三角函數微分推導

作者：王一哲
日期：2019/4/21

由於高中物理課程中會用到三角函數微分，但是現行的數學教材中已經將這部分刪除，所以我將

$\sin x$ 及

$\cos x$ 對

$x$ 的微分推導過程整理在這篇文章中，希望對比較好學的同學能有一些幫助。

方法1：利用代數及極限運算

前置作業

由於三角函數微分的推導會用到以下兩個函數的極限值，需要先推導出來才行。

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x}{x}=1$$

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1-\cos x}{x}=0$$

請參考下圖，圖中的圓形半徑為 1，圓心角為

$x$，由於

$x$ 在第一象限中，所有的三角函數值皆為正值或零。

由

$\mathrm{\Delta }\mathrm{OBD}$ 可得

$$\sin x=\frac{\overline{\mathrm{BD}}}{\overline{\mathrm{OB}}}\Rightarrow \overline{\mathrm{BD}}=\sin x$$

由

$\mathrm{\Delta }\mathrm{OCA}$ 可得

$$\tan x=\frac{\overline{\mathrm{AC}}}{\overline{\mathrm{OA}}}\Rightarrow \overline{\mathrm{AC}}=\tan x$$

由圖中可以看出

$\mathrm{\Delta }\mathrm{OBA}$、扇形

$\mathrm{OBA}$、

$\mathrm{\Delta }\mathrm{OCA}$三者的面積關係

$$\mathrm{\Delta }\mathrm{OBA}\le \mathrm{扇}\mathrm{形}\mathrm{OBA}\le \mathrm{\Delta }\mathrm{OCA}$$

$$\frac{1}{2}\overline{\mathrm{OA}}\times \overline{\mathrm{BD}}\le \frac{1}{2}{\overline{\mathrm{OA}}}^2\times x\le \frac{1}{2}\overline{\mathrm{OA}}\times \overline{\mathrm{AC}}$$

$$\sin x\le x\le \tan x$$

將上式同除以

$\sin x$ 可得

$$1\le \frac{x}{\sin x}\le \frac{1}{\cos x}$$

取倒數

$$1\ge \frac{\sin x}{x}\ge \cos x$$

當

$x\to 0$ 時，

$\cos x\to 1$，因此

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x}{x}=1$$

$\frac{\sin x}{x}$的圖形

接下來推導

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1-\cos x}{x}=0$$

首先將分子、分母同乘以

$1+\cos x$ 可得

$$\begin{array}{rl}\underset{x\to 0}{lim}\frac{1-\cos x}{x}& =\underset{x\to 0}{lim}\frac{1-{\cos }^{2}x}{x(1+\cos x)}\\ & =\underset{x\to 0}{lim}\frac{{\sin }^{2}x}{x(1+\cos x)}\\ & =\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x}{x}\cdot \underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x}{1+\cos x}\\ & =1\cdot 0\\ & =0\end{array}$$

$\frac{1-\cos x}{x}$的圖形

正弦

$$\begin{array}{rl}\frac{d}{dx}\sin x& =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\sin (x+\mathrm{\Delta }x)-\sin x}{\mathrm{\Delta }x}\\ & =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\sin x\cos (\mathrm{\Delta }x)+\cos x\sin (\mathrm{\Delta }x)-\sin x}{\mathrm{\Delta }x}\\ & =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\sin x[\cos (\mathrm{\Delta }x)-1]+\cos x\sin (\mathrm{\Delta }x)}{\mathrm{\Delta }x}\\ & =\sin x\left[\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\cos (\mathrm{\Delta }x)-1}{\mathrm{\Delta }x}\right]+\cos x\left[\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\sin (\mathrm{\Delta }x)}{\mathrm{\Delta }x}\right]\\ & =\cos x\end{array}$$

