它們並推導所需的代數。事實上，量子諧振子的升降算符與古典諧振子的參考圓有非常密切的關聯。此篇文章就來跟讀者分享我對此問題的心得。

首先來看看參考圓的想法是怎麼來的。假定有一個質量為 $m$ 的物體連接於彈簧的一端，而彈簧的另一端固定，且這個系統置於一個摩擦力可忽略的平面上；此外，還假定彈簧本身的質量可忽略，且彈簧的伸長與縮短的幅度（振幅）不大，也就是彈簧的形變量在所謂「彈性限度」內。若將該物體平衡位置的座標定為$x=0$，且設彈力常數為$k$，則根據牛頓第二運動定律(Newton’s second law)與彈力的虎克定律(Hooke’s law)，在物體只受彈力作用時，其運動方程式為
$m\ddot{x}=-kx$. (1)
上式 $x$ 代表物體的位移，也代表彈簧伸長量（若為負值則表示彈簧縮短），$\ddot{x}=\frac{d^{2}x}{dt^{2}}$ 表示加速度，而負號表示彈性回復力 $f_{r}=-kx$ 的方向與位移方向相反。如果學過二階常係數微分方程式，可以直接解出上式的一般解為正弦函數$\textrm{sin}\left(\omega t\right)$ 與餘弦函數 $\textrm{cos}\left(\omega t\right)$ 的疊加，即 $x(t)=A\textrm{cos}(\omega t)+B\textrm{sin}(\omega t)$，其中 $\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}$ 是此 SHO 振動的角頻率 (angular frequency)。

根據此一般解，可以推得振動速度 $x(t)=A\rm{cos(\omega t)}+B\rm{sin}(\omega t)$，然後將初始位置 (initial position) 與初始速度 (initial velocity) 的數值代入上兩式即可決定係數 $A$ 與 $B$。若令 $A=R\textrm{cos}\alpha$，$B=R\textrm{sin}\alpha$，就可以把$x(t)$ 寫成
$x(t)=R\textrm{cos}(\omega t-\alpha)$. (2)
讓我們換一種方式來處理上述問題。根據 “力與加速度、速度、位移都是向量” 的想法，我們可以將上述一維 SHO 的問題化為一個二維的圓周運動問題，方法就是為方程式 (1) 補上一個 $y$ 分量的方程式
$m\ddot{y}=-ky$, (3)
並將方程式 (1) 視為這個二維運動的投影。

何以見得 (1) 與 (2) 的組合所描述的是圓周運動？在高中階段學到的圓周運動的向心力 ( centrifugal force) 公式通常寫成 $F=\frac{R}{m\nu^{2}}$，而 $\nu=\frac{2\pi R}{T}=\omega R$ 是轉動的切線速率。這裡的$R$ 是圓周半徑， $T$ 是圓周運動的週期，而 $\omega=\frac{2\pi}{T}$ 是角速度 (angular velocity)。因此，向心力可寫成 $F=m\omega^{2}R$，它的向量形式是
$\mathop{F}\limits^{\rightarrow}=-m\omega^{2}\mathop{R}\limits^{\rightarrow}$. (4)
此處負號表示向心力的作用方向是沿 $-\mathop{R}\limits^{\rightarrow}$ 方向。將 (1) 與 (3) 式視為 (4) 式的投影，就可以很明顯看出 SHM 是圓周運動的投影了。利用這個投影的概念，SHM 與圓周運動就可以與圓周運動直接對應起來，因此 SHM 的解答(方程式(2))就可以根據圓周運動寫下來。在這個對應中，(1) 式中的彈力常數 $k$ 對應 (4) 式中的 $m\omega^{2}$，因此就有 $\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}$，亦即 SHM 的角頻率就是圓周運動的角速度。

除了上述這種根據作用力的投影所得到的參考圓之外，也可以根據能量觀點將振盪問題化為旋轉問題。以振動速度 $\dot{x}$ 乘以 (1) 式，可以推得力學能 (mechanical energy) $E$ 守恆，寫成
$E=\frac{p^{2}}{2m}+\frac{m\omega^{2}x^{2}}{2}=$ 守恆量, (5)
其中 $p=m\dot{x}$ 是 SHO 的動量。在古典力學裡，藉著引入一個含 $x$ 軸與 $p$ 軸的相空間 (phase space)，就可以將 SHM 描述為一個在相空間中繞橢圓軌跡的旋轉運動。選定一個參考能量 $E_{0}>0$，並用 $X=\sqrt{\frac{m}{2E_{0}}}\omega x$ 與 $P=\sqrt{\frac{1}{2mE_{0}}}p$ 取代原來的 $x$ 與 $p$，(5) 式就改寫成
$X^{2}+P^{2}=\frac{E}{E_{0}}$ . (6)
上述的軌跡是一個半徑為 $R=\sqrt{\frac{E}{E_{0}}}$ 的圓形，因此 $X-P$ 相空間的這個圓形軌跡可以視為對參考圓的第二種詮釋。

