Algebraic Curve

This is a note in a course Algebraic Curve taken in 2018 Fall, NTHU. It is mainly about plane algebraic curve

• Text book: Gerd Fischer, Plane Algebraic Curves

Affine Algebraic Curve

一個 affine algebraic curve 被定義為某個雙變數多項式零點的蒐集

$$V(f):=\{(x_1,x_2)\in F^2:f(x_1,x_2)=0\}.$$
其中

$f\in F[X_1,X_2]$ 不為常數.

F 的選擇

當

$F=\mathbb{R}$

• $V(X_1^2+X_2^2-1)$ 是一個圓
• $V(X_1^2+X_2^2)$ 是一個點
• $V(X_1^2+X_2^2+1)=\varphi$

在這個例子中，看起來僅僅透過改變

$f=X_1^2+X_2^2+a$ 的參數

$a$ 就能導致得到的曲線有不規律的變動，這主要是因為

$\mathbb{R}$ 不是代數封閉的。

如果考慮

$F=\mathbb{C}$ 那麼對於

$f=X_1^2+X_2^2$ 我們有,

$$X_1^2+X_2^2=(X_1+i{X}_2)(X_1-i{X}_2)$$
因此

$$V(f)=V(X_1+i{X}_2)\cup V(X_1-i{X}_2)$$
可以看出來此即是兩條交於原點的線。由於

$\mathbb{C}$ 是代數封閉的，我們可以對

$f$ 進行適當的分解，這樣的分解會反映在曲線上，得到的曲線是各個分量的聯集，以下如果沒有特別指明，都選用

$F=\mathbb{C}$。

小觀察

• $V(f)=V(\lambda f)=V(f^k)$ for
  $k\in {\mathbb{N}}^{\times },\lambda \in {\mathbb{C}}^{\times }$
• 如果
  $f|g$ 那麼
  $V(f)\subseteq V(g)$

事實上第二點的的逆敘述仍成立，即是 Study's lemma

Resultant

在證明 Study's lemma 前，我們引入一個工具 resultant
考慮

$R$ 為一個帶有乘法單位元的交換環，以及

$f,g\in R[x]$

$$\begin{gathered} f=a_m{x}^m+...+a_0 \\ g=a_n{x}^n+...+b_0 \end{gathered}$$
那麼 resultant 被定義為

$$R_{f,g}:=det\left(\begin{array}{cccc}{a}_m& a_{m-1}& \dots & a_0\\ & a_m& a_{m-1}& \dots & a_0\\ & & \ddots \\ & & a_m& a_{m-1}& \dots & a_0\\ b_n& b_{n-1}& \dots & b_0\\ & b_n& b_{n-1}& \dots & b_0\\ & & \ddots \\ & & b_n& b_{n-1}& \dots & b_0\end{array}\right)$$
其中含

$a$ 項有

$n$ 個 row，

$b$ 項則有

$m$ 個 row

Theorem

如果

$R$ 為 UFD，那麼以下等價

• $gcd(f,g)$ 不為常數
• $R_{f,g}=0\in A$

更進一步，如果

$R=\mathbb{C}$ 那麼上述兩個條件等價於

$f,g$ 有共根。

上面這個定理題示了一個解雙變數(乃至多變數)聯立方程的方法
給定

$f,g\in \mathbb{C}[X_1,X_2]$，先計算

$R_{f,g}$ 的根，記為

$c_1,c_2,...$
然後求解單變量聯立

$$\begin{gathered} f(c_i,X_2)=0 \\ g(c_i,X_2)=0 \end{gathered}$$

Study's lemma

如果

$V(f)\subseteq V(g)$ 那麼

$f|g$

proof.

考慮

$$\begin{gathered} f=\sum _{0\le i\le m}{a}_i{X}_2^i \\ g=\sum _{0\le i\le n}{b}_i{X}_2^i \end{gathered}$$

其中

$a_i,b_i\in \mathbb{C}[X_1]$

不失一般性假設

$m>0$ 那麼因為

$V(f)\subseteq V(g)$
必然使得

$n>0$，否則可以選定

$x_1$ 使得

$a_m(x_1)\ne 0,b_n(x_1)\ne 0$
此時

$f(X_1=x_1)$ 不為常數，而

$g(X_1=x_1)$ 為非零常數，必然存在

$x_2$使

$f(x_1,x_2)=0$ 但

$g(x_1,x_2)$ 不可能為零，得到矛盾。

同時可以選定無窮多個

$x_1$ 使得

$$\begin{gathered} a_m(x_1)\ne 0 \\ {b}_n(x_1)\ne 0 \end{gathered}$$
代數基本定理保證了對於每個

