冰與水蒸氣混合達熱平衡時溫度與質量比值關係圖

作者：王一哲　　　　　日期：2018/11/18

題目

假設 0°C 的冰塊質量為 M₁，100°C 的水蒸氣質量為 M₂，將兩者放入絕熱容器內達到熱平衡時的溫度為 T，請畫出 T 與質量比值

$\frac{M_1}{M_2}$ 的關係圖。（水的熔化熱為 80 cal/g，水的汽化熱為 540 cal/g）

解答

假設平衡時的溫度為 T，由於系統與外界沒有熱交換，冰塊吸收的熱等於水蒸氣釋放的熱，因此

$$M_1\times 80+M_1\times 1\times (T-0)=M_2\times 540+M_2\times 1\times (100-T)$$

$$\frac{M_1}{M_2}\times 80+\frac{M_1}{M_2}\times T=640-T$$

若

$\frac{M_1}{M_2}\equiv x$，則上式可改為

$$80x+xT=640-T$$

$$T=\frac{640-80x}{x+1}$$

若

$x<3$ 代入上式則

$T>100$，代表水蒸氣沒有用完，此時水與水蒸氣共存

$T=100$；若

$x>8$ 代入上式則

$T<0$，代表冰塊沒有用完，此時水與冰塊共存

$T=0$。因此

$$T(x)=\{\begin{array}{ll}100& \text{ if }x<3\\ 0& \text{ if }x>8\\ \frac{640-80x}{x+1}& \text{ if }3\le x\le 8\end{array}$$

很明顯地，這個函數圖形並不好畫，我們需要使用一些輔助工具會比較方便。

作圖（使用 Matplotlib）

以下是使用 Python 搭配 Matplotlib 以及 numpy 的作法，程式碼的功能請參考註解，大致上的步驟如下：

1. 用 np.linspace 產生要繪圖的 x 軸數據。
2. 將 x 軸數據代入算式求出對應的 y 軸數據，也就是溫度 T 的數值。
3. 用 np.where 找出 T > 100 的元素對應的索引值，再將這些位置的值都改成 100；再用同樣的方式將 T < 0 的元素都換成 0。
4. 設定圖片格式、繪圖、存檔。

import numpy as np                                        # 引入科學計算函式庫
import matplotlib.pyplot as plt                           # 引入繪圖函式庫

xmin, xmax, num = 1, 10, 100                              # 設定繪圖範圍、取點數
x = np.linspace(xmin, xmax, num)                          # 產生x

# T = (640 - 80 * x) / (x + 1), 當 x < 3 時 T = 100, 當 x > 8 時 T = 0
T = (640 - 80 * x) / (x + 1)
T[np.where(T > 100)] = 100
T[np.where(T < 0)] = 0

plt.figure(figsize = (6, 4.5), dpi = 100)                 # 設定圖片尺寸
plt.xlabel(r'$ M_1 / M_2 $', fontsize = 14)               # 設定坐標軸標籤
plt.ylabel(r'$ T ({}^{\circ} \mathrm{C}) $', fontsize = 14)
plt.xticks(fontsize = 12)                                 # 設定坐標軸數字格式
plt.yticks(fontsize = 12)
plt.grid(color = 'red', linestyle = '--', linewidth = 1)  # 設定格線顏色、種類、寬度
plt.ylim(-10, 110)                                        # 設定y軸繪圖範圍
# 繪圖並設定線條顏色、寬度
plt.plot(x, T, color = 'blue', linewidth = 3)             
plt.savefig('M_T_plot.svg')                               # 儲存圖片
plt.savefig('M_T_plot.png')
plt.show()                                                # 顯示圖片

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2018/11/27 補充

T = (640 - 80 * x) / (x + 1)
T[np.where(T > 100)] = 100
T[np.where(T < 0)] = 0

以上的程式碼可以用 numpy.clip 簡化為

T = ((640 - 80 * x) / (x + 1)).clip(0, 100)

numpy.clip 的語法為

numpy.clip(最小值, 最大值)

將陣列中小於最小值的元素都改為最小值，將陣列中大於最大值的元素都改為最大值。

使用 Matplotlib 繪製的 T - M₁ / M₂ 關係圖

作圖（使用 GeoGebra）

如果不想看到程式碼的同學可以使用 GeoGebra 繪圖。開啟 GeoGebra 之後在最下方的方框中輸入以下指令

T(x) = If(x < 3, 100, If(x > 8, 0, (640 - 80x) / (x + 1)))

因為這個函數分為 3 個區域，若

$x<3$ 則

$T=100$，若

$x>8$ 則

$T=0$，若

$3\le x\le 8$ 則

$T=\frac{640-80x}{x+1}$，所以我們需要用到兩層的 If 來輸入這個函數。GeoGebra 的 If 指令格式為

If[條件, 條件成立時執行的指令, 條件不成立時執行的指令]

最後再調整一下座標軸的比例、線條的樣式，加上座標軸標籤，就可以得到以下的圖形。

使用 GeoGebra 繪製的 T - M₁ / M₂ 關係圖

結語

在這篇文章中我們使用兩種不同的方法繪製函數圖形，如果各位同學想要繪製其它的函數圖形，可以參考這篇文章的作法再修改一下即可。

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tags:Physics、Python、GeoGebra