同時使用新的位置變數 $X$ 與新的動量變數 $P$ 描述 SHM 問題是很方便的。運動方程式 (1) 可改寫為 $\dot{p}=-kx$，而動量與速度的關係是 $p=m\dot{x}$，兩者用新的位置與動量變數 $X$ 與 $P$ 寫出來就是
$\dot{X}=\omega P$, $\dot{P}=-\omega X$. (7)
現在，定義一個複數 $Z$ 為 $Z=X+iP$，就可以將 (7) 式的兩式合併為一個 $Z$ 的一階微分方程式
$\dot{Z}=-i\omega Z$. (8)
這個方程式的解是 $Z(t)=Z(0)\textrm{exp}(-i\omega t)$，在複數 $Z$ 平面畫出一個半徑為 $R=\left|Z(0)\right|=\sqrt{\frac{E}{E_{0}}}$ 的圓。因此，參考圓也可以被詮釋為這個複數平面上的圓。

利用約化普朗克常數 (reduced Planck constant) $\hbar$，可以湊出一個很自然的參考能量 $E_{0}=\hbar\omega$，如此得到的 $X$ 與 $P$ 變數分別為 $X=\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}x$ 與 $P=\sqrt{\frac{1}{2m\hbar\omega}}p$。由它們組合而成的 $Z$ 與它的複共軛 $Z^{*}$ 分別是
$Z=\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}x+\frac{i}{\sqrt{2m\hbar\omega}}p$, $Z^{*}=\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}x-\frac{i}{\sqrt{2m\hbar\omega}}p$ , (9)
且系統能量 (5) 可以寫成
$E=ℏωZ^* Z=ℏω|Z|^2$ . (10)

在量子版本的 SHO 裡，位置 $x$ 與動量 $p$ 都要改成對應的算符 $\hat{x}$ 與 $\hat{p}$，而 (5) 式的能量 $E$ 改成哈密頓算符 (Hamiltonian operator) $\hat{H}$。學習過量子版本 SHO 的讀者應該已經看出來了：變數 $Z$ 與 $Z^*$ 的量子版本就是下降算符 $\hat{a}$ 與上升算符$\hat{a}^{\dagger}$:
$\hat{a}=\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\hat{x}+\frac{i}{\sqrt{2m\hbar\omega}}\hat{p}$, $\hat{a}^{\dagger}=\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\hat{x}+\frac{i}{\sqrt{2m\hbar\omega}}\hat{p}$, (11)
而哈密頓算符可寫成
$\hat{H}=\frac{\hbar\omega}{2}(\hat{a}^{\dagger}\hat{a}+\hat{a}\hat{a}^{\dagger})=\hbar\omega(\hat{N}+\frac{1}{2})$. (12)
其中 $\hat{N}=\hat{a}^{\dagger}\hat{a}$是SHO 系統的數量算符 (number operator)，而 $\hat{N}+\frac{1}{2}$ 對應古典SHO 中的 “振幅平方” $\left|Z\right|^{2}$。更明確一點說，$Z$ 與 $Z^*$ 對應的量子升降算符是在海森堡繪景 (Heisenberg picture) 之下的升降算符。

上述關於力學諧振系統的所有討論都可以很容易的推廣到此文章開頭提到的 LC 電路系統與波/場系統，而它們的量子版本也都可說是量子諧振子的推廣，但換了名稱。其中上升算符變成了**創生算符** (creation operator)，而下降算符變成 **湮滅算符** (annihilation operator)。只要深入理解諧振子，就不難理解這些類似的系統。在這些更複雜的系統裡，諧振子可能有很多個甚至無窮多個。不同的諧振子彼此可能還有複雜的交互作用，要用較繁複的數學方法分析。無論那些系統看起來多麼複雜，被物理學家稱為粒子或**準粒子** (quasiparticle) 的那些東西，它們的**原型** (prototype) 本質上還是某種諧振子，只是可能偽裝成我們不易認出它們的樣子。有關諧振子的故事還沒有講完，我們將來再找機會繼續談這個話題。

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## 好文分享

第一篇

### 奇異鐵晶體帶來地心之旅
張鳳吟

https://doi.org/10.1063/PT.3.5320
*實驗室實驗正幫助研究人員更接近解開固態內核的一些謎團。*

沒有人曾經見過地核，像是圖1中的藝術家印象，幸好僅限於想像的範圍。任何有關地球深處內部結構的理解都來自間接的觀測，例如從地球一側傳播至另一側的地震波之速度與軌跡。從這樣的地震測量，研究人員數十年前推斷液態鐵外核包覆著內核，其被壓縮成固體形式，儘管熱到足以熔化。
圖1、白熱固態鐵(含有一些鎳與其它元素)位於我們地球的中心，透過在實驗室重建它的高壓晶體結構，研究人員希望能更佳地解釋地震的測量，這是大部分已知內核資訊的來源。(圖片來源：Rost9/Shutterstock.com)

不過地震數據的解釋有一個癥結點：實驗室研究人員無法測量組成內核的高溫高壓鐵的彈性性質。複製內核壓力與溫度本身不是個問題，但金屬工匠數世紀以來已經知道鐵的材料性質不單取決於它的瞬間壓力與溫度(參閱Lou Bloomfield於Physics Today的Quick Study，2007年5月號第88頁)，它們也對它的雜質概況(impurity profile)以及其過去被加熱、冷卻、敲擊和擠壓的歷史敏感。

