三角函數微分推導

# 三角函數微分推導 > 作者：王一哲 > 日期：2019/4/21 由於高中物理課程中會用到三角函數微分，但是現行的數學教材中已經將這部分刪除，所以我將 $\sin x$ 及 $\cos x$ 對 $x$ 的微分推導過程整理在這篇文章中，希望對比較好學的同學能有一些幫助。 ## 方法1：利用代數及極限運算 ### 前置作業由於三角函數微分的推導會用到以下兩個函數的極限值，需要先推導出來才行。 $$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$$ $$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - \cos x}{x} = 0$$ 請參考下圖，圖中的圓形半徑為 1，圓心角為 $x$，由於 $x$ 在第一象限中，所有的三角函數值皆為正值或零。 <img height="50%" width="50%" src="https://imgur.com/svwkkBp.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/> 由 $\Delta \mathrm{OBD}$ 可得 $$\sin x = \frac{\overline{\mathrm{BD}}}{\overline{\mathrm{OB}}} ~\Rightarrow \overline{\mathrm{BD}} = \sin x$$ 由 $\Delta \mathrm{OCA}$ 可得 $$\tan x = \frac{\overline{\mathrm{AC}}}{\overline{\mathrm{OA}}} ~\Rightarrow \overline{\mathrm{AC}} = \tan x$$ 由圖中可以看出$\Delta \mathrm{OBA}$、扇形 $\mathrm{OBA}$、$\Delta \mathrm{OCA}$三者的面積關係 $$\Delta \mathrm{OBA} \leq 扇形 \mathrm{OBA} \leq \Delta \mathrm{OCA}$$ $$\frac{1}{2} \overline{\mathrm{OA}} \times \overline{\mathrm{BD}} \leq \frac{1}{2} \overline{\mathrm{OA}}^2 \times x \leq \frac{1}{2} \overline{\mathrm{OA}} \times \overline{\mathrm{AC}}$$ $$\sin x \leq x \leq \tan x$$ 將上式同除以 $\sin x$ 可得 $$1 \leq \frac{x}{\sin x} \leq \frac{1}{\cos x}$$ 取倒數 $$1 \geq \frac{\sin x}{x} \geq \cos x$$ 當 $x \rightarrow 0$ 時，$\cos x \rightarrow 1$，因此 $$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$$ <img height="80%" width="80%" src="https://imgur.com/i95udlH.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/> $\frac{\sin x}{x}$的圖形 接下來推導 $$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - \cos x}{x} = 0$$ 首先將分子、分母同乘以 $1 + \cos x$ 可得 $$\begin{align*} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - \cos x}{x} &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - \cos^2 x}{x(1 + \cos x)} \\ &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin^2 x}{x(1 + \cos x)}\\ &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{1 + \cos x}\\ &= 1 \cdot 0\\ &= 0 \end{align*}$$ <img height="80%" width="80%" src="https://imgur.com/wyKuW3T.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/> $\frac{1- \cos x}{x}$的圖形 ### 正弦 $$\begin{align*} \frac{d}{dx} \sin x &= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\sin(x + \Delta x) - \sin x}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\sin x \cos(\Delta x) + \cos x \sin(\Delta x) - \sin x}{\Delta x}\\ &= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\sin x [ \cos(\Delta x) - 1] + \cos x \sin(\Delta x)}{\Delta x}\\ &= \sin x \left[ \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{ \cos(\Delta x) - 1}{\Delta x} \right] + \cos x \left[ \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{ \sin(\Delta x)}{\Delta x} \right]\\ &= \cos x \end{align*}$$ ### 餘弦 $$\begin{align*} \frac{d}{dx} \cos x &= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\cos(x + \Delta x) - \cos x}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\cos x \cos(\Delta x) - \sin x \sin(\Delta x) - \cos x}{\Delta x}\\ &= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\cos x [ \cos(\Delta x) - 1] - \sin x \sin(\Delta x)}{\Delta x}\\ &= \cos x \left[ \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{ \cos(\Delta x) - 1}{\Delta x} \right] - \sin x \left[ \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{ \sin(\Delta x)}{\Delta x} \right]\\ &= -\sin x \end{align*}$$ ### 正切 $$\begin{align*} \frac{d}{dx} \tan x &= \frac{d}{dx} \left(\frac{\sin x}{\cos x} \right)\\ &= \frac{1}{\cos x} \frac{d}{dx} \sin x + \sin x \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{\cos x} \right)\\ &= 1 + \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}\\ &= \frac{1}{\cos^2 x}\\ &= \sec^2 x \end{align*}$$ ## 方法2：利用圖形及面積 ### 正弦請參考下圖，圖中的圓形半徑為 1，$\angle \mathrm{BOD} = x$，$\angle \mathrm{COB} = \Delta x$。 <img height="80%" width="80%" src="https://imgur.com/oKCnDCb.png" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;"/> 由 $\Delta \mathrm{OBD}$ 可得 $$\sin x = \frac{\overline{\mathrm{BD}}}{\overline{\mathrm{OB}}} ~\Rightarrow \sin x = \overline{\mathrm{BD}}$$ 由 $\Delta \mathrm{OCE}$ 可得 $$\sin (x + \Delta x) = \frac{\overline{\mathrm{CE}}}{\overline{\mathrm{OC}}} ~\Rightarrow \sin (x + \Delta x) = \overline{\mathrm{CE}}$$ 因此 $$\sin (x + \Delta x) - \sin x = \overline{\mathrm{CE}} - \overline{\mathrm{BD}} = \overline{\mathrm{BF}}$$ 由 $\Delta \mathrm{BCF}$ 可得 $$\overline{\mathrm{BF}} = \overline{\mathrm{BC}} \cos x$$ 當 $\Delta x \rightarrow 0$ 時，$\overline{\mathrm{BC}} \approx 弧長\mathrm{BC} = \Delta x$ 綜合以上條件可得 $$\frac{d}{dx} \sin x = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\sin(x + \Delta x) - \sin x}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta x \cos x}{\Delta x} = \cos x$$ ### 餘弦參考上圖，由 $\Delta \mathrm{OBD}$ 可得 $$\cos x = \frac{\overline{\mathrm{OD}}}{\overline{\mathrm{OB}}} ~\Rightarrow \cos x = \overline{\mathrm{OD}}$$ 由 $\Delta \mathrm{OCE}$ 可得 $$\cos (x + \Delta x) = \frac{\overline{\mathrm{OE}}}{\overline{\mathrm{OC}}} ~\Rightarrow \cos (x + \Delta x) = \overline{\mathrm{OE}}$$ 因此 $$\cos (x + \Delta x) - \cos x = \overline{\mathrm{OE}} - \overline{\mathrm{OD}} = -\overline{\mathrm{CF}}$$ 由 $\Delta \mathrm{BCF}$ 可得 $$\overline{\mathrm{CF}} = \overline{\mathrm{BC}} \sin x$$ 當 $\Delta x \rightarrow 0$ 時，$\overline{\mathrm{BC}} \approx 弧長\mathrm{BC} = \Delta x$ 綜合以上條件可得 $$\frac{d}{dx} \cos x = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\cos(x + \Delta x) - \cos x}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{-\Delta x \sin x}{\Delta x} = -\sin x$$ ## 結語這是目前找到的兩種推導方法，我比較喜歡第二種推導方法，圖形還是比算式更容易想像。 --- ###### tags:`Math`