系動 Part 1 : 簡介 + 數學基礎

• 系動 Part 1 : 簡介 + 數學基礎
• Chapter 1 - Intro 2 System Dynamics
  • Equations
  • Modeling
  • Analysis
  • Synthesis
  • Objective of the course
• Chpter 2 The Laplace Transform
  • Complex numbers, variables, and functions.
  • Laplace Transform
  • 一些函數的 Laplace Transform
  • Translate Function
  • Pulse function
    • Impulse
    • Delta Function 的微分
    • 三角波
  • Lower Limit of Laplace transform
  • 更多性質：ㄏㄏ自己去查。
  • Inverse Laplace Transform
    • 觀察 1 : 系統輸出的分類
    • 觀察 2 : Heaviside's Formula
    • 觀察 3 : 初始條件 = 輸入
    • 觀察 4 : 已知的輸出湊出未知的輸出
  • Numerator Dynamic
    • 例子：二階系統加 Zero
    • 例子：Damper Location

Chapter 1 - Intro 2 System Dynamics

"Dealing with the mathematical modeling of dynamics systems and response analysis of such system with view toward understanding the dynamics native of each system's permance."

簡單來說，系動這門課，就是透過觀察某個系統對某些輸入的反應，去了解系統的特性。了解之後再去做改良（像是控制等等以下省略萬字的東西）。

Def : A system is called dynamic if its present output depends on past input. Otherwise is called static.

「動態」表示系統當下的輸入，會受到過去狀態的影響; 反之，如果當下的輸入不受到過去的影響，那就叫做「靜態」。

靜態系統只要當下輸入固定，輸出也就固定了。但動態系統未必（因為會被過去影響）。所以也可以換種說法：輸入不變，但是輸出會變的系統，一定是動態系統。

舉例：理想彈簧受力：

$$F=kx$$

因為這個系統受力只與當下的位移有關，因此是個靜態系統。但若為真實狀況的彈簧，彈簧受力後的形變需要時間，以及需要考慮彈簧質量等等。在這種考量下，彈簧是個動態系統。

上面這個例子可以知道，在建立系統模型的時候，系統模型的精確程度，與數學的複雜程度往往是難以兩全的。

Equations

系統的統御方程式可能分成下面幾種：

1. Linear time invariant system(LTI)：e.g.

   $$x^{″}+5x^{\prime }+10x=f$$

2. Linear time variant :

   $$x^{″}+(1-\cos 2t)x=0$$

3. Nonlinear

   $$\mathrm{作}\mathrm{業}2$$

下面會介紹一些處理系統時常常做的事情（不過還滿介紹性的）。

Modeling

幫系統找出適當的數學模型。通常步驟如下：

1. Draw s schematic diagram and define variables
2. Using physcal laws, write equations.
3. Model validation

這其實比較介紹性。

Analysis

System analysis means the integration under specific conditions of the performance of a system whose mathematical model is known

Synthesis

the use of an explicit procdure to find a system that will perform in a specific way.

Objective of the course

1. To build mathematical models that closely represent behaviors of physical systems.
2. T odevelop system responses to various inputs so that one can effectively analyze, design, and control dynamics systems.

Chpter 2 The Laplace Transform

Complex numbers, variables, and functions.

前面左轉工數或是 一2 三34 ㄏㄏ。

Laplace Transform

$$\mathcal{L}[f]={\int }_0^{\mathrm{\infty }}f(t)\cdot e^{-st}dt$$

$${\mathcal{L}}^{-1}[f]=\frac{1}{2\pi j}{\int }_{0-j\omega }^{0+j\omega }F(s)e^{st}ds$$

其中一個好處是可以把微分變成代數運算。注意 Laplcace Transform 積分要收斂，轉換才存在，才可以使用。阿要怎樣才會收斂？只要:

1. $f(t)$ 在 t > 0 是 piecewise continuous

2. $f(t)$ 的 Order 比指數小：
   $$f(t)=O\left(e^t\right)$$

另外， Laplace Transform 未必全域均收斂，因此

${\sigma }_c$ : abscissca of convergence

$$e^{-\sigma t}|f(t)|\to 0\mathrm{\forall }\sigma >{\sigma }_c$$

$$e^{-\sigma t}|f(t)|\to \mathrm{\infty }\mathrm{\forall }\sigma <{\sigma }_c$$

e.g. :

不存在的狀況：

$$f(t)=e^{t^2}$$

存在的狀況：

$$f(t)=\{\begin{array}{l}{e}^{t^2}\mathrm{\forall }x\in [0,T]\\ 0,otherwise\end{array}$$