現在法國替代能源與原子能委員會(French Alternative Energies and Atomic Energy Commission)的Agnès Dewaele與的她同事們在內核冶金學(inner-core metallurgy)完成了一個里程碑：他們合成足夠乾淨的ε-Fe單晶(ε-Fe為鐵在內核極端條件下穩定的形式)，來測量它的彈性性質[1]。

這些實驗尚未複製內核的溫度、壓力、或雜質概況，因此還離確定實際內核物質的聲速好幾步，不過它們為理論模型提供了迫切需要的基準，並為更多接近內核條件的實驗鋪平道路。

**千錘百鍊(Forged in Fire)**
內核在許多方面都是個謎(參閱Bruce Buffett於Physics Today的文章，2013年11月號第37頁)，其中一項最引人注意、發現於1980年代的特徵，是它的非均向性：地震波從極點到極點穿越內核的速度，比沿著赤道傳播的地震波快約4%。

這大尺度的非均向性並不必然意味著內核鐵在原子尺度具有結構上的非均向性，反之，它能夠以具不同雜質濃度的材料的大尺度分布來解釋。不過事實證明，ε-Fe的晶體結構是六方最密堆積(hexagonal close packed，hcp)，事實上是非均向性的：它其中一個晶軸，c軸，在幾何上與另外兩個軸不同。

雖然內核可能不是一個ε-Fe單晶，但它可能由優先排列的成分(component)晶體所組成，破解這種排列形式及其發生原因，可為地球的地質歷史提供實質上的見解，但它也同時需要了解ε-Fe的非均向性彈性性質，而這些測量非常難以取得。

在實驗室要製造純淨的ε-Fe極為困難，嘗試將常壓形式的鐵的單晶α-Fe壓縮成ε-Fe這種天真方法不管用，因為α-Fe晶體會碎裂成無數微小的ε-Fe晶體，太過細小而無法去個別研究，更糟的是，它們的晶格受到應變及扭曲，因此性質可能與未應變的 ε-Fe大不相同。

因此，一般實驗室研究ε-Fe是利用壓縮α-Fe粉末製成的多晶樣本[2]，這種方法產生很多有用的資訊，但它掩蓋了單晶c軸與其它兩個維度之間的關鍵區別。

**不同途徑**
Dewaele 從不同的方向進入這個問題。她最初感興趣的不是在ε-Fe的材料特性，而是鐵相變的機制[3]。α-Fe與ε-Fe之外，還有 γ-Fe相，是鐵在高溫時所採用的形式，如圖2a所示，這三種相交會於三相點，因此每一種都能轉變成其它任何一種。

圖2、 ε-Fe的單晶，被認為存在於地球內核之鐵的形式，無法以直接擠壓常壓相 α-Fe來製造，(a) 但它們可透過繞道高壓相γ-Fe來製造，如紅色路徑所示。(b) ε-Fe單晶的聲速測量清楚顯示材料的彈性非均相性，並為密度泛函理論(density functional theory，DFT)與動力學平均場理論(dynamical mean field theory，DMFT)等理論模型提供重要的基準。(改編自參考文獻1)

她表示：「我們利用x光繞射來監測單晶的命運，當時我們注意到，α–γ相變產生與α–ε完全不同的微結構與晶體品質。」Dewaele與同事很快發現，透過先加熱α-Fe到γ-Fe再將它壓縮至ε-Fe，就能防止α–ε 相變過程大部分的晶體碎裂。他們仍然得到多晶ε-Fe，但其中有些晶體足夠大且未受應變，可供研究使用，「我們對於測量ε-Fe的單晶彈性係數非常興奮，我們知道這很重要，而且以前從未做過。」

就像大部分研究靜高壓的研究人員，Dewaele與同事也利用鑽石砧(diamond anvil cell)來擠壓他們的樣品，其工作原理是將不大的力集中在一個小體積內，因此他們限制在僅有60 µm寬微粒大小的鐵樣品，而「大」的ε-Fe單晶只有20 µm寬。

這對於測量晶體的機械性質如彈性和聲速等，似乎不夠大，但多虧了x射線非彈性散射，已足矣。當x射線光子通過晶體並激發振動，它會損失能量並且依據振動的頻率與動量改變方向，透過分析x射線的散射圖樣，研究人員可決定晶體的振動模式量子化光譜，並由此推斷其彈性性質與聲速。

Dewaele聯繫歐洲同步輻射設施(European Synchrotron Radiation Facility，ESRF)的專家Alexei Bosak以獲得光束線時間來進行必要的測量，聲速的結果顯示於圖2b，反映波於晶體傳播的各種方式：相對於c軸任何角度的縱向壓力波(其中原子平行於波傳播方向振動)或兩種橫向剪力波(其中它們以垂直波行進方向的兩個方向其一振動)。

到目前為止數據點還是稀疏且分散的，但它們顯示出清楚的非均向性趨勢：在相對c軸角度50°時，剪力波最快，而壓力波最慢。數據擬合為理論計算提供了檢驗依據，如圖中顯示的密度泛函理論(density functional theory，DFT)與動力學平均場理論(dynamical mean field theory ，DMFT)之結果。

