# 一維彈性碰撞 > 作者：王一哲 > 日期：2018/4/29 <br /> 一維彈性碰撞是力學2第4章（舊課綱基礎物理2B下最後一章）的內容。假設在水平光滑桌面上有兩個小球，質量分別為 $m_1$ 及 $m_2$，速度分別為 $v_1$ 及 $v_2$，兩個小球碰撞後的速度分別為 $v_1'$ 及 $v_2'$。由於兩個小球的碰撞過程不受外力，系統動量守恆 $$ m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1' + m_2 v_2' ~\Rightarrow~ m_1 (v_1 - v_1') = m_2 (v_2' - v_2) ~~~~~ (1) $$ 若碰撞過程沒有能量損失，則碰撞前、後兩小球的總動能相等 $$ \frac{1}{2}m_1 v_1^2 + \frac{1}{2}m_2 v_2^2 = \frac{1}{2}m_1 v_1'^2 + \frac{1}{2}m_2 v_2'^2 \\ m_1 (v_1^2 - v_1'^2) = m_2 (v_2'^2 - v_2^2) \\ m_1 (v_1 + v_1')(v_1 - v_1') = m_2 (v_2' + v_2)(v_2' - v_2) ~~~~~ (2) $$ 第2式除以第1式可得 $$ v_1 + v_1' = v_2' + v_2 ~\Rightarrow~ \left\{\begin{matrix} & v_1' = v_2' + v_2 - v_1 ~~~~~ (3) \\ & v_2' = v_1 + v_1' - v_2 ~~~~~ (4) \end{matrix}\right. $$ 第4式代入第1式可得 $$ \begin{align*} & m_1 (v_1 - v_1') = m_2 [(v_1 + v_1' - v_2) - v_2] \\ \Rightarrow~ & (m_1 + m_2)v_1' = (m_1 - m_2) v_1 + 2m_2 v_2 \\ \Rightarrow~ & v_1' = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} v_1 + \frac{2m_2}{m_1 + m_2} v_2 \end{align*} $$ 第3式代入第1式可得 $$ \begin{align*} & m_1 [v_1 - (v_2' + v_2 - v_1)] = m_2 (v_2' - v_2) \\ \Rightarrow~ & (m_1 + m_2)v_2' = 2m_1 v_1 + (m_2 - m_1) v_2 \\ \Rightarrow~ & v_2' = \frac{2m_1}{m_1 + m_2} v_1 + \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} v_2 \end{align*} $$ <img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="100%" width="100%" src="https://i.imgur.com/KMwzfCU.png"> <div style="text-align:center">一維彈性碰撞的過程</div> <br /> 以下共有兩個程式，第一個是直接代撞後速度公式，第二個則是在木塊間加上理想彈簧作為緩衝，畫出完整的碰撞過程。 <img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="100%" width="100%" src="https://i.imgur.com/w072OIG.png"> <div style="text-align:center">程式15-1畫面截圖</div> <br /> <img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="100%" width="100%" src="https://i.imgur.com/d0T0ziW.png"> <div style="text-align:center">程式15-2畫面截圖</div> <br /> ## 程式 15-1.一維彈性碰撞公式 （[取得程式碼](https://github.com/YiZheWangTw/VPythonTutorial/blob/master/15.%E4%B8%80%E7%B6%AD%E5%BD%88%E6%80%A7%E7%A2%B0%E6%92%9E/15-1_1D_collision.py)）　（[GlowScript 網站動畫連結](http://www.glowscript.org/#/user/yizhe/folder/Public/program/15-11Dcollision)） ```python= """ VPython教學: 15-1.一維彈性碰撞公式 Ver. 3: 2024/5/30 作者: 王一哲 """ from vpython import * """ 1. 