餘弦

$$\begin{array}{rl}\frac{d}{dx}\cos x& =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\cos (x+\mathrm{\Delta }x)-\cos x}{\mathrm{\Delta }x}\\ & =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\cos x\cos (\mathrm{\Delta }x)-\sin x\sin (\mathrm{\Delta }x)-\cos x}{\mathrm{\Delta }x}\\ & =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\cos x[\cos (\mathrm{\Delta }x)-1]-\sin x\sin (\mathrm{\Delta }x)}{\mathrm{\Delta }x}\\ & =\cos x\left[\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\cos (\mathrm{\Delta }x)-1}{\mathrm{\Delta }x}\right]-\sin x\left[\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\sin (\mathrm{\Delta }x)}{\mathrm{\Delta }x}\right]\\ & =-\sin x\end{array}$$

正切

$$\begin{array}{rl}\frac{d}{dx}\tan x& =\frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)\\ & =\frac{1}{\cos x}\frac{d}{dx}\sin x+\sin x\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\cos x}\right)\\ & =1+\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}\\ & =\frac{1}{{\cos }^{2}x}\\ & ={\sec }^{2}x\end{array}$$

方法2：利用圖形及面積

正弦

請參考下圖，圖中的圓形半徑為 1，

$\mathrm{\angle }\mathrm{BOD}=x$，

$\mathrm{\angle }\mathrm{COB}=\mathrm{\Delta }x$。

由

$\mathrm{\Delta }\mathrm{OBD}$ 可得

$$\sin x=\frac{\overline{\mathrm{BD}}}{\overline{\mathrm{OB}}}\Rightarrow \sin x=\overline{\mathrm{BD}}$$

由

$\mathrm{\Delta }\mathrm{OCE}$ 可得

$$\sin (x+\mathrm{\Delta }x)=\frac{\overline{\mathrm{CE}}}{\overline{\mathrm{OC}}}\Rightarrow \sin (x+\mathrm{\Delta }x)=\overline{\mathrm{CE}}$$

因此

$$\sin (x+\mathrm{\Delta }x)-\sin x=\overline{\mathrm{CE}}-\overline{\mathrm{BD}}=\overline{\mathrm{BF}}$$

由

$\mathrm{\Delta }\mathrm{BCF}$ 可得

$$\overline{\mathrm{BF}}=\overline{\mathrm{BC}}\cos x$$

當

$\mathrm{\Delta }x\to 0$ 時，

$\overline{\mathrm{BC}}\approx \mathrm{弧}\mathrm{長}\mathrm{BC}=\mathrm{\Delta }x$

綜合以上條件可得

$$\frac{d}{dx}\sin x=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\sin (x+\mathrm{\Delta }x)-\sin x}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }x\cos x}{\mathrm{\Delta }x}=\cos x$$

餘弦

參考上圖，由

$\mathrm{\Delta }\mathrm{OBD}$ 可得

$$\cos x=\frac{\overline{\mathrm{OD}}}{\overline{\mathrm{OB}}}\Rightarrow \cos x=\overline{\mathrm{OD}}$$

由

$\mathrm{\Delta }\mathrm{OCE}$ 可得

$$\cos (x+\mathrm{\Delta }x)=\frac{\overline{\mathrm{OE}}}{\overline{\mathrm{OC}}}\Rightarrow \cos (x+\mathrm{\Delta }x)=\overline{\mathrm{OE}}$$

因此

$$\cos (x+\mathrm{\Delta }x)-\cos x=\overline{\mathrm{OE}}-\overline{\mathrm{OD}}=-\overline{\mathrm{CF}}$$

由

$\mathrm{\Delta }\mathrm{BCF}$ 可得

$$\overline{\mathrm{CF}}=\overline{\mathrm{BC}}\sin x$$

當

$\mathrm{\Delta }x\to 0$ 時，

$\overline{\mathrm{BC}}\approx \mathrm{弧}\mathrm{長}\mathrm{BC}=\mathrm{\Delta }x$

綜合以上條件可得

$$\frac{d}{dx}\cos x=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\cos (x+\mathrm{\Delta }x)-\cos x}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{-\mathrm{\Delta }x\sin x}{\mathrm{\Delta }x}=-\sin x$$

結語

這是目前找到的兩種推導方法，我比較喜歡第二種推導方法，圖形還是比算式更容易想像。

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