**更小與更大**
這些實驗是在室溫與高達33 GPa的壓力下進行，與內核的5600 K及330–360 GPa相去甚遠，而壓力差異尤其顯著。將這種壓力施加在一種材料(即使是固體)，會使它的原子更緊密擠壓在一起，聲速增加每秒數千公尺。

鑽石砧可達到內核壓力，但僅限樣品遠小於Dewaele與同事製造20 µm ε-Fe單晶所需樣品的大小，不過20 µm並不是一個基本限制，它是實驗系統約束下的結果。如Dewaele的說明：「假使在未來或在其它的平台上，能夠於更小的單晶進行非彈性x光散射，我們就能延伸測量到更高的壓力。」確實，他們在歐洲同步輻射設施所使用的光束線正在進行升級，要將x射線光束聚焦到更小的點。

需要減小的差距不只是壓力和溫度而已，這些實驗牽涉到純鐵(如圖2a中的相圖)，而內核可能包含了一些鎳和其它雜質。Dewaele指出：「合金可能會影響穩定相。」因此內核物質也許根本沒有六方最密堆疊的ε-Fe結構，即使它有(似乎有可能)，純鐵與合金鐵的聲速也會有明顯的差異。Dewaele表示，「用鐵鎳合金來重複實驗肯定會非常有趣。」

最終，目的是將內核物質的小尺度彈性非均向性連接內核整體的已知地震非均向性，來推斷內核的內部結構：它的成分鐵鎳晶體有多大？還有它們是如何排列的？研究人員希望從這裡了解到更多關於地球深處與遙遠過去的地質歷史。
不過Dewaele已經想知道，還有什麼未發現的單晶可能從仔細觀測相變機制合成出來，「我確信對於許多金屬系統，高壓下的固體–固體相變能夠產生具有卓越性質的微結構，我們可稱之為『極端冶金學』。」

References
1. A. Dewaele et al., Phys. Rev. Lett. 131, 034101 (2023).
2. See, for example, E. Ohtani, Geophys. Res. Lett. 40, 5089 (2013).
3. R. Fréville et al., Phys. Rev. B 107, 104105 (2023

本文感謝Physics Today (American Institute of Physics) 同意物理雙月刊進行中文翻譯並授權刊登。原文刊登並收錄於Physics Today, Jun. 2023雜誌內 (Physics Today 76 (10), 12–14 (2023);https://doi.org/10.1063/PT.3.5320)。原文作者：Johanna Miller。中文編譯：張鳳吟，國立陽明交通大學物理學系博士。

Physics Bimonthly (The Physics Society of Taiwan) appreciates Physics Today (American Institute of Physics) authorizing Physics Bimonthly to translate and reprint in Mandarin. The article is contributed by Johanna Miller and was published in (Physics Today 76 (10), 12–14 (2023);https://doi.org/10.1063/PT.3.5320). The article in Mandarin is translated and edited by F. Y, Chang, National Yang Ming Chiao Tung University.

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### 邁向更快速更安全的質子治療
張鳳吟

*大部分以質子摧毀腫瘤的設備都極沒效率，但也許它們不必如此。*

https://doi.org/10.1063/PT.3.5304

對抗癌症的戰役中，全球醫界正對質子下愈來愈大的賭注。在全世界僅有的100多個質子治療的設備裡，有超過一半是2016年或之後開始運作的，目前它們每年治療約50000個病人，累積總數約300000人。

這些治療非常昂貴，一個新的設備光是建造就要花費超過2億美元，還不包括維護、操作、以及醫師時間的成本。由於價格昂貴，許多批評者對質子治療的擁護者施予壓力，要求以結果來證明價格的合理性(例如，參閱 Physics Today，2015年10月號第8頁)。不過對於一些應用，像是治療眼睛腫瘤(如圖1所示)，質子治療已經證明明顯優於其它治療的優勢，對其他人而言，將它的潛力發揮仍然是件正在進行的工作。

圖1、眼癌很罕見，但極度難以治療。圖為瑞士Paul Scherrer研究所的OPTIS2射束線(beamline)，眼睛腫瘤以質子束治療，在長達一分鐘的照射期間，病人必須保持眼睛打開並且不能動。增加射束線傳輸質子的比例可縮短治療的時間。(照片提供：Paul Scherrer研究所)

在其中一個最早期運作的質子治療中心的所在地，瑞士Paul Scherrer研究所，Vivek Maradia與他博士班指導教授Serena Psoroulas所領導的研究團隊正努力減少沒效率的主要根源：一般以迴旋加速器(cyclotron)加速質子的治療設備中，有70%到99.9%的加速質子被丟棄$^{[1]}$。

質子的浪費並不直接表示為金錢的浪費，但讓質子更有效率地注入病人體內，可導致更快速的治療、更快樂的病人、而最終更經濟的設備。它還能讓質子治療更加受益於一個稱為「FLASH效應」的強大但反直覺的現象：一次性對腫瘤照射大量輻射可減少周邊健康組織的副作用。
低穿透率(Low transmission)
質子治療的吸引力來自於質子與物質作用的物理，放射線治療(以及所有形式的癌症治療)目的是殺死癌細胞，同時不傷害健康的細胞，但輻射線束(任何形式的)送到體內碰到的不只是腫瘤，還有前後健康的器官。X射線仍是大多數放射線治療的工具，在腫瘤和健康細胞中沿著路徑各處沉積(deposit)能量。