參數設定, 設定變數及初始值 """ d1, m1, v1, c1 = 0.2, 0.5, 1.0, color.red # 木塊1的寬度=0.1 m, 質量=0.5 kg, 初速, 紅色 d2, m2, v2, c2 = 0.2, 0.1, 0.0, color.green # 木塊2的寬度=0.1 m, 質量=0.1 kg, 初速, 綠色 xmax, xmin = 2.0, -2.0 # x 軸範圍 t, dt = 0, 0.0005 # 時間, 畫面更新的時間間隔，單位為s, 原為0.001但能量不夠準確, 故改為0.0005 """ 2. 畫面設定 """ # 產生動畫視窗 scene = canvas(title="1 Dimension Collision", width=800, height=300, center=vec(0, 0.4, 0), background=vec(0, 0.6, 0.6)) # 產生地板 floor = box(pos=vec(0, -d1/2.0, 0), size=vec((xmax - xmin), 0.05, 0.8), color=color.blue) # 產生左側木塊 b1, 右側木塊 b2 並設定初速度 b1 = box(pos=vec(xmin + 0.5*d1, 0, 0), size=vec(d1, d1, d1), color=c1, v=vec(v1, 0, 0)) b2 = box(pos=vec(0, 0, 0), size=vec(d2, d2, d2), color=c2, v=vec(v2, 0, 0)) # 繪圖部分 gd = graph(title="<i>v</i>-<i>t</i> plot", x=0, y=300, width=600, height=450, xtitle="<i>t</i> (s)", ytitle="red: <i>v</i><sub>1</sub>, green: <i>v</i><sub>2</sub> (m/s)") vt1 = gcurve(graph=gd, color=c1) vt2 = gcurve(graph=gd, color=c2) # 自訂函式，一維彈性碰撞速度公式 def af_col_v(m1, m2, v1, v2): v1_prime = (m1-m2)/(m1+m2)*v1 + (2*m2)/(m1+m2)*v2 v2_prime = (2*m1)/(m1+m2)*v1 + (m2-m1)/(m1+m2)*v2 return v1_prime, v2_prime """ 3. 物體運動部分, 重複執行直到木塊抵達邊緣時 """ # 印出木塊質量及撞前速度 print("m1 = {:.6f}, m2 = {:.6f}".format(m1, m2)) print("碰撞前：v1 = {:.6f}, v2 = {:.6f}".format(b1.v.x, b2.v.x)) while b2.pos.x <= xmax - d2/2 and b1.pos.x >= xmin + d1/2: rate(1000) # 計算木塊間的距離, 若發生碰撞則計算撞後速度 dx = b2.pos.x - b1.pos.x if dx <= (d1 + d2)/2: b1.v.x, b2.v.x = af_col_v(m1, m2, b1.v.x, b2.v.x) # 更新木塊的位置 b1.pos += b1.v * dt b2.pos += b2.v * dt # 畫 v-t 圖 vt1.plot(pos=(t, b1.v.x)) vt2.plot(pos=(t, b2.v.x)) # 更新時間 t += dt # 印出木塊撞後速度 print("碰撞後：v1 = {:.6f}, v2 = {:.6f}".format(b1.v.x, b2.v.x)) ``` <br /> ### 參數設定 在此設定變數為木塊的寬度、質量、初速、顏色，x軸的範圍、時間、時間間隔，其中時間間隔 dt 設定為 0.0005，這是因為設定為 0.001 時計算木塊能量的誤差較大，故選擇較小的數值。 <br /> ### 畫面設定 產生動畫視窗、地板、木塊、繪圖視窗的程式碼在之前動畫當中已經出現很多次，這裡就不再贅述。 <br /> ### 自訂函式 程式碼第 36 ~ 39 行設定了一個名為 af_col_v 的函式，輸入的參數為 (m1, m2, v1, v2)，將以上參數代入一維彈性碰撞速度公式，回傳撞後速度 v1_prime, v2_prime。我們在程式碼第 58 行呼叫這個函式 ```python b1.v.x, b2.v.x = af_col_v(m1, m2, b1.v.x, b2.v.x) ``` 由於回傳值有兩個，程式會將第1個回傳值指定給 b1.v.x，將第2個回傳值指定給 b2.v.x。 <br /> ### 物體運動部分 1. 當木塊抵達邊緣時停止動畫，因此 while 迴圈的條件設定為 ```python b2.pos.x <= xmax - d2/2 and b1.pos.x >= xmin + d1/2 ``` 2. 