2017q3 Homework1(Ternary)

contributed by < kevin55216 >

Review by maskashura

• 對bal3有明確的解說運算,但內容沒有針對 ternary adder 做分析
• 需補充 ternary 在 IOTA 上的應用,這部份會是本次作業的重點!

Review by jackyhobingo

• 在英文與中文中間應該有空格做區分
• Balanced Ternary 的優缺點敘述有點簡略，不應該只是比較少位元表示就比較有優勢，可以參考 Radix_economy
• 提出為什麼 tenary 電腦沒有普及的問題，但回答感覺並沒有到點，就好像任何只要需要重新實作的系統都不適合發展，

Balanced Ternary 原理

Balanced Ternary 不同於二進位以

$0、1$ 表達的方式，Balanced Ternary 使用

$-1(T)、0、1$

$(\mathrm{或}\mathrm{用}-,0,+\mathrm{來}\mathrm{表}\mathrm{示})$三個基本數位來表示。Balanced Ternary 轉換為十進位的公式如下:

$\sum _{i=1}^n(a_i)3^{(i-1)}for{a}_i=-1or0or1$

下面以正負整數做比較。

十進位	$14$	$-14$
二進位	$1110$	$10010$
Balanced Ternary	$+---$	$-+++$

二進位在

$\mathrm{負}\mathrm{數}(-14)$的表現上必須在前面補上1且需要做

$\mathrm{正}\mathrm{數}14$的補數

$(0001)\mathrm{加}1$；而Balanced Ternary只需要對正數做補數。
並且以二進位來說

$10010$若不告訴閱讀者這是負數則有可能為

$18$或者

$-14$這兩種數，但Balanced Ternary則不然

$T111$只有

$-14$這一數。我們可以認為Balanced Ternary這一進位法是專為正負數系統所設計進位法。

另外在加法部分以下表作呈現。而在減法我們可以僅在前端做一個補數即

$x-y=x+(-y)$

$S$	$-$	$0$	$+$		$C$	$-$	$0$	$+$
$-$	$+$	$-$	$0$		$-$	$-$	$0$	$0$
$0$	$-$	$0$	$+$		$0$	$0$	$0$	$0$
$+$	$0$	$+$	$-$		$+$	$0$	$0$	$+$
乘法部分

$\times$	$-$	$0$	$+$
$-$	$+$	$0$	$-$
$0$	$0$	$0$	$0$
$+$	$-$	$0$	$+$
例如: $7\times (-11)=1T1\times TT1=-77$
$\ \ \ \ \ 1T1\
\times \ \underline{TT1}\
\ \ \ \ \ \ 1T1\
\ \ \ T1T\
\underline{T1T\ \ \ \ \ }\
T0011=-77$

在除法部分

$A÷B$
我們必須先求出

$C=0.5B$，且

$0.5$在Balanced Ternary中是以

$0.\bar{1}or1.\bar{T}$ 表示。
若

$-C<A<C$則商為

$0$，若

$A>C,A<-C$則商分別為

$1,T$。
我以wikipedia中的範例來解說。

$111T÷11$

$0.5\times 11=1T$

$$\begin{gathered} \mathrm{第}\mathrm{一}\mathrm{層}11>1T=>set1 \\ \mathrm{第}\mathrm{二}\mathrm{層}T1<01<1T=>set0 \\ \mathrm{第}\mathrm{三}\mathrm{層}1T=1T=>set0.\bar{1}or1.\bar{T} \\ \mathrm{得}\mathrm{解}100.\bar{1}or101.\bar{T} \end{gathered}$$
再來我提自己的例子

$6÷8$

$A=1T0,B=10T,C=11$

$01.\overline{T1}$

$10T\overline{)1T0}$

$\underset{―}{10T}$

$0T1.0$

$\underset{―}{T0.1}$

$01.T0$

$\underset{―}{1.0T}$

$0.T1$

$$\begin{gathered} \mathrm{第}\mathrm{一}\mathrm{層}11>1T>TT=>set0,\mathrm{餘}1T \\ \mathrm{第}\mathrm{二}\mathrm{層}11<1T0=>set1,\mathrm{餘}T1 \\ \mathrm{第}\mathrm{三}\mathrm{層}TT>T10=>setT,\mathrm{餘}1T \\ \mathrm{第}\mathrm{四}\mathrm{層}11<1T0=>set1 \\ \mathrm{得}\mathrm{解}1.\overline{T1} \end{gathered}$$

Balanced Ternary 的優缺點

在數值系統

在數值統中，高位元表示毋庸置疑能以較少位元數表示同一數，例如： 同樣是15，在16進位下，
只要0xE，3進位（0，1，2）需要120，2進位則需要1111。
但在平衡三進位中，特別強大的是其在負數上的表現，不需要多一位元來表示正負號，且在正負轉換
只需要進行補數。

實際上

上片敘述了種種ternary的強大之處，但為什麼ternary電腦沒有普及呢？

我們可以參考electronics上的一張ternary的電路圖。
若現今的電腦系統要改成三進位電路就要重新設計，電路上的議題也會增加，許多的指令架構都要
從新做設計。

參考資料

wikipedia
techopedia
electronics