# GeoGebra 教學 10：向量積（3D繪圖區）

> 作者：王一哲
> 日期：2019/4/7

**向量積** (vector product) 也稱為**叉積** (cross product)，在高中數學課本中被稱為外積，但是在數學上有另一個外積 (outer product)，兩者是不同的。假設向量$\mathbf{a}$、$\mathbf{b}$分別定義為

$$\mathbf{a} = (x_1, y_1, z_1)$$
$$\mathbf{b} = (x_2, y_2, z_2)$$

則兩者的向量積為

$$\mathbf{c} = \mathbf{a} \times \mathbf{b} =
\begin{vmatrix}
\hat i & \hat j & \hat k \\
x_1 & y_1 & z_1 \\
x_2 & y_2 & z_2
\end{vmatrix}
= (y_1 z_2 - z_1 y_2, z_1 x_2 - x_1 z_2, x_1 y_2 - y_1 x_2)$$

也可以利用降階寫成3個2乘以2的行列式

$$\mathbf{c} = \mathbf{a} \times \mathbf{b} =
\begin{vmatrix}
y_1 & z_1 \\
y_2 & z_2
\end{vmatrix} \hat i -
\begin{vmatrix}
x_1 & z_1 \\
x_2 & z_2
\end{vmatrix} \hat j +
\begin{vmatrix}
x_1 & y_1 \\
x_2 & y_2
\end{vmatrix} \hat k
= (y_1 z_2 - z_1 y_2, z_1 x_2 - x_1 z_2, x_1 y_2 - y_1 x_2)$$

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配合目前高中數學課本使用的符號再寫一次，假設向量$\mathbf{a}$、$\mathbf{b}$分別定義為

$$\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)$$
$$\mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3)$$

則兩者的向量積為

$$\mathbf{c} = \mathbf{a} \times \mathbf{b} =
\begin{vmatrix}
\hat i & \hat j & \hat k \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3
\end{vmatrix}
= (a_2 b_3 - a_3 b_2, a_3 b_1 - a_1 b_3, a_1 b_2 - a_2 b_1)$$

也可以利用降階寫成3個2乘以2的行列式

$$\mathbf{c} = \mathbf{a} \times \mathbf{b} =
\begin{vmatrix}
a_2 & a_3 \\
b_2 & b_2
\end{vmatrix} \hat i -
\begin{vmatrix}
a_1 & a_3 \\
b_1 & b_3
\end{vmatrix} \hat j +
\begin{vmatrix}
a_1 & a_2 \\
b_2 & b_2
\end{vmatrix} \hat k
= (a_2 b_3 - a_3 b_2, a_3 b_1 - a_1 b_3, a_1 b_2 - a_2 b_1)$$

通常用會下圖幫助學生記得運算規則，將向量$\mathbf{a}$、$\mathbf{b}$各寫兩次，再刪除頭、尾兩欄，接下來每兩欄為一組，左上、右下兩者相乘減掉右上、左下兩者相乘，即可寫出 $(a_2 b_3 - a_3 b_2, a_3 b_1 - a_1 b_3, a_1 b_2 - a_2 b_1)$。

<img height="40%" width="40%" src="https://imgur.com/ZkT6qGk.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">向量積運算</div>
<br />

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相當於是向量$\mathbf{a}$、$\mathbf{b}$在空間中形成的平行四邊形的法向量。

若 $\mathbf{a}$ 與 $\mathbf{b}$ 的夾角為 $\theta$，則 $\mathbf{c} = \mathbf{a} \times \mathbf{b}$ 的量值相檔於取 $\mathbf{a}$、$\mathbf{b}$ 的垂直量相乘，即
$$
c = ab \sin \theta
$$
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本次課程檔案已上傳至 GeoGebraTube，可以線上操作或下載檔案，網址為 https://ggbm.at/upfavbyq

<img height="100%" width="100%" src="https://imgur.com/3mlD2CZ.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">向量積</div>
<br />

## 繪圖步驟

1. 由於向量積運算的結果會和相乘的兩個向量垂直，必須開啟**3D繪圖區**才能顯示圖形，我們先由**檢視** ⇒ **3D繪圖區**或是快速鍵**Ctrl+Shift+3**開啟3D繪圖區。

<img height="30%" width="30%" src="https://imgur.com/8x4FGLp.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">開啟3D繪圖區選單</div>
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<img height="100%" width="100%" src="https://imgur.com/F9iiKDA.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">3D繪圖區</div>
<br />

2. 用以下指令新增點O、A、B。

    O = Point({0, 0, 0})
    A = Point({4, 0, 0})
    B = Point({2, 3, 4})

3. 用以下指令新增向量u、v。

    u = Vector(O, A)
    v = Vector(O, B)

4. 將點A沿著向量v平移，畫出點C。

    C = Point(A, v)

5. 用以下指令畫出平行四邊形OACB。

    Polygon(O, A, C, B)

<img height="100%" width="100%" src="https://imgur.com/cHuFsWr.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">向量積繪圖步驟1 ~ 5</div>
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6. 用以下指令畫出平行四邊形OACB的中點D。

    D = Midpoint(O, C)

7. 計算 $\mathbf{u} \times \mathrm{v}$ 並命名為向量w。

    w = Cross(u, v)

8. 將點D沿著向量w平移，再畫出向量 $\mathbf{area} = \overrightarrow{DD'}$

    D' = Point(D, w)
    area = Vector(D, D')

可以將步驟7、8合併為一行指令

    area' = Vector(D, Point(D, Cross(u, v)))

<img height="100%" width="100%" src="https://imgur.com/3mlD2CZ.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/>
<div style="text-align:center">向量積繪圖最終成果</div>
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## 相關指令的官方說明書

1. 點 https://wiki.geogebra.org/en/Point_Command
2. 向量 https://wiki.geogebra.org/en/Vector_Command
3. 多邊形 https://wiki.geogebra.org/en/Polygon_Command
4. 中心點 https://wiki.geogebra.org/en/Midpoint_Command
5. 向量積 https://wiki.geogebra.org/en/Cross_Command

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