另一方面，質子的散射截面積與它們的動能成反比，因此通過身體的質子會逐漸減慢，直到最後在它停止前留下大部分的能量，並造成大部分的損害。透過控制質子束的方向及初始動能，臨床醫師可以在三度空間中定位輻射影響的區域。

然而在實際應用的層面，控制質子動能並不是件容易的事，臨床醫師需要能量範圍60 MeV(對於靠近人體表面的腫瘤，像是眼睛腫瘤)到230 MeV(對於體內數十公分深的腫瘤)之間的質子，但一部迴旋加速器只會產生一種能量的質子束，要每種可能的質子能量都配有不同的迴旋加速器會成本太高。一些
機構選擇低能量的迴旋加速器來治療眼睛腫瘤，但結果是它們無法治療其它腫瘤。然而，大部分質子治療中心使用的迴旋加速器在能量範圍的頂部，即230 MeV或250 MeV，這是沒效率的原因。

我們可透過將高能量質子通過大塊固體材料(通常是碳)，使高能量的質子轉化成較低能量的質子，不過這能量下降的過程也讓單能量質子束變為能量大為分散的質子束，不再適用於臨床使用，因為質子的局部能量沉積(稱為「布拉格峰」，Bragg peaks)，不再全部位於同一位置上。因此，標準方法是利用二極磁鐵(dipole magnet)依能量來分散質子，接著讓它們通過狹縫以選出盡可能接近單一能量的質子。大部分的質子因而被捨棄。

這種浪費在低臨床能量最為嚴重：迴旋加速器質子需要被降能的程度愈高，能量分散的程度愈大，更降低了質子通過能量選擇狹縫的穿透比例。對於大於200 MeV的目標能量，也許10%或更多的初始質子可被回收；但對於小於100 MeV的目標能量，不到1%。

低的穿透率讓沒有低能量迴旋加速器的治療中心很難治療眼睛腫瘤，照射輻射劑量需耗時大約1分鐘的時間，這也許聽起來不長，但病人在這期間不能夠眨眼或移動眼睛，既挑戰又不舒服。
對於像是肺部和腹部等身體部位的腫瘤，病人即使做了最大努力還是不可避免會動到，治療上會花更多的時間(到45分鐘)，因為臨床醫師需要不斷重新掃描病人的身體來追蹤腫瘤位置，同樣地，病人也需要盡可能在過程中保持靜止不動。

**動量冷卻(momentum-cooling)**
「穿透效率低」和「治療時間長」是迴旋加速器質子治療的固有限制嗎？Maradia表示，大多數人會這樣認為，「多年來，人們普遍相信沒有可行的辦法來增加穿透率，但Serena Psoroulas挑戰了這個概念，她為我的博士班計畫想出這個想法。」

在Maradia博士研究的第一年，他改進射束線離子光學的模擬，並發現一些新方法可從迴旋加速器向病人輸送更多質子$^{[2]}$。簡而言之，現有的離子光學裝置以對稱的方式處理垂直於粒子束的兩個維度，在這兩個方向施加相同的聚焦與離焦力(defocusing forces)，但垂直於粒子束的兩個方向並不對稱，部分是因為質子的能量分散只集中在其中一個方向。Maradia與同事們預測，考慮這樣的非對稱性，他們可以將穿透率提高到6倍。
但沒效率的最大根源依然存在：質子在能量選擇狹縫被拋棄。事實證明，解決方法其實很簡單，質子的能量已經被分散了，它們的動量可在通過固體材料時被減緩下來。因此Maradia提出在射束線置入一個楔狀物，如圖2所示，最快的質子通過楔狀物最厚的部分被減緩最多；而最慢的通過最薄的部分減緩最少。

圖2、當迴旋加速器的質子調到質子束治療所需的能量，它們最後的動量分布為$p ± Δp$ ，這對於臨床使用來說太寬了，傳統方法是利用二極磁鐵(深藍色)將質子依動量分散，接著通過狹縫來選擇只有一個動量值$p$ 的質子。但假如用一個楔形吸收器將所有質子動量冷卻到$p – Δp$，更多的質子可通過射束線進到病人體內。(改編自參考文獻1)

Maradia 自己得到動量冷卻(momentum-cooling)的想法，但他後來注意到楔形吸收器在之前已使用於粒子物理的其它領域(像是緲子實驗$^{[3]}$)。它們之前沒被質子治療考慮，也許是因為當質子與楔形物散射時，它們垂直於射束線的動量分散程度會增加，不過Maradia和同事們改良的離子光學系統能夠處理這變大的動量分散。

提出和模擬改良方案是一件事；要實際執行起來可能又是另一件事，特別是在活躍的醫療機構中。Maradia表示：「沒有人想要打斷正在進行的臨床治療。」不過在堅持之下，他終於獲准於Paul Scherrer研究所的眼睛治療射束線試驗他的楔形物。

這個結果是正向的但不多：楔形物從最初質子0.27%的比例，將穿透率增加到幾乎兩倍，0.5%。為什麼改善如此之小？整條射束線是基於只有特定能量質子才能到達病人體內的假設而設計的，質子被二極磁鐵分散後，大部分在抵達楔形物之前就撞上射束線牆。

