# 2016q3 Homework1 (compute-pi)
contributed by <`shelly4132`>
## Reviewed by <`hugikun999`>
* 可以嘗試分析對數圖為何N越大時浮動越大。
* thread數對openmp有滿大的影響，可以多測試幾組找出造成差異的原因。
* AVX+unroll版本可以從function本身去修正，使其就算不為16的倍數時圖也不會出現明顯震盪。
* 分析為何Euler相對其它公式會上升如此快速。
* 信賴區間可以多做幾種取樣次數，比較不同取樣次數對曲線產生的影響。
## 開發環境
* 作業系統：Ubuntu 16.04 LTS
* CPU：Intel(R) Core(TM) i5-4200U CPU @ 1.60GHz
* Cache：
* L1d cache: 32K
* L1i cache: 32K
* L2 cache: 256K
* L3 cache: 3072K
>> 需要一併列出硬體組態，特別是 processor model，這樣才有比較分析的依據 [name=jserv]
## 總之先執行看看
先從github上clone程式碼下來
```shell
$ git clone https://github.com/sysprog21/compute-pi
```
#### Makefile
打開Makefile可以看到已經預設打開OpenMP和AVX了
```shell
CFLAGS = -O0 -std=gnu99 -Wall -fopenmp -mavx
```
#### 開始執行
```shell
$ make check
N = 400000000 , pi = 3.141593
4.47user 0.00system 0:04.47elapsed 99%CPU (0avgtext+0avgdata 1756maxresident)k
0inputs+0outputs (0major+85minor)pagefaults 0swaps
time ./time_test_openmp_2
N = 400000000 , pi = 3.141593
5.65user 0.00system 0:02.83elapsed 199%CPU (0avgtext+0avgdata 1936maxresident)k
0inputs+0outputs (0major+88minor)pagefaults 0swaps
time ./time_test_openmp_4
N = 400000000 , pi = 3.141593
9.33user 0.00system 0:02.45elapsed 379%CPU (0avgtext+0avgdata 1956maxresident)k
0inputs+0outputs (0major+92minor)pagefaults 0swaps
time ./time_test_avx
N = 400000000 , pi = 3.141593
1.31user 0.00system 0:01.31elapsed 100%CPU (0avgtext+0avgdata 1756maxresident)k
0inputs+0outputs (0major+83minor)pagefaults 0swaps
time ./time_test_avxunroll
N = 400000000 , pi = 3.141593
1.22user 0.00system 0:01.23elapsed 99%CPU (0avgtext+0avgdata 1772maxresident)k
0inputs+0outputs (0major+84minor)pagefaults 0swaps
```
使用clock_gettime() 來測量不同實做的執行時間，需要花一點時間等待。
```
$ make gencsv
```
完成後可以發現資料夾裡多了一個csv檔
```
result_clock_gettime.csv
```
利用LibreOffice圖表
用gnuplot畫的結果
* set logscale x 2：設定x為以2為底的對數刻度
將N的大小提高
* 因為後面的時間差異比較大，所以我把logscale的底數改為10，然後x軸從5000開始
## 時間處理與 time 函式使用
使用``` time ```指令可以看到以下三種時間
#### Real time：
表示程式從執行開始到結束所花費的時間。
#### User time：
表示這個程式運行在User mode的CPU time。
#### System time：
表示這個程式運行在Kernel mode的CPU time。
#### Real time ≠ CPU time
CPU time是指實際上CPU有在運作的時間，像等待使用者輸入的時間並不會被計算進去，但Real time會把那些時間都計算進去。而在多執行緒的情況下，CPU time是所有執行緒的總和。
#### 關於Kernel mode與 User mode
1. 之所以要有 Kernel mode 和 User mode 之分，是因為我們希望
作業系統可以壟斷所有的硬體操作，讓一般的程式不能亂搞。
2. Kernel mode 就是萬能的，只要是 CPU 能管的硬體，Kernel
mode 的程式就可以透過 machine code 來操作該硬體。
3. User mode 基本上就是「受限」的模式。除了一些沒有傷害的行
為之外什麼都不能做。