若兩個木塊中心的距離小於 (d1 + d2) / 2，表示木塊之間發生碰撞，呼叫自訂函式 af_col_v 計算撞後速度。 3. 更新木塊的位置，畫速度 - 時間關係圖。 <br /> ### 模擬結果 我測試了 3 種不同的條件： 1. m1 = 0.5, m2 = 0.1, v1 = 1.0, v2 = 0.0 2. m1 = 0.2, m2 = 0.4, v1 = 1.0, v2 = -2.0 3. m1 = 0.4, m2 = 0.2, v1 = 2.5, v2 = -0.5 這是將數值直接代入一維彈性碰撞速度公式得到的結果，主要是作為下一個程式的對照組。 <img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://imgur.com/ByAquKF.png"> <div style="text-align:center">條件1的模擬結果：速度 - 時間關係圖</div> <br /> <img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://imgur.com/Oh1cljX.png"> <div style="text-align:center">條件2的模擬結果：速度 - 時間關係圖</div> <br /> <img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://imgur.com/SgMK25h.png"> <div style="text-align:center">條件3的模擬結果：速度 - 時間關係圖</div> <br /> ## 程式 15-2.木塊彈簧系統彈性碰撞 （[取得程式碼](https://github.com/YiZheWangTw/VPythonTutorial/blob/master/15.%E4%B8%80%E7%B6%AD%E5%BD%88%E6%80%A7%E7%A2%B0%E6%92%9E/15-2_1D_collision.py)）　（[GlowScript 網站動畫連結](http://www.glowscript.org/#/user/yizhe/folder/Public/program/15-21Dcollision)） ```python= """ VPython教學: 15-2.木塊彈簧系統彈性碰撞 Ver. 5: 2024/5/30 作者: 王一哲 """ from vpython import * """ 1. 參數設定, 設定變數及初始值 """ d1, m1, v1, c1 = 0.2, 0.5, 1.0, color.red # 木塊1的寬度 = 0.1 m, 質量 = 0.5 kg, 初速, 紅色 d2, m2, v2, c2 = 0.2, 0.1, 0.0, color.green # 木塊2的寬度 = 0.1 m, 質量 = 0.1 kg, 初速, 綠色 L0, k = 0.5, 2.0 # 彈簧的原長 = 0.5 m, 彈性常數 = 2.0 N/m xmax, xmin = 2.0, -2.0 # x 軸範圍 t, dt = 0, 0.0005 # 時間, 畫面更新的時間間隔，單位為s, 原為0.001但能量不夠準確, 故改為0.00005 """ 2. 畫面設定 """ # 產生動畫視窗 scene = canvas(title="1 Dimension Collision", width=800, height=300, center=vec(0, 0.4, 0), background=vec(0, 0.6, 0.6)) # 產生地板 floor = box(pos=vec(0, -d1/2.0, 0), size=vec((xmax - xmin), 0.05, 0.8), color=color.blue) # 產生左側木塊 b1, 右側木塊 b2 並設定初速度 b1 = box(pos=vec(-L0 - 1, 0, 0), size=vec(d1, d1, d1), color=c1, v=vec(v1, 0, 0)) b2 = box(pos=vec(0, 0, 0), size=vec(d2, d2, d2), color=c2, v=vec(v2, 0, 0)) # 產生彈簧, 起點為(-0.5*d2, 0, 0), 方向為(-L0, 0, 0) spring = helix(pos=b2.pos + vec(-0.5*d2, 0, 0), axis=vec(-L0, 0, 0), radius=0.05, thickness=0.03) # 能量 - 時間關係圖 gd1 = graph(title="<i>E</i>-<i>t</i> plot", x=0, y=300, width=600, height=450, xtitle="<i>t</i> (s)", ytitle="red: <i>K</i><sub>1</sub>, green: <i>K</i><sub>2</sub>, orange: <i>U</i>, blue: <i>E</i> (J)") kt1 = gcurve(graph=gd1, color=c1) kt2 = gcurve(graph=gd1, color=c2) ut = gcurve(graph=gd1, color=color.orange) et = gcurve(graph=gd1, color=color.blue) # 速度、加速度 - 時間關係圖 gd2 = graph(title="<i>v</i>-<i>t</i> and <i>a</i>-<i>t</i> plot", x=0, y=750, width=600, height=450, xtitle="<i>t</i> (s)", ytitle="red: <i>v</i><sub>1</sub>, green: <i>v</i><sub>2</sub> (m/s); orange: <i>a</i><sub>1</sub>, blue: <i>a</i><sub>2</sub> (m/s<sup>2</sup>)") vt1 = gcurve(graph=gd2, color=c1) vt2 = gcurve(graph=gd2, color=c2) at1 = gcurve(graph=gd2, color=color.orange) at2 = gcurve(graph=gd2, color=color.blue) # 動量 - 時間關係圖 gd3 = graph(title = "p-t plot", x = 0, y = 1200, width = 600, height = 450, xtitle = "t(s)", ytitle = "red: <i>p</i><sub>1</sub>, green: <i>p</i><sub>2</sub>, blue: <i>p</i><sub>total</sub> (kg m/s)") pt1 = gcurve(graph = gd3, color = c1) pt2 = gcurve(graph = gd3, color = c2) pt3 = gcurve(graph = gd3, color = color.blue) """ 3. 物體運動部分, 重複執行直到木塊抵達邊緣時 """ # 印出木塊質量及撞前速度 print("m1 = {:.6f}, m2 = {:.6f}".format(m1, m2)) print("碰撞前：v1 = {:.6f}, v2 = {:.6f}".format(b1.v.x, b2.v.x)) while b2.pos.x <= xmax - d2/2 and b1.pos.x >= xmin + d1/2: rate(1000) # 計算木塊間的距離, 更新彈簧起點位置 dx = b2.pos.x - b1.pos.x - 0.5*d1 - 0.5*d2 spring.pos = b2.pos + vec(-0.5*d2, 0, 0) # 若木塊間的距離大於等於彈簧原長, 彈簧未被壓縮, 回復力 = 0, 木塊加速度 = 0 # 若木塊間的距離小於彈簧原長, 彈簧被壓縮, 計算彈簧回復力, 木塊加速度 if dx >= L0: spring.axis = vec(-L0, 0, 0) dL = 0 b1.a = vec(0, 0, 0) b2.a = vec(0, 0, 0) else: spring.axis = vec(-dx, 0, 0) dL = L0 - dx force = vec(-k*dL, 0, 0) b1.a = force/m1 b2.a = -force/m2 # 更新木塊速度、位置 b1.v += b1.a * dt b2.v += b2.a * dt b1.pos += b1.v * dt b2.pos += b2.v * dt # 計算木塊動能、系統彈性位能、力學能並作圖 k1 = 0.5 * m1 * b1.v.mag2 k2 = 0.5 * m2 * b2.v.mag2 u = 0.5 * k * dL**2 e = k1 + k2 + u kt1.plot(pos=(t, k1)) kt2.plot(pos=(t, k2)) ut.plot(pos=(t, u)) et.plot(pos=(t, e)) # 畫v-t圖及a-t圖 vt1.plot(pos=(t, b1.v.x)) vt2.plot(pos=(t, b2.v.x)) at1.plot(pos=(t, b1.a.x)) at2.plot(pos=(t, b2.a.x)) # 畫p-t圖 pt1.plot(pos = (t, m1*b1.v.x)) pt2.plot(pos = (t, m2*b2.v.x)) pt3.plot(pos = (t, m1*b1.v.x+m2*b2.v.x)) # 更新時間 t += dt # 印出木塊撞後速度 print("碰撞後：v1 = {:.6f}, v2 = {:.6f}".format(b1.v.x, b2.v.x)) ``` <br /> ### 程式設計部分 由於程式 15-2 和 15-1 幾乎相同，只是加上一條理想彈簧作為緩衝，因此以下只說明兩者的不同之處。 