假如二極磁鐵能使質子偏轉更小的角度，損失就能減少，研究人員預估最低能量的穿透率可大概增強7%。Maradia表示，在現有的射束線要做如此改變可能不可行，「然而，將動量冷卻納入未來的質子治療中心之設計與建造是相對容易的。」目前全世界有數十個新的質子治療機構正在建立中。

**FLASH 治療**
增加質子通過射束線的比例，比僅僅相應地縮短治療時間更具意義。比方說，如果能大幅增快肺部腫瘤的質子治療，讓病人閉氣時就能接受完整的輻射劑量，臨床醫師也許不用再需要採取複雜的步驟——及動用昂貴的儀器——來追蹤治療期間腫瘤的移動。

或者，如果目前可用的治療時間被認為是可接受的，就能以更小且功率更低的迴旋加速器來完成。沒那麼大的迴旋加速器產生的整體輻射較少，因此需要的混凝土屏蔽較少，建造成本可以更低。

不過也許最令人感興趣的可能影響是FLASH效應。質子治療的吸引力在於質子束大部分能量都沉積在布拉格峰，但「大部分」並不代表「全部」，質子治療的臨床醫師必須要竭盡所能來制定治療計畫，以避免傷害到健康組織，特別是當腫瘤靠近重要器官或動脈的時候(參閱Jerimy Polf 與 Katia Parodi的文章，Physics Today 2015年10月號第28頁)。

因此當2014年實驗開始表明$^{[4]}$，假使輻射以非常快的速度照射，它對健康組織的傷害較小時(儘管對殺死腫瘤同樣有效)，放射治療界深深為之著迷。

FLASH放射治療距離準備作為臨床使用還很遠，許多事情還是未知。譬如說，研究人員尚不知這效應如何運作，並且不是每個實驗都有此效應。有一個流行的假設是，輻射快速照射引發健康組織的暫時性缺氧，進而保護健康組織不受到傷害，因為輻射是透過產生氧自由基起作用。另一方面，腫瘤已經是缺氧狀態了，因此不會變得更加缺氧，不過還需要更多的研究來看是否這個圖像成立。

而產生FLASH效應所需的輻射照射速度到底要多快也是未知，但粗略的共識是它需要比目前治療容許的速度快上幾個數量級，也就是說，照射只需一秒不到的時間，不用花到幾分鐘。

FLASH效應似乎同樣應用在所有形式的輻射：質子、X射線、電子與碳離子(即所謂的「重粒子」)。在所有臨床輻射源中，質子加速迴旋加速器是最接近能夠達到FLASH強度的，但問題是，只有在迴旋加速器發出全強度高能粒子束的情形下才能做到如此，意味著拋棄布拉格峰及其可調性的所有優勢$^{[5]}$。

Maradia、Psoroulas與同事們在模擬中預估，透過動量冷卻方法最佳化的射束線，只要束線聚焦到夠小的一點，他們可以在整個臨床相關的質子能量範圍內達到FLASH強度。然而，對於直徑大於幾毫米的腫瘤，FLASH束線需要比目前更快速地掃描整個腫瘤。

References
1. V. Maradia et al., Nat. Phys. (2023), doi:10.1038/s41567-023-02115-2.
2. V. Maradia et al., Med. Phys. 48, 7613 (2021); V. Maradia et al., Med. Phys. 49, 2183 (2022).
3. M. Bogomilov et al. (MICE collaboration), Nature 578, 53 (2020).
4. V. Favaudon et al., Sci. Transl. Med. 6, 245ra93 (2014).
5. S. Jolly et al., Phys. Medica 78, 71 (2020); M.-C. Vozenin, J. Bourhis, M. Durante, Nat. Rev. Clin. Oncol. 19, 791 (2022).

本文感謝Physics Today (American Institute of Physics) 同意物理雙月刊進行中文翻譯並授權刊登。原文刊登並收錄於Physics Today, Jun. 2023雜誌內 (Physics Today 76 (9), 15–17 (2023);https://doi.org/10.1063/PT.3.5304)。原文作者：Johanna Miller。中文編譯：張鳳吟，國立陽明交通大學物理學系博士。

Physics Bimonthly (The Physics Society of Taiwan) appreciates Physics Today (American Institute of Physics) authorizing Physics Bimonthly to translate and reprint in Mandarin. The article is contributed by Johanna Miller and was published in (Physics Today 76 (9), 15–17 (2023);https://doi.org/10.1063/PT.3.5304). The article in Mandarin is translated and edited by F. Y, Chang, National Yang Ming Chiao Tung University.

