GeoGebra 教學 10：向量積（3D繪圖區）

作者：王一哲
日期：2019/4/7

向量積 (vector product) 也稱為叉積 (cross product)，在高中數學課本中被稱為外積，但是在數學上有另一個外積 (outer product)，兩者是不同的。假設向量

$\mathbf{a}$、

$\mathbf{b}$分別定義為

$$\mathbf{a}=(x_1,y_1,z_1)$$

$$\mathbf{b}=(x_2,y_2,z_2)$$

則兩者的向量積為

$$\mathbf{c}=\mathbf{a}\times \mathbf{b}=\left|\begin{array}{ccc}\hat{i}& \hat{j}& \hat{k}\\ x_1& y_1& z_1\\ x_2& y_2& z_2\end{array}\right|=(y_1{z}_2-z_1{y}_2,z_1{x}_2-x_1{z}_2,x_1{y}_2-y_1{x}_2)$$

也可以利用降階寫成3個2乘以2的行列式

$$\mathbf{c}=\mathbf{a}\times \mathbf{b}=\left|\begin{array}{cc}{y}_1& z_1\\ y_2& z_2\end{array}\right|\hat{i}-\left|\begin{array}{cc}{x}_1& z_1\\ x_2& z_2\end{array}\right|\hat{j}+\left|\begin{array}{cc}{x}_1& y_1\\ x_2& y_2\end{array}\right|\hat{k}=(y_1{z}_2-z_1{y}_2,z_1{x}_2-x_1{z}_2,x_1{y}_2-y_1{x}_2)$$

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配合目前高中數學課本使用的符號再寫一次，假設向量

$\mathbf{a}$、

$\mathbf{b}$分別定義為

$$\mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3)$$

$$\mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3)$$

則兩者的向量積為

$$\mathbf{c}=\mathbf{a}\times \mathbf{b}=\left|\begin{array}{ccc}\hat{i}& \hat{j}& \hat{k}\\ a_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\end{array}\right|=(a_2{b}_3-a_3{b}_2,a_3{b}_1-a_1{b}_3,a_1{b}_2-a_2{b}_1)$$

也可以利用降階寫成3個2乘以2的行列式

$$\mathbf{c}=\mathbf{a}\times \mathbf{b}=\left|\begin{array}{cc}{a}_2& a_3\\ b_2& b_2\end{array}\right|\hat{i}-\left|\begin{array}{cc}{a}_1& a_3\\ b_1& b_3\end{array}\right|\hat{j}+\left|\begin{array}{cc}{a}_1& a_2\\ b_2& b_2\end{array}\right|\hat{k}=(a_2{b}_3-a_3{b}_2,a_3{b}_1-a_1{b}_3,a_1{b}_2-a_2{b}_1)$$

通常用會下圖幫助學生記得運算規則，將向量

$\mathbf{a}$、

$\mathbf{b}$各寫兩次，再刪除頭、尾兩欄，接下來每兩欄為一組，左上、右下兩者相乘減掉右上、左下兩者相乘，即可寫出

$(a_2{b}_3-a_3{b}_2,a_3{b}_1-a_1{b}_3,a_1{b}_2-a_2{b}_1)$。

向量積運算

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相當於是向量

$\mathbf{a}$、

$\mathbf{b}$在空間中形成的平行四邊形的法向量。

若

$\mathbf{a}$ 與

$\mathbf{b}$ 的夾角為

$\theta$，則

$\mathbf{c}=\mathbf{a}\times \mathbf{b}$ 的量值相檔於取

$\mathbf{a}$、

$\mathbf{b}$ 的垂直量相乘，即

$$c=ab\sin \theta$$

本次課程檔案已上傳至 GeoGebraTube，可以線上操作或下載檔案，網址為 https://ggbm.at/upfavbyq

向量積

繪圖步驟

1. 由於向量積運算的結果會和相乘的兩個向量垂直，必須開啟3D繪圖區才能顯示圖形，我們先由檢視 ⇒ 3D繪圖區或是快速鍵Ctrl+Shift+3開啟3D繪圖區。

開啟3D繪圖區選單

3D繪圖區

2. 用以下指令新增點O、A、B。

   ​​​​O = Point({0, 0, 0})
   ​​​​A = Point({4, 0, 0})
   ​​​​B = Point({2, 3, 4})
   

3. 用以下指令新增向量u、v。

   ​​​​u = Vector(O, A)
   ​​​​v = Vector(O, B)
   

4. 將點A沿著向量v平移，畫出點C。

   ​​​​C = Point(A, v)
   

5. 用以下指令畫出平行四邊形OACB。

   ​​​​Polygon(O, A, C, B)
   

向量積繪圖步驟1 ~ 5

6. 用以下指令畫出平行四邊形OACB的中點D。

   ​​​​D = Midpoint(O, C)
   

7. 計算

   $\mathbf{u}\times \mathrm{v}$ 並命名為向量w。
   ​​​​w = Cross(u, v)
   

8. 將點D沿著向量w平移，再畫出向量

   $\mathbf{area}=\overrightarrow{D{D}^{\prime }}$
   ​​​​D' = Point(D, w)
   ​​​​area = Vector(D, D')
   

   可以將步驟7、8合併為一行指令

   ​​​​area' = Vector(D, Point(D, Cross(u, v)))
   

向量積繪圖最終成果

相關指令的官方說明書

1. 點 https://wiki.geogebra.org/en/Point_Command
2. 向量 https://wiki.geogebra.org/en/Vector_Command
3. 多邊形 https://wiki.geogebra.org/en/Polygon_Command
4. 中心點 https://wiki.geogebra.org/en/Midpoint_Command
5. 向量積 https://wiki.geogebra.org/en/Cross_Command

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