### clock_gettime()
#### 函式原型
```clike
int clock_gettime(clockid_t clk_id, struct timespec *tp);
```
第一個參數clk_id可填入：
CLOCK_REALTIME：系統時間，會被NTP調整
CLOCK_MONOTONIC：時間自系統開機後就一直單調的遞增，但會被NTP調整時間，所以並不能算是絕對的單調遞增。
CLOCK_MONOTONIC_RAW：與CLOCK_MONOTONIC很像，只是他不會受到NTP的影響
CLOCK_PROCESS_CPUTIME_ID
CLOCK_THREAD_CPUTIME_ID
CLOCK_REALTIME_COARSE
CLOCK_MONOTONIC_COARSE
CLOCK_BOOTTIME
CLOCK_REALTIME_ALARM
CLOCK_SGI_CYCLE
CLOCK_TAI
而struct timespec* tp則是本函式回傳的結果。
struct timespec的宣告如下：
```clike
struct timespec {
time_t tv_sec; /* seconds */
long tv_nsec; /* nanoseconds */
};
```
## baseline
利用此公式求得pi的值
```clike=
double compute_pi_baseline(size_t N)
{
double pi = 0.0;
double dt = 1.0 / N; // dt = (b-a)/N, b = 1, a = 0
for (size_t i = 0; i < N; i++) {
double x = (double) i / N; // x = ti = a+(b-a)*i/N = i/N
pi += dt / (1.0 + x * x); // integrate 1/(1+x^2), i = 0....N
}
return pi * 4.0;
}
```
## OpenMP
用一樣的公式只是使用了OpenMp去做優化，function新增了一個參數(threads)用來指定要用幾個thread來執行
#### reduction
* 他的形式為reduction( 運算元 : 變數 )
* 支援的運算元有 +, *, –, &, ^, |, &&, ||
* 變數則必須要是 shared 的
他的運作方式，就是讓各個執行緒針對指定的變數擁有一份有起始值的複本（起始值是運算元而定，像 +, – 的話就是 0，* 就是 1），然後在平行化的計算時，都以各自的複本做運算，等到最後再以指定的運算元，將各執行緒的複本整合。
```clike=
double compute_pi_openmp(size_t N, int threads)
{
double pi = 0.0;
double dt = 1.0 / N;
double x;
#pragma omp parallel num_threads(threads)
{
#pragma omp for private(x) reduction(+:pi)
for (size_t i = 0; i < N; i++) {
x = (double) i / N;
pi += dt / (1.0 + x * x);
}
}
return pi * 4.0;
}
```
## AVX SIMD
AVX (Advanced Vector Extensions) 是 Intel 一套用來作 Single Instruction Multiple Data 的指令集。
* _mm256d : 它並不是一種暫存器，是指可以用來載入到 AVX 暫存器的 “Data type”，double precision, 64bit
* _mm256_set1_pd(1.0)：將參數浮點數值放到 _mm256 變數的所有位置。
* _mm256_set_pd(dt * 3, dt * 2, dt * 1, 0.0)：將dt * 3, dt * 2, dt * 1, 0.0這些參數依序放入_mm256 變數，參數順序和放進去的次序相反。
```C=
double compute_pi_avx(size_t N)
{
double pi = 0.0;
double dt = 1.0 / N;
register __m256d ymm0, ymm1, ymm2, ymm3, ymm4;
ymm0 = _mm256_set1_pd(1.0);
ymm1 = _mm256_set1_pd(dt);
ymm2 = _mm256_set_pd(dt * 3, dt * 2, dt * 1, 0.0);
ymm4 = _mm256_setzero_pd(); // sum of pi
for (int i = 0; i <= N - 4; i += 4) {
ymm3 = _mm256_set1_pd(i * dt); // i*dt, i*dt, i*dt, i*dt
ymm3 = _mm256_add_pd(ymm3, ymm2); // x = i*dt+3*dt, i*dt+2*dt, i*dt+dt, i*dt+0.0
ymm3 = _mm256_mul_pd(ymm3, ymm3); // x^2 = (i*dt+3*dt)^2, (i*dt+2*dt)^2, ...
ymm3 = _mm256_add_pd(ymm0, ymm3); // 1+x^2 = 1+(i*dt+3*dt)^2, 1+(i*dt+2*dt)^2, ...