$x_1$ 都有對應的

$x_2$ 使得

$$f(x_1,x_2)=0$$
又因為

$V(f)\subseteq V(g)$ 這也同時導致

$$g(x_1,x_2)=0$$
可見

$f(X_1=x_1),g(X_1=x_1)$ 有共根

$$R_{f,g}(x_1)=0$$
由於

$x_1$ 有無窮多個，因此

$R_{f,g}=0$，又因為

$f$ 為不可約，所以

$f|g$，證畢。

Decomposition into Component

考慮

$f\in \mathbb{C}[X_1,X_2]$，因為

$\mathbb{C}[X_1,X_2]$ 為 UFD

$$f=\prod _{1\le i\le n}{f}_i^{k_i}$$
因此有

$$V(f)=\bigcup _{1\le i\le n}V(f_i^{k_i})=\bigcup _{1\le i\le n}V(f_i)$$

Definition

曲線

$C\le {\mathbb{C}}^2$ 為 irreducible 當且僅當存在相異曲線

$C_1,C_2$ 使得

$C=C_1\cup C_2$

Lemma

$V(f)$ 為 irreducible 當且僅當存在不可約

$g\in \mathbb{C}[X_1,X_2]$ 使得

$f=g^k,k>0$

proof.

考慮

$f=\prod _{1\le i\le n}{f}_i^{k_i}$ 為質因子分解，且任兩項不 associated，那麼

$$V(f)=\bigcup _{1\le i\le n}V(f_i)$$
又因為

$V(f)$ 不可約，因此

$V(f_i)=V(f_j),\mathrm{\forall }i,j$
根據 Study's lemma

$f_i|f_j\mathrm{\forall }i,j$，因此

$n=1$，

$f=f_1^{k_1}$ 證畢。

Theorem

任何代數曲線有形式

$C=\bigcup _i{C}_i$ 其中

$C_i$ 不可約，且這種形式在項的重排列下是唯一的。 我們稱

$C_i$ 為

$C$ 的 irreducible component

Corollary

考慮

$f=\prod _i{f}_i^{k_i}$ 為質因子分解，若

$V(f)=V(g)$ 則

$g=\lambda \prod _i{f}_i^{l_i}$ for

$\lambda \in {\mathbb{C}}^{\times }$

Remark.

我們可以稱對應的

$k_i$ 為

$C_i$ 的 multiplicity，幾何上我們會丟失多項式的multiplicity，但我們可以把它加入討論。

$$f=\prod _i{f}_i^{k_i}\mapsto \sum k_i{C}_i$$
我們稱右手邊的項為一個 divisor in

$\mathbb{C}$，如果 multiplicity 均非負我們稱之為一個 effective divisor.

Degree

透過前面的討論我們可以將某個 affine curve 的幾何訊息和它所對應的多項式關連起來。確切來說，因為

$V(f)=V(f^k)$，這樣的多項式並不是唯一的，但我們可以找出對應的最小多項式。

Minimal Polynomial

如果

$C=V(f)$ 且

$f$ 不可約，那麼

$f$ 被定義為

$C$ 的 minimal polynomial (最小多項式)。
在更高維度代數幾何的討論中，將所有零點集包含

$C$ 的多項式所蒐集起來，稱做

$f$ 所生成的主理想，符號記為

$$I(C)=\{h\in \mathbb{C}[X_1,X_2]:h{|}_C=0\}=⟨f⟩$$

Line Intersaction

令

$L\subseteq {\mathbb{C}}^2$ 為一條線 (affine subset)，這條線可以被參數化

$$\begin{gathered} \varphi :\mathbb{C}\to L\subseteq {\mathbb{C}}^2 \\ t\mapsto ({\varphi }_1(t),{\varphi }_2(t)) \end{gathered}$$
其中

${\varphi }_i={\lambda }_{i}T\in \mathbb{C}[T]$ 為線性多項式。
考慮

$g(T):=f({\varphi }_1(T),{\varphi }_2(T))$，其中

$g=0⟺L\subseteq V(f)$
並且

$\mathrm{deg}g\le \mathrm{deg}f=\mathrm{deg}C$，重寫

$$\begin{gathered} f=\sum _{0\le i\le n}{f}_{(i)} \\ {f}_{(d)}:=\sum _{k_1+k_2=d}{a}_{k_1,k_2}{x}_1^{k_1}{x}_2^{k_2} \end{gathered}$$