一些函數的 Laplace Transform

顆顆懶得寫自己去查。

$$\mathcal{L}[e^{-\alpha t}]=\frac{1}{}s+\alpha$$

$$\mathcal{L}[1(t)]=\frac{1}{s}$$

$$\mathcal{L}[\sin \omega t]=\frac{\omega }{s^2+{\omega }^2}$$

$$\mathcal{L}[\cos \omega t]=\frac{s}{s^2+{\omega }^2}$$

Translate Function

主要是小心平移的時候注意前面值的行為，不要平移錯。另外 Laplace 平移的性質是：

$$\mathcal{L}[f(t-a)\cdot 1(t-a)]=e^{-as}F(s)$$

主要是注意注意平常寫 Laplace 時因為都是從 0 開始，就像是前面黏一個 step function。所以當平移的時候，那個 step 也要跟著平移。

Pulse function

考慮函數：

$$f(t)=\{\begin{array}{l}\frac{A}{t_0},\mathrm{\forall }t\in [0,t_0]\\ \\ 0,otherwise\end{array}$$

做出 Laplace Tranform 會是：

$$\mathcal{L}[f]=\frac{A}{t_{0}s}(1-e^{-s{t}_0})$$

可注意在 time domain 多一個平移，在 s domain 會多一個 decay 的項。

Impulse

上面那個東西讓

$t\to 0$。因此：

$$\mathcal{L}[\underset{t_0\to 0}{lim}f(t)]=\underset{t_0\to 0}{lim}(\frac{A}{t_{0}s}(1-e^{-s{t}_0}))=A$$

證明是用羅必達上下微分，不過泰勒取第一項展開更快：

$$\frac{A}{t_{0}s}(1-e^{-s{t}_0})=\frac{A}{t_{0}s}(1-(1+\frac{-s{t}_0}{1!}+\frac{(-s{t}_0{)}^2}{2!}+...))\to Aas{t}_0\to 0$$

當

$A=1$，這東西就是 Delta Function。

Delta Function 的微分

$$f(t)=\frac{1}{a^2}1(t)-\frac{2}{a^2}1(t-a)$$

Laplace Transform 為：

$$\frac{1}{a^{2}s}(1-2e^{-as}+e^{-2as})$$

當 a 趨近 0 時，可發現：

$$\underset{a\to 0}{lim}F(s)=s$$

這裡其實用泰勒展開做極限比較順。注意這個東西會比剛剛 impulse 的 Laplace Transform 多出一個 s。不過這也很合理， s 有微分的意義。

三角波

湊出這個函數的方法是：

1. 先湊一個方波脈衝
   
   $$1(t)-1(t-a)$$
2. 再湊一個 ramp：
   
   $$\frac{b}{a}t\cdot 1(t)$$
3. 乘起來把那一段 ramp 過濾出來：
   
   $$\frac{b}{a}t\cdot 1(t)-\frac{b}{a}t\cdot 1(t-a)$$

對這東西做 Laplace Transform

$$\begin{array}{rl}f(t)& =\frac{b}{a}t\cdot 1(t)-\frac{b}{a}t\cdot 1(t-a)\\ & =\frac{b}{a}t\cdot 1(t)-\frac{b}{a}(t-a)\cdot 1(t-a)-b\cdot 1(t-a)\\ & \Rightarrow F(s)=\frac{1}{s^2}-\frac{e^{-as}}{s^2}-b\frac{e^{-as}}{s}\end{array}$$

Lower Limit of Laplace transform

零正或零負有沒有影響？

$$\mathcal{L}[f]={\int }_{0-}^{\mathrm{\infty }}f(t)\cdot e^{-st}dt$$

$$\mathcal{L}[f]={\int }_{0+}^{\mathrm{\infty }}f(t)\cdot e^{-st}dt$$

關鍵在於差一個 impulse。這在討論 impulse 的時候會有出入，如果下限是選取零正的話，那麼 impulse 就不會被包到。

更多性質：ㄏㄏ自己去查。

• 微分/積分：
  

  $$\mathcal{L}[f^{(n)(t)}]=s^{n}F(s)-(s^{n-1}f(0)+s^{n-1}{f}^{(1)}(0)+...f^{n-1}(0))$$
  $$\mathcal{L}[\int f(t)]=\frac{F(s)}{s}+\frac{\int f(t)dt{|}_{t=0}}{s}$$