ymm3 = _mm256_div_pd(ymm1, ymm3); // dt/(1+x^2)
ymm4 = _mm256_add_pd(ymm4, ymm3); // pi += dt/(1+x^2)
}
double tmp[4] __attribute__((aligned(32)));
_mm256_store_pd(tmp, ymm4); // move packed float64 values to 256-bit aligned memory location
pi += tmp[0] + tmp[1] + tmp[2] + tmp[3];
return pi * 4.0;
}
```
## Error Rate
```clike=
// Baseline
double pi = compute_pi_baseline(N);
double diff = pi - M_PI > 0 ? pi - M_PI : M_PI - pi;
double error = diff / M_PI;
```
之前測出來的error rate只有一條曲線，原本還覺得滿合理的，結果後來發現code有寫錯，改好後竟然多了一條曲線 orz
後來跟[鄭皓澤](https://hackmd.io/s/ryHY0T_T)討論後，發現是AVX Unroll在N = 1000結尾的時候pi的值都會跟別人不一樣，但為什麼會這樣的原因還有待進一步的研究。
>> 表示程式碼的實做可能有缺陷，想辦法去修正 [name=jserv]
```
time ./time_test_baseline
N = 1000 , pi = 3.142592
0.00user 0.00system 0:00.00elapsed ?%CPU (0avgtext+0avgdata 1716maxresident)k
0inputs+0outputs (0major+83minor)pagefaults 0swaps
time ./time_test_openmp_2
N = 1000 , pi = 3.142592
0.00user 0.00system 0:00.00elapsed ?%CPU (0avgtext+0avgdata 1788maxresident)k
0inputs+0outputs (0major+87minor)pagefaults 0swaps
time ./time_test_openmp_4
N = 1000 , pi = 3.142592
0.00user 0.00system 0:00.00elapsed 200%CPU (0avgtext+0avgdata 1740maxresident)k
0inputs+0outputs (0major+93minor)pagefaults 0swaps
time ./time_test_avx
N = 1000 , pi = 3.142592
0.00user 0.00system 0:00.00elapsed ?%CPU (0avgtext+0avgdata 1788maxresident)k
0inputs+0outputs (0major+87minor)pagefaults 0swaps
time ./time_test_avxunroll
N = 1000 , pi = 3.126520
0.00user 0.00system 0:00.00elapsed ?%CPU (0avgtext+0avgdata 1792maxresident)k
0inputs+0outputs (0major+84minor)pagefaults 0swaps
```
### 原因
從以下程式碼可以看到它比Baseline多執行了16遍，當N=1000的時候，i最大可以到984，但984/16 = 61.5，不能整除，所以變成有漏算的情形。
```clike=
for (int i = 0; i <= N - 16; i += 16) {
ymm14 = _mm256_set1_pd(i * dt);
ymm10 = _mm256_add_pd(ymm14, ymm2); // x = i*dt+3*dt, i*dt+2*dt, i*dt+1*dt, i*dt+0.0
ymm11 = _mm256_add_pd(ymm14, ymm3); // x = i*dt+7*dt, i*dt+6*dt, i*dt+5*dt, i*dt+4*dt
ymm12 = _mm256_add_pd(ymm14, ymm4); // x = i*dt+11*dt, i*dt+10*dt, i*dt+9*dt, i*dt+8*dt
ymm13 = _mm256_add_pd(ymm14, ymm5); // x = i*dt+15*dt, i*dt+14*dt, i*dt+13*dt, i*dt+12*dt
ymm10 = _mm256_mul_pd(ymm10, ymm10); // x^2 = i*dt+3*dt)^2, (i*dt+2*dt)^2, ...
ymm11 = _mm256_mul_pd(ymm11, ymm11); // x^2
ymm12 = _mm256_mul_pd(ymm12, ymm12); // x^2
ymm13 = _mm256_mul_pd(ymm13, ymm13); // x^2
ymm10 = _mm256_add_pd(ymm0, ymm10); // 1+x^2 = 1+(i*dt+3*dt)^2, 1+(i*dt+2*dt)^2, ...