$f_{(d)}$ 被稱作

$f$ 的一個 homogenius part (齊次項) of degree

$d$
因而有

$$\begin{gathered} g(T)=f({\varphi }_1(T),{\varphi }_2(T)) \\ =\sum _{0\le i\le n}{f}_{(i)}({\lambda }_1,{\lambda }_2)T^i \end{gathered}$$
利用 dehomogenize 的技巧，容易把代數基本定理擴充到齊次多項式

$$f_{(d)}=\prod _{1\le i\le d}(b_i{X}_1+c_i{X}_2)$$
這代表其零點在

${\mathbb{P}}_{\mathbb{1}}\mathbb{(}\mathbb{C}\mathbb{)}$上是有限的

$$\{\frac{{\lambda }_1}{{\lambda }_2}:f_{(d)}({\lambda }_1,{\lambda }_2)=0\}<\mathrm{\infty }$$

因此在大多數的情況下，除了有限條例外的線，如果

$f$ 為最小多項式且

$g$ 沒有重根，那麼

$\mathrm{deg}g=|L\cap C|=\mathrm{deg}f$

Projective Closure

給定一個 field

$K$，其上的 projective plane (射影平面)

${\mathbb{P}}_{\mathbb{2}}(K)$ 為所有

$K^3$ 中通過

$0$ 的直線蒐集

$$\{(x_0:x_1:x_2):x_i,y_i\in K,(x_0:x_1:x_2)=(y_0:y_1:y_2)⟺y_i=\lambda x_i\}$$

我們總是有一個從

$K^2$ 到

${\mathbb{P}}_{\mathbb{2}}(K)$ 的 embedding

$$\begin{gathered} \iota :K^2\hookrightarrow {\mathbb{P}}_{\mathbb{2}}(K) \\ (x_1,x_2)\mapsto (1:x_1:x_2) \end{gathered}$$
這些點外，剩下的點可以被視為無窮遠點

$${\mathbb{P}}_{\mathbb{2}}(K)-\iota (K_2)=\{(0:x_1:x_2)\in {\mathbb{P}}_{\mathbb{2}}(K)\}$$

相似地，對於一個齊次多項式

$F\in K[X_0,X_1,X_2]$，我們可以定義對應的曲線

$$V(F):=\{(x_0:x_1:x_2)\in {\mathbb{P}}_{\mathbb{2}}(K):F(x_0,x_1,x_2)=0\}$$
我們稱它是一個 projective algebraic curve (射影代數曲線)

我們需要

$F$ 是齊次來使得這是 well defined 的

對於

$f\in K[X_1,X_2]$ 我們定義它的 homogenization (齊次化)為

$$F=X_0^{n}f(\frac{X_1}{X_0},\frac{X_2}{X_0})$$
顯然

$F$ 是齊次的，並且

$$f=F(1,X_1,X_2)$$

透過齊次化的方法，我們定義 affine curve 的 projective closure如下
對於

$C=V(f)\subseteq {\mathbb{C}}^2$ 為一條 affine curve 且

$F$ 為

$f$ 的齊次化，那麼

$$C:=V(F)\subseteq {\mathbb{P}}_{\mathbb{2}}(C)$$
被稱為

$C$ 的 projective closure (齊次閉包)

例子從略

類似地，我們也可以考慮射影曲線上的 irreducible decomposition

Lemma

考慮

$f\in K[X_1,X_2]$ 且

$F\in K[X_0,X_1,X_2]$ 為

$f$ 的齊次化，那麼

$f$ 不可約

$⟺F$ 不可約

proof.

如果

$F$ 可約，那麼

$F=G\cdot H$，因為

$F$ 為齊次

$G,H$ 皆為齊次，故

$$\begin{gathered} f=F(1,X_1,X_2)=G(1,X_1,X_2)\cdot H(1,X_1,X_2) \\ g(x_1,x_2)\cdot h(x_1,x_2) \end{gathered}$$
因此

$f$ 可約

Automorphism

對於

$\mathbb{P}GL(K):=G{L}_3(K)/\{\lambda I:\lambda \in {\mathbb{C}}^{\times }\}$ 作用在

${\mathbb{P}}_{\mathbb{2}}$(K) 上，透過矩陣乘法

$$A\in \mathbb{P}G{L}_3(K),A(x_0:x_1:x_2)\in {\mathbb{P}}_{\mathbb{2}}(K)$$

實際上，

$\mathbb{P}G{L}_3(\mathbb{C})$ 為

${\mathbb{P}}_{\mathbb{2}}\mathbb{(}\mathbb{C}\mathbb{)}$ 的 automorphism group。

Line Intersaction

類似地，透過旋轉平移，可以考慮

$L=V(X_2)$

$$\begin{gathered} F(X_0,X_1,X_2)=F_0{X}_2^n+F_1{X}_2^{n-1}+...+F_n, \\ {F}_i\in \mathbb{C}[X_0,X_1] \end{gathered}$$
那麼

$$\{\begin{array}{l}{X}_2=0\\ F(X_0,X_1,X_2)=0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}{X}_2=0\\ F_n(X_0,X_1)=0\end{array}$$