  Observation：

  觀察：

  $$a_n{y}^{(n)}+a_{n-1}{y}^{(n-1)}+...+a_{1}y$$

  只有最高次項：

  $$a_n{y}^{(n)}$$

  會噴出：

  $$s^{n-1}$$

  係數是：

  $$a_{n}f(0)s^{n-1}$$

  只有前兩個最高的項：

  $$a_n{y}^{(n)}+a_{n-1}{y}^{(n-1)}$$

  會噴出：

  $$s^{n-2}$$

  係數是：

  $$a_n{f}^{(1)}(0)+a_{n-1}f(0)$$

  所以就發現，係數有點像是：

  $$\{\begin{array}{l}ini[n-1]=[f^{(n-1)(0)},f^{(n-2)}(0),...f^{(1)}(0),f(0)]\\ \\ coef[n]=[a_n,a_{n-1}...a_2,a_1]\end{array}$$

  做一個有點像 Convolution 的計算。

• 終值定理
  如果

  $f(t)$ 在
  $t\to \mathrm{\infty }$ 收斂的話，則：
  $$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}f(t)=\underset{s\to 0}{lim}sF(s)$$
  如果不收斂的話就會死。工數自控都有這個教訓。

• 初值定理

  $$\underset{t\to 0}{lim}f(t)=\underset{s\to \mathrm{\infty }}{lim}sF(s)$$

• 週期函數：
  

  $$\begin{array}{rl}L[f(t)]=& \sum _0^{\mathrm{\infty }}{\int }_{nT}^{(n+1)T}f(t)e^{st}dt\\ & =\sum _n^{\mathrm{\infty }}{e}^{-nTs}{\int }_0^{T}f(\tau +nT)e^{-s\tau }d\tau \\ & ={\int }_0^{T}f(\tau +nT)e^{-s\tau }d\tau \sum _n^{\mathrm{\infty }}{e}^{-nTs}\\ & =({\int }_0^{T}f(\tau +nT)e^{-s\tau }d\tau )\sum _n^{\mathrm{\infty }}{e}^{-nTs}\\ & =\frac{e^{-nTs}}{1-e^{-Ts}}\end{array}$$

Inverse Laplace Transform

考慮一個二階系統：

$$m{x}^{″}+c{x}^{\prime }+kx=F(s)$$

在初始提件：

$$\{\begin{array}{l}x(0)=x_0\\ \\ x^{\prime }(0)=x_0^{\prime }\end{array}$$

其響應為：

$$X(s)=\frac{(ms+c)x_0+m{x}_0^{\prime }}{m{s}^2+cs+k}+\frac{F(s)}{m{s}^2+cs+k}$$

接下來帶點數字作觀察：

觀察 1 : 系統輸出的分類

假定系統現在長這樣：

$$\{\begin{array}{l}[m,c,k]=[1,4,3]\\ \\ [x_0,x_0^{\prime }]=[1,0]\\ \\ F(s)=\frac{2}{s}\end{array}$$

因此，響應變成：

$$X(s)=\frac{s+4}{s^2+4s+3}+\frac{2}{(s^2+4s+3)s}$$

將這兩項各自做分解：

$$X(s)=\left(\underset{1.}{\underbrace{\frac{-\frac{1}{2}}{s+3}+\frac{\frac{3}{2}}{s+1}}}\right)+(\underset{2.}{\underbrace{\frac{\frac{1}{3}}{s+3}+\frac{-1}{s+1}}}+\underset{3.}{\underbrace{\frac{\frac{2}{3}}{s}}})$$

可以觀察到：

1. 初始條件會對系統暫態造成影響（1. 的部分），但是對穩態(3. )並沒有影響。
2. 輸入送進系統之後，輸出除了有 DC 的穩態輸出(3. )之外，還多了一些跟系統本身被激發出的反應（2. ），但這些反應只會對暫態有貢獻，對穩態沒有影響。

所以簡單來說，就是：

$$\mathrm{輸}\mathrm{出}\{\begin{array}{l}\mathrm{穩}\mathrm{態}\\ \\ \mathrm{暫}\mathrm{態}\{\begin{array}{l}\mathrm{初}\mathrm{始}\mathrm{條}\mathrm{件}\\ \mathrm{系}\mathrm{統}\mathrm{被}\mathrm{輸}\mathrm{入}\mathrm{激}\mathrm{發}\mathrm{的}\mathrm{響}\mathrm{應}\end{array}\end{array}$$

觀察 2 : Heaviside's Formula

現在把系統變成：

$$\{\begin{array}{l}[m,c,k]=[1,4,4]\\ \\ [x_0,x_0^{\prime }]=[1,0]\\ \\ F(s)=\frac{2}{s}\end{array}$$