ymm11 = _mm256_add_pd(ymm0, ymm11); // 1+x^2
ymm12 = _mm256_add_pd(ymm0, ymm12); // 1+x^2
ymm13 = _mm256_add_pd(ymm0, ymm13); // 1+x^2
ymm10 = _mm256_div_pd(ymm1, ymm10); // dt/(1+x^2)
ymm11 = _mm256_div_pd(ymm1, ymm11); // dt/(1+x^2)
ymm12 = _mm256_div_pd(ymm1, ymm12); // dt/(1+x^2)
ymm13 = _mm256_div_pd(ymm1, ymm13); // dt/(1+x^2)
ymm6 = _mm256_add_pd(ymm6, ymm10); // pi += dt/(1+x^2)
ymm7 = _mm256_add_pd(ymm7, ymm11); // pi += dt/(1+x^2)
ymm8 = _mm256_add_pd(ymm8, ymm12); // pi += dt/(1+x^2)
ymm9 = _mm256_add_pd(ymm9, ymm13); // pi += dt/(1+x^2)
}
```
## 其他計算Pi的方式
### Leibniz formula for π
考慮以下分解：
對兩邊從0到1去做積分
當時，除積分項以外的項收斂到萊布尼茨級數。同時，積分項收斂到0：
所以這便證明了萊布尼茨公式。
```clike=
double compute_pi_leibniz(size_t N)
{
double pi = 0.0;
int tmp = 1;
for (size_t i =0; i < N; i++) {
pi += tmp / (2.0 * (double)i + 1.0);
tmp *= (-1);
}
pi *= 4;
return pi;
}
```
## Euler
```clike=
double compute_pi_euler(size_t N)
{
double pi = 0.0;
for (size_t i = 1; i <= N; i++) {
pi += (1 / pow(i, 2.0));
}
pi *= 6;
return sqrt(pi);
}
```
## 信賴區間
**標準差：**
標準差是一組數值自平均值分散開來的程度的一種測量觀念。一個較大的標準差，代表大部分的數值和其平均值之間差異較大；一個較小的標準差，代表這些數值較接近平均值。而標準差定義為變異數的算術平方根。
**標準誤差：**
標準誤差是指在抽樣試驗(或重覆的等精度測量)中，常用到樣本平均數的標準差。
如果已知母體的標準差(σ)，那麼抽取無限多份大小為 n 的樣本，每個樣本各有一個平均值，所有這個大小的樣本之平均值的標準差可證明為 
但由於通常σ為未知，此時可以用研究中取得樣本的標準差 (s) 來估計 ：
* 大於 95% 信賴區間 =  + (s * 1.96)
* 小於 95% 信賴區間 =  - (s * 1.96)
* 為樣本平均數
* s等於樣本平均數的標準差
由上述公式算出信賴區間的最大與最小值
```clike=
double compute_ci(double *min, double *max, double data[SAMPLE_SIZE])
{
double mean = 0.0;
double stddev = 0.0;
double stderror;
int i = 0;
//mean
for(i = 0; i < SAMPLE_SIZE; i++){
mean += data[i];
}
mean /= SAMPLE_SIZE;
//standard deviation
for(i = 0; i < SAMPLE_SIZE; i++){
stddev += (data[i] - mean) * (data[i] - mean);
}
stddev = sqrt(stddev / (double)SAMPLE_SIZE);
//standard deviation
stderror = stddev / sqrt((double)SAMPLE_SIZE);
*min = mean - (1.96 * stderror);
*max = mean + (1.96 * stderror);
return mean;
}
```
用信賴區間篩選過數值的曲線圖
## 參考資料
* [簡介 Kernel Mode 與 User Mode 的概念](https://www.ptt.cc/bbs/b97902HW/M.1267018497.A.3B1.html)
* [Linux 的 time 指令](http://yuanfarn.blogspot.tw/2012/08/linux-time.html)
* [C語言：使用clock_gettime計算程式碼的時間需求](https://starforcefield.wordpress.com/2012/08/06/c%E8%AA%9E%E8%A8%80%EF%BC%9A%E4%BD%BF%E7%94%A8clock_gettime%E8%A8%88%E7%AE%97%E7%A8%8B%E5%BC%8F%E7%A2%BC%E7%9A%84%E6%99%82%E9%96%93%E9%9C%80%E6%B1%82/)
* [Linux系统下的单调时间函数](http://m.blog.chinaunix.net/uid-20662820-id-3880162.html)
* [廖健富學長](https://hackpad.com/Hw1-Extcompute_pi-geXUeYjdv1I)
* [標準誤差-維基百科](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%A0%87%E5%87%86%E8%AF%AF)
* [許元杰的github](https://github.com/Jayjack0116/compute_pi)和[筆記](https://embedded2015.hackpad.com/-Ext1-Week-1-5rm31U3BOmh)
* [簡易的程式平行化－OpenMP（五） 變數的平行化](https://kheresy.wordpress.com/2006/09/22/%E7%B0%A1%E6%98%93%E7%9A%84%E7%A8%8B%E5%BC%8F%E5%B9%B3%E8%A1%8C%E5%8C%96%EF%BC%8Dopenmp%EF%BC%88%E4%BA%94%EF%BC%89-%E8%AE%8A%E6%95%B8%E7%9A%84%E5%B9%B3%E8%A1%8C%E5%8C%96/)
* [詹志鴻學長的hackpad](https://embedded2015.hackpad.com/ep/pad/static/0aZx9N8YlMi)
* [π的莱布尼茨公式](https://zh.wikipedia.org/wiki/%CE%A0%E7%9A%84%E8%8E%B1%E5%B8%83%E5%B0%BC%E8%8C%A8%E5%85%AC%E5%BC%8F)
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