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### 高能微中子源自我們自己的星系
https://doi.org/10.1063/PT.3.5303

張鳳吟

*高能宇宙射線長期以來被懷疑與緻密銀河面的物質作用，幾乎可以肯定為銀河系微中子的來源。*

在宇宙中觀察到最少交互作用的粒子是微中子(neutrinos)，它們的電中性使它們不受電磁場的影響，而色荷的缺乏也意味著它們不參與強作用力。它們受弱作用力的影響，但是只在大約一個質子直徑的極短範圍內。憑藉這些特性，微中子可穿過一般物質而幾乎不被偵測到——每一秒就有一兆個來自太陽的微中子通過你的手。

由於缺乏交互作用，微中子成為不同天文物理過程資訊之理想信使(例如，參閱Physics Today 2021年4月8日的線上文章 “The elusive Glashow resonance was observed deep within Antarctic ice,”，以及Francis Halzen與Spencer Klein於Physics Today 的文章，2008年5月號第29頁)，由於微中子並不怎麼和其它物質作用，有關它們的偵測可用來追蹤它們來源的方向，並重建產生它們的事件。

到目前為止，看到的大多數天文物理微中子都來自我們銀河系外的某處，但現在「冰立方」(IceCube)合作團隊識別出銀河系中的高能微中子通量，其主要來自銀河面(galactic plane)$^{[1]}$。這個發現進一步證實了先前關於宇宙射線來源的理論假設，也展示如何利用多信使天文學――微中子測量、伽瑪射線發射與其它輻射等――更佳地探究我們自己的星系。

**混亂路徑**
宇宙射線是太空中移動的高能粒子，其能量範圍大致在幾GeV到幾PeV之間，儘管大多數粒子的能量處於這個範圍的底部。它們不斷撞擊地球大氣，造成一些晶片等級的誤差而改變電子設備記憶體單元的值。在保護地球的大氣層與磁場以外的區域，高游離輻射對太空人造成危險的急性與慢性的健康風險。

即使太空科技進步到能將人們快速、可靠地帶往火星及更遠的地方，如果太空船缺乏抗輻射的屏蔽，宇宙射線會限制人類在太空中能夠旅行的時間及距離(參閱Physics Today 2020年3月號第66頁，Larry Townsend 所寫的Quick Study)。

儘管宇宙射線已被發現超過100年，依然是非常神秘，天文學家知道一些GeV的宇宙射線來自太陽的日冕物質拋射(coronal mass ejections)及其它噴發，但高能通量(flux)來源之理論假設――超大質量黑洞(supermassive black holes)、活躍星系核(active galactic nuclei)、超新星等等――很難得到具高統計確定性的評估，因為宇宙射線行經太空時的遭遇。

高能宇宙射線在飛往地球的途中，經常會遇到強的星系磁場打亂它們的軌跡，以致無法確定它們的來源。有些宇宙射線會與氣體星際介質交互作用，產生較容易追蹤其軌跡的粒子，這些作用產生帶電與電中性的π介子，電中性π介子很快衰變，最常見的是產生伽瑪射線。雖然伽瑪射線發射的觀測會給出宇宙射線來源的線索，但這個證據並不具決定性，因為伽瑪射線光子容易被星際介質中的其它物質吸收。來源問題的一個解決方法是宇宙射線作用的另一種產物：帶電π介子，它會產生微中子$^{[2]}$。

**在冰層下**
大部分銀河系中的可見物質位於銀河面與星際空間中，氫原子核以每立方公分一個的平均密度散布。當宇宙射線與星際的氫交互作用時，會產生伽瑪射線，它們已被NASA費米伽瑪射線太空望遠鏡上的大面積望遠鏡(Large Area Telescope，LAT)觀測到。而這個宇宙射線作用也會產生微中子。根據微中子通量的估算，假使大氣雜訊降到最低，微中子最容易在地球南方的天空被看見。南極洲的Amundsen–Scott南極站會成為冰立方微中子天文台(IceCube Neutrino Observatory)的所在地，這是一部分原因。

這個偵測器是個一立方公里大小的冰層，裝有超過5000個球形光學感測器，懸掛在鑽探達2500公尺深的電纜上。大部分的微中子通過偵測器範圍不會發生作用，但當有一個撞上水分子，便會產生緲子及其它帶電粒子，假如它們其中任何一個能量夠大，行進速度超過冰中的光速，就會放射出藍色的契倫柯夫輻射(Cherenkov radiation)，如圖1中所繪(這效應類似超音速飛機飛行比聲速時所聽到的音爆)。
圖1、契倫柯夫輻射(Cherenkov radiation)。穿過地球大氣層的高能量微中子有時會到達南極洲的冰立方微中子天文台(IceCube Neutrino Observatory)並與結凍水分子的原子核碰撞，這個碰撞產生帶電粒子，假如能量夠大的話，粒子的行進速度會超過冰裡的光速，產生藍色的契倫柯夫輻射。在這藝術家繪圖中，位於前景的光學感測器與背景幾十個感測器，只是懸掛在冰層中鑽探2500公尺深的電纜上數千個感測器的其中一小部分，透過測量輻射及其軌跡，研究人員可評估微中子到達的方向與它的強度(圖片提供：IceCube團隊)。

透過測量光學感測器所接收到的契倫柯夫輻射與藍光的空間分佈(pattern)，研究人員可推斷粒子的能量以及它抵達的方向。然而，其中一個最大挑戰是，宇宙射線會在地球大氣產生大量的微中子與緲子，冰立方偵測器必須測量一億個大氣緲子才能觀測到一個天文物理微中子(astrophysical neutrino)，。
為了濾掉天文物理微中子訊號中巨大的背景雜訊，冰立方合作團隊開發出一個事件選擇(event-seletion)的協定(protocol)。冰立方所測量的微中子訊號可分類為：「足跡事件」(track event)，其中微中子產生緲子，然後在通過冰層時留下高能量的足跡；或是「級聯事件」(cascade event)，微中子在單一位置釋放出大部分或全部的能量。許多大氣微中子在冰立方偵測器留下足跡事件，因此只選擇級聯事件會大大降低背景雜訊。