1. 第 17 行，設定彈簧的原長 L0 = 0.5、彈性常數 k = 5.0。 2. 第 33 行，用 helix 物件產生彈簧，彈簧的起點位置為 b2 的左側，彈簧的軸為 vec(-L0, 0, 0)。 3. 第 41 ~ 46 行，增加一個繪圖視窗，用來畫能量 - 時間關係圖。 4. 第 58 行，計算兩個木塊之間的距離 dx = b2.pos.x - b1.pos.x - d1/2 - d2/2。第 59 行，更新彈簧的起點位置。 5. 第 62 ~ 72 行：若 dx >= L0，代表彈簧沒被壓縮，將彈簧的軸設定為 vec(-L0, 0, 0)，彈簧的回復力及 b1、b2 的加速度皆為0；反之，代表彈簧被壓縮，將彈簧的軸設定為 vec(-dx, 0, 0)，計算彈簧的回復力及 b1、b2 的加速度。 6. 第 79 ~ 86 行，計算木塊動能、系統彈性位能、力學能並作圖。 <br /> ### 模擬結果 我測試了 3 種不同的條件： 1. m1 = 0.5, m2 = 0.1, v1 = 1.0, v2 = 0.0, k = 2.0 2. m1 = 0.2, m2 = 0.4, v1 = 1.0, v2 = -2.0, k = 5.0 否則會無法擋住木塊 3. m1 = 0.4, m2 = 0.2, v1 = 2.5, v2 = -0.5, k = 5.0 否則會無法擋住木塊 木塊的撞後速度皆與理論計算相符，代表這個模擬結果應該是可靠的，可以從圖中觀察撞擊過程的能量、速度、加速度的變化。 <img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://imgur.com/IRMhR5d.png"> <div style="text-align:center">條件1的模擬結果：速度 - 時間、加速度 - 時間關係圖</div> <br /> <img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://imgur.com/G1DEaGQ.png"> <div style="text-align:center">條件1的模擬結果：能量 - 時間關係圖</div> <br /> <img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://imgur.com/OSs0BRz.png"> <div style="text-align:center">條件2的模擬結果：速度 - 時間、加速度 - 時間關係圖</div> <br /> <img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://imgur.com/EPfsJ5Y.png"> <div style="text-align:center">條件2的模擬結果：能量 - 時間關係圖</div> <br /> <img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://imgur.com/GclnkWi.png"> <div style="text-align:center">條件3的模擬結果：速度 - 時間、加速度 - 時間關係圖</div> <br /> <img style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto" height="80%" width="80%" src="https://imgur.com/D5rztGY.png"> <div style="text-align:center">條件3的模擬結果：能量 - 時間關係圖</div> <br /> ## 結語 很少有課本或講義的作者肯認真地把一維彈性碰撞的過程畫出來，這是相當奇怪的事情，在碰撞過程中部分的動能會先轉換成彈性位能，接著再將彈性位能釋放出來變回動能，所以整個碰撞過程的動能並不守恆，只能說碰撞前後動能沒有損失。如果將碰撞過程完整地畫出來，可以使學生的觀念更加清楚。 <br /> ## 延伸閱讀 〈[一維彈性碰撞次數與圓周率](https://hackmd.io/@yizhewang/Sk7_QkbEr)〉 <br /> ## VPython官方說明書 1. **canvas**: http://www.glowscript.org/docs/VPythonDocs/canvas.html 2. **box**: http://www.glowscript.org/docs/VPythonDocs/box.html 3. **helix**: http://www.glowscript.org/docs/VPythonDocs/helix.html 4. **graph**: http://www.glowscript.org/docs/VPythonDocs/graph.html --- ###### tags:`VPython`