帶入剛剛那坨柿子，得到：

$$X(s)=\frac{s+4}{(s+2{)}^2}+\frac{\frac{2}{s}}{(s+2{)}^2}$$

看到 double pole 要做分解，可能會想土炮的用：

$$\frac{a}{(s+2{)}^2}+\frac{b}{(s+a)}$$

不過，也可以考慮用 Heaviside's Formula

$$\{\begin{array}{l}{P}_0(s)\sum _{n=1}^n\frac{P_k}{(s+a{)}^k}\\ \\ P_{n-i}=\frac{1}{i!}\frac{d^i}{d{s}^i}[(s+a{)}^n\frac{P_0(s)}{(s+a{)}^n}]\end{array}$$

其實等價於 Residue Theorem 版本的 Inverse Laplace Transform。

觀察 3 : 初始條件 = 輸入

由剛剛的討可以發現：初始調件可以當一個輸入。這對系統的詮釋很有幫助。比如說有一個系統長這樣：

$$\begin{array}{rl}X(s)& =\frac{s(5s^2-s+5)}{(s^2+1)(2s^2+s+1)}\\ \\ & =\frac{\frac{5s^3+5s-s}{s^2+1}}{2s^2+s+1}\\ \\ & =\frac{5s-1}{2s^2+s+1}+\frac{\frac{1}{s^2+1}}{2s^2+s+1}\end{array}$$

對比剛剛二階系統的響應形式：

$$\frac{(ms+c)x_0+m{x}_0^{\prime }}{m{s}^2+cs+k}+\frac{F(s)}{m{s}^2+cs+k}$$

可知該系統能夠視為：

$$\{\begin{array}{l}{x}_0=5\\ x_0^{\prime }=\frac{7}{4}\\ f=\sin (t)\\ m=2\\ c=1\\ k-=1\end{array}$$

的二階系統。

所以，本來以為是一個四階系統，現在可以看成一個有某個輸入 & 初始條件的二階系統。是一件方便的事。

觀察 4 : 已知的輸出湊出未知的輸出

舉例來說已知一個二階系統：

$$\frac{{\omega }_n^2}{s^2+2\zeta s+{\omega }_n^2}$$

的 step response 是：

$$y_1(t)=1-e^{-\zeta {\omega }_{n}t}\frac{\sin (\omega t+\theta )}{\sin \theta }$$

假設現在想求 impulse response ，可以直接對 transfer function 做垃氏轉換。不過這裡可以發現兩個只差一個 s，所以直接把：

$$\frac{d{y}_1}{dt}=\frac{{\omega }_n}{\beta }\sin (\omega \theta )$$

就可以得到 impulse response。

有更快的方法嗎？有的。直接配方

$G(s)$：

$$\begin{array}{rl}\frac{{\omega }_n^2}{s^2+2\zeta s+{\omega }_n^2}& =\frac{{\omega }_n^2}{(s+\zeta {\omega }_n{)}^2+{\sqrt{1-{\zeta }^2}}^2{\omega }_n^2}\\ \\ & =\frac{{\omega }_n}{\beta }\frac{\sqrt{1-{\zeta }^2}{\omega }_n}{(s+\zeta {\omega }_n{)}^2+{\sqrt{1-{\zeta }^2}}^2{\omega }_n^2}\end{array}$$

然後就可以瞬間看出右邊那坨東西是 sin 的長相，直接做拉式轉換即得。

Numerator Dynamic

加一個 zero 進去會有什麼效果。先講結論：影響暫態行為。因為直覺上來說，加 zero 就是加一個原先響應 + 原來響應的微分嘛。

例子：二階系統加 Zero

舉例來說，把一個二階系統加上一個 zero

$$\frac{{\omega }_n^2}{s^2+\alpha \zeta s+{\omega }_n^2}\frac{s+\zeta {\omega }_n}{\alpha \zeta {\omega }_n}$$

令

$$\overline{s}=\frac{s}{{\omega }_n}$$

得到：

$$\frac{1}{{\overline{s}}^2+2\zeta \overline{s}+1}+\frac{1}{\alpha \zeta }\overline{s}\frac{1}{{\overline{s}}^2+2\zeta \overline{s}+1}$$

這剛剛印證了剛剛的推測。另外，也可以發現 zero 越近實軸，微分項影響越大。

另外一個例子：

$$G_1(s)=\frac{6}{s^2+10s+16}=\frac{1}{s+2}+\frac{1}{s+8}$$

$$G_1(s)=\frac{6s+6}{s^2+10s+16}=\frac{-1}{s+2}+\frac{7}{s+8}$$

可以發現系統的 mode 都不變，只有各個 mode 的係數改變了。

例子：Damper Location

差別是 Damper 是浮動的或是接地的。

系統 1 的轉移函數為：

$$\frac{cs+k}{m{s}^2+cs+k}$$

系統 2 的為：

$$\frac{k}{m{s}^2+cs+k}$$

把題畫完之後可以發現有 zero 的系統會讓響應噴一波，也驗證剛剛的推測。