這個方法的計算成本很高，許多微中子事件需要被排除，包括在特定偵測器區域(其已知會目擊到許多大氣緲子以及能量接近大氣微中子的微中子)所發現的事件。這排除過程為冰立方合作團隊帶來高品質的數據集，已用於先前的分析——例如，在2013年團隊發現一個銀河系外的微中子源$^{[3]}$。然而，這個數據集太小，無法以高的統計信賴區間得到關於銀河系微中子發射的結論。

**深度學習**
為了更佳地分析IceCube至今所收集的10年數據，合作團隊發展出一個混合式人工智慧的技術，由德國多特蒙德工業大學(Technical University Dortmund)的Mirco Hünnefeld與美國賓州卓克索大學(Drexel University)的Steve Sclafani帶領$^{[4]}$。這個技術的第一部份利用深度學習神經網路(deep-learning neural network)來辨識級聯微中子事件。神經網路能夠快速地處理這些數據，節省下來的時間讓數據集能涵蓋更多事件，包括在能量範圍底部的，相較於早期的分析，神經網路也將入射微中子方向的角解析度提高2倍。

技術的第二部份利用偵測器所收集的光分佈來重建微中子的方向與能量。之前的重建方法是基於高計算成本的蒙地卡羅模擬，神經網路將這些模擬做更有效率的近似，60000個微中子事件的新數據集是之前數據集的20倍大。冰立方合作團隊的成員，理論物理學家Francis Halzen表示：「回頭去看，新的機器學習技術使得這樣的分析顯得很容易，特別是考慮到過去十年我們在觀測銀河系上的努力並不成功。」

透過這些改良，合作團隊發現了一個來自銀河面的瀰漫(diffuse)高能微中子的訊號。圖2為一般透過電波、可見光與伽瑪射線所看到的銀河系，這三個波長範圍顯示一個清晰、明亮的銀河中心，而兩側為較分散的薄平面。銀河系的微中子訊號約為30 TeV總通量的10%，雖然不是馬上很清楚，但這訊號與伽瑪射線的發射一致。事實上，IceCube合作團隊發現微中子訊號為背景雜訊隨機引發的機率只有十萬分之一，或統計信賴區間為4.5個標準差。

圖2、微中子景象。多年來，天文學家透過電波、可見光與伽瑪射線發射來觀看我們的銀河系，以所有三個波長拍攝的影像清楚地顯示銀河系的中心與周圍平面。在仔細分析冰立方微中子天文台的10年數據後，國際合作團隊發現銀河系是微中子的來源，這裡顯示通過銀河系的瀰漫微中子訊號，在統計上與伽瑪射線發射一致(圖片提供：IceCube Collaboration)。

到目前為止，銀河系的微中子圖顯示了當宇宙射線與星際氣體作用時產生的發射擴散模式，但微中子可能來自宇宙射線的銀河系點狀來源。為了弄清楚這個問題，團隊將需要審視更多的數據。而類似於大氣背景蓋過天文物理訊號的情形，我們懷疑的點源微中子訊號也可能被圖2中瀰漫微中子訊號所遮蔽。

天文學家對於銀河系宇宙射線的來源已有一些想法，由這個概念延伸，微中子可能是由超大質量黑洞所產生(參閱Physics Today，2022年8月號第14頁)，但在我們銀河系中心的超大質量黑洞，活躍度並不足以產生這樣高能量的粒子。

微中子也可能源自活躍星系核(參閱Physics Today 線上文章” IceCube pinpoints an extragalactic neutrino source”，2018年7月12日)，有一些已在銀河系外的超新星被發現到(參閱Physics Today 2018年7月12日的線上文章，A supernova for the ages, 30 years later)。Halzen表示，在銀河系中，「找出微中子來源是我們下一個優先事項，這是我們正在努力的方向。」

REFERENCES
1. IceCube Collaboration, Science 380, 1338(2023)
2. M. Ackermann et al, Astrophys. J. 750, 3(2012).
3. IceCube Collaboration, Science 342, 947(2013).
4. M. Hünnefeld (on behalf of the IceCube Collaboration), Proc. Sci.(2017)

本文感謝Physics Today (American Institute of Physics) 同意物理雙月刊進行中文翻譯並授權刊登。原文刊登並收錄於Physics Today, Jun. 2023雜誌內 (Physics Today 76 (9), 13–15 (2023);https://doi.org/10.1063/PT.3.5303)。原文作者：Alex Lopatka。中文編譯：張鳳吟，國立陽明交通大學物理學系博士。

Physics Bimonthly (The Physics Society of Taiwan) appreciates Physics Today (American Institute of Physics) authorizing Physics Bimonthly to translate and reprint in Mandarin. The article is contributed by Alex Lopatka and was published in (Physics Today 76 (9), 13–15 (2023);https://doi.org/10.1063/PT.3.5303). The article in Mandarin is translated and edited by F. Y, Chang, National Yang Ming Chiao Tung University.